第1章　三角函数 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质--北师大版高中数学必修第二册课件（共50页PPT）

(共50张PPT)
第一章
4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定
4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解任意角的正弦函数、余弦函数的定义.
2.会求任意角的正弦函数值、余弦函数值.
3.能结合单位圆理解正弦函数、余弦函数的基本性质,会求一些简单的函数的性质.
4.掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　任意角的正弦函数和余弦函数
1.单位圆:以单位长度为半径的圆称为单位圆.
2.单位圆中任意角的正弦函数和余弦函数的定义:给定任意角α,作单位圆,角α的终边与单位圆的交点为P(u,v),点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.把点P的纵坐标v定义为角α的正弦值,记作 v=sin α;把点P的横坐标u定义为角α的余弦值,记作 u=cos α.
正弦v=sin α、余弦u=cos α分别是以角α的大小为自变量,以单位圆上的点的纵坐标、横坐标为函数值的函数,其定义域为全体实数,其值域为实数的子集合.
单位圆是前提条件
3.设角α终边上除原点外的一点Q(x,y),则sin α= ,cos α= ,其中r=　　 　　.
名师点睛
对正弦函数和余弦函数定义的理解
(1)正弦函数和余弦函数都是函数,它们满足函数的定义,可以看成是从角(弧度制)的集合到一个比值的集合的对应.
(2)正弦函数和余弦函数是用单位圆来定义的,所以正弦函数和余弦函数的定义域是实数集R.
(3)正弦函数和余弦函数是一个比值,也是一个实数,这个实数的大小与点P(x,y)在终边上的位置无关,只由角α的终边位置决定,即正弦函数值和余弦函数值的大小只与角有关.
思考辨析
正弦、余弦函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关
提示 正弦、余弦函数值是比值,是一个实数,它的大小与点P在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)sin α表示sin 与α的乘积.(　　)
(2)设角α终边上的点P(x,y),r=|OP|≠0(O为坐标原点),则sin α= ,且y越大,sin α的值越大.(　　)
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等.(　　)
(4)终边落在y轴上的角的正弦函数值为0.(　　)
×
×
√
×
2.[人教B版教材例题]已知角α的终边经过点P(2,-3),求sin α,cos α和tan α.
知识点二　正弦函数、余弦函数的基本性质
根据正弦函数v=sin x和余弦函数u=cos x的定义,不难看出它们具有以下基本性质:
(1)定义域都是　　　　;
(2)最大值都是　　,最小值都是　　　,值域都是　　　　　;
(3)它们都是周期函数,其周期都是　　　 　　,最小正周期都是　　　　;
(4)正弦函数v=sin x在区间　　　　　　　　　　上单调递增,在区间
　　　　　　　　　上单调递减;余弦函数u=cos x在区间______________　　　　　　　　　上单调递增,在区间　　　　　　　　上单调递减.
R
1
-1
[-1,1]
2kπ(k∈Z,且k≠0)　
2π
[2kπ-π,2kπ],k∈Z　
[2kπ,2kπ+π],k∈Z
名师点睛
正弦函数值和余弦函数值都具有周期性,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现一次,这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系,即如果给定一个角,它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的;反过来,如果给定一个正弦函数值或余弦函数值,却有无穷多个角与之对应.
思考辨析
能否认为正弦函数在单位圆的右半圆是单调递增的
提示 不能,右半圆可以表示无数个区间,只能说正弦函数在每一个区间
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)对于任意角α,sin α,cos α都有意义.(　　)
(2)余弦函数y=cos x在区间[0,π]上是减函数.(　　)
(3)存在实数x,使得sin x=- .(　　)
√
√
×
[0,π]　
[-2,1]　
知识点三　正弦函数值和余弦函数值的符号
正弦函数值和余弦函数值的符号是根据正弦函数和余弦函数定义和各象限内的坐标符号确定的.正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号;余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号.正弦函数值、余弦函数值在每个象限的符号如图所示.
名师点睛
类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
sin α + + - -
cos α + - - +
思考辨析
若一个角的正弦值、余弦值和正切值都是正数,那么这个角是第几象限角
提示 第一象限角.
自主诊断
1.[人教B版教材例题]确定下列各值的符号.
解 (1)因为260°是第三象限角,所以cos 260°<0.
(3)由-672°20'=47°40'+(-2)×360°,可知-672°20'是第一象限角,所以tan(-672°20')>0.
2.设sin θ<0且tan θ>0,确定θ是第几象限角.
解 因为sin θ<0,所以θ的终边在第三、四象限,或y轴负半轴上;又因为
tan θ>0,所以θ的终边在第一、三象限.
因此满足sin θ<0且tan θ>0的θ是第三象限角.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　根据正弦函数、余弦函数的定义求值
规律方法　利用正弦函数和余弦函数的定义求一个角的正弦函数值和余弦函数值有以下几种情况:
(1)若已知角,只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标,即可求出正弦函数值和余弦函数值;
(2)若已知角α终边上一点P(x,y)是单位圆上的点,则sin α=y,cos α=x;
(4)若已知角α终边上点的坐标含参数,则需进行分类讨论.
变式训练1(1)在单位圆中,若α=-π,则sin α=　　　　,cos α=　　　　.
0
-1
解析 由于α=-π,因此角α终边与单位圆交点是(-1,0).故sin α=0,cos α=-1.
★(2)已知角α的终边落在直线 x+y=0上,求sin α,cos α的值.
探究点二　正弦函数、余弦函数值的符号判断及应用
【例2】 设角α的终边不在坐标轴上,则函数 的值域为　　　　　.
{-2,0,2}　
规律方法　正弦函数值、余弦函数值的符号判断方法
一个角的正弦函数值、余弦函数值的符号取决于这个角的终边所在的象限,可用口诀简记为“一全正,二正弦,三全负,四余弦”,即第一象限角的正弦函数值、余弦函数值全为正值,第二象限角的正弦函数值为正值,第三象限角的正弦函数值、余弦函数值全为负值,第四象限角的余弦函数值为正值.
变式训练2若sin α>0,cos α<0,则角α的终边所在象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 因为sin α>0,所以角α的终边在第一或第二象限或y轴的正半轴上.因为cos α<0,所以角α的终边在第二或第三象限或x轴的负半轴上,综上可知,角α的终边在第二象限.
探究点三　正弦函数、余弦函数的定义域问题
【例3】 求下列函数的定义域:
规律方法　1.求函数的定义域,就是求使解析式有意义的自变量的取值范围,一般通过解不等式或不等式组求得,对于三角函数的定义域问题,还要考虑三角函数自身定义域的限制.
2.要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时,可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集.
变式训练3函数y=lg(cos x- )的定义域为(　　)
C
探究点四　正弦函数、余弦函数的最值、值域问题
(2)已知函数y=asin x+1的最大值为3,求它的最小值.
解 当a>0时,ymax=a×1+1=3,得a=2,
∴当sin x=-1时,ymin=2×(-1)+1=-1;
当a<0时,ymax=a×(-1)+1=3,得a=-2,
∴当sin x=1时,ymin=-2×1+1=-1.
综上,函数y=asin x+1的最小值为-1.
规律方法　1.求正弦函数、余弦函数的值域或最值时应注意定义域,解题时可借助图象结合函数的单调性进行分析.
2.对于含有参数的函数求值域或最值,应注意对参数分类讨论.
探究点五　正弦函数、余弦函数的单调性问题
【例5】 求下列函数的单调区间.
(1)y=sin x,x∈[-π,π];
(2)y=cos x,x∈[-π,π].
(2)y=cos x在x∈[-π,π]上的单调递增区间为[-π,0],单调递减区间为[0,π].
规律方法　利用单位圆有助于理解记忆正弦函数、余弦函数的单调区间,特别注意不连贯的单调区间不能并.
D
(2)函数y=sin 2x的单调递减区间是(　　)
B
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)正弦函数与余弦函数的定义及求法;
(2)正弦函数值与余弦函数值在各象限内的符号;
(3)正弦函数、余弦函数的基本性质.
2.方法归纳:转化与化归、分类讨论、数形
结合.
3.常见误区:(1)正弦函数值、余弦函数值的大小只与角的大小有关,与终边上的点的位置无关;(2)单调区间漏写k∈Z;(3)特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.若角α的终边过点(5,12),则cos α-sin α=(　　)
C
1
2
3
4
5
2.(多选)若sin θ·cos θ>0,则θ可能在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
AC
解析 因为sin θ·cos θ>0,所以sin θ<0,cos θ<0或sin θ>0,cos θ>0,所以θ在第一象限或第三象限.
1
2
3
4
5
C
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
本 课 结 束