第1章　三角函数 8　三角函数的简单应用--北师大版高中数学必修第二册课件（共38页PPT）

(共38张PPT)
第一章
§8　三角函数的简单应用
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.了解常见的三角函数模型.
2.初步体会利用三角函数研究简单的实际问题.
3.通过对三角函数模型简单应用的学习,初步学会由图象求函数解析式的方法.
基础落实·必备知识一遍过
知识点　解答三角函数应用题的基本步骤
解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步:审题、建模、解模、回归实际问题.
(1)审题:审题是解题的基础,它包括阅读理解、翻译、挖掘等,通过阅读,真正理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、问题的实质,初步预测所属数学模型.有些问题中采用即时定义解释某些概念或专业术语,要仔细阅读,准确把握,同时,注意挖掘一些隐含条件.
(2)建模:在细心阅读与深入理解题意的基础上,引进数学符号,将试题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,列出数量关系,建立三角函数模型.这时要注意三角函数的定义域应符合实际问题的要求,这样便将实际问题转化成了数学问题.
(3)解模:运用三角函数的有关公式进行推理、运算,使问题得到解决.
(4)回归实际问题:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学科学,又要符合实际背景,因此,对于解出的结果要代入原问题中进行检验.
名师点睛
1.三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥着重要作用.
2.三角函数模型的三种模式
在现实生活中,许多变化的现象都具有周期性,因此,可以用三角函数模型来描述.如气象方面有温度的变化,天文学方面有白昼时间的变化,物理学方面有各种各样的振动波,生理方面有人的情绪、智力、体力的变化等.研究这些应用问题,主要有以下三种模式:①给定呈周期变化规律的三角函数模型,根据所给模型,结合三角函数的性质,解决一些实际问题;②给定呈周期变化的图象,利用待定系数法求出函数解析式,再解决其他问题;③搜集一个实际问题的调查数据,根据数据作出散点图,通过拟合函数图象,求出可以近似表示变化规律的函数解析式,进一步用函数性质来解决相应的实际问题.
自主诊断
[人教A版教材例题]
摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转,可以从高处俯瞰四周景色.如图,某摩天轮最高点距离地面高度为120 m,转盘直径为110 m,设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30 min.
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转动t min后距离地面的高度
为H m,求在转动一周的过程中,H关于t的函数解析式;
(2)求游客甲在开始转动5 min后距离地面的高度;
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里,在运行一周的过程中,求两人距离地面的高度差h(单位:m)关于t的函数解析式,并求高度差的最大值(精确到0.1).
解 如图,设座舱距离地面最近的位置为点P,以轴心O为原点,与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　已知三角函数解析式解决实际问题
【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.
规律方法　用建模方法解决函数图象与解析式问题
解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决.
变式训练1某地昆虫种群数量在七月份1~13日的变化如图所示,且满足y=Asin(ωt+φ)+b(ω>0,φ<0).
(1)根据图中数据求函数解析式;
(2)从7月1日开始,每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或一个高峰
探究点二　已知函数模型确定函数解析式
【例2】 如图,风车叶轮的最高顶点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,风叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动,叶轮顶点从离地面最低点经15 s后到达最高点.以叶轮顶点离地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.
因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m,所以叶轮顶点应该在离圆心上下、左右7 m范围内变化,即函数振幅a=7.
规律方法　三角函数解析式的求法
求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,b的因素,
,ω与周期有关,φ可用特殊点来求,当已知A,b时,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值.
变式训练2如图,某网络信息交换系统一天监测瞬时信息流量变化情况近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π).
(1)求出A,ω,φ,b的值,写出这段曲线的函数解析式;
(2)若瞬时流量超过45 GB,则该网络系统会拥堵,求一天中该网络会有多长时间出现拥堵.
(2)当x=0时,y=45;当x=4时,y=45,
所以由图象可得,当x∈(0,4)时,y>45,且x∈(12,16)时,
y>45,故一天会有4+4=8 h拥堵.
探究点三　建立三角函数模型解决实际问题
【例3】 如图为一辆观览车示意图,该观览车半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点与地面的距离为h m.
(1)求h(单位:m)与θ(单位:rad)之间的函数解析式;
(2)设从OA开始转动,经过t s到达OB,求h(单位:m)与t(单位:s)之间的函数解析式.
规律方法　解三角函数应用问题的基本步骤
变式训练3已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据:
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y/m 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b.
(1)根据以上数据,求函数y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数解析式;
(2)依据规定,当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动.
即12k-2因为0≤t≤24,故当k的值分别为0,1,2时可得0≤t<2或10所以一天内有8个小时的时间可供冲浪运动.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)已知三角函数解析式解决实际问题;
(2)构造三角函数模型解决实际问题.
2.方法归纳:数学建模、数形结合.
3.常见误区:选择三角函数模型时,最后结果忘记回归实际生活.
学以致用·随堂检测促达标
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1.电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式为I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是(　　)
C
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2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin( x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)
A.5
B.6
C.8
D.10
C
解析 由图象知ymin=2.
因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,
所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.
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3.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的取值范围是(　　)
A.[-1,1] B.(1,3)
C.(-1,0)∪(0,3) D.[1,3]
B
解析 因为x∈[0,π]时,sin x>0,
则f(x)=sin x+2|sin x|=sin x+2sin x=3sin x,
因为x∈(π,2π]时,sin x<0,则f(x)=sin x+2|sin x|=sin x-2sin x=-sin x,故
作出函数图象:
数形结合即可得到k∈(1,3),故选B.
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4.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0~24时的变化情况,则水面高度h关于时间t的函数解析式
为　　 　　　.
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5.水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,如图是一个半径为R的水车,一个水车从点A(1,- )出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒,经过t秒后,水车旋转到P点,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足
y=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|< ),则φ=　　　　;当t=5时,|PA|=　　　　.
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本 课 结 束