第2章　平面向量及其应用 4.2　平面向量及运算的坐标表示--北师大版高中数学必修第二册课件（共41页PPT）

(共41张PPT)
第二章
4.2　平面向量及运算的坐标表示
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.理解平面向量坐标的概念,会求平面向量的坐标.
2.掌握平面向量的坐标运算法则,会进行坐标运算.
3.掌握用坐标表示两向量共线的条件,能运用两向量共线的条件解决相关问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　平面向量的坐标表示
如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为　　　　　　.对于坐标平面内的任意向量a,以坐标原点O为起点作
唯一性
因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).
标准正交基
名师点睛
1.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.
2.向量与坐标的关系:
3.向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
思考辨析
正交分解与平面向量基本定理有何联系
提示 正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基中的两个向量互相垂直).
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任意一个确定的向量的坐标是唯一的.(　　)
(2)与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量坐标分别为i=(1,0),j=(0,1).(　)
(3)当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标.(　　)
(4)相等向量的坐标相同.(　　)
(5)向量的平移会影响向量的坐标.(　　)
√
√
√
√
×
知识点二　平面向量运算的坐标表示
1.加法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　 　　　　,即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
2.减法:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=　 　　　,即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.
3.数乘:设a=(x1,y1),λ∈R,则λa=　　　　,即实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积.
4.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则 =　 　　　,即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标.
(x1+x2,y1+y2)
(x1-x2,y1-y2)
(λx1,λy1)
(x2-x1,y2-y1)
5.中点坐标公式:若点A(x1,y1),点B(x2,y2),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则
名师点睛
1.进行平面向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算规则进行计算.
2.进行平面向量坐标运算时,先掌握向量坐标与向量起点、终点坐标的关系.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若a=(1,2),b=(-2,-1),则2a+b=(0,3).(　　)
(2)在平面直角坐标系内,若A(x1,y1),B(x2,y2),则向量 =(x1-x2,y1-y2).(　　)
√
×
2.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),p=(9,4),若p=ma+nb,则m+n=　　　　　.
7
知识点三　平面向量平行的坐标表示
在平面直角坐标系中,a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a,b(b≠0)共线的充要条件是　　　　　　.
x1y2-x2y1=0
名师点睛
1.相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标可以不同.
2.若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例,反之也成立.
思考辨析
若A,B,C三点共线,请问 是什么位置关系
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)向量a,b(b≠0)共线的充要条件是x1y1-x2y2=0.(　　)
(2)若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,则 .(　　)
×
×
2.[人教A版教材习题]已知|a|=3,b=(1,2),且a∥b,求a的坐标.
重难探究·能力素养速提升
探究点一　求平面向量的坐标
【例1】 (1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.
解 因为a=3i+4j,b=-i+j,
所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,
a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.
又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中点,求向量 的坐标.
规律方法　1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标为(x,y).
2.向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标,只有当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
探究点二　平面向量的坐标运算
【例2】 (1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+ c;
规律方法　进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知向量起点和终点的坐标,可以求出该向量的坐标.求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标.
变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于(　　)
A.3a+b B.3a-b
C.-a+3b D.a+3b
B
探究点三　平面向量平行的条件及应用
【例3】 已知向量 =i-2j, =2i+μj,其中i,j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,试确定实数μ的值,使A,B,C三点共线.
规律方法　1.由向量共线求参数值的方法:
2.a∥b(b≠0)的充要条件有两种表达方式:
(1)a∥b a=λb(λ∈R);
(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b x1y2-x2y1=0.
变式训练3已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断 是否共线 如果共线,它们的方向相同还是相反
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)平面向量的坐标表示;
(2)平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示;
(3)两个向量共线的坐标表示.
2.方法归纳:转化与化归.
3.常见误区:两个向量共线的坐标表示的公式易记错.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
4
5
1.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 =(　　)
A.(-2,-1) B.(-2,1)
C.(-1,0) D.(-1,2)
D
1
2
3
4
5
A.(-2,-4) B.(2,4)
C.(6,10) D.(-6,-10)
A
1
2
3
4
5
D
1
2
3
4
5
4.已知向量a=(1,2),b=(2,3),c=(3,4),且c=λ1a+λ2b,则λ1,λ2的值分别为(　　)
A.-2,1 B.1,-2 C.2,-1 D.-1,2
D
1
2
3
4
5
5.已知 =(-1,m),若A,C,D三点共线,则m=　　　　　.
2
本 课 结 束