第1章　三角函数 3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算--北师大版高中数学必修第二册课件（共38页PPT）

(共38张PPT)
第一章
3.1　弧度概念 3.2　弧度与角度的换算
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解弧度的意义,掌握1弧度的角的定义.
2.能进行角度和弧度的换算,熟记特殊角的弧度数.
3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积公式,会解决某些简单的实际问题.
4.通过学习,理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辩证统一的.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　弧度与弧度制
1.在单位圆中,把长度等于　　　　　的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号　　　　　表示,读作　　　　　.
注意成立的前提条件
2.在单位圆中,每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法,称作　　　　　　.
rad
弧度
弧度制
1
名师点睛
1.1弧度的角与1度的角所指含义不同,大小更不同.
2.无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角,角的大小都与“半径”大小无关.
3.用“度”作为单位度量角时,“度”或“°”不能省略,而用“弧度”作为单位度量角时,“弧度”或“rad”通常省略不写.
4.当圆心角一定时,它所对的弧长与半径的比值是一个确定的值,与所在圆的半径大小无关.
5.一般地,弧度与实数一一对应,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
思考辨析
在同一个表达式中,能不能同时出现角度制和弧度制
提示 角度制和弧度制是两种不同的角的度量方法,两者有着本质的不同,因此在同一个表达式中两种度量方法不能混用.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大. (　　)
(2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等. (　　)
(3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　)
×
×
√
知识点二　弧度与角度的换算
2.弧度数公式:　　　　　,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对的弧长与半径之比.
3.弧长公式:　　　　,即弧长等于所对圆心角的弧度数的绝对值与半径之积.采用角度制时的相应公式为
4.扇形的面积公式:
l=|α|r
名师点睛 一些特殊角的度数与弧度数的对应表
思考辨析
扇形的面积 中α是角度还是弧度
提示 α的单位为弧度.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)160°化为弧度制是 rad.(　　)
(2)扇形的半径为1 cm,圆心角为30°,则扇形的弧长l=r|α|=1×30=30(cm).(　　)
√
×
2.[人教B版教材例题]把 化成度.
3.[人教A版教材例题]把67°30'化成弧度.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　弧度制的概念
【例1】 下列说法错误的是(　　)
A.弧度与实数一一对应
C.根据弧度的定义,180°等于π弧度
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与所在圆的半径的大小有关
D
解析 无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
规律方法　弧度制与角度制的异同
1.用角度制和弧度制度量零角时,单位不同,但数值相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角时,单位不同,数值也不同.
2.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以度为单位表示角的大小时,“度”或“°”不能省略.
变式训练1下列说法正确的是(　　)
A.1弧度是1度的圆心角所对的弧
B.1弧度是长度为半径的弧
C.1弧度是1度的弧与1度的角之和
D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小,它是角的一种度量单位
D
解析 弧度是度量角的大小的一种单位,1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小.故选D.
探究点二　弧度与角度的换算
【例2】 (1)把112°30'化成弧度;
(2)把 rad化成度;
(3)将-1 485°化成弧度.
规律方法　弧度制与角度制换算的关键与方法
(1)关键:抓住互化公式π rad=180°.
(3)角度化弧度时,应先将分、秒化成度,再化成弧度.
变式训练2将下列角度与弧度进行互化:
探究点三　用弧度制表示角及其范围
【例3】 如图所示,用弧度制表示顶点在原点、始边与x轴的非负半轴重合、终边落在阴影部分内的角的集合.
规律方法　用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法
(1)用弧度制表示象限角的集合如下:
(2)用弧度制表示轴线角的集合如下:
终边落在x轴上的角为{α|α=kπ,k∈Z};
(3)用弧度制表示终边相同的角的集合为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.
变式训练3终边在坐标轴上的角的集合是　　　　　　,终边在直线y=-x上的角的集合是　　　　　 　　.
探究点四　与扇形弧长、面积有关的问题
【例4】 (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积;
解 设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,由圆心角为2,依据弧长公式可得l=2r,从而扇形的周长为l+2r=4r=8,解得r=2,则l=4.
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
规律方法　弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量,即面积S,弧长l,圆心角α,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个量(通过方程组求得).
(2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题.
(3)注意扇形圆心角的弧度数的取值范围是(0,2π),实际问题中注意根据这一范围进行取舍.
变式训练4
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)弧度与弧度制的概念;
(2)弧度与角度的相互转化;
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳:消元法、配方法.
3.常见误区:对1弧度的定义的理解;弧度与角度混用.
学以致用·随堂检测促达标
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2
3
4
5
1.把1 920°化成弧度是(　　)
D
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2. 化为度是(　　)
A.290° B.288° C.144° D.145°
C
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5
3.已知扇形的弧长是8,圆心角的弧度数是2,则扇形所在圆的半径是(　　)
A.1 B.4 C.2 D.
B
解析 设扇形所在圆的半径为R,则2R=8,解得R=4,故选B.
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4.已知两角的和是1弧度,两角的差是1°,则这两个角分别为　　 　 　.
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5.已知半径为1的扇形面积为 ,则扇形的圆心角为　　　　　.
本 课 结 束