第2章　平面向量及其应用 1.1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系--北师大版高中数学必修第二册课件（共55页PPT）

(共55张PPT)
第二章
1.1　位移、速度、力与向量的概念　1.2　向量的基本关系
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.了解位移、速度和力等向量的实际背景,初步认识现实生活中向量和数量的区别.
2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量、相反向量等概念.
3.掌握平面向量的表示方法.
4.了解向量的夹角.
基础落实·必备知识一遍过
1.向量的背景及向量的概念
(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量.
(2)向量:既有大小又有方向的量统称为向量.　 向量可平移,为自由向量
(3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等).
(4)有向线段:在物理学中,位移、速度和力通常用一条带箭头的线段表示,箭头表示这些量的方向,线段长度表示这些量的大小.在数学中,这种具有方向和长度的线段称为　　　　　.(如图)以A为起点,B为终点的有向线段,记作 .线段AB的长度称为有向线段 的长度,记作 .
有向线段
2.向量的表示方法
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
(2)字母表示:向量也可以用黑斜体小写字母如a,b,c,…或 ,…(书写)来表示.
3.有关概念
(1)向量a的大小,记作|a|,又称作　　　　　　　　.
(2)长度为0的向量称为　　　　　　,记作0或 .任何方向都可以作为零向量的方向.
(3)模等于1个单位长度的向量称为　　　　　　　　.
向量的模
零向量
单位向量
名师点睛
1.由于向量不仅有大小,而且有方向,故向量不能比较大小,向量的模是一个非负实数,因此向量的模可以比较大小.
2.零向量的长度为零,但方向不确定,是任意的.由于零向量的特殊性,解答问题时,要看清是零向量还是非零向量.
思考辨析
1.有向线段就是向量,向量就是有向线段吗


2.两个单位向量的方向相同吗
提示 有向线段是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.
提示 两个单位向量的方向不一定相同.
自主诊断
[人教A版教材习题]指出图中各向量的长度.(规定小方格的边长为0.5)
2.有向线段就是向量,向量就是有向线段吗
提示 有向线段是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.
3.两个单位向量的方向相同吗
提示 两个单位向量的方向不一定相同.
知识点二　相等向量与共线向量
1.相等向量是指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等,记作a=b.
2.共线向量:若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.
　 两种说法是一样的
两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.
3.相反向量:若两个向量的长度相等、方向相反,则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.
4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.
名师点睛
1.共线向量
(1)向量共线时,向量所在的直线平行或重合.
(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
(4)任一向量都与它本身是共线向量.
2.相等向量
(1)两个向量只有当它们的模相等,且方向相同时,才能称它们相等,例如a=b就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.
(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素.
(3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.
(4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,但共线向量不一定是相等向量.
思考辨析
1.单位向量是相等向量吗

2.若 ,则点A,B,C,D有何位置关系
提示 方向相同的单位向量是相等向量;方向不相同的单位向量不是相等向量.
提示 A,B,C,D可能共线也可能AB∥CD.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a=b,b=c,则a=c.(　　)
(2)若非零向量 ,那么AB∥CD.(　　)
√
×
2.如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,四边形BCGF是平行四边形,试分别写出与 共线及相等的向量.
知识点三　向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,如图,在平面内选一点O,作
,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.　
两个向量同起点
当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.
名师点睛
对向量的夹角的理解
(1)向量夹角的几何表示.
依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点,这样它们所成的角才是两个向量的夹角.如图①②③④⑤,已知两向量a,b,作 ,则∠AOB为a与b的夹角.
(2)注意事项.
①向量的夹角是针对非零向量定义的;②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和[0, ].
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个向量的夹角为锐角或直角.(　　)
(2)在△ABC中,角B为向量 的夹角.(　　)
(3)零向量与任一向量既平行又垂直.(　　)
×
×
√
2.试指出图中向量的夹角.
θ
0°
180°
θ
重难探究·能力素养速提升
探究点一　向量的有关概念
【例1】 给出以下说法:
①若|a|=0,则a为零向量;
②单位向量都相等;
③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;
④向量的模一定是正数;
⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
⑥向量 是共线向量,则A,B,C,D四点必在同一直线上.
其中正确说法的序号是　　　　　　　.
①⑤　
解析 ①正确,模等于0的向量是零向量;
②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;
③错误,由于零向量与任一向量共线,且方向是任意的,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;
④错误,向量的模是非负实数,可能是零;
⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;
⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.
规律方法　向量及其相关概念的注意事项
(1)区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.
(2)明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,即起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素只有大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.
(3)零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.
(4)平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.
变式训练1下列说法正确的是(　　)
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
B
解析 向量不能比较大小,故A错误;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C错误;规定零向量与任意向量平行,故D错误.
探究点二　向量的表示
【例2】 一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B,然后又改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C,最后又改变方向,向正东行驶了100 km到达点D.
解 (1)所作向量如图所示.
规律方法　1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.
2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.
变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:
探究点三　相等向量与共线(平行)向量
【例3】 (1)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,四边形BCMF是平行四边形,则与向量 模相等且共线的向量的个数是　　　　　.
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(2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
规律方法　相等向量与共线向量的探求方法
(1)寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是与已知向量方向相同的向量.
(2)寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
变式训练3
(1)如图,D,E,F分别是正三角形ABC各边的中点.
(2)如图,已知四边形ABCD中,M,N分别是BC,AD的中点, .
求证:CN MA.
所以AN=MC,且AN∥MC,所以四边形AMCN是平行四边形,从而CN=MA,且CN∥MA,即CN MA.
探究点四　向量的夹角
90°
30°
解析 如图,显然AE⊥EC,AE平分∠BAC,
规律方法　求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤求出.
A.30°　　 B.60°　　 C.120°　　 D.150°
C
探究点五　用向量关系研究几何图形的性质
【例5】
规律方法　利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法
(1)证明或判断线段相等,只需证明或判断相应向量的长度(模)相等.
(2)证明线段平行,先证明相应的向量共线,再说明线段不重合.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)向量的概念及表示;
(2)向量的相关概念:零向量、单位向量、相等向量、共线向量(平行向量),向量的夹角.
2.方法归纳:数形结合.
3.常见误区:零向量和单位向量的方向容易混淆;容易忽视两个向量夹角定义中的同起点.
学以致用·随堂检测促达标
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2
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1.下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=|b|,则a=b
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若a=b,b=c,则a=c
D
解析 对于A选项,若|a|=|b|,但a,b方向不相同时,a≠b,A选项错误;对于B选项,若点A,B,C,D四点共线且 ,则点A,B,C,D无法构成四边形,B选项错误;对于C选项,取b=0,虽然有a∥b,b∥c,但a,c不一定平行,C选项错误;对于D选项,若a=b,b=c,则a=c,D选项正确.故选D.
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2.如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边的中点,则下列结论成立的是(　)
B
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1
2
3
4
A.45° B.60°
C.90° D.120°
B
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2
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4
4.零向量与单位向量的关系是　　　　(填“共线”“相等”或“无关”).
共线　
解析 零向量与任意向量共线.
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5.若 ,则四边形ABCD的形状为　　 　　　.
平行四边形
所以BA=CD且BA∥CD,
所以四边形ABCD为平行四边形.
本 课 结 束