云南省2025年初中学业水平考试数学真题
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（ ）
A．-5元 B．5元 C．-10元 D．10元
2．（2025·云南）地球绕太阳公转的速度约是110000km/h.110000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·云南）如图，已知直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1=50°，则∠2=（ ）
A．53° B．52° C．51° D．50°
4．（2025·云南）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·云南）若点（1，2）在反比例函数（k为常数，且的图象上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025·云南）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
7．（2025·云南）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
8．（2025·云南）如图，在中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且.若则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·云南）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4 B． C．x≠2 D．x≠1
10．（2025·云南）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·云南）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛.九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80.这组数据的众数是（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
12．（2025·云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是（ ）
A．（2n-1）a B．（2n+1）a C．（n+1）a D．2025a
13．（2025·云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
14．（2025·云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C．6000（1+2x）=6200 D．
15．（2025·云南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm.
17．（2025·云南）分解因式：x2+x＝ ．
18．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若.则菱形ABCD的面积是 .
19．（2025·云南）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查.下图是根据调查结果绘制的扇形统计图.根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名.
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（2025·云南）计算：
21．（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，
求证：
22．（2025·云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等.求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
23．（2025·云南）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y.若x=y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P.
24．（2025·云南）如图，在中，是AC的中点.延长BO至点D，使（连接AD，CD.记.的周长为的周长为，四边形ABCD的周长为l3.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若求AC的长.
25．（2025·云南）请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
26．（2025·云南）已知a是常数，函数记
（1）若，求y的值；
（2）若.，比较T与3的大小.
27．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，
（1）若且求的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分是否存在常数a，b，使等式.·AE成立 若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，若收入10元记作+10元，则支出5元可记作-5元.
故答案为：A.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：110000=1.1×105，
故答案为：C.
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.
3．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求解.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：x+2x=3x，则A不符合题意；
x2·x3=x5，则B符合题意；
x6÷x2=x4，则C不符合题意；
(xy)2=x2y2，则D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方法则即可求解.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点(1，2)在反比例函数(k为常数，且k≠0)的图象上，
∴将x=1，y=2代入，得：
解得：k=2，
故答案为：B.
【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值.
6．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱.
故答案为：D.
【分析】由三视图条件分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：(6-2)×180°=720°
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和计算公式即可求解.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
9．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：x-1≠0，
即x≠1，
故答案为：D.
【分析】确定分式函数的分母不为零，从而找到自变量的取值范围.
10．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。
故答案为：C。
【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。
11．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次；100分出现1次，
∵其中90分出现的次数最多(5次)，
∴这组数据的众数是90，
故答案为：C.
【分析】根据众数的概念即可求解.
12．【答案】A
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由所给的单项式可知：
每项的系数为奇数，故第n个单项式的系数为：(2n-1)，
故第n个单项式是(2n-1)a，
故答案为：A.
【分析】根据所给的单项式的系数与次数，即可找到规律，根据规律即可求解.
13．【答案】B
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
则
解得r=10，
即圆锥的底面圆的半径为10cm.
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，利用扇形弧长公式和圆周长公式联立求解.
14．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该书店每月盈利的平均增长率为x，
由题意得：6000(1+x)2=6200，
故答案为：A.
【分析】根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以(1+x)2，即可建立方程.
15．【答案】D
【知识点】解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
16．【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在☉O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.
17．【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
故答案为：x（x+1）
【分析】利用提公因式将多项式分解因式。
18．【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是，
故答案为：15.
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可.
19．【答案】200
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有1000×20%=200(名)，
故答案为：200.
【分析】利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解.
20．【答案】解：原式
=8
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用零指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可.
21．【答案】证明：在 和 中
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据已知条件AC =BD，∠C=∠D，结合∠AOC=∠BOD，利用“AAS”求解即可.
22．【答案】解：设机器人A每小时搬运x千克，则机器人B每小时搬运 千克。
解得
检验：当 时，原分母不为0，是方程的解
答：机器人A每小时搬运80千克；机器人B每小时搬运100 千克.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值(即机器人A每小时搬运化工原料的质量)，再将其代入(x+20)中，即可求出机器人B每小时搬运化工原料的质量.
23．【答案】（1）解：列表得
y 2
1 (1，1) (2，1)
2 (1，2) (2，2)
3 (1，3) (2，3)
（2）解：A组学生到早教老院，B组学生到乙敬老院的结果有(1，1) (2，2)
∴概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)列表法，得到共有6种等可能的结果；
(2)根据列表法得到x=y的结果有2种，利用概率公式计算即可.
24．【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，
又
∴四边形ABCD为平行四边形
为矩形
（2）解：∵l2-l1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO)，AO=OC
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，
∴a+a+b+b=28，
∴a+b=14，
∴
解得：
∵∠ABC=90°，
∴，
∴AC的长为10.
【知识点】解二元一次方程组；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明对角线互相平分，继而得到四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC=90°，即可证明为矩形；
(2)由矩形的性质得到l2-l1=b-a=2，a+b=14，得到二元一次方程组，求出a，b，再
由勾股定理即可求解.
25．【答案】解：任务一： 设每个篮球x元，每个排球y元
根据题意得
解得：
答：每个篮球150元，每个排球100元.
任务二： 设购买篮球m个，则购买排球(60-m)个，总费用为w元
根据题意得：
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40(个)
∴最节省的购买方案为篮球20个，排球40个，总费用为7000元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(任务一)设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务二)设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买(60-m)个排球，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
26．【答案】（1）解：将 代入函数得
（2）解：由题意得：
或
①当 时，即 时
将 代入T解得
时，
当 时
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】(1)直接代入给定的a和x的值，按运算顺序计算即可；
(2)通过y=1的条件建立关于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表达式进行计算，最后比较T与3的大小.
27．【答案】（1）解：∵CE=CB，且∠CBE=60°，
∴△CBE 是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
（2）解：延长CO交OO于点M，连接EM，
∵CM是☉O的直径，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF ，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF =90°，
∴OC⊥CF ，
∵OC是☉O的半径，
∴直线CF是☉O的切线.
（3）解：时，即 时，存在.
理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2，
∵CE=CB ，
∴AC2=BC·CE+AB·AE，
∴a=1，b=1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明△CBE是等边三角形即可；
(2)延长CO交☉O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF，所以∠ACF+∠ACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证；
(3)设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC=∠BAC，CE=CB，通过圆周角理可得∠EAC=∠EBC=∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有，，即有BC2= AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解.
1 / 1云南省2025年初中学业水平考试数学真题
一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025·云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元，则支出5元可记作（ ）
A．-5元 B．5元 C．-10元 D．10元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，若收入10元记作+10元，则支出5元可记作-5元.
故答案为：A.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.
2．（2025·云南）地球绕太阳公转的速度约是110000km/h.110000用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：110000=1.1×105，
故答案为：C.
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案.
3．（2025·云南）如图，已知直线c与直线a，b都相交.若a∥b，∠1=50°，则∠2=（ ）
A．53° B．52° C．51° D．50°
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=50°，
∴∠2=∠1=50°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行，内错角相等即可求解.
4．（2025·云南）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：x+2x=3x，则A不符合题意；
x2·x3=x5，则B符合题意；
x6÷x2=x4，则C不符合题意；
(xy)2=x2y2，则D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方法则即可求解.
5．（2025·云南）若点（1，2）在反比例函数（k为常数，且的图象上，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵点(1，2)在反比例函数(k为常数，且k≠0)的图象上，
∴将x=1，y=2代入，得：
解得：k=2，
故答案为：B.
【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值.
6．（2025·云南）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．正方体 B．长方体 C．圆锥 D．圆柱
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱.
故答案为：D.
【分析】由三视图条件分析判断即可.
7．（2025·云南）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：(6-2)×180°=720°
故答案为：C.
【分析】根据多边形的内角和计算公式即可求解.
8．（2025·云南）如图，在中，已知D，E分别是AB，AC边上的点，且.若则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
9．（2025·云南）函数的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4 B． C．x≠2 D．x≠1
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可知：x-1≠0，
即x≠1，
故答案为：D.
【分析】确定分式函数的分母不为零，从而找到自变量的取值范围.
10．（2025·云南）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对成图形的定义，"我"、"爱"、"国"都不是轴对称图形，"中"是轴对称图形。
故答案为：C。
【分析】根据轴对成图形的定义进行选择即可。
11．（2025·云南）某校举办了关于垃圾分类的知识竞赛.九年级10名学生参加本次竞赛的成绩（单位：分）分别为90，80，90，70，90，100，80，90，90，80.这组数据的众数是（ ）
A．70 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：将题目中的成绩按出现次数统计：70分出现1次；80分出现3次；90分出现5次；100分出现1次，
∵其中90分出现的次数最多(5次)，
∴这组数据的众数是90，
故答案为：C.
【分析】根据众数的概念即可求解.
12．（2025·云南）按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是（ ）
A．（2n-1）a B．（2n+1）a C．（n+1）a D．2025a
【答案】A
【知识点】探索规律-系数规律
【解析】【解答】解：由所给的单项式可知：
每项的系数为奇数，故第n个单项式的系数为：(2n-1)，
故第n个单项式是(2n-1)a，
故答案为：A.
【分析】根据所给的单项式的系数与次数，即可找到规律，根据规律即可求解.
13．（2025·云南）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40cm，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
【答案】B
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为rcm，
则
解得r=10，
即圆锥的底面圆的半径为10cm.
故答案为：B.
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，其弧长等于圆锥底面圆的周长，利用扇形弧长公式和圆周长公式联立求解.
14．（2025·云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C．6000（1+2x）=6200 D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该书店每月盈利的平均增长率为x，
由题意得：6000(1+x)2=6200，
故答案为：A.
【分析】根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以(1+x)2，即可建立方程.
15．（2025·云南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.若AB=13，BC=5，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—边角关系；求正弦值
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴
故答案为：D.
【分析】在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
16．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为 cm.
【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在☉O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.
17．（2025·云南）分解因式：x2+x＝ ．
【答案】x（x+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
故答案为：x（x+1）
【分析】利用提公因式将多项式分解因式。
18．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若.则菱形ABCD的面积是 .
【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是，
故答案为：15.
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可.
19．（2025·云南）某中学为了解全校1000名学生对新闻，娱乐，体育，动画，戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”作了一次简单随机抽样调查.下图是根据调查结果绘制的扇形统计图.根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有 名.
【答案】200
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有1000×20%=200(名)，
故答案为：200.
【分析】利用总人数乘以最喜爱娱乐节目的学生所占比即可求解.
三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
20．（2025·云南）计算：
【答案】解：原式
=8
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用零指数幂，二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值计算后再算加减即可.
21．（2025·云南）如图，AB与CD相交于点O，
求证：
【答案】证明：在 和 中
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据已知条件AC =BD，∠C=∠D，结合∠AOC=∠BOD，利用“AAS”求解即可.
22．（2025·云南）某化工厂采用机器人A，机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20千克，机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等.求机器人A，机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
【答案】解：设机器人A每小时搬运x千克，则机器人B每小时搬运 千克。
解得
检验：当 时，原分母不为0，是方程的解
答：机器人A每小时搬运80千克；机器人B每小时搬运100 千克.
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】设机器人A每小时搬运x千克化工原料，则机器人B每小时搬运(x+20)千克化工原料，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1000千克所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值(即机器人A每小时搬运化工原料的质量)，再将其代入(x+20)中，即可求出机器人B每小时搬运化工原料的质量.
23．（2025·云南）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成A，B两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院.
游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为x.在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为y.若x=y，则A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院；若x≠y，则A组学生到乙敬老院，B组学生到甲敬老院.
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数；
（2）求A组学生到甲敬老院，B组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率P.
【答案】（1）解：列表得
y 2
1 (1，1) (2，1)
2 (1，2) (2，2)
3 (1，3) (2，3)
（2）解：A组学生到早教老院，B组学生到乙敬老院的结果有(1，1) (2，2)
∴概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)列表法，得到共有6种等可能的结果；
(2)根据列表法得到x=y的结果有2种，利用概率公式计算即可.
24．（2025·云南）如图，在中，是AC的中点.延长BO至点D，使（连接AD，CD.记.的周长为的周长为，四边形ABCD的周长为l3.
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若求AC的长.
【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，
又
∴四边形ABCD为平行四边形
为矩形
（2）解：∵l2-l1=BO+OC+BC-(BO+AB+AO)，AO=OC
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=a，AD=BC=b，
∴a+a+b+b=28，
∴a+b=14，
∴
解得：
∵∠ABC=90°，
∴，
∴AC的长为10.
【知识点】解二元一次方程组；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先证明对角线互相平分，继而得到四边形ABCD是平行四边形，再由∠ABC=90°，即可证明为矩形；
(2)由矩形的性质得到l2-l1=b-a=2，a+b=14，得到二元一次方程组，求出a，b，再
由勾股定理即可求解.
25．（2025·云南）请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
任务二 给出最节省费用的购买方案.
【答案】解：任务一： 设每个篮球x元，每个排球y元
根据题意得
解得：
答：每个篮球150元，每个排球100元.
任务二： 设购买篮球m个，则购买排球(60-m)个，总费用为w元
根据题意得：
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40(个)
∴最节省的购买方案为篮球20个，排球40个，总费用为7000元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(任务一)设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(任务二)设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买(60-m)个排球，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，由购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
26．（2025·云南）已知a是常数，函数记
（1）若，求y的值；
（2）若.，比较T与3的大小.
【答案】（1）解：将 代入函数得
（2）解：由题意得：
或
①当 时，即 时
将 代入T解得
时，
当 时
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】(1)直接代入给定的a和x的值，按运算顺序计算即可；
(2)通过y=1的条件建立关于a的方程，解出a的可能值，再代入T的表达式进行计算，最后比较T与3的大小.
27．（2025·云南）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，BD是⊙O的直径.连接AC，BE，CE，
（1）若且求的度数；
（2）求证：直线CF是⊙O的切线；
（3）探究，发现与证明：
已知AC平分是否存在常数a，b，使等式.·AE成立 若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵CE=CB，且∠CBE=60°，
∴△CBE 是等边三角形，
∴∠BCE=60°.
（2）解：延长CO交OO于点M，连接EM，
∵CM是☉O的直径，
∴∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，
∵∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF ，
∴∠ACF+∠ACM=90°，
∴∠MCF =90°，
∴OC⊥CF ，
∵OC是☉O的半径，
∴直线CF是☉O的切线.
（3）解：时，即 时，存在.
理由如下：
如图，设AC与BE交于点N，
∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠BAC
∵∠EAC=∠EBC，∠BEC=∠BAC
∴∠EAC=∠EBC=∠BAC=∠BEC
∴CE=CB，
∵∠AEB=∠BCA，
∴△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，
∴，
∴BC2=AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，
①+②得：BC2+AE×AB=AC×CN+AC×AN=AC(CN+AN)=AC2，
∵CE=CB ，
∴AC2=BC·CE+AB·AE，
∴a=1，b=1.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)证明△CBE是等边三角形即可；
(2)延长CO交☉O于点M，连接EM，由圆周角定理可得∠CEM=90°，即∠AEC+∠AEM=90°，又∠AEM=∠ACM，∠AEC=∠ACF，所以∠ACF+∠ACM=90°，然后由切线的判定方法即可求证；
(3)设AC与BE交于点N，由AC平分∠BAE，可得∠EAC=∠BAC，CE=CB，通过圆周角理可得∠EAC=∠EBC=∠BAC，证明△BCN∽△ACB，△AEN∽△ACB，故有，，即有BC2= AC×CN①，AE×AB=AC×AN②，然后通过①+②即可求解.
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