第1章　三角函数 5.1　正弦函数的图象与性质再认识--北师大版高中数学必修第二册课件（共53页PPT）

(共53张PPT)
第一章
5.1　正弦函数的图象与性质再认识
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.会用五点法画正弦函数的图象.
2.能够根据正弦函数的图象求满足条件的角的范围.
3.能结合正弦函数的图象理解正弦函数的性质.
4.会求正弦函数的定义域、值域、最值.
5.会求正弦函数的单调区间,能根据单调性比较大小.
6.会判断有关函数的奇偶性.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　正弦函数的图象
1.正弦函数图象的作法
(1)几何法:借助单位圆获得对应的正弦函数值.
(2)五点法:根据正弦曲线的基本性质,描出　　　　,　　　　,　　　　,
,　　　　这五个关键点,然后用光滑曲线将它们顺次连接起来就得到正弦函数的简图.
(0,0)
(π,0)
(2π,0)
2.正弦函数的图象
正弦函数y=sin x,x∈R的图象称作正弦曲线,如图所示.
名师点睛
“五点法”中的“五点”是指函数图象的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.“五点法”只是画出y=sin x在区间[0,2π]上的图象,若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上的图象通过左右平移,每次平移2π个单位长度,得到y=sin x,x∈R的图象.这是作正弦函数以及下一节余弦函数图象最常用的方法.
思考辨析
为什么把正弦曲线向左、右平移2π的整数倍个单位长度后图象形状不变
提示 由诱导公式sin(x+2kπ)=sin x,k∈Z可得.
自主诊断
[人教A版教材例题]画出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象.
解 按五个关键点列表
描点并将它们用光滑的曲线连接起来,
如图所示.
知识点二　正弦函数y=sin x的性质
函数 y=sin x
定义域 R 可写作(-∞,+∞)
值域 　　　
奇偶性 　　函数
单调性 在区间　　　　　　　　　　　　上都单调递增;
在区间　　　　　　　　　　　　上都单调递减
周期性 最小正周期是　　　
[-1,1]
奇
2π
最值 当　　　　　　　　　　时,y取最大值1;
当　　　　　　　　　　时,y取最小值-1
对称轴 x= +kπ,k∈Z
对称中心 (kπ,0),k∈Z 对称中心是一个点,不是横坐标
名师点睛
1.并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
2.正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为(kπ,0),k∈Z,即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴是直线x=kπ+ ,k∈Z,对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.
3.判断与正弦函数有关的函数奇偶性时,必须先检查定义域是不是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
思考辨析
“正弦函数在第一象限单调递增”,这一说法对吗
提示 错误.因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个,所以不能看作一个单调区间.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)y=|sin x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.(　　)
(2)对于函数y=msin x+n(m≠0),当且仅当sin x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin x=-1时,取最小值ymin=-m+n.(　　)
(3)在锐角范围内,角越大,其正弦函数值越大.(　　)
(4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的一个周期.(　)
2.[人教B版教材例题]已知sin x=t-3,x∈R,求t的取值范围.
×
×
√
×
解 因为-1≤sin x≤1,所以-1≤t-3≤1,
由此解得2≤t≤4.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　用五点法作正弦函数图象
【例1】 利用“五点法”画出函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象.
解 列表:
描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
规律方法　用五点法画函数y=Asin x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
变式训练1作出函数y=-2sin x(0≤x≤2π)的图象.
解 列表:
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
探究点二　根据正弦函数的图象求角的范围
结合图象可得x∈[-4,-π)∪(0,π),
即f(x)的定义域为[-4,-π)∪(0,π).
延伸探究本例条件改为求函数y=lg(sin x- )的定义域.
规律方法　利用正弦函数的图象求解满足sin x≥a(≤a)的x的取值范围的
步骤
(1)作出正弦函数在区间[0,2π]上的图象;
(2)作直线y=a与函数图象相交;
(3)在区间[0,2π]上确定x的取值范围;
(4)根据正弦函数周期性确定最终范围.
变式训练2求满足下列条件的角的集合.
探究点三　利用正弦函数图象判断方程根的个数
【例3】 判断方程sin x=lg x根的个数.
解 画出函数y=sin x和y=lg x的图象,如图所示.由图象可知两图象有3个交点,因此,原方程有3个实数根.
规律方法　与正弦函数相关方程根的个数问题探究
(1)关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题.
(2)正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性.
(3)在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含.
变式训练3判断方程sin x=- ,x∈[0,2π]根的个数.
解 画出直线y=- 和y=sin x在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知两图象有2个交点,因此原方程有2个实数根.
探究点四　正弦函数单调性的应用
角度1.求正弦函数的单调区间
【例4】 (1)函数y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　　.
(2)若x∈[0,π],则函数y=-3sin x+1的单调递减区间为　　　　　　.
规律方法　1.结合y=sin x的图象,熟记正弦函数的单调递增区间和单调递减区间.
2.对形如y=asin x+b(a≠0)的形式的函数,当a>0时,其单调性与y=sin x的单调性相同;当a<0时,其单调性与y=sin x的单调性相反.
变式训练4函数y= sin x+1的单调递减区间为　　　　　　　　　　.
角度2.利用正弦函数单调性比较大小
【例5】 比较下列三角函数值的大小:
(2)sin 196°与cos 156°.
(2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,cos 156°=cos(180°-24°)
=-cos 24°=-sin 66°,∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,∴sin 16°∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.
规律方法　1.比较sin α与sin β的大小,可利用诱导公式把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值,再借助于正弦函数的单调性来进行比较.
2.比较sin α与cos β的大小,常把cos β转化为sin( ±β)后,再依据单调性来进行比较.
3.当不能将两角转化到同一单调区间上时,还可以借助于图象或值的符号来进行比较.
变式训练5比较sin 194°与cos 110°的大小.
解 ∵sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°,
cos 110°=cos(180°-70°)=-cos 70°=-sin(90°-70°)=-sin 20°,
由于0°<14°<20°<90°,
而y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,∴sin 14°∴-sin 14°>-sin 20°,即sin 194°>cos 110°.
探究点五　正弦函数的周期性、奇偶性
【例6】 判断下列函数的奇偶性,并求函数的一个周期.
(1)f(x)=sin x;
(2)f(x)=|sin x|.
(2)已知x∈R,作出f(x)=|sin x|的图象,如图.
由图象易知f(x)=|sin x|是偶函数,且一个周期为π.
规律方法　求正弦函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求正弦函数周期的方法
①定义法:利用周期函数的定义求解.
②图象法:通过观察函数图象求其周期.
(2)判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
变式训练6判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xsin x;
(2)f(x)=|sin x|+1.
解 (1)∵x∈R,且f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),∴f(x)为偶函数.
(2)∵x∈R,且f(-x)=|sin(-x)|+1=|sin x|+1=f(x),∴f(x)为偶函数.
探究点六　正弦函数的值域、最值
【例7】 (1)求函数y=3-2sin x的最大值和最小值,并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合.
(2)求函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域.
因为-1≤sin x≤1,
所以ymin=-2×(-1)2+5×(-1)-2=-9,ymax=-2×12+5×1-2=1.
故函数y=-2sin2x+5sin x-2的值域是[-9,1].
规律方法　求正弦函数值域或最值的常用方法
(1)一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质.
(2)求形如y=a+bsin x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
(3)求形如y=Asin2x+Bsin x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
变式训练7(1)函数y=sin2x-3sin x+2的最小值为(　　)
A.2 B.0 C.- D.6
B
(2)已知函数f(x)=2asin x+b的定义域为 ,函数的最大值为1,最小值为-5,求a和b的值.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)“五点法”作图;
(2)正弦函数的基本性质;
(3)正弦函数图象的应用.
2.方法归纳:数形结合、转化与化归、换元法.
3.常见误区:单调区间漏写k∈Z;求值域时忽视sin x本身的范围.
学以致用·随堂检测促达标
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2
3
4
5
1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(　　)
B
解析 y=sin(-x)=-sin x,故图象与y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.
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4
5
2.已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数,则a的值为(　　)
A.0 B.1 C.-1 D.±1
A
解析 因为f(x)为奇函数,
所以f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|,
所以|a|=0,从而a=0,故选A.
1
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3
4
5
3.函数f(x)=sin x的最小正周期是(　　)
A.4π B.2π
C.π D.
B
解析 正弦函数的最小正周期是2π.故选B.
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5
4.函数y=-sin x的单调递减区间是　 　　　　　　;单调递增区间是　　　　 　　　.
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5
本 课 结 束