第1章　三角函数 5.2　余弦函数的图象与性质再认识--北师大版高中数学必修第二册课件（共51页PPT）

(共51张PPT)
第一章
5.2　余弦函数的图象与性质再认识
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.会用五点法画出余弦函数的图象.
2.能够根据余弦函数的图象求满足条件的角的范围.
3.能结合余弦函数的图象理解余弦函数的性质.
4.会求余弦函数的定义域、值域、最值.
5.会求余弦函数的单调区间,能根据单调性比较大小.
6.会判断有关函数的奇偶性.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　余弦函数的图象
左
(0,1)
(π,-1)
(2π,1)
名师点睛
1.余弦函数图象中五点的确定
y=cos x,x∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类:①图象与x轴的交点;
思考辨析
如何由正弦曲线得到余弦曲线
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=cos x的图象与y轴只有一个交点.(　　)
(2)函数y=sin x,x∈ 的图象与函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象的形状完全一致.(　　)
(3)因为y=cos x,x∈R是偶函数,所以y=cos x+5与y=cos(x+5)均是偶函数.(　)
(4)函数y1=|sin x|与y2=|cos x|,x∈R的周期均为 .(　　)
√
√
×
×
2.请根据图象,写出与余弦函数有关的函数解析式.
解 y=2cos x+1,x∈[0,2π].
知识点二　余弦函数y=cos x的性质
函数 y=cos x
定义域 　　
值域 　　　
奇偶性 　　函数
单调性 在区间　　　　　　　　上都单调递增;
在区间　　 　　　　　上都单调递减
R
[-1,1]
偶
[(2k-1)π,2kπ],k∈Z
[2kπ,(2k+1)π],k∈Z
周期性 最小正周期是　　
最值 当　 时,余弦函数取得最大值1;
当　　　 　　时,余弦函数取得最小值-1
对称轴 x=kπ,k∈Z
对称中心
2π　
x=2kπ,k∈Z
x=(2k+1)π,k∈Z
名师点睛
1.余弦函数有单调区间,但不是定义域上的单调函数,即余弦函数在整个定义域内不单调.
2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点,即此时的余弦函数值取最大值或最小值.
3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小.
思考辨析
“余弦函数在第一象限是增函数”,这一说法对吗
提示 错误.因为在第一象限的单调递增区间有无穷多个,所以不能看作一个单调区间.
自主诊断
1.[人教B版教材例题]求下列函数的值域.
(1)y=-3cos x+1;
(2)y=(cos x+ )2-3.
解 (1)因为-1≤cos x≤1,所以3≥-3cos x≥-3,且-2≤-3cos x+1≤4,
即-2≤y≤4.
当cos x=1时,ymin=-2;当cos x=-1时,ymax=4.
2.判断下列函数的奇偶性.
(1)y=cos x+2;(3)y=sin xcos x.
解 (1)把函数y=cos x+2记作f(x)=cos x+2,因为定义域为R,
且f(-x)=cos(-x)+2=cos x+2=f(x),所以y=cos x+2是偶函数.
(2)把函数y=sin xcos x记作f(x)=sin xcos x,因为定义域为R,
且f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sin x)cos x=-f(x),
所以y=sin xcos x是奇函数.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　用五点法作余弦函数的图象
【例1】 画出函数y=2cos x+3,x∈[0,2π]的图象.
解 (1)列表:
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
规律方法　用五点法画函数y=Acos x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
(2)描点:
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
变式训练1作出函数y=-cos x+1,x∈[0,2π]的图象.
解 (1)列表:
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
探究点二　根据余弦函数的图象求角的范围
【例2】 利用余弦函数的图象,求满足cos x≤ 的x的集合.
规律方法　用余弦函数图象解不等式的步骤
(1)作出余弦函数在区间[0,2π]上的图象;
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据余弦函数周期确定取值范围.
变式训练2满足cos x>0,x∈[0,2π]的x的取值范围为　 　　　.
探究点三　求与余弦函数有关的定义域问题
★(2)已知函数f(x)的定义域为[0,1),求f(cos x)的定义域;
规律方法　利用余弦函数图象处理函数的定义域问题
一些函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,但同时要注意区间端点的取舍.
探究点四　与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题
【例4】 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos x;
解 (1)定义域为R,且f(-x)=-x·cos(-x)=-xcos x=-f(x),因此函数f(x)是奇函数.
规律方法　判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法
(1)判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理运用.
变式训练4函数y=-xcos x的部分图象是下图中的(　　)
D
探究点五　余弦函数单调性的应用
【例5】 (1)函数y=3-2cos x的单调递增区间为　　　　　　　　　　.
[2kπ,π+2kπ](k∈Z)　
解析 y=3-2cos x与y=3+2cos x的单调性相反,由y=3+2cos x的单调递减区间为[2kπ,π+2kπ](k∈Z),得y=3-2cos x的单调递增区间为[2kπ,π+2kπ](k∈Z).
规律方法　单调性是对一个函数的某个区间而言的,不同函数,不在同一单调区间内时,应先用诱导公式进行适当转化,转化到同一单调区间内,再利用函数的单调性比较大小.
变式训练5cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是　　　 　　.(用“>”连接)
cos 1>cos 2>cos 3
解析 由于0<1<2<3<π,而y=cos x在(0,π)上单调递减,
所以cos 1>cos 2>cos 3.
探究点六　求与余弦函数有关的值域与最值问题
【例6】 (1)设M和m分别是函数y= cos x-1的最大值和最小值,则M+m=　　　　.
-2
(2)函数y=cos2x-4cos x+5的值域为　　　　　　.
[2,10]
解析 令t=cos x,则-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,所以当t=-1时,y取得最大值10,当t=1时,y取得最小值2.所以y=cos2x-4cos x+5的值域为[2,10].
规律方法　求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos x+b(a≠0)的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos x+c(a≠0)的函数的最值或值域问题时,通过换元,令t=cos x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos x的有界性.
变式训练6(1)函数y=-cos2x+cos x的值域为　　　　　.
★(2)函数y=-cos2x+cos x,x∈[0, ]的值域为　　　　　.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)五点(画图)法;
(2)余弦函数的性质;
(3)余弦函数性质的应用.
2.方法归纳:数形结合、换元法.
3.常见误区:单调区间漏写k∈Z;求值域时忽视cos x本身的范围.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
A
1
2
3
4
5
2.函数y=cos x-2在区间[-π,π]上的图象是(　　)
A
解析 把y=cos x,x∈[-π,π]的图象向下平移2个单位长度即可.
1
2
3
4
5
3.函数y=1+cos x的最大值为(　　)
A.0 B.1
C.2 D.3
C
解析 因为-1≤cos x≤1,所以y=1+cos x的最大值为2,当x=2kπ,k∈Z时,取得最大值.故选C.
1
2
3
4
5
4.(多选)已知函数f(x)=2cos x+1,下列结论正确的有(　　)
A.函数f(x)的值域为[-1,3]
B.函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π
C.函数f(x)的图象的一个对称中心为( ,1)
D.函数y=f(x+ )为奇函数
ABC
1
2
3
4
5
解析 对于A,因为cos x∈[-1,1],所以f(x)∈[-1,3],故A正确;
对于B,因为f(π)=2cos π+1=-1,所以函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π,故B正确;
1
2
3
4
5
5.比较大小:
(1)cos 15°　　　　　cos 35°;
>
<　
解析 ∵0°<15°<35°<90°,
且当0°≤x≤90°时,y=cos x单调递减,∴cos 15°>cos 35°.
本 课 结 束