第1章　三角函数 4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转--北师大版高中数学必修第二册课件（共36页PPT）

(共36张PPT)
第一章
4.3　诱导公式与对称 4.4　诱导公式与旋转
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.借助单位圆理解诱导公式的推导方法.
2.理解、掌握并熟记诱导公式.
3.能够利用诱导公式解决三角函数的求值、化简与证明问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　特殊角的终边的对称关系
1.角-α的终边与角α的终边关于　　　对称;
2.角α±π的终边与角α的终边关于　　　　对称;
3.角π-α的终边与角α的终边关于　　　　对称.
名师点睛
理清角度之间的关系,是学好诱导公式的前提.因此学习正弦函数、余弦函数时,应结合正弦函数、余弦函数的定义,明确角-α,α±π,π-α与角α的终边的对称关系.
x轴
原点
y轴
思考辨析
(2k+1)π-α(k∈Z)的终边与2kπ+α(k∈Z)的终边有何对称关系
提示 (2k+1)π-α=2kπ+π-α(k∈Z)的终边与2kπ+α(k∈Z)的终边关于y轴对称.将问题转化为角π-α与α的终边的关系.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)角-α与角α+2π的终边关于x轴对称.(　　)
(2)角α±5π与角α的终边不关于原点对称.(　　)
(3)角3π-α与角α的终边关于y轴对称.(　　)
√
×
√
2.填空.
y轴
原点
原点
知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式
对任意角α,下列关系式均成立(其中k∈Z).
sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=cos α.
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α.
sin(α+π)=sin(π+α)=-sin α,cos(α+π)=cos(π+α)=-cos α.
sin(α-π)=-sin α,cos(α-π)=-cos α.
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α.
通常称上述公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式.
利用公式可将任意角的三角函数转化为[0, ]内的三角函数
名师点睛
诱导公式的记忆方法
将任意角归纳为k· ±α,k∈Z的形式,则诱导公式的记忆方法可概括为“奇变偶不变,符号看象限”:
(1)“变”与“不变”是指互余的两个角的正弦函数名、余弦函数名改变.
(2)“奇”“偶”是对k· ±α中的整数k来讲的.
(3)“象限”指k· ±α中,将α看作锐角时,k· ±α所在象限,再根据“一全正,二正弦,三全负,四余弦”的符号规律确定原函数值的符号.
思考辨析
1.正弦、余弦函数诱导公式中角α只能是锐角吗

2.设α为锐角,其终边与单位圆交于点P1(u,v),那么角α- 的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么

3.α- 的诱导公式是什么
提示 诱导公式中角α可以是任意角.
提示 (v,-u).
自主诊断
1.[人教A版教材例题]利用公式求下列三角函数值:
(1)cos 225°;
2.证明:
重难探究·能力素养速提升
探究点一　给角求值问题
【例1】 计算:sin2120°+cos 180°+tan 45°-cos2(-330°)+sin(-210°).
规律方法　求值问题中角的转化方法
任意负角的三角函数→ 任意正角的三角函数→0~2π的角的三角函数→锐角三角函数
变式训练1求值:(1)sin 1 320°;
探究点二　给值(式)求值问题
【例2】 (1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)=　　　　　.
-0.3
解析 ∵sin(π+α)=-sin α=-0.3,∴sin α=0.3,∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3.
规律方法　解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系,从而灵活选择诱导公式求解,一般可从两角的和、差的关系入手分析,解题时注意整体思想的运用.
探究点三　诱导公式的综合应用
【例3】 已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,-4).
(1)求sin α-cos α的值;
规律方法　1.所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能简单,也就是项数尽可能少,次数尽可能低,函数的种类尽可能少,分母中尽量不含三角函数符号,能求值的一定要求值.
2.利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式中含有kπ±α, π±α(k∈Z)时,要注意讨论k为奇数或偶数.
变式训练2已知sin α=-2cos α,求:
探究点四　诱导公式在三角形中的应用
规律方法　三角形中隐藏的两点内容
(1)在△ABC中,有A+B+C=π, ,因此在解决三角形中的正弦函数、余弦函数问题时,要注意充分利用诱导公式.
(2)在三角形中,当cos C=cos B时,一定有C=B;若sin C=sin B,也一样能得到C=B.
变式训练3(多选)在三角形ABC中,下列结论正确的是(　　)
A.sin(A+B)=sin C
B.cos(A+B)=cos C
AC
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)特殊角的终边的对称关系;
(2)正弦函数、余弦函数的诱导公式;
(3)利用正弦函数、余弦函数的诱导公式进行化简、求值与证明.
2.方法归纳:公式法、角的构造、数形结合.
3.常见误区:函数符号的变化,角与角之间的联系与构造.
学以致用·随堂检测促达标
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1.sin 240°+cos(-150°)的值为(　　)
A
解析 原式=sin(180°+60°)+cos 150°
=-sin 60°+cos(180°-30°)
=-sin 60°-cos 30°
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2.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是(　　)
A.sin α=sin β
B.sin(α-2π)=sin β
C.cos α=cos β
D.cos(2π-α)=-cos β
C
解析 由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),
故sin α=-sin β,cos α=cos β.
故选C.
1
2
3
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5
C
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5
{2,-2}
1
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5
本 课 结 束