第1章　三角函数 6.1-6.3　探究ω对y=sin ωx φ对y=sin(x+φ) A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响--北师大版高中数学必修第二册课件（共61页PPT）

(共61张PPT)
第一章
6.1　探究ω对y=sin ωx的图象的影响 6.2　探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 6.3　探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.掌握y=sin x与y=sin ωx,y=sin(ωx+φ),y=Asin(ωx+φ)(A>0且A≠1,ω>0且ω≠1,φ≠0,x∈R)的图象间的关系,会进行函数图象的变换.
2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象,明确A,ω,φ的物理意义.
3.掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性质的基本方法,会研究其性质.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　三角函数的图象变换
1.左、右伸缩变换
函数y=sin ωx的图象是将函数y=sin x图象上所有的点的　　　　缩短到原来的　　　(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的　　　　(纵坐标不变)得到的,即
横坐标
2.左、右平移变换
函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx图象上的所有点向____　　(φ>0)或向　　　(φ<0)平移　　　个单位长度得到的(可简记为左“+”右
“-”),即y=sin ωx y=sin(ωx+φ).
左
左
3.上、下伸缩变换
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将函数y=sin(ωx+φ)图象上的每个点的
　　　　　　伸长(当A>1时)或缩短(当0即y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ).
纵坐标
A
4.上、下平移变换
函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象,可以看作是把函数y=Asin(ωx+φ)图象上的所有点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位长度得到的(可简记为
上“+”下“-”),即y=Asin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)+b.
名师点睛
函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”.
思考辨析
由函数y=sin ωx的图象通过怎样的变换得到y=sin(ωx+φ)的图象
提示 函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作将函数y=sin ωx的图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移 个单位长度得到.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)由函数y=sin(x+ )的图象得到y=sin x的图象,必须向左平移.(　　)
(2)把函数y=sin x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数
y=sin 3x的图象.(　　)
(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(　　)
×
×
×
知识点二　A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响
1.在函数y=sin ωx(ω>0)中,ω决定了函数的周期,T=　　　是函数y=sin ωx的最小正周期,通常称周期的倒数 为　　　.
2.在函数y=sin(ωx+φ)中,φ决定了　　　　时的函数值,通常称φ为　　　　,ωx+φ为　　　　.
3.在函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)中,A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的　　　　以及函数的　　　　　　和　　　　　　,通常称A为　　　　.
频率
x=0
初相
相位
值域
最大值
最小值
振幅
名师点睛
1.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的影响.
(1)A越大,函数图象的最大值越大,最大值与A是正比例关系.
(2)ω越大,函数图象的周期越小,ω越小,函数图象的周期越大,周期与ω为反比例关系.
(3)φ大于0时,函数图象向左平移,φ小于0时,函数图象向右平移,即“左加右减”.
思考辨析
根据函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最大值是 ,如何确定函数解析式
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
×
√
×
2.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R(其中ω>0,|φ|< )的最小正周期为π,且f(0)= ,则ω=　　　　　,φ=　　　　,振幅A=　　　　　.
2
2
知识点三　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的性质
1.定义域:　　　.
2.值域:　　　　　　.
3.周期:周期函数,最小正周期T=　　　　　.
4.奇偶性:当　　　　　　时,函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数;当φ=_________　　　　 时, 函数y=Asin(ωx+φ)是偶函数;当φ≠　　　　　时,函数y=Asin(ωx+φ)既不是奇函数,也不是偶函数.
R
[-A,A]
φ=kπ,k∈Z
名师点睛
1.一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个.如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减 的整数倍达到目的.
2.正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期,而是半个周期.
思考辨析
试探求函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0的图象的对称中心和对称轴方程.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
√
√
×
×
知识点四　函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象
用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)确定函数的最小正周期T= .
(2)令ωx+φ分别等于　　　,　　　,　　　,　　　,　　　,确定该函数的五个关键点.
列表如下:
0
π
2π
(3)描点连线,作出函数在一个周期上的图象,再向左、右无限扩展,得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象.
名师点睛
由y=sin x变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的方法
(1)先平移后伸缩:
(2)先伸缩后平移:
思考辨析
用五点法作出函数y=2sin(x- )+3的图象时,关键要找好哪几个关键点
提示 利用列表法,可得如下数据.
自主诊断
1.利用五点法作出函数 在一个周期内的图象.
解 列表如下.
描点,连线,如图所示.
2.[人教A版教材例题]画出函数y=2sin(3x- )的简图.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　正弦函数、余弦函数的图象变换
角度1.伸缩变换
变式探究若将本例中“横坐标缩短为原来的 ”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”,其他条件不变,则得到的函数解析式为　 　　　　.
规律方法　对于函数y=sin x,若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍,则得到函数 ,若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍,则得到函数y=Asin x,两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换,纵向伸缩是正比例伸缩变换.
角度2.平移变换
【例2】 函数y=sin(x- )的图象可以看作是由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到的
规律方法　对平移变换应先观察函数名是否相同,若函数名不同,则先化为同名函数,再观察x前的系数,当x前的系数不为1时,应提取系数确定平移的单位和方向,方向遵循左加右减,且从ωx→ωx+φ的平移量为 个单位长度.
角度3.图象变换的综合应用
规律方法　1.已知变换途径及变换后的函数解析式,求变换前函数图象的解析式,宜采用逆变换的方法.
2.已知函数f(x)图象的伸缩变换情况,求变换前后图象的解析式,要明确伸缩的方向及量,然后确定出A或ω即可.
变式训练1将y=sin x的图象怎样变换可得到函数y=2sin(2x+ )+1的图象
解 (方法一)①把y=sin x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到y=2sin x的图象;
探究点二　用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
解 列表.
规律方法　“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的实质和步骤
(1)实质:利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)步骤:
第一步,列表.
第二步,在同一坐标系中描出各点.
第三步,用光滑曲线顺次连接这些点,得到图象.
变式训练2已知函数 ,利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
探究点三　函数y=Asin(ωx+φ)的性质的应用
【例5】 已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0<φ<π)在x= 时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调区间.
规律方法　研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,主要运用整体代换的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin x的性质.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在x∈[-6,0]上的值域.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)伸缩变换;
(2)平移变换;
(3)五点(画图)法;
(4)三角函数的性质的综合应用.
2.方法归纳:特殊点法、数形结合法.
3.常见误区:先平移和先伸缩再平移的量不一样;求φ值时容易区分不清单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
D
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
3.函数y=cos x图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的2倍,得到图象的解析式为y=cos ωx,则ω的值为(　　)
B
1
2
3
4
5
A
1
2
3
4
5
5.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=　　　　.
本 课 结 束