初中数学人教版（2024）八年级下册 第十八章 平行四边形 单元试卷（含解析）

第十八章 平行四边形 单元试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1．如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，找到、的中点分别是点D、E，并测得米，则A、B间的距离是( )
A．14米 B．21米 C．28米 D．不能确定
2．如图，BD是的对角线，如果，，则等于（ ）
A．65° B．55° C．45° D．25°
3．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则菱形的面积为（ ）
A．36 B．18 C．24 D．64
4．如图，四边形的对角线，交于点O，且，，下列说法错误的是（ ）

A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若且，则是正方形 D．若，则是正方形
5．如图：点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，如果，四边形的面积为24，且，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
6．如图1是多媒体上展示的一道数学题，淇淇的部分作图过程如图2所示，接下来淇淇以点C为圆心，长为半径作弧交射线于点D，连接，则四边形即为所求．对于淇淇得到的四边形，下列说法正确的是（ ）
A．四边形一定是平行四边形
B．当时，四边形一定是矩形
C．四边形一定不是平行四边形
D．当时，四边形是平行四边形
7．如图，已知菱形，、交于点O，延长到E，使，连接，，，则（ ）

A．4 B． C．8 D．
8．如图，在菱形中，，，是边上的一个动点，连接，以为对角线作菱形，使点落在边上，当菱形的周长最小时，菱形的面积为（ ）
A．16 B．12 C． D．
二、填空题
9．如图，在矩形中，点、分别在边、上，且．在不添加任何辅助线的情况下，现只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
10．如图，在菱形中，对角线交于点O，，．则菱形的面积是 ．
11．如图，将矩形折叠，使点A落在边上的点M处，折痕交边于点E．若，，则的长为 ．
12．如图，在矩形中，点B的坐标为，则的长是 ．
13．如图，在中，按下列步骤作图：①以点D为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E.若，，则的周长为 ．

14．如图，在中，，平分交于点D，，交于点E，交于点F．有以下结论：
①保持的长度不变，改变的大小，四边形一定是平行四边形；
②保持的长度不变，改变的大小，可使成立；
③保持的大小不变，改变的长度，可使成立；
④保持的大小不变，改变的长度，连接，可使四边形为平行四边形．
其中所有的正确结论是 ．（填序号即可）
15．将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交于点E，交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则的长度为 ．

16．如图，正方形的边长为3，点E在边上，，若点P为对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
三、解答题
17．如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形；
18．如图， 在□ABCD中，点E、F是AD、BC的中点，连接BE、DF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若BE平分∠ABC且交边AD于点E，AB=6cm，BC=10cm，试求线段DE的长．
19．如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，．
（1）若，求的长；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若四边形是矩形，请直接写出与之间满足的数量关系．
20．如图，在平行四边形中，对角线、交于点O，点E为的中点，于点F，点G为上一点，连接，，且．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若，，，则 ．
21．【课本再现】
如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动．
【问题发现】
（1）①如图1，求证：；
②如图1，四边形的面积为______；线段，，之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如图2，点O是矩形对角线的中点，点O又是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
（3）如图3，有一个菱形菜园，，为人行步道，且交于点O，现要在菜园的右下角建一四边形储藏间．已知点E在上，点F在上，．若四边形储藏间的占地面积为（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园围一圈篱笆，请直接写出需要篱笆多少米？
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵点D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴AB=2DE，
∵DE=14米，
∴AB=28米，
故选C．
2．【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得出∠ABC＝∠ADC＝80°，由，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝80°，
∵∠ADB＝25°，
∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝80°﹣25°＝55°，
故选B．
3．【答案】A
【分析】由中，点O是的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，由菱形对角线的性质可得，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴菱形的面积．
故选A．
4．【答案】D
【分析】先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
若，则四边形是菱形，故A选项不符合题意；
若，则四边形是矩形，故B选项不符合题意；
若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意；
若，则四边形是矩形，故D选项符合题意；
故选D．
5．【答案】B
【详解】如图：连接，交于点O，
因为、、、分别是四边形边的中点，
∴，；，；，；，．
∵，∴，∴四边形是菱形．
∴，，，∴，
∵四边形面积为，，∴，解得．
∴，
在中， ．
故选B．
6．【答案】B
【分析】先证明，，进而得出，按作图要求得出四边形可能是平行四边形，得出结论．
【详解】解：平分．
，
，
，
，
．以点为圆心，长为半径作弧交射线于点，点会有两个位置，右侧的点可以使四边形为平行四边形，左侧的点使四边形为梯形，
四边形可能是平行四边形．
当时，点仅会有一个位置，故四边形一定是矩形，
故选B．
7．【答案】D
【分析】由菱形的性质可知，，且平分和，由此可证是等边三角形，则，进而可得．在中，求出的长，然后在中，根据勾股定理即可求出的长．
【详解】∵四边形是菱形，
，，
且平分和，
，
．
又，
，
是等边三角形，
，
．
中，，
，
，
．
故选D．
8．【答案】D
【分析】过作，如图所示，分析出菱形的周长最小时的位置，再由含的直角三角形性质，可判断，过作，如图所示，在中，根据勾股定理得到，最后由菱形的面积公式计算即可得到答案．
【详解】解：过作，如图所示：
在菱形中，，，
设，则，
，
，
，
，
，即菱形边长最小是4，
当时，则，即菱形边长最小时，在中，，，
，
过作，如图所示：
在中，，，则，
，由勾股定理可得，
菱形的周长最小时，菱形的面积为，
故选D．
9．【答案】
【分析】由题意易得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理即可解答．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或或或(一组邻边相等的平行四边形是菱形)．
故答案为∶ （答案不唯一）．
10．【答案】
【分析】先由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，进而得到的长，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，对角线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴.
11．【答案】5
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形是矩形，且，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
即.
12．【答案】13
【分析】根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出，即可得出答案．
【详解】解：连接，过作轴于，
点的坐标是，
，，由勾股定理得：，
四边形是矩形，
，
.
13．【答案】28
【分析】由尺规作图可得是的平分线，即；再根据平行四边形的性质及等于三角形的性质可得，进而得到，最后根据平行四边形的周长公式求解即可．
【详解】解：由题意可知，是的平分线，
∴，
∵中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴的周长为．
14．【答案】①③④
【分析】根据平行四边形的判定、三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定逐个分析即可判断．
【详解】解：①因为，，
所以四边形是平行四边形，故①正确；
②保持的长度不变，改变的大小，不可使成立，故②错误；
③保持的大小不变，改变的长度，使得点E为的中点时，成立 ，证明如下：
∵平分交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
④保持的大小不变，改变的长度，连接，当时，四边形为平行四边形，证明如下：
∵，平分，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故④正确；
∴综上所述，所有的正确结论是①③④．
15．【答案】
【分析】根据题意得，垂直平分，，，，则，即，根据得，即，根据勾股定理得，，则，进行计算即可得．
【详解】解：∵正方形纸片的边长为4，
∴，
∵正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，
∴垂直平分，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
，
.
16．【答案】
【详解】解：如图，连接，，交于，
四边形是正方形，
，，即和关于对称，
，
，
共线时，最短，即在位置，
正方形的边长为3，点在边上，，
，，
由勾股定理得：，
的值最小为．
17．【答案】见详解
【分析】连接，设与交于点．利用平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明四边形是平行四边形．
【详解】证明：连接，设与交于点．如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
又，
．
四边形是平行四边形．
18．【答案】（1）见详解；（2）4cm．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，又由点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，可得DE=BF，证得四边形BFDE是平行四边形，即可证得结论．
（2）由平行线的性质和角平分线得出∠ABE=∠AEB，证出AE=AB=6cm，即可得出结果．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵点E、F分别是 ABCD边AD、BC的中点，
∴DE=AD，BF=BC，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
（2）∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=6cm，
∴DE=AD-AE=10cm-6cm=4cm．
19．【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【分析】（1）根据矩形的性质推出OF是△ACP的中位线，根据三角形中位线性质定理求解即可；
（2）结合（1）利用ASA证明△DEF≌△CEP，根据全等三角形的性质得到EF＝EP，结合DE＝CE，即可判定四边形CFDP是平行四边形；
（3）根据矩形的性质、勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，
∵FP＝AF，OF＝2，
∴OF是△ACP的中位线，
∴CP＝2OF＝4，
∴CP的长为4；
（2）证明：∵OF是△ACP的中位线，
∴OFCP，
∴∠FDE＝∠PCE，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△DEF和△CEP中，
∵ ，
∴△DEF≌△CEP（ASA），
∴EF＝EP，
又∵DE＝CE，
∴四边形CFDP是平行四边形；
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADE＝90°，
∴，
若四边形CFDP是矩形，则
EF＝DE＝PE＝CE＝CD，FP＝CD，
∵AF＝FP，
∴AE＝AF＋EF＝CD，
∴，
∴，
∴AD＝CD或AD＝ CD（舍去），
∴AD＝AB．
20．【答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）证是的中位线，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论；
（2）证是等腰直角三角形，得，则，过D作于点M，则是等腰直角三角形，得，然后由勾股定理得，即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∵点E为的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：如图，过点作，交于，
，
是等腰直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
．
21．【答案】（1）①见详解；②；；（2），见详解；（3）
【分析】（1）①根据证明即可；
②根据，得出，根据，求出结果即可；根据， 得出， 根据勾股定理得出，根据线段之间的数量关系，即可得出结论；
（2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可；
（3）取的中点H，连接，过点O作于点G，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，设，则，，根据，得出，求出结果即可．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
，
∵，
∴，
∵，
∴；
②∵正方形的边长为1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），理由如下：
连接，如图所示：
∵O为矩形中心，
∴，
延长交于，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵在中，
∴；
（3）取的中点H，连接，过点O作于点G，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，H为的中点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
∵，为等边三角形，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
解得：，负值舍去，
，
∴，
∴菱形菜园围一圈篱笆，需要篱笆．
第 page number 页，共 number of pages 页