初中数学北师大版（2024）七年级下册数学期末复习解答题压轴题训练（含解析）

2024—2025学年北师大版七年级下册数学期末复习解答题压轴题训练
1．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE，则△ABD≌△ACE．
(1)请证明图1的结论成立；
(2)如图2，△ABC和△AED是等边三角形，连接BD，EC交于点O，求∠BOC的度数；
(3)如图3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，试探究∠A与∠C的数量关系．
2．如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．
(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．
3．若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式．
原式；
例如：求代数式的最小值．
原式．可知当时，有最小值，最小值是．
(1)用配方法分解因式：；
(2)当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值．
(3)求使得是完全平方数的所有整数m的积．
4．在中，，，，分别是边，上的点，连接，．
(1)如图，若，，且，求的度数；
(2)如图，若，，且，求的长；
(3)如图，若，当最大时，求的值．
5．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”．
．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小：
(3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．
①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值：
②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）．
6．利用全等三角形面积相等可以解决与图形面积相关的问题．
初步感知
如图1，在中，为中线，过点作于点，过点作交的延长线于点．在延长线上取一点，连接，使．
（1）填空：________．（填“”“”或“”）
（2）求证：．
（3）试说明：．
拓展应用
（4）如图2，在中，是钝角，点在边上，，点在边上，点在边的延长线上，，，若，的面积是9，求与的面积之和．
7．我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；．
…… …… …… ……
… …
(1)请你写出和的展开式；
(2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________．
(3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程；
(4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程．
8．如图，直线，一副三角板（，，，）按如图1放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分；
(1)求的度数；
(2)如图2，若将绕B点以每秒的速度按逆时针方向旋转（A、C的对应点分别为F、G）．设旋转时间为t秒；
①在旋转过程中，若边，求t的值；
②若在绕B点旋转的同时，绕E点以每秒的速度按顺时针方向旋转（C、D的对应点分别为K、T），请直接写出与平行时的值．
9．在学习“整式的乘法”时，我们借助几何图形解释或分析问题，建立了形与数的联系．如图1，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
(1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ；
(2)若，求代数式的值；
(3)观察图，
①从图中得到 ；
②根据得到的结论，解决问题： 已 知 ，，，代 数 式的值．
10．如图1，现有两张长为a，宽为b的长方形纸片，将它们按图2，图3两种方式放置在正方形中，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，图2中阴影部分面积记为，图3中阴影部分面积记为，图2和图3中两张长方形纸片重叠部分面积分别记为和．
(1)当正方形的边长为x时，________，_______．（用含a，b，x的代数式表示，不用化简）；
(2)若图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，求①的值；②的值；
(3)请判断的值与的值是否有关？并说明理由
11．在数学活动课，同学们用一副直角三角板（分别记为三角形和三角形，其中，，，且）开展数学活动．
操作发现：
(1)如图1，将三角形沿方向移动，得到三角形，，如果，，那么______；
(2)将这副三角板如图2摆放，并过点作直线平行于边所在的直线，点与点重合，则的度数为____________度（直接写出结果）；
(3)在（2）的条件下，如图3，固定三角形，将三角形绕点旋转一周，当时，请判断直线和直线是否垂直，并说明理由．
12．已知直线，点、分别是直线和上的两点，点为直线和之间的一点，连接、．
(1)如图1，若，试说明；
(2)如图2，在（1）的结论下，点是直线下方一点，满足平分，平分．若，求的度数；
(3)如图3，点是直线上方一点，连结、，若点为线段上一点，的延长线为的三等分线，平分，，则_________．
13．已知，点A，B在直线上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数；
(3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是_______．
14．如图，线段，交于点，点为直线上一点（不与点，重合），在的右侧，作射线，过点作直线，交于点（与不重合）．
(1)若点在线段上，
①如图①，若为钝角，，嘉嘉过点作了辅助线求出的度数．你试着完成求解过程．
②如图②，若为锐角，判断与的数量关系并说明理由．
(2)若点在线段的延长线上，直接写出与的数量关系．
参考答案
1．(1)见解析
(2)60°
(3)∠A+∠BCD=180°，理由见解析
【分析】（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD≌△ACE，得出∠ADB=∠AEC，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，即可得出答案；
（3）先判断出△BDP是等边三角形，得出BD=BP，∠DBP=60°，进而判断出△ABD≌△CBP（SAS），即可得出结论．
【详解】（1）解：证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）如图2，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB=∠AEC，
令AD与CE交于点G，
∵∠AGE=∠DGO，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°；
（3）∠A+∠BCD=180°．理由：
如图3，延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠ABC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解本题的关键．
2．(1)
(2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或
【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题；
（2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题；
②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图①中，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①如图②中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴在旋转过程中，若边的值为．
②如图③中，当时，延长交于．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图③﹣1中，当时，延长交于R．
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴．
综上，当边时，的值为或．
【点睛】本题考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，学会用分类讨论的思想思考问题及利用参数构建方程是解题的关键．
3．(1)
(2)当时，多项式有最大值13
(3)84
【分析】本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键．
（1）把变形为即可求解；
（2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解；
（3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值13．
（3）解：设，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以
因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数，
所以①，，解得：，；
②，，解得：，；
③，，解得：，；
④，，解得：，．
所以所有m的积为．
4．(1)；
(2)的长为或；
(3)
【分析】（）根据等腰直角三角形的性质和已知条件推出判定的条件，然后根据相似三角形的性质推出，代入已知边长求出的长，在中根据的正切值即可求出其度数；
（）过作于，推出条件判定，得到，判定是等腰直角三角形，用含的式子分别表示出，，代入比例式后整理得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的长；
（）过作，截取，连接，推出判定和的条件，判定全等后得到，，取中点，连接，取中点，连接，设，则，，，当，，三点共线时，是的最大值，此时最大，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：如图，过作于，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或，
即的长为或；
（3）∵，，
∴，
即，
如图，过作，截取，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
取中点，连接，取中点，连接，
设，则，
∴，
当，，三点共线时，
∵，
∴的最大值为，此时最大，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，分母有理化等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
5．(1)
(2)或
(3)①4或16；②
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用：
（1）根据题意得到，再由，进行求解即可；
（2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可；
（3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵是的“绝配角”，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：当在下方时，
∵是的“绝配角”，
∴ ，
∵，
∴，
解得（舍去）；
当在内部时，
同（1）可得，
∵与互补，
∴，
∴；
当在外部时，且在的上方时，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
∴，
∴
∵与互补，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或；
（3）解：①当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得；
当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
故答案为：4或16；
②当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴
，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得（舍去）；
当时，
由题意得，
∵平分，平分，
∴
∴
，
∵是的“绝配角”，
∴，
∴，
解得；
综上所述，，
故答案为：．
6．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）与的面积之和为
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意易得，，，然后可得，于是得解；
（2）由（1）可得，进而可得，利用即可得出结论；
（3）由（1）可知，由（2）可知，然后根据三角形之间的面积关系即可得出结论；
（4）由题意可得，进而可得，于是可得，设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，进而根据各三角形之间的面积关系即可得出答案．
【详解】（1）解：∵在中，为中线，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：由（1）可知：，
，
，
，
，
；
（3）证明：由（1）可知，由（2）可知，
，，
；
（4）解：，，，
，
在和中，
，
，
，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
，，
，
，
，
与的面积之和为．
7．(1)；
(2)三
(3)
(4)
【分析】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键．
（1）根据规律即可求解；
（2）通过变形得到，根据规律即可得解；
（3）由题意可得，即可解答；
（4）令则，与（3）中所给的式子相加，即可解答．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：，
故除以余1，
则今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三，
故答案为：三；
（3）解：令则，
令则，
；
（4）解：令则，
，
8．(1)
(2)①5或35 ②或或
【分析】（1）首先求出，根据角平分线的定义求出，再根据平行线的性质求出，继而可得结果；
（2）①分两种情况，画出图形，根据旋转速度以及平行线的性质列出关于t的方程，解之即可；②表示出，，分三种情况（如解析所示），画出图形，根据平行线的性质列出方程，再求解即可．
【详解】（1）解：，
，
平分，
，
，
，
，
．
（2）解：①如图，当在上方时，，
，
，
，
，
．
如图，当在下方时，，
，
∵，
∴，
此时旋转了，
∴，
．
在旋转过程中，若边，的值为5或35．
②如图，延长，与交于H，由题意得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
如图，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得：；
如图，延长，与交于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：；
综上：t的值为或或．
【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
9．(1)
(2)
(3)①；②
【分析】（）利用乘法公式计算即可求解；
（）由乘法公式得，进而代入化简计算即可求解；
（）①根据图形即可求解；②由①结论可得，进而可得，即得，再代入已知条件计算即可求解；
本题考查了完全平方公式在几何图形中的运用，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由乘法公式得，，
即，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①由图可得，，
故答案为：；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
10．(1)，
(2)①3；②9
(3)，理由见解析
【分析】本题主要考查了列代数式、完全平方公式、多项式乘法与图形面积、整式的四则混合运算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
（1）直接根据图2、图3列代数式即可；
（2）①由题意可得、、，然后根据完全平方公式求值即可；②先求出，然后根据完全平方公式求值即可；
（3）先根据图2、图3列代数式表示出，然后根据整式的四则混合运算求出，再与比较即可解答．
【详解】（1）解：当正方形的边长为x时，
图2中阴影部分的面积：；
图2中阴影部分的面积：；
故答案为：，．
（2）解：∵图1中长方形纸片的面积为40，周长为26，
∴，即，
①，
∴．
②
．
（3）解：，理由如下：
当正方形的边长为x时，
由图2中两张长方形纸片重叠部分面积：，
由图3中两张长方形纸片重叠部分面积：，
∴
，
∵，
∴．
11．(1)3
(2)15
(3)垂直，理由见解析
【分析】本题考查的是平移的性质，平行线的判定与性质，平行公理的应用，旋转的性质，熟练的利用旋转的性质进行证明是解本题的关键．
（1）由平移的性质可得答案；
（2）过A作直线，交于G，而，则，可得，，再利用角的和差关系可得答案；
（3）分两种情况讨论，由平行线的判定与性质的性质可求解．
【详解】（1）解：由平移的性质得，，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：3；
（2）解：过A作直线，交于G，而，
∴，
，
同理，
；
故答案为：15；
（3）解：垂直，理由如下
如图，延长交于H，交于N，延长交于M，交直线a于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴直线a，
∵，
∴直线b；
如图所示，当时，旋转到如下位置，延长交于点H
∵
，
∴，
∴，
．
12．(1)见解析
(2)
(3)或
【分析】本题考查了平行线的性质，准确识图、熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
（1）过点作，证明，得，，则，即可得出结论；
（2）过点作，先求出，根据平分，设，得，则，由（1）的结论得，即可求解；
（3）设点在的延长线上，过点作，再分以下两种情况：①当时，设，根据平分，设，则，由（1）的结论得，得，，则，再根据即可求解；②当时，设，则，设，则，由（1）的结论得，同①得，根据，即可得出，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）证明：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点作（点在点的左侧），如图所示：
∵平分，
∴，
∵平分，
设，
∵
∴，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∴；
（3）解：设点在的延长线上，过点作（点在点的右侧），
∵的延长线为的三等分线，
有以下两种情况：
①当时，如图所示：
设，则，
∴，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴；
②当时，如图所示：
设，则，
∴，
∵平分，
设，
∴，
∴，
由（1）的结论得：，
同①得：，
∵，
∴，
解得：，
∴．
综上所述：或．
故答案为：或．
13．(1)见详解
(2)
(3)或
【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，
（1）如图1中，过作．利用平行线的性质即可解决问题．
（2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题．
（3）分两种情形分别画出图形求解即可．
【详解】（1）证明：如图1中，过作．
∵，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2中，作，，
设，，
由（1）知：，，
，
，
，
同理：，
，
；
（3）解：如图，设交于．
当点在内部时，
，
，
平分，
，
，
，，
，
．
当点在直线的下方时，
，
，
平分，
，
，
，，
，
∴，
综上所述：或．
14．(1)①；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，解的和差运算，作出平行线的辅助线是解题的关键．
（1）①过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解；
②过点C作，则得，从而求得；再由得，进而即可得到答案；
（2）过点C作，则得，从而求得；再由得，由同旁内角互补即可求解；
【详解】（1）解：①如图，过点C作，
则；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图，过点C作，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴；
（2）解：；理由：
如图，过点C作，
∴；
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；