第5章　复数 1.2　复数的几何意义--北师大版高中数学必修第二册课件（共54页PPT）

(共54张PPT)
第五章
1.2　复数的几何意义
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.了解复平面的概念.
2.理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
3.掌握复数模的概念,会求复数的模.
4.掌握共轭复数的概念及几何意义.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　复平面
如图,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可以用点Z(a,b)表示.这个通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面,x轴称为　　　　,y轴称为　　　　.显然,实轴上的点都表示实数;除了_______　　　　外,虚轴上的点都表示纯虚数.
实轴
虚轴
原点
思考辨析
虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗
提示 不是.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)实轴上的点表示实数.(　　)
(2)虚轴上的点表示虚数.(　　)
(3)复数在复平面中对应点的纵坐标为复数的实部.(　　)
√
×
×
2.在复平面内点(0,-5)对应的复数是　　　　　.
-5i
知识点二　复数的几何意义
1.复数与点的对应
复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)是一一对应的,即
复数z=a+bi 　 　复平面内的点Z(a,b).
2.复数与向量的对应
如图,复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的向量 =(a,b)也是一一对应的,
即复数z=a+bi　 　 平面向量 .
只有向量的起点在原点时才有这种一一对应关系
名师点睛
1.复数的实质是有序实数对.
2.根据复数与复平面内的点一一对应,复数与平面向量一一对应,可知复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量 之间的关系可用图表示.
思考辨析
在复平面内点(1,6)和(6,1)对应的复数一样吗
提示 不一样,对应的复数分别是1+6i,6+i.
自主诊断
1.在复平面内,复数z=i+2i2对应的点位于(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B
解析 ∵z=i+2i2=-2+i,∴实部为-2,虚部为1,故复数z对应的点位于第二象限.
2.[人教A版教材习题]在复平面内,O是原点,向量 对应的复数是2+i.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量 对应的复数;
(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为点C,求点C对应的复数.
(2)点B(2,-1)关于虚轴的对称点C的坐标为(-2,-1),则点C对应的复数是-2-i.
(1)点A(2,1)关于实轴的对称点B的坐标为(2,-1),则向量 对应的复数为2-i.
知识点三　复数的模
定义:向量 的模称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|.
由向量模的定义可知,|z|=|a+bi|= 　　　　　.
如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a,它的模 =|a|(a的绝对值).
虽然两个复数一般不能比较大小,但它们的模是非负实数,可以比较大小.
名师点睛
1.模的几何意义:复数模的几何意义就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离,也就是向量 的模,即|z|=| |.
2.两个复数相等,其模必相等;但模相等的两个复数未必相等.
思考辨析
已知在复平面内复数z对应的点的坐标为(m,n),如何求z的模
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)复数的模一定是正实数.(　　)
(2)若z1=z2,则|z1|=|z2|.(　　)
(3)若z1>z2,则|z1|>|z2|.(　　)
(4)若|z1|=|z2|,则z1=z2.(　　)
2.[人教A版教材习题]求复数z1=3+4i及 的模,并比较它们的模的大小.
×
√
×
×
知识点四　共轭复数
若两个复数的实部　　　　,而虚部互为　　　　　　,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用 表示.当z=a+bi(a,b∈R)时, =a-bi.显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称,并且它们的模相等.另外,当复数z=a+bi的虚部b=0 时,有 =z.也就是说,任意一个实数的共轭复数仍是它本身,反之亦然.
相等　
相反数
名师点睛
1.已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.
2.共轭复数的特点
(1)在复平面内,表示两个共轭复数的点到坐标原点的距离相等.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.(　　)
(2)在复平面内,表示共轭复数的点关于虚轴对称.(　　)
√
×
2.[2024北京大兴高一质检]已知在复平面内复数z对应的点的坐标为(-3,4),则| |=(　　)　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4
C.5 D.4
C
重难探究·能力素养速提升
探究点一　复数与点的对应关系
【例1】 求实数a分别取何值时,复数 对应的点Z满足下列条件:
(1)在复平面的第二象限内.
(2)在复平面内的实轴上方.
变式探究(1)本例中题设条件不变,求复数z表示的点Z在实轴上时,实数a的值.
解 因为点Z在实轴上,
所以a2-2a-15=0且a+3≠0,所以a=5.
故当a=5时,点Z在实轴上.
(2)本例中条件不变,如果点Z在直线x+y+7=0上,求实数a的值.
规律方法　利用复数与点的对应关系的解题步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
变式训练1在复平面内,若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点:(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在第二、四象限;(4)在直线y=x上,分别求实数m的值或取值范围.
解 复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8,虚部为m2+3m-10.
(1)由题意得m2-2m-8=0,
解得m=-2或m=4.
解得2故在第二象限时,实数m的取值范围是(2,4).
(3)由题意得,(m2-2m-8)(m2+3m-10)<0,
∴2故在第二、四象限时,实数m的取值范围是(-5,-2)∪(2,4).
(4)由题得,m2-2m-8=m2+3m-10,故m= .
探究点二　复数与复平面内向量的对应
【例2】 在复平面上,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点.
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
规律方法　 1.若复数z=a+bi(a,b∈R),则复数z在复平面内对应的向量
=(a,b).
2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得.
3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数改变.
A.-2-i B.-2+I C.1+2i D.-1+2i
B
(2)四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C三点对应的复数分别是1+3i,-i,2+i.
①求点D对应的复数;
②求△ABC的边BC上的高.
解 ①复平面内A,B,C对应点的坐标分别为(1,3),(0,-1),(2,1).设点D的坐标为(x,y),
即x-1=2,y-3=2,解得x=3,y=5,
故点D(3,5),其对应的复数为3+5i.
②因为B(0,-1),C(2,1),
所以直线BC的方程为x-y-1=0,
探究点三　复数的模及其应用
角度1.复数的模的几何意义
【例3】 设z∈C,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.
(1)|z|=2;
(2)1≤|z|≤2.
解 (1)(方法一)|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2,这样的点Z的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
(方法二)设z=a+bi(a,b∈R),由|z|=2,得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心,2为半径的圆.
不等式|z|≤2的解集对应圆|z|=2及该圆内部所有点的集合.
不等式|z|≥1的解集对应圆|z|=1及该圆外部所有点的集合.
这两个集合的交集,对应满足条件1≤|z|≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.
规律方法　解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z|表示点Z到原点的距离,可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是|z1-z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.
变式训练3若复数z满足|z|≤ ,则z在复平面所对应的图形的面积为　 .
2π　
角度2.复数的模的计算
【例4】 (1)已知复数z1=6-5i,z2=-2+3i,若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则|z|=(　　)
A
A.|z1|>|z2| B.|z1|<|z2|
C.|z1|=|z2| D.不能确定
A
规律方法　1.在计算与模有关的问题时,首先分清复数的实部与虚部,若给出的复数不是标准形式,要先化为标准形式再利用公式 求解.
2.复数z=a+bi(a,b∈R)的模对应的点的集合是以原点为圆心, 为半径的圆.
变式训练4(1)复数z1=a+2i,z2=-2+i,若|z1|<|z2|,那么实数a的取值范围是　　　　　.
(-1,1)
(2)已知复数z=3+ai,且|z|<4,则实数a的取值范围为　　　　　.
(方法二)利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,4为半径的圆内(不包括边界).
由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,故线段AB(除去端点)为动点Z的集合,
探究点四　共轭复数及其应用
【例5】 设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
C
解析 由z=-3+2i,得 =-3-2i,则在复平面内 对应的点(-3,-2)位于第三象限,故选C.
规律方法　本节内容对共轭复数的要求有两点:一是会利用定义写出已知复数的共轭复数;二是明确互为共轭的两个复数表示的点的对称关系.
变式训练5已知i是虚数单位,复数z=1+i,则 的实部与虚部之和为(　　)
A.1 B.0
C.-2 D.2
B
解析 =1-i,实部为1,虚部为-1,
所以实部与虚部之和为1+(-1)=0.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系;
(2)复数的模及几何意义;
(3)共轭复数.
2.方法归纳:待定系数法、数形结合.
3.常见误区:虚数不能比较大小,虚数的模可以比较大小.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
1.(多选)已知复数z=1+i,则下列命题中正确的为(　　)
C.z的虚部为i
D.z在复平面上对应点在第一象限
ABD
4
1
2
3
2.(多选)已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值可以为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
AC
4
1
2
3
3.已知向量a=(3,4),设向量a对应的复数为z,则z的共轭复数
3-4i
5
4
1
2
3
4
-5+3i
本 课 结 束