(共22张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
第六章 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a， 实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 向量的一个基底.
知识点 平面向量基本定理
不共线
任一
有且只有一对
所有
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.( )
提示 只有不共线的两个向量才可以作为基底.
2.{0，e}可以作为基底.( )
提示 由于0和任意向量共线，故{0，e}不可作为基底.
3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.( )
提示 基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.
4.若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( )
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (多选)设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是
A.e1＋e2和e1－e2
B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2
D.e1和e1＋e2
一、平面向量基本定理的理解
√
解析 选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.
√
√
反思感悟
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.
跟踪训练1 已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝____.
解析 因为{a，b}是一个基底，
所以a与b不共线，
3
所以x－y＝3.
二、用基底表示向量
解 因为DC∥AB，AB＝2DC，E，F分别是DC，AB的中点，
延伸探究
1.本例中若取BC的中点G，则 ＝________.
2.本例中若EF的中点为H，试表示出 .
反思感悟
平面向量基本定理的作用以及注意点
(1)根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算.
(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量.
a＋b
2a＋c
3
随堂演练
PART THREE
1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：
其中可作为该平面其它向量基底的是
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
√
1
2
3
4
5
2.如果{e1，e2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是
A.若存在实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B.对空间任意向量a都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R
C.λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)不一定在平面α内
D.对于平面α内任意向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
√
解析 B错，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任意向量；
C错，在平面α内任意向量都可表示为λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α内；
D错，这样的λ1，λ2是唯一的，而不是无数对.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.给出下列三种说法：
①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量.
其中，说法正确的为
A.①② B.②③
C.①③ D.①②③
√
1
2
3
4
5
A.BD＝2CD B.BD＝CD
C.BD＝3CD D.CD＝2BD
√
因为平行四边形的对角线互相平分，
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)平面向量基本定理.
(2)基底.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量.
课堂小结(共27张PPT)
第2课时 正弦定理
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系并掌握正弦定理.
2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等.
知识点一 正弦定理
正弦
1.a＝ ，b＝ ，c＝ .
知识点二 正弦定理的变形公式
思考 在正弦定理中，三角形的各边与其所对角的正弦的比都相等，那么这个比值等于多少？与该三角形外接圆的直径有什么关系？
答案 等于2R(R为该三角形外接圆的半径)，与该三角形外接圆的直径相等.
2Rsin A
2Rsin B
2Rsin C
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.正弦定理对任意的三角形都成立.( )
2.在△ABC中，等式bsin C＝csin B总能成立.( )
3.在△ABC中，已知a，b，A，则能求出唯一的角B.( )
4.任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素.( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，解三角形.
一、已知两角及任意一边解三角形
又C＝180°－(30°＋60°)＝90°，
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式： ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
跟踪训练1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形.
解 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
二、已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解三角形.
∵0°
延伸探究
若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？
反思感悟
这一类型题目的解题步骤为
①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值；
②用三角形内角和定理求出第三个角；
③根据正弦定理求出第三条边.
其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值.
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于
√
三、三角形形状的判断
例3 在△ABC中，已知 ，且sin2A＋sin2B＝sin2C.求证：△ABC为等腰直角三角形.
∴a2＝b2即a＝b，
又∵sin2A＋sin2B＝sin2C，
∴△ABC为等腰直角三角形.
反思感悟
判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等.利用正弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)；
(2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：
跟踪训练3 在△ABC中，已知2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.正三角形
√
解析 方法一 (利用边的关系进行判断)
由正弦定理和余弦定理，
所以△ABC是等腰三角形.
方法二 (利用角的关系进行判断)
因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin(A＋B).
由2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，所以sin(A－B)＝0.
因为－π所以△ABC是等腰三角形.
即a2＋c2－b2＝c2，即a2＝b2，故a＝b.
3
随堂演练
PART THREE
1.在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.在△ABC中，若sin A＝sin C，则△ABC是
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
√
解析 由sin A＝sin C及正弦定理，知a＝c，
∴△ABC为等腰三角形.
1
2
3
4
5
3. 在△ABC中，一定成立的等式是
A.asin A＝bsin B
B.acos A＝bcos B
C.asin B＝bsin A
D.acos B＝bcos A
√
4.在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，求△ABC最短边的边长.
解 由三角形内角和定理，得A＝180°－(B＋C)＝75°，
所以B是最小角，b为最短边.
1.知识清单：
(1)正弦定理.
(2)正弦定理的变形推论.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：已知两边及一边所对的角解三角形时易忽视分类讨论.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共30张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
预 学 案
一、相反向量
定义 如果两个向量长度________，而方向________那么称这两个向量是相反向量
性质 对于相反向量有：a＋(－a)＝________
若a、b互为相反向量，则a＝________，a＋b＝________
零向量的相反向量仍是零向量
推论 －(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
相等
相反
0
－b
0
练习
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若b是a的相反向量，则a与b一定不相等．( )
(2)若b是a的相反向量，则a∥b.( )
(3)向量的相反向量是，且＝－.( )
×
√
√
2．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________．
二、向量的减法
定义 a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的________
作法 在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则向量a－b＝________．如图所示
几何意义 如果把两个向量＝a，＝b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的________指向向量a的________的向量
相反向量
终点
终点
练习
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：＝.故选C.
2．设a与b是两个相等向量，则a－b＝________．
答案：0
解析：因为a与b是两个相等向量，
所以a－b＝0.
微点拨
相反向量仍具备两个要素：方向和长度．互为相反向量的两个向量一定是共线向量，任一向量与它的相反向量的和是零向量．
微点拨
(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义．－＝，就可以把减法化为加法．在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．
(2)以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用还是非常广泛的，应该理解并会应用．
(3)在平行四边形ABCD中，＝＝，即两条对角线所在向量可以用从一个顶点出发的两边所在向量表示．
共 学 案
【学习目标】
(1)借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义，向量减法的意义．
(2)掌握向量减法的运算及其几何意义．
(3)能熟练地进行向量的加、减综合运算．
题型 1 向量的减法及其几何意义
【问题探究】 (1)在数的运算中，减法是加法的逆运算，其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”．类比数的减法，向量的减法和加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？
(2)已知向量a，b，则a－b的几何意义是什么？
提示：
(1)向量的减法可以看作是向量加法的逆运算：即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
例1 如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解析：方法一 先作a－b，再作a－b－c即可．
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝b.连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量.则向量即为所求作的向量a－b－c.
方法二 先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如图②.
(1)作＝－b和＝－c；
(2)作＝a，则＝a－b－c.
题后师说
求作两个向量的差向量的两种思路
训练1 如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
解析：方法一(几何意义法) 如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.
方法二(定义法) 如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－c.
题型 2 向量加减法的运算
例2 化简下列各式：
(1)()－；
(2)()－()；
(3)()－()．
解析：(1)()－＝＝.
(2)()－()＝＝.
(3)()－()
＝＋()
＝()－
＝＋()＝＝0.
1．向量减法运算的常用方法
2．向量加减法化简的两种策略
(1)首尾相连且为和．
(2)起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
训练2 化简下列各式：
(1)；
(2)()＋()．
解析：(1)＝＝＝.
(2)()＋()＝
＝＋()
＝＋0＝.
题型 3 向量加减法的综合应用
例3 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.
解析：因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝＝b－a，
故＝＝b－a＋c.
一题多变 本例条件不变，试用向量a，b，c表示向量、.
解析：＝＝c－a，＝＝c－b.
笔记：用已知向量表示未知向量的方法
(1)解决此类问题要充分利用平面几何知识，灵活运用平行四边形法则和三角形法则．
(2)表示向量时要考虑以下问题：它是否是某个平行四边形的对角线；是否可以找到由起点到终点的恰当途径；它的起点和终点是否是两个有共同起点的向量的终点．
(3)必要时可以直接用向量求和的多边形法则．
训练3 如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则＝________(用a，b，c表示)．
a－b＋c
解析：＝＝＝＝a－b＋c.
随堂练习
1．在平行四边形ABCD中，＝( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：＝＝.故选A.
2．有下列等式：
①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－(－a)＝0.
正确的个数是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案：C
解析：由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误．故选C.
3．化简＝( )
A． B．
C． D．0
答案：D
解析：原式＝()＋()＝＝0.故选D.
4．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则＝________．
b－c
解析：＝＝＝＝b－c.
课堂小结
1.在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．
2．能进行向量的加减运算．
3．能用已知向量表示未知向量．(共27张PPT)
6.3.1 平面向量基本定理
预 学 案
平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个________向量，那么对于这一平面内的任一向量a，________一对实数λ1，λ2，使a＝________．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内________的一组基底．
不共线
有且只有
λ1e1＋λ2e2
所有向量
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1，e2线性表示．( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时，表示方法是相同的．( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( )
×
×
√
√
2．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为________．
4e1＋3e2
解析：由图可知e1，e2为平面内的一组正交单位基底，A点在e1方向有4个单位，在e2方向有3个单位，所以＝4e1＋3e2.
微点拨
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以构成基底向量．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．
(2)基底给定时，分解形式唯一．λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值．
(3){e1，e2}是表示同一平面内所有向量的一个基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0.
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量．
共 学 案
【学习目标】
(1)理解平面向量基本定理的内容，理解向量一组基底的含义．
(2)在平面内，选定一组向量基底，会用这组基底表示其他向量．
(3)会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
题型 1 平面向量基本定理
【问题探究】 如图，设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2都不共线的向量，在平面内任取一点O，作＝e1，＝e2，＝a.
(1)将a按e1，e2的方向分解，你有什么发现？
(2)如果向量a是这一平面内与e1，e2中的某一个向量共线的非零向量，你能用e1，e2表示出a吗？
(3)当a是零向量时，a还能用a＝λ1e1＋λ2e2表示吗？
(4)平面内任何一个向量a都可以表示成λ1e1＋λ2e2的形式，这种表示形式是唯一的吗？
提示：(1)如图，a＝＝＝λ1e1＋λ2e2.
(2)能，当向量a与e1共线时，a＝λ1e1＋0e2；当向量a与e2共线时，a＝0e1＋λ2e2.
(3)能，a＝0e1＋0e2.
(4)假设a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0，所以λ1－μ1＝0，且λ2－μ2＝0，即λ1＝μ1，且λ2＝μ2所以λ1，λ2唯一．
例1 (多选)已知向量a、b不共线，则下列各组向量中，能作平面向量的一组基底的有( )
A．{a＋b，2a＋b} B．{2a－b，－2a＋b}
C．{3a，a＋2b} D．{a－b，3a－2b}
答案：ACD
解析：因为向量a、b不共线，对于A选项，设a＋b、2a＋b共线，可设2a＋b＝λ(a＋b)，可得出无解，所以，a＋b、2a＋b不共线，A中的向量能作基底，同理可知C、D选项中的向量也可作平面向量的基底；对于B选项，因为2a－b＝－(－2a＋b)，所以(2a－b)∥(－2a＋b)，所以{2a－b，－2a＋b}不能作平面向量的基底．故选ACD.
笔记
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．
训练1 如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，其中可作为基底的一组向量是( )
A． B．
C． D．
答案：B
解析：由基底的概念可知，作为基底的一组向量不能共线．由题图可知，与共线，与共线，与共线，均不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量．
题型 2 用基底表示向量
例2 如图所示，已知 ABCD中，E、F分别是BC、DC边的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边的中点，
∴＝＝2＝＝2，
∴＝＝b，＝＝－＝－a.
∴＝＝－＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＝＝b－a.
一题多变 在本例中，若取＝x，＝y作为基底，试用x，y表示.
解析：依题意x＝a＋b，y＝a－b，
∴x＋y＝2a，x－y＝2b，
∴a＝(x＋y)，b＝(x－y)，于是＝a－b＝(x＋y)－(x－y)＝x＋y，
＝b－a＝(x－y)－(x＋y)＝x－y.
用基底表示向量的两种基本方法
训练2 在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足2＝，以为基底，则＝( )
A．b＋c B．c－b
C．b－c D．b＋c
答案：D
解析：因为2＝＝c，＝b，
所以＝＝)＝b－c，
所以＝＝c＋b－c＝b＋c.故选D.
题型 3 平面向量基本定理的应用
例3 在平行四边形ABCD中，点E和点B关于点D对称，＝3.
(1)用表示；
(2)若G为线段EF上一点，且＝x＋y，求5x＋7y.
解析：(1)由题意，可得＝＝＋2＝＋2()＝－＋2，
＝＝)＝.
(2)设＝λ，λ∈[0，1]，
则＝＝＋λ＝＋λ()
＝(1－λ)＋λ
＝(1－λ)(－＋2)＋λ()
＝(λ－1)＋(2－λ)，
因为＝x＋y，所以
所以5x＋7y＝9.
笔记
解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用方程的观点求出未知量．
训练3 △ABC中，D是BC边靠近B的四等分点，＝λ＋μ，则λ＋μ＝________．
1
解析：因为D是BC边靠近B的四等分点，所以＝，
所以＝＝＝)＝，
所以所以λ＋μ＝1.
随堂练习
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1与e1－e2
B．e1＋e2与e1－3e2
C．e1－2e2与－3e1＋6e2
D．2e1＋3e2与e1－2e2
答案：C
解析：∵－3e1＋6e2＝－3(e1－2e2)，∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底．故选C.
2．已知AD是△ABC的中线，＝a，＝b，以a，b为基底表示，则＝( )
A．(a－b) B．2b－a
C．(b－a) D．2b＋a
答案：B
解析：因为AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而＝)，则＝2＝2b－a.故选B.
3．已知非零向量不共线，且2＝x＋y，若＝λ(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
答案：A
解析：由＝λ，得＝λ()，即＝(1＋λ)－λ.又2＝x＋y，所以消去λ得x＋y＝2.故选A.
4.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
解析：设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a＋b，又∵＝a＋b，∴＝)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
课堂小结
1.对基底和平面向量基本定理的理解．
2．会用基底表示向量．
3．能用平面向量基本定理解决平面向量的综合问题．(共28张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
预 学 案
平面向量数量积的坐标表示
1．平面向量数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
2.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝________．
3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝______________________．
4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b夹角为θ，则cos θ＝__________________．
数量积 a·b＝____________
向量垂直 a⊥b ____________
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2－y1y2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
×
×
×
2．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是( )
A．23 B．7
C．－23 D．－7
答案：D
解析：由数量积的计算公式得a·b＝(－3，4)·(5，2)＝－3×5＋4×2＝－7.故选D.
3．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x＝________．
－1
解析：由题意，a·b＝(－2，1)·(x，－2)＝－2x－2＝0，解得x＝－1.
微点拨
(1)公式a·b＝|a||b|cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
(2)已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．
(3)与向量a同向的单位向量的坐标表示：
因为与向量a同向的单位向量a0＝，若a＝(x，y)则|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝()，此式为与向量a＝(x，y)同向的单位向量的坐标表示．
共 学 案
【学习目标】
(1)会用坐标表示平面向量的数量积．
(2)能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角．
(3)能够利用坐标判断向量的垂直关系．
题型 1 平面向量数量积的坐标表示
【问题探究1】 在平面直角坐标系中，设i，j分别是与x轴和y轴方向相同的两个单位向量，你能计算出i·i，j·j，i·j的值吗？若设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能给出a·b的值吗？
提示：i·i＝1，j·j＝1，i·j＝0.
∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，
∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j2.
又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，
∴a·b＝x1x2＋y1y2.
例1 已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，c＝(2，1)，求：
(1)2a·(b－a)；
(2)(a＋2b)·c.
解析：(1)∵2a＝2(1，3)＝(2，6)，
b－a＝(2，5)－(1，3)＝(1，2)，
∴2a·(b－a)＝(2，6)·(1，2)＝2×1＋6×2＝14；
(2)∵a＋2b＝(1，3)＋2(2，5)＝(1，3)＋(4，10)＝(5，13)，
∴(a＋2b)·c＝(5，13)·(2，1)＝5×2＋13×1＝23.
平面向量数量积的坐标运算的策略
训练1 (1)已知点P(2，0)，Q(1，1)，向量＝(λ，2)，若·＝0，则实数λ的值为( )
A． B．－
C．2 D．1
答案：C
解析：由P(2，0)，Q(1，1)，可得＝(－1，1)，又＝(λ，2)，所以·＝－λ＋2＝0，所以λ＝2.故选C.
(2)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，2)，则a在b方向上的投影向量坐标是________．
(－)
解析：因为a＝(1，2)，b＝(－1，2)，所以向量a在b方向的投影向量为·＝·(－)＝(－)．
题型 2 平面向量的模
【问题探究2】 若向量a＝(x，y)，怎样用a的坐标表示|a|？若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，又如何用坐标表示|a|
提示：|a|＝；|a|＝.
例2 已知向量a＝(m，1)，b＝(3，m)，若a与b方向相反，则|a－b|＝( )
A．54 B．8
C．3 D．4
答案：B
解析：向量a＝(m，1)，b＝(3，m)，a与b方向相反，则解得m＝－，即a＝(－，1)，b＝(3，－)，则a－b＝(－，1)－(3，－)＝(－4，4)，所以|a－b|＝＝8.故选B.
笔记
求模问题一般转化为求模的平方，即求2＝||2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
训练2 已知向量a，b满足a＝(－1，2)，b＝(x，1)，|a＋b|＝3，则实数x＝________．
答案：1
解析：已知向量a，b满足a＝(－1，2)，b＝(x，1)，所以a＋b＝(－1＋x，3)，则|a＋b|＝|(－1＋x，3)|＝＝3，解得x＝1.
题型 3 平面向量的夹角与垂直
【问题探究3】 (1)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则如何用a、b的坐标表示cos θ？
(2)若非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)相互垂直，则它们的坐标满足怎样的等量关系？反过来也成立吗？
提示：(1)cos θ＝.
(2)x1x2＋y1y2＝0，反过来也成立．
例3 已知a＝(1，2)，b＝(1，－1)．
(1)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值；
(2)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值．
解析：(1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，
则2a＋b＝(3，3)，ka－b＝(k－1，2k＋1)，
依题意，(2a＋b)·(ka－b)＝3(k－1)＋3(2k＋1)＝9k＝0，
解得k＝0，所以k＝0.
(2)由(1)知，2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，
则|2a＋b|＝＝3，|a－b|＝3，
因此cos θ＝＝＝，
而θ∈[0，π]，所以θ＝.
笔记：
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：先利用平面向量的坐标表示出这两个向量的数量积·及||||，再由cos θ＝＝，直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
训练3 (1)已知向量a＝(2，m)，b＝(4，－1)，且(a－b)⊥(a＋b)，则实数m＝( )
A．2 B．
C．± D．±
答案：D
解析：依题意，a＋b＝(6，m－1)，a－b＝(－2，m＋1)，由(a－b)⊥(a＋b)，得(a－b)·(a＋b)＝－12＋m2－1＝0，解得m＝±，所以实数m＝±.故选D.
(2)已知向量a＝(6，8)，|b|＝5且b＝(3，m)，若a和b的夹角为钝角，则b＝________．
答案：(3，－4)
解析：已知向量a＝(6，8)，|b|＝5且b＝(3，m)，若a和b的夹角为钝角，
则，解得m＝－4，故b＝(3，－4)．
随堂练习
1．若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )
A．3 B．－3 C． D．－
答案：A
解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.故选A.
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，m)，若a⊥b，则m＝( )
A．－1 B．1 C．－ D．
答案：B
解析：因为a⊥b，所以(－1)×2＋2m＝0，解得m＝1.故选B.
3．设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝( )
A． B． C． D．
答案：A
解析：由题意，∵a＝(1，2)，b＝(－2，y)，a∥b，∴1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴|3a＋b|＝|(3，6)＋(－2，－4)|＝|(1，2)|＝＝，故选A.
4．若向量a＝(1，2)与b＝(t－1，t)的夹角为锐角，则t的取值范围为________________．
(，4)
解析：根据题意，向量a＝(1，2)与b＝(t－1，t)的夹角为锐角，则a·b>0且a、b不共线，解可得t>且t≠4，则t的取值范围为(，4)
课堂小结
1.平面向量数量积的坐标表示．
2．能够用两个向量的坐标来解决平面向量的模、夹角、垂直有关的问题．(共36张PPT)
6.1 平面向量的概念
第六章 平面向量及其应用
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量
的区别.
2.会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别.
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等
概念，会辨识图形中这些相关的概念.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
1.向量：既有 又有 的量叫做向量.
2.数量：只有 没有 的量称为数量.
知识点一 向量的概念
大小
方向
大小
方向
1.有向线段
具有 的线段叫做有向线段，它包含三个要素： 、 、 ，如图所示.
知识点二 向量的几何表示
方向
起点
方向
长度
2.向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用 ).
3.模、零向量、单位向量
0
0
1
思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.
1.平行向量：方向 的 向量叫做平行向量.
(1)记法：向量a与b平行，记作 .
(2)规定：零向量与任意向量 .
2.相等向量：长度 且方向 的向量叫做相等向量.
3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做 向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零
a∥b
平行
相等
相同
共线
思考 (1)平行向量是否一定方向相同？
答案 不一定；
(2)不相等的向量是否一定不平行？
答案 不一定；
(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？
答案 零向量；
(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
答案 平行(共线)向量.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.如果 .( )
提示 向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
2.若a，b都是单位向量，则a＝b.( )
提示 a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b的方向可能不同.
3.力、速度和质量都是向量.( )
提示 质量不是向量.
4.零向量的大小为0，没有方向.( )
提示 任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.
×
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (多选)下列说法错误的有
A.向量 与向量 的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量都是相等的
D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
一、向量的概念
√
解析 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.
√
√
反思感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C.向量的大小与方向有关
D.向量的模可以比较大小
√
解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；
向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；
向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
二、向量的几何表示及应用
例2 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.
∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
反思感悟
作向量的方法
准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；
解 根据相等向量的定义，所作向量b与向量a方向相同，且长度相等(作图略).
(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝ ，并说出向量c的终点的轨迹是什么？
解 由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为 的圆(作图略).
三、相等向量与共线向量
例3 如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.
(1)写出与 共线的向量；
解 因为E，F分别是AC，AB的中点，
又因为D是BC的中点，
(2)写出模与 的模相等的向量；
(3)写出与 相等的向量.
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.
(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.
跟踪训练3 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)与 的模相等的向量有多少个？
解 与 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.
(2)是否存在与 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与 共线的向量有几个？
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
特殊向量的作用
典例 给出下列命题：
①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；
②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；
④若a＝b，b＝c，则a＝c，
其中正确的是_____.(填序号)
④
解析 由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；
取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；
两个模相等的向量互相平行，方向可能相反，知③错误；
由两个向量相等的概念可知④正确.
素养提升
(1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.
(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆.
例如：零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.
3
随堂演练
PART THREE
1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是
A.单位圆 B.一段弧
C.线段 D.直线
1
2
3
4
5
√
2.(多选)下列说法错误的有
A.共线的两个单位向量相等
B.相等向量的起点相同
C.若 ，则一定有直线AB∥CD
D.若向量 共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
√
解析 A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；
B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；
C错，直线AB与CD可能重合；
D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
1
2
3
4
5
√
√
√
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
√
所以四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形.
1
2
3
4
5
4.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________.(填序号)
①②③
∵A，O，C三点在一条直线上，
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)向量的基本概念.
(2)向量的几何表示.
(3)相等向量与共线向量(平行向量).
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视零向量这一特殊向量.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共42张PPT)
第1课时 向量数量积的概念
预 学 案
一、向量的夹角
1．定义：已知两个________a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是________．
2．特例：
(1)当θ＝0时，向量a，b________．
(2)当θ＝π时，向量a，b________．
(3)当θ＝时，向量a，b________，记作________．
非零向量
∠AOB＝θ
0≤θ≤π
同向
反向
垂直
a⊥b
练习 若向量a与b的夹角为60°，则向量－a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
答案：A
解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，根据向量夹角的几何意义，－a与－b构成的夹角和a与b的夹角相等，故选A.
二、向量的数量积
已知两个非零向量a与b，我们把数量________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作________，即________________(θ为a，b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为________．
|a||b|cos θ
a·b
a·b＝|a||b|cos θ
0
练习 已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，则a·b＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
答案：C
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且|a|＝4，|b|＝4，
所以a·b＝|a||b|cos ＝4×4×＝8.
故选C.
三、投影向量
1．如图(1)，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影叫做向量a在向量b上的________．
投影向量
2．如图(2)，我们可以在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的________．
3．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝________．
投影向量
|a|cos θ e
练习 已知|a|＝3，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在e上的投影向量是________．
e
解析：a和e夹角为锐角，于是a在e上的投影向量和e同向共线，故投影向量为|a|·cos ·e＝e.
四、向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝________．
(2)a⊥b ________．
(3)当a与b同向时，a·b＝________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．
(4)|a·b|____|a||b|.
|a|cos θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)a与b的数量积a·b是一个向量．( )
(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)若a⊥b，则a·b＝0.( )
(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acos θ|(θ是a与b的夹角)，方向与b相同或相反的一个向量．( )
×
×
√
√
2．若|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，则向量a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
答案：C
解析：设向量a与b的夹角为θ，
由|a|＝1，|b|＝3，a·b＝，
得cos θ＝＝＝，
所以θ＝.故选C.
微点拨
按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，
∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
微点拨
(1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．
(2)两个向量的数量积称为内积，应写成a·b，不能写成a×b(两向量的外积)，它与代数中数a、b的乘积ab(或a·b)是不同的．
(3)在实数中，若a≠0，且ab＝0，则b＝0；但是在数量积中，当a≠0时，由a·b＝0不能推出b一定是零向量．因为其中cos θ有可能为0，即任一与a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.
(4)已知实数a、b、c(b≠0)，则ab＝bc a＝c；但对于向量，该推理就是不正确的，即a·b＝b·cD a＝c.
微点拨
(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．
(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．
微点拨
(1)a⊥b a·b＝0，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算．
(2)a·a＝a2＝|a|2与|a|＝＝也用来求向量的模，以实现实数运算与向量运算的相互转化．
(3)用cos θ＝求两向量的夹角，且夹角的取值与a·b的符号有关．
设两个非零向量a与b的夹角为θ，则
当θ＝0时，cos θ＝1，a·b＝|a||b|；
当θ为锐角时，cos θ>0，a·b>0；
当θ为直角时，cos θ＝0，a·b＝0；
当θ为钝角时，cos θ<0，a·b<0；
当θ＝π时，cos θ＝－1，a·b＝－|a||b|.
(4)|a·b|≤|a||b|可以用来通过构造向量来证明不等式问题或解决最值问题．
共 学 案
【学习目标】
(1)知道向量数量积的物理背景，理解并掌握向量数量积的定义及投影向量．
(2)掌握向量数量积的性质，并会求向量的模与向量的夹角．
题型 1 两向量的夹角
【问题探究1】 如图，一个物体在力F的作用下发生了位移s，那么该力对此物体所做的功为W＝|F||s|cos θ，在该公式中，涉及力与位移的夹角，我们要先定义向量的夹角的概念．什么是向量的夹角？
提示：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角，夹角的取值范围是0≤θ≤π.
例1 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
解析：如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以为邻边作平行四边形OACB，
则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
笔记
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，与的夹角为θ，λ1与λ2 （λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.
训练1 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案：C
解析：如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.故选C.
题型 2 两向量的数量积
【问题探究2】 类比力做功的物理模型，你能给出向量数量积的定义吗？两个向量的数量积还是向量吗？
提示：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b的夹角)．由数量积的定义知两个向量的数量积不是向量是数量．
例2 如图，在平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
解析：(1)平行四边形ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，
∵＝，∴·＝2＝9.
(2)∵＝－，
∴·＝－2＝－16.
(3)根据平面向量数量积的定义知，
·＝||×||×cos 60°＝4×3×＝6.
笔记：
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式·＝||||cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
训练2 在等边三角形ABC中，边长为2，求··的值．
解析：·＝||||cos A＝2×2×＝2，
·＝－·＝－||||cos B＝－2×2×＝－2.
题型 3 投影向量
【问题探究3】 如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么与e，a，θ之间有怎样的关系？
提示：＝|a|cos θ e.
例3 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
解析：因为△ABC为等腰三角形，且D为BC的中点，
所以AD⊥BC，又因为AB＝2，∠ABC＝30°，
所以CD＝BD＝AB·cos 30°＝.
由图可知向量与向量的夹角为∠ABC的补角，
所以向量与向量的夹角为150°，
＝＝.
(1)在上的投影向量为
||cos 150°×＝2×cos 150°×＝－.
(2)在上的投影向量为
||cos 150°×＝×cos 150°×＝－.
笔记
(1)任意的非零向量在另一非零向量上的投影向量等于||cos θ(θ为向量的夹角，为与同向的单位向量)．
(2)在平面几何图形中，求一个向量在另一个向量上的投影向量时，关键是作出恰当的垂线，根据题意确定向量的模及两向量的夹角．
训练3 已知|a|＝1，|b|＝3，a·b＝－3，则向量a在向量b上的投影向量为________．
－b
解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝－3，又|b|＝3，
∴|a|cos θ＝－1，又＝，
所以向量a在向量b方向上的投影向量为－b.
题型 4 向量数量积的性质
【问题探究4】 探究以下问题，尝试发现数量积的性质．
(1)向量a与单位向量e的数量积结果是什么？
(2)当两个非零向量a与b互相平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性，这时它们的数量积又有怎样的特殊性？
(3)|a·b|与|a||b|有什么关系？
提示：(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(3)|a·b|≤|a||b|.
例4 已知△ABC中，＝a，＝b，当a·b满足下列哪个条件时，能确定△ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由．
(1)a·b<0；(2)a·b＝0；(3)a·b>0.
解析：∵a·b＝·＝||||cos A.
故(1)当a·b<0时，∠A为钝角，△ABC为钝角三角形；
(2)当a·b＝0时，∠A为直角，△ABC为直角三角形；
(3)当a·b>0时，∠A为锐角，△ABC的形状不确定．
笔记
利用数量积的性质判断三角形的形状关键看角的大小，若其中有一个角为钝角或直角，那么三角形为钝角三角形或直角三角形，若其中有一个角为锐角，三角形的形状不能判断为锐角三角形．
训练4 已知a，b，c是三个非零向量，则下列说法中正确的个数为( )
①若a·b＝±|a|·|b|，则a∥b；
②若a，b反向，则a·b＝－|a|·|b|；
③若a⊥b，则|a＋b|＝|a－b|；
④若|a|＝|b|，则|a·c|＝|b·c|.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：C
解析：对于①，设a，b的夹角为θ，∵a·b＝|a||b|cos θ，∴由a·b＝±|a||b|及a，b为非零向量，可得cos θ＝±1，∴θ＝0或π，∴a∥b，故①正确；对于②，若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a||b|·cos π＝－|a||b|，故②正确；对于③，当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，该平行四边形必为矩形，于是它的两条对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|，故③正确；对于④，当|a|＝|b|，但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，|a·c|≠|b·c|，故④错误．故选C.
随堂练习
1．已知单位向量a，b，夹角为30°，则a·b＝( )
A． B． C．1 D．－
答案：B
解析：由向量的数量积公式，得a·b＝|a||b|·cos 30°＝1×1×＝，故选B.
2．若a·b>0，则a与b的夹角θ的取值范围是( )
A．[0，) B．[，π)
C．(，π] D．(，π)
答案：A
解析：因为a·b>0，所以cos θ>0，所以θ∈[0，)．故选A.
3．已知平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，则a·b＝( )
A．4 B．4 C．8 D．8
答案：C
解析：因为平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，
所以a·b＝cos ＝4×4×＝8，故选C.
4．已知|a|＝2，a与b的夹角为，e是与b同向的单位向量，则a在b方向上的投影向量为________．
－e
解析：a在b方向上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉·e＝2cos ·e＝－e.
课堂小结
1.向量数量积的定义，会用数量积的定义求两个向量的数量积．
2．会求一个向量在另一个向量上的投影向量．
3．向量数量积的性质的应用．(共25张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理应用
举例
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量
问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
知识点一 距离问题
类型 图形 方法
两点间不可到达的距离 余弦定理
两点间可视不可到达的距离 正弦定理
两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理
知识点二 高度问题
类型 简图 计算方法
底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C.
底部 不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数.
先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.
点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数.
在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.
知识点三 角度问题
测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等.解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而得到实际问题的解.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.( )
2.两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解.( )
3.两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解.( )
4.高度问题大多通过正(余)弦定理构造直角三角形来解决.( )
√
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则BC为 m.
一、距离问题
解析 由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，
反思感悟
求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形.
跟踪训练1 A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为 km.
解析 由余弦定理，
得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C
二、高度问题
例2 如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是
√
解析 在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
反思感悟
此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题.
跟踪训练2 某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，则山的高度为 m.(精确到1 m)
811
解析 如图，过点D作DE∥AC交BC于点E，
因为∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，
于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m).
所以山的高度为811 m.
三、角度问题
例3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时 a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解 如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at海里，
B＝90°＋30°＝120°，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.
跟踪训练3 当太阳光与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角是
A.15° B.30°
C.45° D.60°
√
解析 设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m.
∵30°<120°－α<120°，
∴当120°－α＝90°，即α＝30°时，x有最大值.
即当竹竿与地面所成的角是30°时，影子最长.
3
随堂演练
PART THREE
1.如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，可以计算出A，B两点的距离为
√
解析 ∠ABC＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC中，
1
2
3
4
5
2.如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为
√
解析 由题图，可得∠B＝45°，∠BAC＝30°，
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是
A.a，c，α B.b，c，α
C.c，a，β D.b，α，γ
√
4.甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是
1
2
3
4
5
√
5.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于
√
1
2
3
4
5
1.知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：方位角是易错点.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共29张PPT)
第4课时 余弦定理、正弦定理综合应用
预 学 案
三角形面积公式
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为
(1)S＝________＝________＝________；
(2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)．
ab sin C
ac sin B
bc sin A
练习
1．在△ABC中，若AB＝1，AC＝，A＝，则S△ABC的值为( )
A．2 B．
C．1 D．
答案：D
解析：S△ABC＝|AB|·|AC|sin A＝×＝.
故选D.
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，C＝45°，△ABC的面积为2，则b＝( )
A．2 B．4
C．4 D．4
答案：C
解析：由题可知，ab sin C＝2 ×1·b·＝2 b＝4.故选C.
微点拨
△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，sin (A＋B)＝sin C，cos (A＋B)＝－cos C；
(2)大边对大角，即a>b A>B sin A>sin B；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
共 学 案
【学习目标】
(1)理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式．
(2)了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用．
(3)掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．
题型 1 与三角形面积有关的计算
【问题探究】 已知△ABC的两边a，b和角C，如何求△ABC的面积？
提示：边b上的高h为a sin C，故面积为S＝ab sin C.
例1 在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且b＝2c sin B.
(1)求角C的大小；
(2)若c＝，且a＋b＝3，求△ABC的面积．
解析：(1)因为b＝2c sin B，所以由正弦定理得sin B＝2sin C sin B，
因为sin B≠0，则sin C＝，又因为C是锐角，故C＝60°.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos 60°，
所以6＝(a＋b)2－3ab，
又因为a＋b＝3，所以ab＝1，
则S△ABC＝ab sin C＝.
笔记
(1)求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．
(2)余弦定理中，要注意对完全平方公式的应用．
训练1 (1)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝3，cos A＝，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
答案：B
解析：因为cos A＝，A为三角形内角，所以sin A＝＝，所以S△ABC＝bc sinA＝×4×3×＝3.故选B.
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝30°，a＝4，且△ABC的面积为，则b＝________．
解析：由题意知S△ABC＝ac sin 30°＝，则c＝，由余弦定理得a2＋c2－2ac cos 30°＝b2，即16＋3－12＝b2，则b＝.
题型 2 余弦、正弦定理在平面几何中的应用
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AC边上的点，2b sin B＝(2a－c)sin A＋(2c－a)sin C.
(1)求∠ABC的大小；
(2)若CD＝1，AD＝BD＝2，求BC的长．
解析：(1)由正弦定理以及已知可得，2b2＝a(2a－c)＋c(2c－a)，
整理可得，a2＋c2－b2＝ac.
由余弦定理可得，cos ∠ABC＝＝＝.
又∠ABC∈(0，π)，所以∠ABC＝.
(2)在△BDC中，由余弦定理可得，cos ∠BDC＝＝.
在△BDA中，由余弦定理可得，cos ∠BDA＝＝.
又∠BDC＋∠BDA＝π，所以cos ∠BDC＝－cos ∠BDA，
即＝－，整理可得c2＋2a2－18＝0.
因为b＝AC＝AD＋CD＝3，
在△ABC中，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2ac cos ∠ABC，
即9＝a2＋c2－2ac cos ＝a2＋c2－ac，
整理可得，a2＋c2－ac＝9.
联立可得
所以，BC＝a＝.
笔记
利用余弦、正弦定理解决平面几何问题的方法：在平面多边形中，涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程．
训练2 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝120°，AB＝2，AD＝2，△ABC的面积为.
(1)求AC；
(2)求∠ACD.
解析：(1)因为△ABC的面积为，所以AB·BC sin ∠B＝.
又因为∠B＝120°，AB＝2，所以BC＝2.
由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC－2AB·BC cos ∠B，AC2＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，所以AC＝2.
(2)因为ABCD为圆内接四边形，且∠B＝120°，所以∠D＝60°.
又AD＝2，由正弦定理可得，＝，
故sin ∠ACD＝＝＝.
因为AC>AD，所以0°<∠ACD<60°，所以∠ACD＝45°.
题型 3 余弦、正弦定理与三角函数的综合应用
例3 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足·＝b2－ab.
(1)求角C的大小；
(2)求sin A＋sin B＋sin C的取值范围．
解析：(1)·＝bc cos A＝＝b2－ab，
整理得a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝，
又0(2)由锐角△ABC知A∈(0，)，B＝π－－A∈(0，)，得A∈()，
故sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋＋sin (A＋)
＝sin A＋＋sin A cos ＋sin cos A＝sin A＋cos A＋
＝sin (A＋)＋，
因为A∈()，A＋∈()，得sin (A＋)∈，
所以sin A＋sin B＋sin C∈(].
笔记
余弦、正弦定理与三角函数的综合问题，应以余弦、正弦定理为工具，将问题转化为三角函数问题．其中涉及平面向量问题，应充分利用向量的有关知识将向量问题转化为三角形问题．
训练3 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(1，a)，n＝(a，b cos C＋c cos B)，且m∥n.
(1)求a；
(2)若A＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解析：(1)因为m∥n，所以b cos C＋c cos B＝a2，
根据正弦定理得，sin B cos C＋sin C cos B＝a sin A，
即sin (B＋C)＝a sin A，即sin A＝a sin A，
又A∈(0，π)，sin A≠0，所以a＝1.
(2)S△ABC＝bc sin ＝，所以bc＝1，
根据余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，
即1＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－3，
所以b＋c＝2，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3.
随堂练习
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A． B．3
C． D．3
答案：A
解析：因为AC＝2，BC＝3，C＝60°，所以△ABC的面积S＝CB·CA·sin C＝×3×2×＝.故选A.
2．在△ABC中，若b＝1，A＝60°，△ABC的面积为，则a＝( )
A．13 B．
C．2 D．
答案：B
解析：在△ABC中，b＝1，A＝60°，△ABC的面积为，所以S△ABC＝bc sin A＝×1×c×＝，解得：c＝4.由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝1＋16－4＝13.所以a＝.故选B.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a，c－b)，若m∥n，则内角A的大小为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：由于m∥n，所以cos A·(c－b)＝a cos B，由正弦定理得cos A(sin C－sin B)＝sin A cos B，sin C cos A－sin B cos A＝sin A cos B，
sin C cos A＝sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C，
由于00，所以cos A＝1，cos A＝>0，
所以三角形ABC的内角A为锐角，所以A＝.故选D.
4．在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，DA＝DC＝，若∠B＝60°，则△ACD的面积为________．
解析：如图，因为AB＝1，BC＝2，∠B＝60°，连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC＝＝ ＝，又DA＝DC＝，所以△ADC是等边三角形，所以S△ACD＝AC2＝×3＝.
课堂小结
1.三角形的面积公式．
2．利用余弦、正弦定理解决平面几何问题．
3．余弦、正弦定理与三角函数的综合问题．(共30张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
第六章 6.2 平面向量的运算
学习目标
1.了解向量数乘的概念.
2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘的运算律进行向量运算.
3.理解并掌握向量共线定理及其判定方法.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)λa (a≠0)的方向
特别地，当λ＝0时，λa＝ .
当λ＝－1时，(－1)a＝－a.
知识点一 向量数乘的定义
当 时，与a的方向相同；
当 时，与a的方向相反.
向量
数乘
λa
|λ||a|
λ>0
λ<0
0
1.(1)λ(μa)＝ .
(2)(λ＋μ)a＝ .
(3)λ(a＋b)＝ .
特别地，(－λ)a＝－λa＝ ，λ(a－b)＝ .
2.向量的线性运算
向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ .
知识点二 向量数乘的运算律
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
λ(－a)
λa－λb
加
减
数乘
λμ1a±λμ2b
向量a (a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 .
知识点三 向量共线定理
b＝λa
思考 向量共线定理中为什么规定a≠0
答案 若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线.
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
提示 当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.
2.若b＝λa，则a与b共线.( )
3.若λa＝0，则a＝0.( )
提示 若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
4.|λa|＝λ|a|.( )
提示 |λa|＝|λ|·|a|.
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)若a＝2b＋c，化简3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于
A.－a B.－b
C.－c D.以上都不对
一、向量的线性运算
√
解析 原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b
＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.
(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.
解析 由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，
所以x＝4b－3a.
4b－3a
反思感悟
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数.
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算.
跟踪训练1 计算：(a＋b)－3(a－b)－8a.
解 (a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a
＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.
二、用已知向量表示其他向量
√
解析 因为E是BC的中点，
反思感悟
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程.
√
解析 示意图如图所示，
三、向量共线的判定及应用
例3 设a，b是不共线的两个向量.
＝a＋2b，
∴A，B，C三点共线.
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值.
解 ∵8a＋kb与ka＋2b共线，
∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
解得λ＝±2，∴k＝2λ＝±4.
反思感悟
(1)证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得
即可.
(2)利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.
A，B，D
∴A，B，D三点共线.
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
三点共线的常用结论
A.1 B.2
C.3 D.4
√
解析 连接AO(图略)，∵O是BC的中点，
素养提升
(1)本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使 ，且x＋y＝1.
(2)应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
1.下列运算正确的个数是
①(－3)·2a＝－6a；
②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；
③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.
A.0 B.1
C.2 D.3
√
解析 根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确；
③(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误.
所以运算正确的个数为2.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
4.化简4(a－3b)－6(－2b－a)＝______.
解析 4(a－3b)－6(－2b－a)＝4a－12b＋12b＋6a＝10a.
10a
解析 因为A，B，D三点共线，
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)向量的数乘及运算律.
(2)向量共线定理.
2.方法归纳：数形结合、分类讨论.
3.常见误区：忽视零向量这一个特殊向量.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共31张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
第六章 6.2 平面向量的运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则
作两个向量的加法运算.
3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
1.向量加法的定义
求 的运算，叫做向量的加法.
知识点一 向量加法的定义及其运算法则
两个向量和
2.向量求和的法则
向量求和的法则 三角形 法则
已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作 ＝a， ＝b，则向量 叫做a与b的和，记作 ，即a＋b＝ ＝
.
这种求向量和的方法，称为向量加法的_______
法则.
对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝ ＝__
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作 OACB，则以O为起点的对角线 就是a与b的和.把这种作两个
向量和的方法叫做向量加法的 法则
a＋b
三角形
0＋a
a
平行四边形
的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型， 的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
位移
力
思考 |a＋b|与|a|，|b|有什么关系？
答案 (1)当向量a与b不共线时，a＋b的方向与a，b不同，且|a＋b|<|a|＋|b|.
(2)当a与b同向时，a＋b，a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a＋b的方向与a相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b的方向与b相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.
向量加法的运算律
知识点二 向量加法的运算律
交换律 a＋b＝______
结合律 ( )＋c＝a＋( )
b＋a
a＋b
b＋c
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)如图①所示，求作向量a＋b.
一、向量加法法则
(2)如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解 方法一 (三角形法则)如图④所示，
方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
反思感悟
向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系
区别 联系
三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半
平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和
跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
0
二、向量加法运算律的应用
例2 化简：
反思感悟
向量加法运算律的意义和应用原则
(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
三、向量加法的实际应用
例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为 ，求小船的实际航行速度.
∴小船的实际航行速度为20 km/h，沿北偏东30°的方向航行.
反思感悟
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题.
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题.
跟踪训练3 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小.
(绳子的重量忽略不计)
由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
√
解析 根据平面向量的加法运算，
2.下列等式不正确的是
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；
② ＝0；
③ .
A.②③ B.②
C.① D.③
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.在四边形ABCD中， ，则
A.四边形ABCD一定是矩形
B.四边形ABCD一定是菱形
C.四边形ABCD一定是正方形
D.四边形ABCD一定是平行四边形
√
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
5.已知向量a表示“向东航行3 km”，b表示“向南航行3 km”，则a＋b表示_________
______________.
向东南
解析 根据题意由于向量a表示“向东航行3 km”，向量b表示“向南航行3 km”，那么可知a＋b表示向东南航行 km.
1.知识清单：
(1)向量加法的三角形法则.
(2)向量加法的平行四边形法则.
(3)向量加法的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共24张PPT)
6.2.2 向量的减法运算
第六章 6.2 平面向量的运算
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.
2.掌握向量减法的几何意义.
3.能熟练地进行向量的加、减综合运算.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
1.定义：与向量a长度 ，方向 的向量，叫做a的 向量，记作 .
2.性质
(1)零向量的相反向量仍是 .
(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝ .
(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝ .
知识点一 相反向量
相等
相反
相反
－a
零向量
0
0
1.定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的 向量，求两个向量 的运算，叫做向量的减法.
知识点二 向量的减法
3.文字叙述：如果把两个向量的 放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为 ，被减向量的终点为 的向量.
相反
差
起点
起点
终点
思考 若a，b是不共线向量，|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.相反向量就是方向相反的向量.( )
提示 相反向量的方向相反，大小相等；方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系.
3.a－b＝b－a.( )
提示 向量减法不满足交换律.
4.两个相等向量之差等于0.( )
提示 两个相等向量之差等于0.
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
一、向量的减法运算
方法二 如图②，在平面内任取一点O，
反思感悟
求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可.
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
二、向量减法法则的应用
√
反思感悟
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和.
②起点相同且为差.
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用.
a＋c－b
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
A.a B.a＋b
C.b－a D.a－b
√
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.已知在四边形ABCD中， ，则四边形ABCD一定是
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
√
所以四边形ABCD一定是平行四边形.
1
2
3
4
5
4.下列等式成立的个数是
①a＋b＝b＋a；
②a－b＝b－a；
③0－a＝－a；
④－(－a)＝a；
⑤a＋(－a)＝0.
A.5 B.4
C.3 D.2
√
解析 由题意知，①③④⑤成立.
1
2
3
4
5
解析 由题意知，AD正确.
√
√
1.知识清单：
(1)向量的减法运算.
(2)向量减法的几何意义.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量共起点，才可用减法法则.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共30张PPT)
第2课时 正弦定理
预 学 案
正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等
符号语言
＝_______＝_______＝2R(R为△ABC外接圆的半径)
常见变形 a＝2R sin A，b＝________，c＝________，
sin A＝，sin B＝________，sin C＝________，
a∶b∶c＝____________________，＝2R
正弦
2R sin B
2R sin C
sin A∶sin B∶sin C
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在△ABC中必有a sin A＝b sin B．( )
(2)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．( )
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.( )
×
√
√
2．在△ABC中，A＝，a＝2，b＝2，则B为( )
A． B． C．或 D．
答案：D
解析：由正弦定理得＝，＝，sin B＝1，
由于03．在△ABC中，已知b＝6，A＝45°，C＝75°，则a＝________．
2
解析：因为A＝45°，C＝75°，
所以B＝180°－45°－75°＝60°，
因此由正弦定理可知：＝ ＝ a＝2.
微点拨
(1)正弦定理对任意三角形都适用．
(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．
(3)正弦定理是直角三角形对角关系的一个推广，正弦定理对任意三角形都成立，它的主要功能是实现三角形中边角关系的互化．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解正弦定理的推导过程．
(2)掌握正弦定理并会解三角形、判断三角形解的个数问题．
【问题探究】如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2.
(1)试求△ABC其他的边和角，计算的值，从中你能发现什么结论吗？
(2)对于其他的直角三角形，此结论是否成立呢？是否能够猜测，此结论对于锐角和钝角三角形是否都成立呢？
提示：(1)C＝90°，B＝60°，a＝1，b＝；＝＝＝2；
(2)成立；成立．
题型 1 已知两角及一边解三角形
例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
解析：因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°，
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2()．
笔记
已知三角形的两角和任意一边解三角形时，可以先由三角形的内角和定理，计算出三角形的第三角，然后由正弦定理求出另外两边．
训练1 在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a＝2，A＝，B＝，则实数b的值等于( )
A． B．2
C．2 D．4
答案：C
解析：因为a＝2，A＝，B＝，由正弦定理＝可得b＝＝＝2.故选C.
题型 2 已知两边及其中一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解这个三角形．
解析：由正弦定理，得sin C＝＝＝，
因为c＞b，B＝30°，所以30°＜C＜180°.
于是C＝45°，或C＝135°.
(1)当C＝45°时，A＝105°
此时a＝＝＝＝＝＝＋1.
(2)当C＝135°时，A＝15°，
此时a＝＝＝＝＝＝－1.
已知三角形的两边和其中一边的对角，
利用正弦定理解三角形的步骤
训练2 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝12，B＝60°，则A＝( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
答案：A
解析：因为a＝4，b＝12，B＝60°，所以由正弦定理可得sin A＝＝＝，因为在△ABC中，0°a，所以B>A，所以A＝30°.故选A.
题型 3 三角形解的个数的判断
例3 不解三角形，判断下列三角形解的个数．
(1)a＝5，b＝4，A＝120°；
(2)a＝9，b＝10，A＝60°；
(3)b＝72，c＝50，C＝135°.
解析：(1)由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝<，
∵A＝120°，∴B＝180°－(A＋C)＝60°－C<60°，
∴B只有一解，三角形解的个数为一解．
(2)由正弦定理＝，∴sin B＝sin A＝＝，
∴∵A＝60°，a∴B有两解，三角形解的个数为两解．
(3)∵b>c，∴B>C＝135°，∴B＋C>270°，
∴B无解，三角形无解．
笔记：
已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法
(1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：
A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a＝b 无解 无解 一解
ab sin A 两解
a＝b sin A 一解
a训练3 (多选)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
A．若A＝60°，a＝9，b＝8，则△ABC有一解
B．若A＝30°，a＝3，b＝4，则△ABC有一解
C．若A＝60°，a＝15，b＝16，则△ABC有两解
D．若A＝45°，a＝，b＝，则△ABC有两解
答案：ACD
解析：因为sin B＝＝<1，又b因为sin B＝sin A＝>1，所以△ABC无解，B错误；
因为sin B＝sin A＝<1，又b>a，所以B可能为锐角，也可能为钝角，所以△ABC有两解，C正确；
因为sin B＝sin A＝，所以A＝60°或120°，所以△ABC有两解，D正确．故选ACD.
题型 4 判断三角形的形状
例4 在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，试判断△ABC的形状．
解析：由＝，及正弦定理，
得＝，即＝，
∴sin A cos A＝sin B cos B，
即sin 2A＝sin 2B.
∴2A＝2B或2A＋2B＝180°.
∴A＝B或A＋B＝90°.
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．
笔记：
判断三角形形状的方法
(1)判断三角形的形状，可以从考查三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
(3)判断三角形的形状，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
训练4 在△ABC中，若a cos B＝c，则△ABC的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：B
解析：因为a cos B＝c，所以sin A cos B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以cos A sin B＝0.因为sin B>0，所以cos A＝0.又因为0°随堂练习
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝，A＝45°，B＝60°，则a＝( )
A．1 B．2 C．2 D．
答案：D
解析：由正弦定理得＝，∴a＝＝＝.故选D.
2．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于( )
A．1 B．2 C．4 D．无法确定
答案：A
解析：在△ABC中，由正弦定理＝＝＝2R，∵a＝，A＝45°，∴＝＝2R，解得R＝1，故选A.
3．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．有解但解的个数不确定
答案：B
解析：∵BC sin C＝4sin 30°＝2，∴BC sin C4．在△ABC中，2BC·sin B cos B＝AC·sin A，则B＝________．
解析：在△ABC中，因为2BC·sin B cos B＝AC·sin A，由正弦定理可得2sin A sin B cos B＝sin B sin A，因为A，B，C∈(0，π)，所以sin B sin A>0，所以cos B＝，则B＝.
课堂小结
1.正弦定理的推导．
2．利用正弦定理解三角形及三角形解的个数的判断．
3．利用正弦定理判断三角形的形状．(共31张PPT)
6.3.2～6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算的坐标表示
预 学 案
一、平面向量的正交分解及坐标表示
1．向量的正交分解
把一个向量分解为两个________的向量，叫做把向量作正交分解．
2．向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个________分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对________叫做向量a的坐标，记作a＝________，此式叫做向量a的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．
互相垂直
单位向量
(x，y)
(x，y)
3．向量与坐标的关系
设＝xi＋yj，则向量的坐标________就是终点A的坐标；反过来，终点A的________(x，y)就是向量的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是________的．
(x，y)
坐标
一一对应
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．( )
(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )
×
×
√
×
2．平面直角坐标系中，的坐标( )
A．与点B的坐标相同
B．与点B的坐标不相同
C．当A与原点O重合时，与点B的坐标相同
D．当B与原点O重合时，与点A的坐标相同
答案：C
解析：A：仅当A点与原点重合时，向量与点B的坐标相同，错误；
B：只有当A点不与原点重合时，向量与点B的坐标不相同，错误；
C：如A中描述，正确；
D：当B与原点O重合时，的坐标值与A的对应坐标值互为相反数，错误．故选C.
二、平面向量加、减运算的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
练习
1．在平面直角坐标系中，若点A(0，1)，B(－1，2)，则的坐标为( )
A．(－1，1) B．(1，1) C．(－1，2) D．(－1，3)
答案：A
解析：由题意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1).故选A.
2．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，则a＋b的坐标是________．
(4，4)
解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4).
微点拨
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量e1和e2互相垂直．
(2)由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝b x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(3)向量的坐标只与向量的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(4)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．
共 学 案
【学习目标】
(1)借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
(2)掌握平面向量加减法运算的坐标表示．
题型 1 平面向量的正交分解及坐标表示
【问题探究1】 卫星运载火箭每一时刻的速度都有确定的大小和方向，为了便于分析，需要将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度．
(1)如何将整个飞行过程中的速度分解为水平和竖直两个方向的速度呢？
(2)我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对(即它的坐标)表示，那么如何表示坐标平面内的一个向量呢？
提示：(1)将飞行速度分别向坐标轴投影，在xOy平面上分解为x，y轴上的向量即可．
(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.
例1 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标．
解析：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)．
笔记：
求点、向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．
(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
训练1 如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，若|a|＝，θ＝45°，则向量a的坐标为( )
A．(1，1) B．(－1，－1)
C．() D．(－，－)
答案：A
解析：由题意可得，a＝(cos 45°)i＋(sin 45°)j＝()i＋()j＝i＋j＝(1，1)．故选A.
题型 2 平面向量加、减运算的坐标表示
【问题探究2】 设i，j分别是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(1)根据向量的线性运算性质，分别用基底i，j表示向量a＋b，a－b.
(2)向量的加、减运算，可以类比数的运算进行吗？
提示：(1)a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.
(2)向量加、减的坐标运算可以完全类比数的运算进行．
例2 在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，求的坐标．
解析：∵＝，
∴＝＝(－1，－1)，
∴＝＝(－3，－5)．
平面向量坐标运算的策略
训练2 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7，4)
C．(－1，4) D．(1，4)
答案：A
解析：方法一 设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
方法二 ＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，
＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.
题型 3 平面向量加、减坐标运算的应用
例3 已知点A(λ，3)，B(5，2λ)(λ∈R)，C(4，5)．若＝，试求λ为何值时，
(1)点P在第一、三象限角平分线上；
(2)点P在第一象限内．
解析：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝(x，y)－(λ，3)＝(x－λ，y－3)，
又∵＝(5，2λ)－(λ，3)＝(5－λ，2λ－3)，
＝(4，5)－(λ，3)＝(4－λ，2)，
∴＝＝(5－λ，2λ－3)＋(4－λ，2)＝(9－2λ，2λ－1)，
∴则
若P在第一、三象限角平分线上，
则9－λ＝2λ＋2，∴λ＝.
(2)由(1)知，
若P在第一象限内，则
∴－1<λ<9.
∴λ＝时，点P在第一、三象限角平分线上；
－1<λ<9时，点P在第一象限内．
笔记
(1)由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝ x1＝x2，且y1＝y2.
(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；也可以利用基向量法，主要借助向量加、减运算的三角形、平行四边形法则．
训练3 如图，平面上A，B，C三点的坐标分别为(2，1)，(－3，2)，(－1，3)．
(1)写出向量的坐标；
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标．
解析：(1)＝(－3，2)－(2，1)＝(－5，1)，＝(－1，3)－(2，1)＝(－3，2)，＝(－1，3)－(－3，2)＝(2，1)，
(2)设D(x，y)，由＝＝(2，1)，可得x－2＝2，y－1＝1，所以x＝4，y＝2，故D(4，2)．
随堂练习
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝( )
A．(2，0) B．(0，1)
C．(2，1) D．(4，1)
答案：A
解析：因为a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)，故选A.
2．如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案：C
解析：因为A(2，3)，B(4，2)，所以＝(2，－1)，所以＝2i－j.故选C.
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝，则顶点D的坐标为( )
A．(2，) B．(2，－)
C．(4，5) D．(1，3)
答案：C
解析：设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝(m，n－2)，解得即点D(4，5)．故选C.
4．已知点A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，则满足＝0的G的坐标为________．
()
解析：设G的坐标为(x，y)，且A(－1，4)，B(2，6)，C(3，0)，
因为＝0，
可得(－1－x，4－y)＋(2－x，6－y)＋(3－x，－y)＝(0，0)，
可得x＝＝，y＝＝，
所以G的坐标为()．
课堂小结
1.平面向量的正交分解及坐标表示．
2．平面向量加、减运算的坐标表示．
3．平面向量坐标运算的应用．(共40张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
预 学 案
一、向量的数乘
定义 实数λ与向量a的积是一个________
记法 λa
长度 |λa|＝|λ||a|
方向 λ＞0 方向与a的方向________
λ＜0 方向与a的方向________
向量
相同
相反
练习 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.( )
(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.( )
(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．( )
(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．( )
×
×
×
√
二、向量数乘的运算律
设λ，μ为任意实数
①λ(μa)＝________；
②(λ＋μ)a＝________；
③λ(a＋b)＝________．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________．
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a、b，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
λa－λb
λμ1a±λμ2b
练习 3(2a－4b)＝( )
A．5a＋7b B．5a－7b
C．6a＋12b D．6a－12b
答案：D
解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故选D.
三、向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
b＝λa
练习
1．已知a＝－e，b＝e，则下列式子正确的是( )
A．b＝a B．b＝－a
C．b＝2a D．b＝－2a
答案：B
解析：因为a＝－e，b＝e，所以a＝－2b，则b＝－a.故选B.
2．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.
－
解析：∵b与a的方向相反，
可设a＝λb(λ<0)，∴|a|＝|λ||b|，
∴5＝7|λ|，∴λ＝±，
又∵λ<0，∴λ＝－.
微点拨
(1)向量数乘仍是一个向量．λa中的实数λ叫做向量a的系数．
(2)不要忽略特殊情况：当λ＝0时，λa＝0.当λ≠0时，若a＝0，也有λa＝0.
(3)实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．
(4)向量的数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)λ倍或缩小(0<λ<1)λ；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)λ倍或缩小(|λ|<1)|λ|.
微点拨
(1)向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb.
(2)向量数乘运算律的理论依据是两个向量相等的定义．
微点拨
(1)由a＝λb a∥b中，若λ＝0，则a＝0，零向量与任一向量都平行．若λ＞0，则a与b同向；若λ＜0，则a与b反向．
(2)由a∥b a＝λb中，由λ的唯一性，得b≠0.
(3)该定理有两方面的应用，一是一个向量可以由另一个向量线性表示，则可以判定两向量平行；二是若两向量平行，则一个向量可以由另一非零向量线性表示，可以用来求参数λ，它是轴上向量坐标化的依据．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．
(2)理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．
(3)理解并掌握两向量共线的性质及判定方法．
题型 1 向量的数乘运算
【问题探究1】 (1)如图，已知非零向量a作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？类比数的乘法，该如何表示运算结果？它们的长度和方向分别是怎样的？
(2)λa的几何意义是什么？
提示：(1)＝＝a＋a＋a＝3a.
＝＝(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.
显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍．
(2)λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或缩短．如当|λ|＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍．
例1 (多选)已知λ，μ∈R，且a≠0，则在以下各命题中，正确的命题是( )
A．当λ<0时，λa的方向与a的方向一定相反
B．当λ＝0时，λa与a是共线向量
C．|λa|＝λ|a|
D．当λμ>0时，λa的方向与μa的方向一定相同
答案：ABD
解析：根据实数λ与向量a的积λa的方向的规定，易知A正确；对于B，当λ＝0时，λa＝0，0与a是共线向量，故B正确；对于D，由λμ>0可得λ，μ同为正或同为负，所以λa和μa与a同向，或者都与a反向，所以λa与μa是同向的，故D正确；对于C，|λa|＝|λ||a|，C错误．故选ABD.
笔记
λ的正负决定向量λ≠)的方向，|λ|的大小决定λ的模．
训练1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|>|λ||a|
答案：B
解析：对于A中，只有λ<0时，a与λa的方向相反，所以A不正确；
对于B中，因为λ2>0，所以a与λ2a的方向相同，所以B正确；
对于C中，因为|－λa|＝|λ||a|，只有当|λ|≥1，才有|－λa|≥|a|，所以C不正确；
对于D中，因为|－λa|＝|λ||a|，所以D不正确．故选B.
题型 2 向量的线性运算
【问题探究2】 已知向量a，请通过作图判断以下结论是否成立？你能据此归纳出向量数乘的运算律吗？
(1)3(2a)＝6a；
(2)(2＋3)a＝2a＋3a；
(3)2(a＋b)＝2a＋2b.
提示：(1)作图如下：
故3(2a)＝6a成立．
(2)作图如下：
故(2＋3)a＝2a＋3a成立．
(3)作图如下：
故2(a＋b)＝2a＋2b成立．
例2 (1)化简：.
(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
解析：(1)＝(3a－2b＋5a－2a＋3b)
＝(6a＋b)＝3a＋b.
(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组
解得
向量线性运算的两种方法
训练2 (1)(2a＋8b)－(4a－2b)＝( )
A．－3a－6b B．6b－3a
C．2b－3a D．3a－2b
答案：B
解析：原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.
(2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．
答案：3a＋2b 4a＋3b
解析：由已知得
①×3＋②×2得x＝3a＋2b，
①×4＋②×3，得y＝4a＋3b.
所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.
题型 3 用已知向量表示其他向量
例3 如图，四边形ABCD中，已知＝2.
(1)用表示；
(2)若＝2＝，用表示.
解析：(1)因为＝，
所以＝＝.
(2)因为＝＝＝,
所以＝＝＝.
用已知向量表示其他向量的两种方法
训练3 如图所示， ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
答案：D
解析：＝＝＋(－)
＝＝a－b.故选D.
题型 4 向量共线定理
【问题探究3】 引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？
提示：λa与a都是向量，当λ>0时，λa与a方向相同，|λa|＝λ|a|；当λ<0时，λa与a方向相反，|λa|＝|λ||a|.因此λa与a共线．
例4 已知非零向量e1，e2不共线．
(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值.
解析：(1)证明：∵＝e1＋e2，＝＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5.
∴共线，且有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)∵ke1＋e2和e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
即(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∵e1与e2不共线，
∴解得k＝±1.
一题多变 本例条件不变，将(2)改为：欲使ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
解析：∵ke1＋2e2和2e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(2e1＋ke2)，
即(k－2λ)e1＝(λk－2)e2，
∵e1，e2不共线，∴解得k＝±2.
笔记：
1．证明或判断三点共线的方法
一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得 ＝λ(或 ＝λ等)即可．
2．利用向量共线求参数的方法
已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数对应相等求解．
训练4 (1)已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
答案：B
解析：由于a，b为不共线的非零向量，向量，向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；＝＝a＋5b＝，于是A，B，D三点共线，B选项正确；又＝＝－a＋13b，显然和也没有倍数关系，D选项错误．故选B.
(2)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)平行，则λ＝________．
解析：∵a＋λb与－(b－2a)平行，则有－(b－2a)＝k(a＋λb)，ka＋λkb＝2a－b，可得：λ＝－.
－
随堂练习
1．10(a＋b)－(a－b)＝( )
A．9a＋9b B．9a＋11b
C．11a＋9b D．11a＋11b
答案：B
解析：根据向量运算公式可知，10(a＋b)－(a－b)＝10a＋10b－a＋b＝9a＋11b.故选B.
2．在 ABCD中，＝2a，＝3b，则＝( )
A．a＋b B．a－b
C．2a＋3b D．2a－3b
答案：C
解析：＝＝2a＋3b.故选C.
3．如图所示，已知在△ABC中，D是△ABC的边AB的中点，则＝( )
A． B．
C． D．
答案：C
解析：因为D是AB中点，所以＝＝＝，故选C.
4．设e1，e2是两个不共线向量，若向量ke1＋2e2与8e1＋ke2方向相反，则实数k＝________．
－4
解析：由题意知，ke1＋2e2与8e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋2e2＝λ(8e1＋ke2)＝8λe1＋kλe2.
∵e1，e2不共线，
∴解得或
∵ke1＋2e2与8e1＋ke2反向，
∴λ＝－，k＝－4.
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算．
2．若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合，这是证明三点共线的重要方法．
3．设＝λ＋μ，若存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1，则A、B、C三点共线．(共35张PPT)
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
预 学 案
实际测量中的有关名称、术语
名称 定义 图示
仰角 在视线和水平线所成的角中，________________的角称为仰角
俯角 在视线和水平线所成的角中，________________的角称为俯角
视线在水平线上方
视线在水平线下方
方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°)
南偏西60°
方位角 从正北的方向线按________时针到目标方向线所转过的水平角
顺
练习
1．在相距2千米的A、B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是( )千米．
A． B． C．6 D．2
答案：B
解析：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝45°，
由正弦定理＝，即＝，
解得：AC＝＝. 故选B.
2．已知A船在灯塔C北偏东85°且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西65°且B到C的距离为 km，则A，B两船的距离为________．
km
解析：由题意得∠ACB＝65°＋85°＝150°，又AC＝2，BC＝，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 150°＝4＋3－2×2××(－)＝13，
所以AB＝ km.
微点拨
解三角形在实际测量中的常见问题
(1)
(2)高度问题
(3)角度问题
测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角．
共 学 案
【学习目标】
(1)进一步熟悉余弦定理、正弦定理．
(2)了解常用的测量相关术语．
(3)能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题．
题型 1 测量距离问题
【问题探究1】 (1)如图所示，A，B两点在河的两岸，在点A的一侧，需测出哪些量，可以求出A，B两点的距离？
提示：测量者在点A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离，∠BAC的大小，∠ACB的大小三个量．
(2)如图所示，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，结合图形，需测出哪些量，可以求出A，B两点间的距离？
提示：结合图象，需要测出CD的长、∠BCD的大小、∠BDC的大小，就可以计算出BC的长，同理可以计算出AC的长，再算出AB的长．故只需测量出图中CD的长，角α，β，γ，δ的大小．
例1 为测量海底两点C，D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，C，D在同一个铅垂平面内．海底探测仪测得∠BAC＝30°，∠DAC＝∠ABD＝45°，∠DBC＝75°，同时测得AB＝ 海里．
(1)求AD的长度；
(2)求C，D之间的距离．
解析：(1)由题意得，在△ABD中，∠BAD＝75°，∠ABD＝45°，
故∠ADB＝60°，
由正弦定理＝，即＝，所以AD＝＝，
所以AD的长度为 海里．
(2)在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝120°，
所以∠BCA＝∠BAC＝30°，故BC＝AB＝，
由余弦定理可得，
AC＝＝3，
在△ADC中，AD＝，∠DAC＝45°，
由余弦定理可得
CD＝＝＝，
所以C，D之间的距离为 海里．
三角形中与距离有关问题的求解策略
训练1 为了更好地掌握有关飓风的数据资料，决定在海上的四岛A，B，C，D建立观测站，已知B在A正北方向15海里处，C在A的北偏东60°方向，又在D的东北方向，D在A的正东方向，且BC相距21海里，求C，D两岛间的距离．
解析：由题意，作出示意图，其中AB＝15，BC＝21，∠BAC＝60°，∠BAD＝90°，∠ADC＝135°；
在△ABC中，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°，
整理得AC2－15AC－216＝0，解得AC＝24或AC＝－9(舍)；
在△ADC中，∠CAD＝30°，
由正弦定理＝，
所以CD＝＝＝12.
所以C，D两岛间的距离为12海里．
题型 2 测量高度问题
【问题探究2】
小明要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度．如图，他选定了离地面高度为15 m的一个地点，他测得电视塔底的俯角为30°，塔顶的仰角为62°.由此你有办法估测东方明珠电视塔的高为多少吗？(可用三角函数表示)
提示：设人的位置为A，塔底为B，塔顶为C，过A作BC的垂线，垂足为D，
则∠DAB＝30°，∠DAC＝62°，BD＝15(m)，
AB＝＝30(m)，
由正弦定理，有BC＝＝(m)．
例2 如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，求山高MN.
解析：在△ABC中，∠CAB＝45°，∴∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝100，
∴AC＝＝100，
在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，∴∠AMC＝45°，
＝，
∴＝，∴MA＝100，
在△AMN中，∠MAN＝60°，
∴MN＝MA sin ∠MAN＝MA＝×100＝150，
所以山高MN为150米．
解决测量高度问题的一般步骤
训练2 如图，为了测量河对岸的塔高AB.可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．
30
解析：设AB＝h米，
在△ABC中，BC＝＝h，
在△ABD中，BD＝＝h，
在△BCD中，CD2＝CB2＋DB2－2CB·DB·cos 30°，
即302＝h2＋(h)2－2h·h·，
所以h2＝302，
解得h＝30(米)．
题型 3 测量角度问题
例3 如图，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为10(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为20海里的C处有一艘缉私艇奉命以10 海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船．请求出所需时间．
解析：设缉私艇在点D处追上走私船，所需t小时，
则BD＝10t海里，CD＝10t海里，
因为∠BAC＝45°＋75°＝120°，
在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos ∠BAC，
即BC2＝＋202－2×10(－1)×20×cos 120°＝600，
所以BC＝10，
由正弦定理得sin ∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝45°，
所以BC为东西方向，所以∠CBD＝120°，
在△BCD中，由正弦定理得sin ∠BCD＝＝＝，
所以∠BCD＝30°，所以∠BDC＝30°，
所以BD＝BC＝10，即10t＝10，即t＝(时)，
所以缉私艇沿北偏东60°行驶才能最快追上走私船，所需时间 小时．
笔记：
测量角度问题的求解策略
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问：甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解析：如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at海里，AC＝at海里，∠B＝90°＋30°＝120°，
由＝，即sin ∠CAB＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
随堂练习
1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
答案：D
解析：由条件及题图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
2．如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点A，B到某一点C的距离分别是3 km，1 km及∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为( )
A．7 km B．13 km
C． km D． km
答案：C
解析：由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝9＋1－6cos 60°＝7，∴AB＝(km)．故选C.
3．公园内有一棵树，A，B是与树根处O点在同一水平面内的两个观测点，树顶端为P.如图，观测得∠OAB＝75°，∠OBA＝60°，∠OAP＝60°，AB＝10米，则该树的高度OP大约为( )
A．21米 B．18米
C．15米 D．10米
答案：A
解析：在△OAB中，∠AOB＝180°－75°－60°＝45°，则由正弦定理可得＝，即＝，解得|OA|＝5(米)，在直角△AOP中，|OP|＝|OA|·tan 60°＝5＝15≈21(米)．故选A.
4．甲、乙两艘渔船从点A处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15公里每小时，甲渔船往北偏东30°方向航行，速度为20公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B处，乙渔船接到消息后，立刻从所在地C处开往B处进行救援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少需要________小时．(参考数据：取＝3.6)
2.4
解析：由题可知AB＝40，AC＝30，∠BAC＝60°
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝1 300，
得BC＝10，
乙渔船到达甲渔船所在位置需要的时间为＝＝2.4(时)．
课堂小结
利用正、余弦定理解决实际生活中不可到达的距离、高度、角度问题．(共25张PPT)
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
第六章 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握平面向量数量积的坐标表示.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝ .
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝ .
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝
( ， )，|a|＝ .
(2)a⊥b .
(3)cos θ＝ ＝ .
知识点 平面向量数量积的坐标表示
x1x2＋y1y2
x2＋y2
x2－x1
y2－y1
x1x2＋y1y2＝0
思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1y2－x2y1＝0.( )
2.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角.( )
提示 当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0°，不是锐角.
3.两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.( )
×
×
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10
C.3 D.－3
一、数量积的坐标运算
解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
√
反思感悟
进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1 向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于
A.－1 B.0
C.1 D.2
√
解析 因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，
则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
二、平面向量的模
解 ∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，
∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，
例2 已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，求a－2b及其模的大小.
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
√
解析 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、平面向量的夹角、垂直问题
例3 (1)已知|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，则向量a与b夹角的大小为
√
解析 因为|a|＝1，b＝(0,2)，且a·b＝1，
设a与b的夹角为θ，
(2)设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为
A.－1 B.1
C.2 D.3
√
解析 因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，
所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.
反思感悟
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3 已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1).若向量a＋b与a垂直，则m＝____.
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3).
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得m＝7.
7
3
随堂演练
PART THREE
1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于
1
2
3
4
5
√
解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2.已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为
1
2
3
4
5
√
a·b＝3×5＋4×12＝63.
1
2
3
4
5
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于
A.1 B.
C.2 D.4
√
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
1
2
3
4
5
4.若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝ ，则b等于
A.(－3,6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6,3)
√
解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
1
2
3
4
5
5.已知向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于
√
解析 由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
1.知识清单：
(1)平面向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).
(3)cos θ＝ (θ为非零向量a，b的夹角).
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共23张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
预 学 案
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
练习
1．在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案：D
解析：因为·＝－5<0，
所以A为钝角，
所以△ABC一定是钝角三角形．故选D.
2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________．
解析：BC中点为D(，6)，＝(－，5)，
∴＝ ＝.
微点拨
(1)平面几何中经常涉及求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，而平面向量的运算，特别是数量积的运算主要涉及向量的模、夹角、垂直等知识，因此可以用向量方法解决部分几何问题．
(2)用向量解决平面几何问题，就是将几何逻辑推理论证问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．
共 学 案
【学习目标】
(1)能用向量方法解决简单的几何问题．
(2)体会向量在解决数学问题中的作用．
【问题探究】 如图所示，水渠横断面是四边形ABCD，＝，且||＝||.
(1)如何判断这个四边形的形状？
(2)向量关系a＝b与几何中的结论|a|＝|b|，且a，b所在直线平行或重合有什么关系？
(3)把直角三角形两直角边与斜边的数量关系类比到矩形中，你能发现矩形两对角线长度与两邻边长度之间的关系吗？
提示：(1)利用向量共线和向量模的定义，证明该四边形是等腰梯形．
(2)全等、相似、长度、夹角等几何性质都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．例如，向量的数量积对应着几何中的长度与夹角．
(3)矩形两对角线的平方和等于四边的平方和．
题型 1 利用向量证明平行或垂直问题
例1 已知在梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，试用向量方法证明AC⊥BC.
证明：如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，
设CD＝DA＝AB＝a，
由题意知，＝＝，
∴·＝()·()
＝·＋···
＝0＋a2＋0－2a2＋0＋a2＝0，
∴⊥，即AC⊥BC.
笔记：
利用向量解决垂直、平行问题的方法
(1)对于直线垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)对于直线平行问题，可以联想到向量共线定理，即＝λ≠0)．
训练1 在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.
证明：设＝a，＝b，则＝＝b－a.
又AM＝2MB，AN＝2NC.
所以＝＝a，＝＝b.
在△AMN中，＝＝(b－a)，
所以＝，即与共线，故MN∥BC.
题型 2 利用向量解决长度和夹角问题
例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
(1)求AD的长；
(2)求cos ∠DAC.
解析：(1)设＝a，＝b，
则＝＝＝)＝＝a＋b.
2＝2＝(a＋b)2＝＝×1＋2××1×3×cos 120°＋×9＝.故AD＝.
(2)因为cos ∠DAC＝
＝＝
＝＝.
利用向量法求长度、夹角的策略
训练2 在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
解析：设＝a，＝b，
则|a|＝1，|b|＝2，＝a－b，＝a＋b，
而||＝|a－b|＝＝
＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4，∴a·b＝，
又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，
∴||＝，即AC＝.
随堂练习
1．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则四边形ABCD为( )
A．梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案：A
解析：由题意知，＝(3，3)，＝(2，2)，所以∥，又因||≠||，所以四边形ABCD为梯形．故选A.
2．在△ABC中，若·＝0，则△ABC的形状是( )
A．∠C为钝角的三角形
B．∠B为直角的直角三角形
C．锐角三角形
D．∠A为直角的直角三角形
答案：D
解析：在△ABC中，·＝·()＝·＝0，∴⊥，∴∠A＝，则△ABC为直角三角形，故选D.
3．已知菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余弦值为( )
A． B．
C． D．
答案：D
解析：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，AC，BD所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系如图所示，则点A(，0)，B(0，1)，E(－，－)，∴＝()，＝()，则cos ∠AEB＝＝＝，故选D.
4．在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，若·＝6，则AP＝________．
解析：平行四边形ABCD中，AO＝OC，因为·＝6，所以·＝3，根据向量的几何意义可知·＝2＝3，解得AP＝||＝.
课堂小结
1.利用向量解决平面几何中的垂直与平行问题．
2．利用向量解决平面几何中的长度与角度问题．(共27张PPT)
第1课时 余弦定理
余弦定理
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于__________________减去这两边与它们的__________________的两倍
公式 表达 a2＝________________，b2＝_______________，
c2＝__________________
推论
cos A＝__________，cos B＝________，cos C＝__________
其他两边平方的和
夹角的余弦的积
b2＋c2－2bc cos A
a2＋c2－2ac cos B
a2＋b2－2ab cos C
解三角形
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )
(2)余弦定理只适用于锐角三角形．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．( )
√
×
√
√
2．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝，则c＝( )
A． B． C． D．
答案：D
解析：由余弦定理可得c2＝12＋22－2×1×2·cos ＝7，所以c＝.
微点拨
(1)余弦定理对任意的三角形都成立．
(2)在余弦定理中，每一个等式都包含四个量，因此已知其中三个量，利用方程思想可以求得未知的量．
(3)余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
共 学 案
【学习目标】
(1)了解向量法证明余弦定理的推导过程．
(2)掌握余弦定理及其推论，并能用其解决一些简单的三角形度量问题．
(3)能应用余弦定理判断三角形的形状．
【问题探究】 (1)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c
(2)在(1)的探究成果中，若A＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？
提示：(1)如图，设＝a，＝b，＝c，
那么c＝a－b ①
我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|，
联想到数量积的性质c·c＝|c|2，
可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算．
由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)
＝a·a＋b·b－2a·b
＝a2＋b2－2|a||b|cos C.
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C，
同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B.
(2)a2＝b2＋c2，即勾股定理，勾股定理是余弦定理的一个特例．
题型 1 已知两边及一角解三角形
例1 (1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝2，C＝60°，求c.
(2)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，∠B＝45°，求BC.
解析：(1)由已知c＝＝＝.
(2)由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
得5＝2＋BC2－2·BC cos 45°，
解得BC＝3(负值舍去)．
笔记：
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边，此时需根据题意进行检验，需满足大角对大边，两边之和大于第三边．
训练1 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝，cos C＝，则b的取值是( )
A． B．
C． D．3
答案：D
解析：由题意c2＝a2＋b2－2ab cos C，即5＝4＋b2－4b×，解得b＝3(b＝－舍去)，故选D.
(2)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝9，a＝2c，B＝，则△ABC的周长为________．
9＋9
解析：(2)已知b＝9，a＝2c，B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以92＝4c2＋c2－2·2c·c·cos ，即c2＝27，c＝3，则a＝6，三角形周长为a＋b＋c＝9＋9.
题型 2 已知三边解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求△ABC的最小角．
解析：因为a所以由余弦定理得：
cos A＝＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
一题多变1 本例条件不变，求△ABC最大角的余弦值．
解析：由例2知最大角为B.
所以由余弦定理得：
cos B＝＝＝.
一题多变2 本例条件改为“a∶b∶c＝∶(3＋)∶2”，求A，B，C.
解析：∵a∶b∶c＝∶(3＋)∶2，
可设a＝x，b＝(3＋)x，c＝2x(x>0)
由余弦定理得：cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
cos C＝＝＝.
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－＝.
笔记：
已知三边求解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角．其思路清晰，结果唯一．
(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．
训练2 若△ABC三边长a，b，c满足等式3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________．
－
解析：因为3a2＋2ab＋3b2－3c2＝0，所以cos C＝＝－.
题型 3 利用余弦定理判断三角形的形状
例3 在△ABC中，若a cos B＋a cos C＝b＋c，试判断该三角形的形状．
解析：由a cos B＋a cos C＝b＋c并结合余弦定理，
得a·＋a·＝b＋c，
即＝b＋c，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形．
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思路：
(2)判断三角形的形状时，常用到以下结论：
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2；
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2；
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.
训练3 若在△ABC中，2a·cos B＝c，则三角形的形状一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案：B
解析：由2a·cos B＝c以及余弦定理得2a·＝c，化简得a＝b，所以三角形的形状一定是等腰三角形．故选B.
随堂练习
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝2，c＝，则C＝( )
A．120° B．90° C．60° D．45°
答案：A
解析：由余弦定理可得cos C＝＝＝－，由于0°2．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，A＝60°，a＝，c＝2，那么b的大小是( )
A． B．4 C． D．3
答案：D
解析：因为A＝60°，a＝，c＝2，所以有a2＝b2＋c2－2bc cos A 7＝b2＋4－2b b＝3，或b＝－1舍去，故选D.
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a cos B＝b cos A，则△ABC为( )
A．等腰且直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
答案：D
解析：由a cos B＝b cos A结合余弦定理可得a·＝b·，化简得a2＝b2，即a＝b，所以△ABC为等腰三角形．故选D.
4．在△ABC中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若a2＋b2－ab＝c2，则C＝________．
解析：∵a2＋b2－ab＝c2，∴cos C＝＝，
∵0课堂小结
1. 余弦定理的推导．
2．利用余弦定理解三角形中的两类问题．
3．利用余弦定理判断三角形的形状．(共37张PPT)
6.1 平面向量的概念
预 学 案
一、向量的实际背景与概念
我们把既有________又有________的量叫做向量，而把只有________没有________的量称为数量．
大小
方向
大小
方向
【即时练习】 下列各量中是向量的为( )
A．海拔 B．压强
C．加速度 D．温度
答案：C
解析：向量是既有大小，又有方向的量，
∵海拔，压强，温度只有大小，没有方向，加速度既有大小，又有方向，
∴加速度是向量．故选C.
二、向量的几何表示
1．有向线段
具有________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：________、________、________，如图所示．
以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段AB的长度叫做有向线段的长度，记作________．
方向
起点
方向
长度
||
2．向量的表示
(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
3．模、零向量、单位向量
向量的大小，称为向量的长度(或称模)，记作________.长度为________的向量叫做零向量，记作________；长度等于________个单位长度的向量，叫做单位向量．
||
0
0
1
【即时练习】 判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零向量没有方向．( )
(2)向量的长度和向量的模相等．( )
(3)单位向量都平行．( )
(4)零向量与任意向量都平行．( )
×
√
×
√
三、相等向量与共线向量
1．平行向量：方向____________的非零向量叫做平行向量，记作________．
2．相等向量：长度________且________相同的向量叫做相等向量，记作________．
3．共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到____________上，所以平行向量也叫做共线向量．
相同或相反
a∥b
相等
方向
a＝b
同一条直线
【即时练习】
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平行向量一定方向相同．( )
(2)不相等的向量一定不平行．( )
(3)零向量与任意向量都平行．( )
(4)共线向量一定在同一直线上．( )
×
×
√
×
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．
(1)与；
(2)与；
(3)与；
(4)与.
(1)(4)
解析：由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
＝≠≠＝.
微点拨
(1)向量被赋予了几何意义，即向量是具有方向的，而数量是一个代数量，没有方向；
(2)数量可以比较大小，而向量无法比较大小．
微点拨
(1)在空间中，有向线段是固定的线段，而向量是可以自由平移的；
(2)有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段，每一条有向线段对应着一个向量，但每一个向量对应着无数多条有向线段．
(3)0与0不同，虽然|0|＝0，但0是向量，而0是数量．
(4)定义中的零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向．
(5)在平面内，所有单位向量的起点平移到同一点，它们的终点可构成一个半径为1的圆．
微点拨
(1)向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．
(2)共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义．实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量．
(3)相等向量
向量相等具有传递性，即若a＝b，b＝c，则a＝c.而向量的平行不具有传递性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因为零向量平行于任意向量，那么当b＝0时，a，c可以是任意向量，所以a与c不一定平行．但若b≠0，则必有a∥b，b∥c a∥c.因此，解答问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量．
共 学 案
【学习目标】
(1)能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．
(2)会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别．
(3)理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．
题型 1 向量的概念
【问题探究1】 在物理中，我们学习过位移、速度和力，这些物理量与我们日常生活中的面积、质量等有什么区别？
提示：面积和质量只有大小，没有方向，而位移、速度和力既有大小，又有方向．
例1 下列说法正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
答案：D
解析：A项，向量不能比较大小，不正确；B项，方向相同的向量也不能比较大小，不正确；C项，向量的大小即向量的模，指的是向量的长度，与方向无关，不正确；D项，向量的模是一个数量，可以比较大小，正确．故选D.
学霸笔记
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的方向．
跟踪训练1 下列各量中，哪些是向量，哪些是数量？
(1)密度 (2)体积 (3)电阻 (4)推进力
(5)长度 (6)风速
向量：________；数量：________．(填写相应编号)．
(4)(6)
(1)(2)(3)(5)
解析：密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、风速是既有大小又有方向的量，是向量．
题型 2 向量的几何表示
【问题探究2】 由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
提示：(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．
(2)字母表示：向量可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用，，)．
例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：
(1)，使||＝4，点A在点O北偏东45°方向上；
(2)，使||＝4，点B在点A正东方向上；
(3)，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
解析：(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(2)由于点B在点A正东方向上，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量，如图所示．
(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且||＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量，如图所示．
题后师说
用有向线段表示向量的步骤
跟踪训练2 李明从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
(1)作出向量；
(2)求的模．
解析：(1)作出向量，如图所示．
(2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝＝5(米)，所以||＝5米．
题型 3 相等向量与共线向量
【问题探究3】 (1)如果两个向量所在的直线互相平行或重合，那么这两个向量有什么关系？方向如何？
(2)如果两个向量的大小相等方向相同，这两个向量有什么关系？
提示：(1)平行(共线)．相同或相反．
(2)相等．
例3 在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD、BC的中点，如图．
(1)写出与向量共线的向量；
(2)写出与向量相等的向量．
解析：(1)据题意，与向量共线的向量为：.
(2)与向量相等的向量为：.
一题多变 将本例条件不变，求证：＝.
证明：∵ABCD是平行四边形，且E，F分别为边AD，BC的中点，
∴BF＝ED，且BF∥ED，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE＝FD，且BE∥FD，
∴＝.
题后师说
寻找相等向量与共线向量的策略
跟踪训练3 如图所示，△ABC的三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与相等的向量．
解析：(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为.
(2)与相等的向量为.
随堂练习
1．下列命题中正确的是( )
A．温度是向量
B．速度、加速度是向量
C．单位向量相等
D．若|a|＝|b|，则a和b相等
答案：B
解析：温度只有大小，没有方向，A错误；速度有大小和方向，应该是向量，加速度是速度变化量与发生这一变化所用时间的比值．由于速度是矢量，速度的变化既可能有大小上的变化，同时也可能有方向上的变化，因此速度的变化量应该是一个既有大小又有方向的一个量，即是一个矢量．时间的变化，只有大小，是一个标量．因此加速度是一个矢量，也就是向量，B正确；向量既有大小也有方向，单位向量都是长度为1的向量，但方向可能不同，C错误；已知|a|＝|b|，但a与b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，D错误．故选B.
2．下列说法正确的是( )
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．零向量的大小为0，没有方向
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
答案：A
解析：对于A：向量与向量的长度相等，正确；
对于B：有共同起点，且长度相等的向量，若方向不同，它们的终点不同，错误；
对于C：零向量的大小为0，方向为任意方向，错误；
对于D：若两个单位向量平行，则它们的方向可能相反，此时它们不是相等向量，错误．故选A.
3．设点O是正三角形ABC的中心，则向量是( )
A．相同的向量 B．模相等的向量
C．共起点的向量 D．共线向量
答案：B
解析：如图，因为O是正△ABC的中心，所以||＝||＝||＝R(R为△ABC外接圆的半径)，所以向量是模相等的向量，但方向不同．故选B.
答案：B
4.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
(1)有两个向量的模相等，这两个向量是________，它们的模都等于________；
(2)存在着共线向量，这些共线的向量是________，它们的模的和等于________．
5
解析：结合图形可知，
(1)||＝||＝＝；
(2)因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量共线，
||＋||＝＝5.
课堂小结
1.向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我们将代数问题和几何问题互化．
2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．
3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行．(共33张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
预 学 案
一、平面向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝________
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________
(λx，λy)
相应坐标
练习
已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9)
C．(3，7) D．(3，9)
答案：A
解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)
＝(4，8)－(－1，1)
＝(5，7).故选A.
二、平面向量共线的坐标表示
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线的充要条件是______________．
x1y2－x2y1＝0
练习 下列向量与a＝(1，3)共线的是( )
A．(1，2) B．(－1，3)
C．(1，－3) D．(2，6)
答案：D
解析：A，1×2－3×1≠0，则不符合题意；
B，1×3－3×(－1)≠0，则不符合题意；
C，1×(－3)－3×1≠0，则不符合题意；
D，1×6－3×2＝0，则向量(1，3)与向量(2，6)共线．
微点拨
两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
三、中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式．
练习 已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．
(－1，3)
解析：由中点坐标公式得x＝＝－1，y＝＝3，故PQ的中点坐标为(－1，3).
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握平面向量数乘运算的坐标表示．
(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
(3)能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
题型 1 平面向量数乘运算的坐标表示
【问题探究1】 我们知道3a＝a＋a＋a以及向量加、减的坐标运算．
根据上面的提示，若已知向量a＝(x，y)，你能得出2a，3a的坐标吗？
提示：2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x，2y)；
3a＝2a＋a＝(2x，2y)＋(x，y)＝(3x，3y)．
例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n.
解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a，
∴解得
∴实数m的值为－1，n的值为－1.
平面向量数乘坐标运算的策略
训练1 (1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1，2)
C．(5，6) D．(2，0)
答案：A
解析：(1)b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.
(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝( )
A．(－2，－2) B．(2，2)
C．(1，1) D．(－1，－1)
答案：D
解析：＝)＝(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.
题型 2 平面向量共线的坐标表示
【问题探究2】 如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？
提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2＝x2y1.
例2 (1)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(0，2)，e2＝(，0)
C．e1＝(3，5)，e2＝(5，3)
D．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6)
答案：BC
解析：∵0×(－2)＝0×1，∴e1与e2共线，∴A错误；
∵0×0≠2×，∴e1与e2不共线，∴B正确；
∵3×3≠5×5，∴e1与e2不共线，∴C正确；
∵1×(－6)＝3×(－2)，∴e1与e2共线，∴D错误．故选BC.
(2)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)，当k为何值时，ka－b与a＋2b共线．
解析：ka－b＝(2k－3，k－2)，a＋2b＝(8，5)，
由于ka－b与a＋2b共线，
所以(2k－3)×5＝(k－2)×8，则k＝－.
一题多变 本例(2)中条件不变，若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求实数m的值．
解析：＝2a＋3b＝(13，8)，＝a＋mb＝(2＋3m，1＋2m)，
由于A，B，C三点共线，所以∥，
即13×(1＋2m)－8×(2＋3m)＝0，解得m＝.
利用向量共线的坐标表示求参数的策略
训练2 (1)已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )
A．－9 B．9
C．3 D．－3
答案：B
解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.故选B.
(2)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(1，1)，＝(2，－3)，＝(－6，29)，试判断A，B，C三点是否共线，写出理由．
解析：因为＝＝(2，－3)－(1，1)＝(1，－4)，
＝＝(－6，29)－(1，1)＝(－7，28)，
所以1×28－(－4)×(－7)＝0，所以∥.
又直线AB和AC有公共点A，故A，B，C三点共线．
题型 3 共线向量与线段分点坐标的计算
【问题探究3】 结合课本6.3.4例9，如图所示，设P(x，y)是线段P1P2上不同于P1，P2的点，且满足＝，如何求点P的坐标？当λ＝1时，点P的坐标是什么？
提示：P()(λ≠－1)，P()．
例3 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且＝2，求点G的坐标．
解析：∵D是AB的中点，
∴点D的坐标为()，
∵＝2，∴＝2，
设G点坐标为(x，y)，由定比分点坐标公式可得
x＝＝，
y＝＝，
即点G的坐标为()．
(1)解决向量中的分点问题，关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实数化，但要注意分点的位置情况．
(2)本例求得的G点的坐标即是△ABC重心的坐标．
训练3 已知点P1(1，3)，P2(4，－6)，P是直线P1P2上的一点，且＝，那么点P的坐标为________．
(3，－3)
解析：设点P的坐标为P(x，y)，
∵P1(1，3)，P2(4，－6)，
∴＝＝(4－x，－6－y)，∵＝，
∴
解得
∴点P的坐标为P(3，－3)．
随堂练习
1．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
答案：D
解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．故选D.
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，－4)，则a与b( )
A．平行且同向 B．平行且反向
C．垂直 D．不垂直也不平行
答案：B
解析：根据题意可知，b＝－2a，即a，b平行且反向．故选B.
3．已知A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，则x的值为( )
A．－7 B．－8 C．－9 D．－10
答案：B
解析：因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)，所以＝(5，2)，＝(x－2，－4)，因为A(－3，1)，B(x，－1)，C(2，3)三点共线，所以∥，即2(x－2)＝－4×5，解得x＝－8.故选B.
4．若＝(3，－6)，B(－2，3)，则线段AB的靠近B的三等分点P的坐标为________．
(－3，5)
解析：令P(x，y)，则＝(－2－x，3－y)，而＝3，所以(3，－6)＝3·(－2－x，3－y)，即可得所以P(－3，5)．
课堂小结
1.平面向量数乘运算的坐标表示．
2．利用共线向量定理的坐标表示向量共线及点共线问题．
3．有向线段的定比分点坐标公式的推导及中点坐标公式．(共22张PPT)
6.4.2 向量在物理中的应用举例
预 学 案
向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．
练习 已知向量＝＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(0，5) B．(4，－1) C．2 D．5
答案：D
解析：∵＝(2，2)，＝(－2，3)，
∴F1＋F2＝＋＝(2，2)＋(－2，3)＝(0，5).
∴|F1＋F2|＝＝5.故选D.
微点拨
向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后用所获得的结果解释物理现象．
共 学 案
【学习目标】
(1)会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题．
(2)体会向量在解决物理和实际问题中的作用．
【问题探究】
在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．把上面的问题抽象为数学模型，可以从理论上解释其原因．
这是小明拍他叔叔在拉单杠时的图片．
(1)小明的叔叔感觉两臂的夹角越大，拉起来越费力，这是为什么？
(2)向量的运算、速度、加速度、位移有什么联系？
提示：(1)如图，可知F＝－G，|F|＝|F1|cos |F1|＝，故夹角越大越费力．
(2)速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向量的加法．
题型 1 向量与力、速度的合成与分解
例1 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．
解析：如图，两根绳子的拉力之和＝，
且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.
在△OAC中，∠AOC＝30°，∠OAC＝90°，
从而||＝||·cos 30°＝150(N)，
||＝||·sin 30°＝150(N)，
所以||＝||＝150(N)．
答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．
笔记
解决力、速度的合成与分解问题，充分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为数学问题，同时正确作图是前提．
训练1 一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是________ km/h.
2
解析：如图，用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，则v＝v1＋v2为船的实际航行速度．由图知，||＝4，||＝8，则∠AOB＝60°.又|v2|＝2，∴|v1|＝|v2|·tan 60°＝2.
即河水的流速是2 km/h.
题型 2 向量与功
例2 质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离，求物体所受各力对物体所做的功．(g＝9.8 N/kg)
解析：木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，
如图所示，拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)；
支持力FN与位移方向垂直，不做功，
所以WN＝FN·s＝0；
重力G对物体所做的功为
WG＝G·s＝|G||s|cos (90°＋θ)
＝2.0×9.8×2.0×cos 120°＝－19.6(J)．
笔记
力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的数量积，即W＝·＝||||cos θ(θ为和的夹角)．
训练2 已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10
C．14 D．70
答案：D
解析：F做的功为：F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.故选D.
随堂练习
1．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )
A．(－2，－2) B．(2，－2)
C．(－1，2) D．(－2，2)
答案：D
解析：因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D.
2．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为( )
A．a－v B．v－a
C．a＋v D．v
答案：A
解析：由题意，某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风向相同，此时风速大小为v，根据向量的运算法则，可得此人实际感到的风速为a－v.故选A.
3．已知两个力F1，F2的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为，那么F1的大小为( )
A．5 N B．5 N
C．5 N D．10 N
答案：B
解析：因为两个力F1，F2的夹角为，它们的合力大小为10 N，合力与F1的夹角为，所以F1的大小为|F1|＝10cos ＝5，故选B.
4．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60米，若牵绳与行进方向夹角为，人的拉力为200 N，则纤夫对船所做的功为________ J．
6 000
解析：依题意，人的位移向量s，拉力向量F，则有|s|＝60 m，|F|＝200 N，向量s与F的夹角为，所以纤夫对船所做的功W＝F·s＝|F||s|cos ＝200×60×＝6 000(J)．
课堂小结
1.利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解问题．
2．利用向量的数量积解决力所做的功的问题．(共34张PPT)
6.2.1 向量的加法运算
预 学 案
一、向量加法的定义及其运算法则
1．定义：求____________的运算，叫做向量的加法．
对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.
两个向量和
2．向量求和的法则
向量加法 的三角形 法则 前提 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A
作法 作＝a，＝b，连接AC
结论 向量叫做a与b的和，记作________，即a＋b＝＝________
图形
a＋b
向量加法 的平行四 边形法则 前提 已知两个同一起点的向量a，b，在平面内任取一点O
作法 作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC
结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和，即＝________
图形
a＋b
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个向量的和可能是数量．( )
(2)两个向量相加就是它们的模相加．( )
(3)＝( )
(4)向量加法的平行四边形法则适合任意两个向量．( )
×
×
√
×
2．如图，在平行四边形ABCD中，＝( )
A． B． C． D．
答案：B
解析：由题意得，＝.故选B.
二、|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
1．对于任意向量a，b，都有________≤|a＋b|≤________；
2．当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝________；
3．当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝________或________．
三、向量加法的运算律
1．(加法交换律)a＋b＝________；
2．(加法结合律)(a＋b)＋c＝________．
||a|－|b||
|a|＋|b|
|a|＋|b|
|b|－|a|
|a|－|b|
b＋a
a＋(b＋c)
练习 化简：＝__________．
解析：＝＝＝.
微点拨
(1)在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
微点拨
根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论．
微点拨
(1)当两个向量共线时，向量加法的交换律和结合律也成立．
(2)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行，如(a＋b)＋(c＋d)＝(b＋d)＋(a＋c)；a＋b＋c＋d＋e＝[d＋(a＋c)]＋(b＋e)．
共 学 案
【学习目标】
(1)通过实例理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．
(2)掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．
(3)了解向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．
题型 1 向量加法的运算
【问题探究1】 (1)位移、力是向量，它们可以合成．我们能否从位移的合成、力的合成中得到启发引进向量的加法呢？
如图，某质点从点A经过点B到点C，质点的位移如何表示？
提示：这个质点两次位移的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即 可以算作与的和．
(2)对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？例如力的合成．
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
(3)向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
提示：F＝F1＋F2.
(3)①求两个不共线的向量的和，既可以用三角形法则，也可以用平行四边形法则．
②应用平行四边形法则时需两个向量起点相同，应用三角形法则时需两个向量首尾相接．
例1 如图，已知向量a、b、c，求作和向量a＋b＋c.
解析：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图．
(1)在平面内任取一点O，作＝a，＝b；
(2)作平行四边形AOBC，则＝a＋b；
(3)再作向量＝c；
(4)作平行四边形CODE，则＝＋c＝a＋b＋c，即即为所求．
利用加法法则求和向量的策略
训练1 如图，已知下列各组向量a，b，求作a＋b.
解析：(1)将b的起点移至a的终点，即可得a＋b，如图：
(2)将b的起点移至a的终点，即可得a＋b，如图：
(3)以a，b为顶点作平行四边形，应用平行四边形法则可得a＋b，如图：
(4)将a的起点移至b的终点，应用三角形法则可得a＋b，如图：
题型 2 向量加法的运算律
【问题探究2】 数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律呢？请结合图(1)，图(2)验证你的想法．
提示：满足．
图(1)a＋b＝b＋a.
图(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
例2 化简：
(1)；
(2)；
(3).
解析：(1)＝＝；
(2)＝＝＝；
(3)＝＝0.
笔记
运用向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量，加快解题速度．
训练2 化简下列各式：
(1)；
(2).
解析：(1)＝()＋＝＋＝.
(2)
＝＋()
＝
＝()＋
＝＝0.
题型 3 向量加法的实际应用
例3 如图所示，在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
解析：设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和是＝.
依题意，有||＋||＝800＋800＝1 600(km)．
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°
所以||＝ ＝＝800 (km)．
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.
利用向量的加法解决实际应用题的一般步骤
训练3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，若船沿垂直水流的方向航行，则船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为________．
2
解析：如图，作平行四边形ABDC，则＝v实际，设船实际航向与岸方向的夹角为α，则tan α＝＝＝2.
即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2.
随堂练习
1．化简＝( )
A．0 B． C．0 D．
答案：B
解析：＝.故选B.
2．正方形ABCD的边长为1，则||为( )
A．1 B． C．3 D．2
答案：B
解析：在正方形ABCD中，如图所示，
根据向量加法的平行四边形法则，＝，
又因为正方形ABCD的边长为1，
所以||＝||＝＝，故选B.
3．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( )
A．[3，17] B．(3，17) C．(3，10) D．[3，10]
答案：A
解析：∵||－||≤||≤||＋||，∴3≤||≤17，等号成立当且仅当与共线时，故选A.
4．若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a＋b表示____________________．
沿东南方向走 千米
解析：若向量a表示向东走1千米，b表示向南走1千米，则向量a＋b表示的方向为东南方向，大小为的向量，即a＋b表示沿东南方向走 千米．
课堂小结
1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法．
2．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则．
3．会用向量加法运算律进行向量运算．(共27张PPT)
第1课时 余弦定理
第六章 6.4.3 余弦定理、正弦定理
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
知识点一 余弦定理
余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于_____________________
_________________________________
公式表达 a2＝ ，
b2＝ ，
c2＝________________
推论
cos A＝ ，cos B＝ ，
cos C＝___________
其他两边平方的和减去
这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccos A
a2＋c2－2accos B
a2＋b2－2abcos C
思考 在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？
答案 a2＝b2＋c2，即勾股定理.
1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角.
2.已知三角形的三边，求三角形的三个角.
知识点二 余弦定理可以用于两类解三角形问题
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 .
知识点三 解三角形
元素
解三角形
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.( )
2.在△ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个.( )
3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.( )
4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.( )
×
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，A＝30°，求a；
一、已知两边及一角解三角形
解 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝ ，B＝30°，求角A、角C和边a.
解 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
A＝90°，C＝60°.
反思感悟
已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.
跟踪训练1 已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ ；sin A＝ .
2
解得c＝2.
二、已知三边解三角形
例2 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角.
解 ∵a>c>b，∴A为最大角.
由余弦定理的推论，
又∵0°∴最大角A为120°.
反思感悟
已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.
解 易知a∵A∈(0，π)，
三、利用余弦定理判断三角形的形状
例3 在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状.
解 由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理，
整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.
因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，
故△ABC是直角三角形.
反思感悟
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形 a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形 a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形 a2＋b2④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝ .
跟踪训练3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccos A＋cacos B＋abcos C，则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)
直角
即c2＝a2＋b2，
∴△ABC为直角三角形.
3
随堂演练
PART THREE
1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是 ，则三角形的第三条边长为
A.52 B.
C.16 D.4
1
2
3
4
5
√
解析 设第三条边长为x，
1
2
3
4
5
√
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
1
2
3
4
5
√
4.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是
A.90° B.120°
C.135° D.150°
1
2
3
4
5
√
解析 设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，
∴∠B＝60°，
∵BC>AC>AB，∴A>B>C，
∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.
1
2
3
4
5
1.知识清单：
(1)余弦定理.
(2)余弦定理解决的两类问题.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：不要忽视三角形中的隐含条件.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共31张PPT)
章末复习
第六章 平面向量及其应用
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识网络
考点突破
随堂演练
1
知识网络
PART ONE
2
考点突破
PART TWO
一、向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义)
向量的线性运算 加法
1.
向量的线性运算 减法
数乘 (1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0
2.向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线 x1y2－x2y1＝0.
3.通过向量的线性运算，培养数学运算和逻辑推理素养.
例1 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是
A.(7，－2) B.(1，－2)
C.(1，－3) D.(7,2)
√
解析 ∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，
∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2).
√
反思感悟
向量线性运算的基本原则和求解策略
(1)基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是一个向量.因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面.
(2)求解策略
①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧.
③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等，理解向量的有关概念并进行恰当地应用.
√
解析 作出示意图如图所示.
二、向量的数量积运算
1.向量的夹角及垂直问题
(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，利用这两个结论，可以判断两个向量的位置关系.
(2)两个向量的夹角公式(θ为两个非零向量a，b的夹角)：
cos θ＝
2.向量的长度(模)与距离的问题
求向量的模主要有以下两种方法：
(1)利用公式|a|2＝a2将它转化为向量的数量积问题，再利用数量积的运算律和性质进行展开、合并，使问题得以解决；
(2)利用公式|a|＝ 将其转化为实数运算，使问题得以解决.
3.通过向量的数量积运算，提升逻辑推理和数学运算素养.
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2.
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
反思感悟
数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b x1y2－x2y1＝0，
a⊥b x1x2＋y1y2＝0(a，b均为非零向量).
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝ .
②两向量夹角的余弦值(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
三、余弦定理、正弦定理
1.解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程.三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积.
2.解斜三角形共包括四种类型：
(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；
(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；
(3)已知三边(先用余弦定理求角)；
(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数).
3.借助解三角形，培养逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.
例3 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n.求A.
解 方法一 ∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，
∵m∥n，∴2b2＝3ac，
∴由正弦定理，得2sin2B＝3sin Asin C，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝a2＋c2－ac. (*)
得2a2－5ac＋2c2＝0，解得a＝2c或c＝2a.
反思感悟
通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角形变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如在△ABC中，sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝ 等.
(1)求C的大小；
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝(a＋b)2－3ab＝62－3×8＝12.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
A.(－4，－6) B.(4,6)
C.(－2，－2) D.(2,2)
√
2.设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于
1
2
3
4
5
√
解析 c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4.已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(t,2－t)，a－b与a垂直，则|a－b|的最小值为
√
解析 由题意知a－b与a垂直，
则(a－b)·a＝0，可得a·b＝a2＝1.
所以当t＝1时，|a－b|取得最小值1.
1
2
3
4
5
5.△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝bcos C＋ccos B，且a＝1，B＝120°，则b＝ .
解析 ∵c＝bcos C＋ccos B，
∴由正弦定理可得sin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C
＝sin(B＋C)＝sin A，
∴c＝a＝1，
∵B＝120°，(共28张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
第六章 6.4 平面向量的应用
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.能用向量方法解决简单的几何问题.
2.能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题.
3.培养学生运算能力，分析和解决实际问题的能力.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为 问题.
(2)通过 ，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“ ”成几何关系.
知识点一 向量方法解决平面几何问题的步骤
向量
向量运算
翻译
用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：
(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型.
(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等.
(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
知识点二 向量方法解决物理问题的步骤
思考 物理问题中有哪些量是向量？它们与向量的哪些运算相关？
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移都具有大小和方向，因而它们都是向量.
②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法.
③动量mv是数乘向量.
④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
3.功是力F与位移s的数量积.( )
4.力的合成与分解体现了向量的加减法运算.( )
×
√
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
一、利用向量证明平面几何问题
则|a|＝|b|，a·b＝0.
反思感悟
用向量证明平面几何问题的两种基本思路及步骤
(1)利用线性运算证明的四个步骤
①选取基底.②用基底表示相关向量.③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系.④把几何问题向量化.
(2)利用坐标运算证明的四个步骤
①建立适当的平面直角坐标系.②把相关向量坐标化.③用向量的坐标运算找出相应关系.④把几何问题向量化.
(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形.
即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形.
二、利用向量解决平面几何求值问题
反思感悟
(1)用向量法求长度的策略
①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解.
②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ .
(2)用向量法解决平面几何问题的两种思想
①几何法：选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解.
②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是
√
三、向量在物理中的应用
例3 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为__________ km/h.
解析 如图所示，船速|v1|＝5 km/h，水流速度为v2，
实际航行方向v与水流方向v2成30°角，
反思感悟
用向量解决物理问题的一般步骤
(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.
(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.
(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值.
(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.
跟踪训练3 一物体在力F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力所做的功为________.
－40
解析 ∵F1＝(3，－4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，
∴合力F＝F1＋F2＋F3＝(8，－8).
即三个力的合力做的功等于－40.
3
随堂演练
PART THREE
1
2
3
4
5
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
√
则△ABC是等腰三角形.
1
2
3
4
5
2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为
A.梯形 B.菱形
C.矩形 D.正方形
√
1
2
3
4
5
3.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
所以∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则 ＝_____.
1
解析 由已知得A(1,0)，C(0,1)，
1.知识清单：
(1)平面几何中的向量方法.
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳：化归转化、数形结合.
3.常见误区：要注意选择恰当的基底.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共32张PPT)
6.2.4 向量的数量积
第六章 6.2 平面向量的运算
学习目标
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.
2.掌握向量数量积的定义及投影向量.
3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.
4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
1.夹角：已知两个 a和b，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b，
则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
知识点一 两向量的夹角与垂直
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .
2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作a⊥b.
非零向量
∠AOB
同向
反向
非零向量a，b的夹角为θ，数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 .
知识点二 向量数量积的定义
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.
答案 在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点三 投影向量
|a|cos θ e
知识点四 平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
特别地，a·a＝ 或|a|＝ .
(4)|a·b| |a||b|.
，a与b同向，
，a与b反向.
|a||b|
－|a||b|
|a|2
≤
知识点五 平面向量数量积的运算律
1.a·b＝ (交换律).
2.(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝ (分配律).
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
思考 若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c
答案 不可以.
已知实数a，b，c(b≠0)，
则ab＝bc a＝c，
但是a·b＝b·c推不出a＝c.
理由如下：
如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.
所以a·b＝b·c，但是a≠c.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.( )
2.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.( )
3.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).( )
4.已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.( )
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 已知正三角形ABC的边长为1，求：
一、求两向量的数量积
反思感悟
求平面向量数量积的方法
计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).
解 (2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.
二、向量的模和夹角的计算问题
例2 (1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____.
解析 方法一
方法二 (数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝ .
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝ .
①求|b|；
②当a·b＝－ 时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
解 因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2
＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
反思感悟
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
跟踪训练2 已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.
解 ∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.
|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
三、与垂直有关的问题
√
因为n·(tm＋n)＝0，
所以t＝－4.
反思感悟
解决有关垂直问题时利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量).
跟踪训练3 已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.
解 设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
3
随堂演练
PART THREE
1.对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是
A.|a·b|＝|a||b| B.|a＋b|＝|a|＋|b|
C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝
√
解析 因为a·b＝|a||b|cos θ(θ为a，b夹角)，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；
根据向量加法的平行四边形法则，
|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；
因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；
因为a·a＝|a||a|cos 0＝|a|2，
1
2
3
4
5
2.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是
A.e1在e2方向上的投影向量为cos θe2
B.
C.(e1＋e2)⊥(e1－e2)
D.e1·e2＝1
√
解析 因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，
则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cos θe2＝cos θe2，故A正确；
故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝cos θ，故D错误.
1
2
3
4
5
√
√
1
2
3
4
5
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于
A.－2 B.－1
C.1 D.2
√
解析 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
1
2
3
4
5
4.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为____.
设向量a与a－b的夹角为θ，
1
2
3
4
5
5.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b的方向上
的投影向量为_____.
解析 设a与b的夹角为θ，
因为a·b＝|a||b|cos θ＝12，
1.知识清单：
(1)向量数量积的定义.
(2)向量数量积的性质.
(3)投影向量.
(4)向量数量积的运算律.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律；向量夹角共起点；a·b>0 两向量夹角为锐角，a·b<0 两向量夹角为钝角.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共30张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
第六章 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示.
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
已知a＝(x，y)，则λa＝ ，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数
.
知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示
(λx，λy)
乘原来向量的相应坐标
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.
则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当 时，向量a，b(b≠0)共线.
注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.
知识点二 平面向量共线的坐标表示
x1y2－x2y1＝0
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则 .( )
提示 当y1y2＝0时不成立.
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.( )
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.( )
4.向量a＝(1,2)与向量b＝(4,8)共线.( )
√
×
×
√
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b等于
A.(1，－2) B.(1,2)
C.(5,6) D.(2,0)
一、平面向量数乘运算的坐标表示
解析 b＝2a＋b－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2).
√
A.(－2，－2) B.(2,2)
C.(1,1) D.(－1，－1)
√
反思感悟
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
跟踪训练1 已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：
(1)2a＋3b；
解 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1)＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7).
(2)a－3b；
解 a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1).
二、向量共线的判定
解析 A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b.
例2 下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B.a＝(2,3)，b＝(3,2)
C.a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
√
反思感悟
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配.
跟踪训练2 下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是
A.e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B.e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C.e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D.e1＝(2，－3)，e2＝
√
解析 A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；
B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；
C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；
∴e1∥e2，不可以作为基底.
三、利用向量共线的坐标表示求参数
例3 (1)已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝_____.
－3
解析 由题意知－6＝2λ，所以λ＝－3.
(2)已知点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).若向量 与向量a＝(λ，1)共线，
则λ＝_____.
解析 点P(－1,2)，线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)，
所以4×1＋6λ＝0，
反思感悟
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值.
跟踪训练3 (1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为
√
解析 非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，
所以－2(m2－1)－1×(m＋1)＝0，且m≠－1，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，
核心素养之逻辑推理
HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI
定比分点坐标公式及应用
典例 (1)直线l上有两点P1，P2，在l上取不同于P1，P2的任一点P，存在一个实数λ，使 ，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P分P1P2所成的比为λ，求P点的坐标.
解 设P(x，y).
∴(x－x1，y－y1)＝λ(x2－x，y2－y)，
(2)如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ＝2，求点G的坐标.
解 ∵D是AB的中点，
设G点坐标为(x，y)，
素养提升
(1)用有向线段的定比分点坐标公式 可以求解有向线段的定比分
点坐标及定点分有向线段所成的比.事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题.如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性.定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.
(2)通过定比分点坐标公式的推导与应用，培养逻辑推理和数学运算素养.
3
随堂演练
PART THREE
1.下列各组向量中，共线的是
A.a＝(－1,2)，b＝(4,2)
B.a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
C.a＝ ，b＝(10,5)
D.a＝(0，－1)，b＝(3,1)
1
2
3
4
5
√
解析 若a与b(b≠0)共线，
则存在实数λ使得a＝λb，
经过验证，只有B满足条件，b＝－2a.
2.已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1,2)，若a∥b，则实数x的值为
A.2 B.－2
C.3 D.－3
√
解析 因为a∥b，
所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
√
解析 设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，
1
2
3
4
5
5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线，则λ＝______.
解析 因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，
所以2a＋b＝(4,2λ＋1)，
所以由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0，
1.知识清单：
(1)平面向量数乘运算的坐标表示.
(2)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳：化归与转化.
3.常见误区：两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE(共27张PPT)
第2课时 向量数量积的运算
预 学 案
向量的数量积的运算律
已知向量a，b，c和实数λ，则
(1)a·b＝________(交换律)．
(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
练习
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a·b＝a·c且a≠0，则b＝c.( )
(2)(a·b)c＝a(b·c)．( )
(3)(a·b)2＝a2·b2.( )
(4)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.( )
×
×
×
√
2．已知a，b是互相垂直的单位向量，若c＝a－2b，则b·c＝( )
A．－2 B．－1 C．0 D．2
答案：A
解析：b·c＝b·(a－2b)＝b·a－2b2＝0－2＝－2.
故选A.
微点拨
(1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，得不到a＝b.
(2)实数运算满足乘法结合律，但向量的数量积运算不满足乘法结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
(3)常用结论
①(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2.
③(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d.
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握向量数量积的运算律及常用的公式．
(2)会利用向量数量积的运算律进行计算或证明．
题型 1 向量数量积的运算律
【问题探究】 小明学习了向量数量积的运算后，根据实数的运算律，类比得出向量数量积的运算律，如下表：
表中这些类比的结论正确吗？
运算律 实数乘法 平面向量数量积
交换律 ab＝ba a·b＝b·a
结合律 (ab)c＝a(bc) (a·b)·c＝a·(b·c)
(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)
分配律 (a＋b)c＝ac＋bc (a＋b)·c＝a·c＋b·c
提示：a·b＝b·a正确；(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)正确；
(a＋b)·c＝a·c＋b·c正确；(a·b)·c＝a·(b·c)不正确．
(解释见预学案微点拨)
例1 已知|a|＝4，|b|＝6，a与b的夹角为60°，求：
(1)a·(a＋b)；
(2)(2a－b)·(a＋3b)．
解析：a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝4×6×＝12.
(1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋a·b＝16＋12＝28；
(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2－3b2＋5a·b＝2|a|2－3|b|2＋5a·b＝2×16－3×36＋5×12＝－16.
笔记
正确应用向量数量积的运算律化简是解此类问题的关键．
训练1 已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
答案：D
解析：因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－1＝2－1＝1.故选D.
题型 2 与向量模有关的计算
例2 已知向量a，b满足|a|＝3，|a－b|＝5.
(1)若a·b＝0，求|b|的值；
(2)若a·b＝1，求|2a＋b|的值．
解析：(1)∵|a－b|＝5，
∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2＝25，
∴|b|2＝16，即|b|＝4.
(2)|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝9＋|b|2－2＝25，
∴|b|2＝18，即|b|＝3，
|2a＋b|＝＝＝＝.
求向量模的策略
训练2 已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|.
解析：由已知，|a＋b|＝4，
∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)
∵|a|＝2，|b|＝3，
∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.
又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝.
题型 3 两向量的夹角与垂直
例3 (1)若向量a，b满足|a|＝，|b|＝2，a⊥(a－b)，则a与b的夹角为( )
A． B．
C． D．
答案：A
解析：设a与b的夹角为θ，因为a⊥(a－b)，所以0＝a·(a－b)＝a2－a·b＝2－|a||b|cos θ＝2－2cos θ，得cos θ＝，又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选A.
(2)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，则当k为何值时，向量3a＋2b与ka－b互相垂直？
解析：因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以3ka2＋(2k－3)a·b－2b2＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，所以12k－18＝0，k＝.
一题多变 将本例(2)中的“a⊥b”改为“a－b与a垂直”，其他条件不变，结果如何？
解析：因为a－b与a垂直，
所以(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，
解得a·b＝4，
当(3a＋2b)⊥(ka－b)时，(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
即3k|a|2＋(2k－3)a·b－2|b|2＝0，解得k＝.
笔记：(1)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出·的值及||，||的值，然后代入求解，也可以寻找||，||，·三者之间的关系，然后代入求解．
(2)要注意夹角θ的范围θ∈[0，π]，当cos θ＞0时，θ∈[0，)；当cos θ＜0时，θ∈(，π]；当cos θ＝0时，θ＝.
(3)解决有关垂直问题时利用⊥ ·＝0(为非零向量)．
训练3 (1)已知平面向量a，b，满足a·(2a－b)＝5，且|a|＝1，|b|＝3，则向量a与向量b的夹角余弦值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
答案：B
解析：设向量a与向量b的夹角为θ，a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－|a|·|b|cos θ＝5，因为|a|＝1，|b|＝3，所以2－3cos θ＝5，解得cos θ＝－1，故选B.
(2)已知向量a，b的夹角的余弦值为，|a|＝|b|，且a＋2b与a＋λb垂直，则λ＝________．
－
解析：(2)由题设，(a＋2b)·(a＋λb)＝a2＋(2＋λ)a·b＋2λb2＝0，若|a|＝|b|＝m≠0，则a·b＝，所以(2λ＋1＋)m2＝0，即2λ＋1＋＝0，可得λ＝－.
随堂练习
1．若a，b，c均为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb
D．(a·b)c＝a(b·c)
答案：D
解析：选项A是向量加法的结合律，正确；选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；选项D，根据数量积和数乘定义，等式左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，两者不一定相等，即向量的数量积运算没有结合律存在．D错．故选D.
2．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：B
解析：a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝
＝－9＋8＝－1.故选B.
3．若向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，a·b＝2，则|a－b|＝( )
A． B．2
C．2 D．4
答案：B
解析：由题意可得|a－b|＝＝＝＝2.故选B.
4．已知向量a，b满足(a－b)⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
解析：由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，解得a·b＝|b|2＝1，
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
因为0≤θ≤π，所以θ＝.
所以a与b的夹角为.
课堂小结
1.向量数量积的运算律及其应用．
2．利用数量积求向量的模．
3．利用数量积解决夹角与垂直问题．
(共26张PPT)
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
第六章 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.
2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示.
NEI RONG SUO YIN
内容索引
知识梳理
题型探究
随堂演练
1
知识梳理
PART ONE
把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作正交分解.
知识点一 平面向量的正交分解
垂直
1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .
2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .
知识点二 平面向量的坐标表示
单位向量
a＝(x，y)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？
答案
区别 表示形式不同 向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号
意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)
联系 当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
知识点三 平面向量加、减运算的坐标表示
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量 ＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.零向量的坐标是(0,0).( )
2.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.( )
3.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.( )
4.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.( )
√
×
√
×
2
题型探究
PART TWO
例1 如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°， .四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a，b的坐标；
一、平面向量的坐标表示
解 作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cos 45°
AM＝OA·sin 45°
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.
又∵OC＝AB＝3，
(3)求点B的坐标.
反思感悟
在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标.
跟踪训练1 已知点M(5，－6)，且 ＝(－3,6)，则N点的坐标为_______.
(2,0)
二、平面向量加、减运算的坐标表示
A.(－7，－4) B.(7,4)
C.(－1,4) D.(1,4)
√
即x＝－4，y＝－2，
反思感悟
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
3
随堂演练
PART THREE
1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于
A.(－2,1) B.(2，－1)
C.(2,0) D.(4,3)
√
1
2
3
4
5
解析 由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
3.若A(3,1)，B(2，－1)，则 的坐标是
A.(－2，－1) B.(2,1)
C.(1,2) D.(－1，－2)
√
1
2
3
4
5
(－2，－4)
＝(－2，－4).
1
2
3
4
5
5.若a＝(－2,2)，b＝(3，－4)，c＝(1,5)，则a＋b＋c＝______.
(2,3)
解析 a＋b＋c＝(－2＋3＋1,2－4＋5)＝(2,3).
1.知识清单：
(1)平面向量的正交分解及坐标表示.
(2)平面向量加、减运算的坐标表示.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：已知A，B两点求 的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE