高中数学人教A版必修2期末限时训练3（含解析）

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限时训练3
一、单选题
1．已知复数，则z的虚部是（ ）
A．4 B． C．3 D．3i
2．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用按比例分层随机抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从乙种型号的产品中抽取件数为（ ）
A．24 B．9 C．36 D．18
3．已知在平行四边形ABCD中，E为AC上靠近点A的三等分点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是4”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是5”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与乙互斥 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．乙与丙相互独立
二、填空题
6．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D是AB的中点．若且，，则 ．
三、解答题
7．已知向量与的夹角，且，．
(1)求；(2)求．
8．某社区为了解志愿者每周志愿服务的时长，在全社区300名志愿者中随机抽取20名志愿者在某个星期的志愿服务记录，统计他们当周在社区的志愿服务时长，按时长分组，得到频率分布直方图如图所示：
(1)求a的值；社区对志愿服务时长大于或等于11小时的志愿者认定为优秀志愿者，如果以当周志愿服务统计结果作为依据，请估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数；
(2)求出这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数、中位数、平均数（结果保留一位小数）．
9．如图，在三棱锥中，平面PAB，E，F分别为BC，PC的中点，且，，．
(1)证明：；
(2)求二面角的余弦值．
《限时训练3》参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 C A A B C
1．根据题意，，所以z的虚部是3.故选：C
2．产品总数为件，而抽取60件进行检验，抽样比例为，则应从乙种型号的产品中抽取件，故选：A
3．.故选：A
4．设圆锥母线长为，高为，底面半径为，则由，得，所以，所以．故选：B．
5．由题意可知，两点数和为6的所有可能为，两点数和为7的所有可能为，甲乙丙丁，
对于A选项，甲与乙可以同时发生，故选项A错误；对于B选项，由上可知错误，故选项B错误；
对于C选项，（甲丁）（甲）（丁），故选项C正确；对于D选项，（乙丙）（乙）（丙），故选项D错误.故选：C.
6．根据题意，，由，即为，由正弦定理得，
又因为，所以，因为，可得，所以又因为为的一条中线，可得，所以，
即，解得或（舍）.由余弦定理得.故答案为：.
7．（1）因为向量与的夹角，且，，所以,
；
（2）．
8．（1）由题意，解得，因为优秀志愿者的频率为，
所以估计该社区每周获得优秀的志愿者的人数有：人；
（2）由图可知这20名志愿者当周志愿服务时长的样本众数为，设中位数为，服务时长在小时的频率为，服务时长在小时的频率为，
所以，而，解得，
这20名志愿者当周志愿服务时长的样本平均数为.
9．（1）分别为的中点， 平面，
平面，平面，平面，.
（2）根据题意，取的中点，过作交于，连接，
因为为中点，为的中点，则，且，
又平面，平面，
平面，而平面，，
又，平面，所以平面，
平面，，即为二面角的平面角，
所以在中，，则，由等面积可得，
所以，则，即二面角的余弦值为.
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