高中数学人教A版必修2期末限时训练6（含解析）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版必修2期末限时训练6（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 917.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-25 20:21:21 | ||
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文档简介
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限时训练6
一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A．10 B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．底面是正六边形的棱锥是正六棱锥
C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台
3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ）
A．立方分米 B．立方分米 C．立方分米 D．立方分米
5．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ）
A． B． C．12 D．18
二、多选题
6．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为 B．三棱锥外接球的表面积为
C．三棱锥内切球的半径为 D．三棱锥内切球的半径为
三、填空题
8．如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是 .
9．某数学兴趣小组成员为了测量，两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北75°方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东75°方向上，且距离地2千米，则，两地之间的距离是 千米.
四、解答题
10．如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面平面.
11．如图，在四棱柱中，平面平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求四棱柱的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
12．记的内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求角；(2)若，求面积的最大值；
(3)已知点在边上，，，，求的长.
《限时训练6》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C D A D AD AC
1．由题意可得，解得.故选：A
2．棱台有两个平面平行，其余各面都是梯形，则A错误；底面是正六边形，且所有侧棱相等的棱锥是正六棱锥，则B错误；由棱台的定义可知棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点，则C正确；绕直角梯形的直角腰所在直线旋转一周得到的几何体是圆台，则D错误.故选：C
3．若，，则或，故A错误.若，，则或，相交，故B错误.
若，，则或或，故C错误.若，，则，故D正确.故选：D.
4．设该圆锥形的容器的底面圆的半径为，高为，则分米，分米，
则小明制作的圆锥形的容器的容积是立方分米.故选：.
5．作，垂足为，如下图所示：
则为的中点，故.
故选：D
6．因为，且，所以.由正弦定理可得，则，又，有，故或.故选：AD
7．由题意可知，，两两垂直，则三棱锥外接球的半径满足，
从而三棱锥外接球的表面积为，故A正确，B错误.
由题意可得三棱锥的体积，三棱锥的表面积.设三棱锥内切球的半径为，
因为，所以，则C正确，D错误.故选：AC
8．在正方形中可得，由斜二测画法可知，
且，所以四边形为平行四边形，所以原四边形的面积是，故答案为：.
9．由题意可得，，在的东偏北75°方向，在的北偏东75°方向可得.
在中，由余弦定理可得，则千米.
故答案为：.
10．（1）记，连接.因为四边形是正方形，所以是的中点.因为是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.
（2）连接.因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为，所以.因为四边形是正方形，所以.
因为平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.
11．（1）在上取点，使得，连接，因为，，所以，，又，即，所以四边形是正方形.因为，，所以.
因为，，所以，所以，因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，平面，且与相交，所以平面.因为平面平面，，所以平面.
（2）由题意可得梯形的面积，则四棱柱的体积.
（3）作平面，垂足为，连接，
则是直线与平面所成的角，由题意可得的面积，由（1）可知平面，
所以三棱锥的体积，因为，且，所以.由（1）可知平面，平面，所以.又，，所以.在中由余弦定理可知，则，所以，则的面积，故三棱锥的体积.因为，所以，解得，则，即直线与平面所成角的正弦值为.
12．（1）由正弦定理得，，所以，所以，又因为，
所以，所以，所以，所以，因为，
所以，即，因为，所以.
（2）由余弦定理得，即.因为，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，即，则的面积，
即面积的最大值为.
（3）在中，由余弦定理得，，
所以.所以，所以，
又因为，所以，
所以，即，又因为所以，即，
因为，所以
所以，即，在中，由锐角三角函数得，，所以，故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，解题的关键是合理利用正弦定理的边角互化，以及余弦定理列出方程求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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限时训练6
一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A．10 B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B．底面是正六边形的棱锥是正六棱锥
C．棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点 D．绕直角梯形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆台
3．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．小明在手工课上用硬纸板做了一个圆锥形容器，若该圆锥形容器的轴截面是边长为分米的等边三角形，忽略硬纸板的厚度，则该圆锥形容器的容积是（ ）
A．立方分米 B．立方分米 C．立方分米 D．立方分米
5．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，，是该正五角星的中心，则（ ）
A． B． C．12 D．18
二、多选题
6．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三棱锥的底面是直角三角形，平面，，则（ ）
A．三棱锥外接球的表面积为 B．三棱锥外接球的表面积为
C．三棱锥内切球的半径为 D．三棱锥内切球的半径为
三、填空题
8．如图所示，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形，则原四边形的面积是 .
9．某数学兴趣小组成员为了测量，两地之间的距离，在同一水平面上选取地，测得在的东偏北75°方向上，且距离地3千米，测得在的北偏东75°方向上，且距离地2千米，则，两地之间的距离是 千米.
四、解答题
10．如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面平面.
11．如图，在四棱柱中，平面平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求四棱柱的体积；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
12．记的内角，，的对边分别是，，，已知.
(1)求角；(2)若，求面积的最大值；
(3)已知点在边上，，，，求的长.
《限时训练6》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A C D A D AD AC
1．由题意可得，解得.故选：A
2．棱台有两个平面平行，其余各面都是梯形，则A错误；底面是正六边形，且所有侧棱相等的棱锥是正六棱锥，则B错误；由棱台的定义可知棱台的所有侧棱的延长线交于同一个点，则C正确；绕直角梯形的直角腰所在直线旋转一周得到的几何体是圆台，则D错误.故选：C
3．若，，则或，故A错误.若，，则或，相交，故B错误.
若，，则或或，故C错误.若，，则，故D正确.故选：D.
4．设该圆锥形的容器的底面圆的半径为，高为，则分米，分米，
则小明制作的圆锥形的容器的容积是立方分米.故选：.
5．作，垂足为，如下图所示：
则为的中点，故.
故选：D
6．因为，且，所以.由正弦定理可得，则，又，有，故或.故选：AD
7．由题意可知，，两两垂直，则三棱锥外接球的半径满足，
从而三棱锥外接球的表面积为，故A正确，B错误.
由题意可得三棱锥的体积，三棱锥的表面积.设三棱锥内切球的半径为，
因为，所以，则C正确，D错误.故选：AC
8．在正方形中可得，由斜二测画法可知，
且，所以四边形为平行四边形，所以原四边形的面积是，故答案为：.
9．由题意可得，，在的东偏北75°方向，在的北偏东75°方向可得.
在中，由余弦定理可得，则千米.
故答案为：.
10．（1）记，连接.因为四边形是正方形，所以是的中点.因为是的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.
（2）连接.因为四边形是正方形，所以是的中点.
因为，所以.因为四边形是正方形，所以.
因为平面，且，所以平面.因为平面，所以平面平面.
11．（1）在上取点，使得，连接，因为，，所以，，又，即，所以四边形是正方形.因为，，所以.
因为，，所以，所以，因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面.因为平面，所以.因为，平面，且与相交，所以平面.因为平面平面，，所以平面.
（2）由题意可得梯形的面积，则四棱柱的体积.
（3）作平面，垂足为，连接，
则是直线与平面所成的角，由题意可得的面积，由（1）可知平面，
所以三棱锥的体积，因为，且，所以.由（1）可知平面，平面，所以.又，，所以.在中由余弦定理可知，则，所以，则的面积，故三棱锥的体积.因为，所以，解得，则，即直线与平面所成角的正弦值为.
12．（1）由正弦定理得，，所以，所以，又因为，
所以，所以，所以，所以，因为，
所以，即，因为，所以.
（2）由余弦定理得，即.因为，当且仅当时，等号成立，
所以，所以，即，则的面积，
即面积的最大值为.
（3）在中，由余弦定理得，，
所以.所以，所以，
又因为，所以，
所以，即，又因为所以，即，
因为，所以
所以，即，在中，由锐角三角函数得，，所以，故.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，解题的关键是合理利用正弦定理的边角互化，以及余弦定理列出方程求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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