第2章　平面向量及其应用 6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例--北师大版高中数学必修第二册课件（共46页PPT）

(共46张PPT)
第二章
6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题.
2.掌握用向量解决平面几何问题的方法,培养向量运算能力和推理论证能力.
3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　向量在几何中的应用
由于向量的运算有着鲜明的几何背景,几何图形的许多变化和性质,如平移、全等、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示.
名师点睛
向量方法可以运用于证明有关直线平行、垂直、线段的相等、点共线、求夹角等问题,其基本方法有:
(2)证明线段平行、三角形相似,判断两直线(或线段)是否平行,常运用向量平行(共线)的条件:a∥b a=λb(或x1y2-x2y1=0).
(1)证明线段相等,常运用向量加法的三角形法则与平行四边形法则,有时也用到向量减法的定义.如要证两线段AB=CD,可转化为证明
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线(或线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b a·b=0(或x1x2+y1y2=0).
(5)求与夹角相关的问题,往往利用向量的夹角公式 ,例如,用公式S= absin C求三角形的面积时,可利用夹角公式,求出sin C.
(6)向量的坐标表示也可解决一些平面几何问题,如长方形、正方形、直角三角形等,通过建立直角坐标系,把向量用坐标表示,通过代数运算解决几何问题.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
×
×
2.[人教A版教材例题]如图,DE是△ABC的中位线,用向量方法证明: DE∥BC,DE= BC.
知识点二　向量在物理中的应用举例
1.力与向量
力与向量的异同.
(1)相同点:力和向量都既要考虑　　　　又要考虑　　　.
(2)不同点:向量与起点无关,力与作用点有关,大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不同的.
2.向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是　　　　.
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算,运动的叠加亦用到向量的合成.
(3)功可以看作力F与物体在F的方向上所产生的位移s的数量积.
大小
方向
向量
名师点睛
向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量是具有大小、方向和作用点的向量,它与前面学习的自由向量不同,在不考虑作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则,求两个力的合力.
(2)速度向量
速度向量是具有大小和方向的向量,因而可用向量的平行四边形法则,求两个速度的合速度.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)求力F1和F2的合力时可按照向量加法的平行四边形法则.(　　)
(2)力的合成与分解体现了向量的加减法运算.(　　)
(3)作用在物体上的作用力与反作用力是一对相反向量.(　　)
(4)功是力F与位移s的数量积,力做功一定是正数.(　　)
√
√
√
×
重难探究·能力素养速提升
探究点一　向量在平面几何中的应用
角度1.平行或共线问题
【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,已知DE= AB,DF= DB,求证:A,E,F三点共线.
规律方法　证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
(3)下结论,即A,B,C三点共线.
变式训练1[2024浙江金华高一期末]如图,平面上A,B,C三点的坐标分别为(3,1),(-4,2),(-1,4).
(2)如果四边形ABCD是平行四边形,求点D的坐标.
角度2.垂直问题
【例2】 如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF.
规律方法　由向量证明平面几何中AB⊥CD的方法
变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证: AF⊥DE.
角度3.长度问题
【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
规律方法　在解决求长度的问题时,可利用向量的数量积及模的知识,解题过程中运用整体代入方法可使问题得到简捷、明了的解决.
变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为(　　)
B
角度4.夹角问题
【例4】 已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小.
变式探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45° 若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.
规律方法　利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题也有两种思路,一是利用向量的基求解,二是利用坐标求解.在求解过程中,务必注意向量的方向.
变式训练4[2024山东济南高一检测]在等腰梯形ABCD中,CD的中点为O,以点O为坐标原点,DC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,已知
探究点二　向量在物理中的应用
角度1.向量的线性运算在物理中的应用
【例5】 帆船比赛是借助风帆推动船在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20 km/h,此时水的流向是正东,流速为20 km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.
解 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h),设帆船行驶的速度为v,
则v=v1+v2.
由题意,可得向量v1=(20cos 60°,20sin 60°)=(10,10 ),向量v2=(20,0),则帆船的行驶速度
规律方法　 运用向量解决物理中的速度问题,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形再解决问题.
变式训练5已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)
A.(9,1) B.(1,9)
C.(9,0) D.(0,9)
A
角度2.向量的数量积在物理中的应用
【例6】 已知两个力F1和F2,若F1=(1,1),F2=(-3,0),则F1,F2的夹角为　 　.
规律方法　向量在力学中的应用一般涉及力的合成与分解,应充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题.正确作图是解决该类问题的前提.
变式训练6如图,作用于同一点O的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1与F2的夹角为 ,求F3的大小.
解 因为F1,F2,F3三个力处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0,即F3=-(F1+F2),
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)向量在几何中的应用;
(2)向量在物理中的应用.
2.方法归纳:化归与转化、数形结合.
3.常见误区:(1)解决几何问题时,要注意选择恰当的一组基,不然容易引起计算的复杂;(2)功的正负问题及与数量积的对应关系.
学以致用·随堂检测促达标
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A.平行四边形 B.矩形
C.等腰梯形 D.菱形
D
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2.人骑自行车的速度是v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(　　)
A.v1-v2 B.v1+v2
C.|v1|-|v2|
B
解析 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2.注意速度是有方向和大小的,是一个向量.故选B.
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3.已知向量a=(3,4),b=(-3,1),a与b的夹角为θ,则tan θ等于(　　)
C
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4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从点A(2,0)移动到点B(-2,3),则F对物体所做的功为　　　　.
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5.如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,点F,G分别在AD,BC上,
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本 课 结 束