第6章　立体几何初步 6.3　球的表面积和体积--北师大版高中数学必修第二册课件（共34页PPT）

(共34张PPT)
第六章
6.3　球的表面积和体积
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
目录索引
学以致用·随堂检测促达标
课程标准 1.能运用球的表面积和体积公式灵活解决实际问题.
2.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”等几何问题.
基础落实·必备知识一遍过
知识点一　球的基本性质
1.球的截面
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　;被不经过球心的平面截得的圆称为球的　　　　.
2.球的切线
(1)当直线与球有唯一交点时,称直线与球　　　　,这一交点称为直线与球的　　　　.
(2)过球外一点的所有切线的切线长都　　　　,这些切点的集合是一个圆,该圆面及所有切线围成了一个圆锥.
大圆
小圆
相切
切点
相等
名师点睛
1.球的直径等于球的内接长方体的对角线长,即 (其中R为球的半径,a,b,c分别为长方体的长、宽、高).
2.球面被两个平行截面所截得的圆的圆心的连线垂直于这两个截面,且经过球心.
思考辨析
1.球面被经过球心的平面截得的圆一定是大圆吗


2.球的表面能否展开为平面图形
提示 是.
提示 不能.
自主诊断
判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)过球外一点有且只有一条切线与圆相切.(　　)
(2)球面上的任意三点确定一个平面.(　　)
(3)球心与其截面圆的圆心的连线垂直于截面.(　　)
×
√
√
知识点二　球的表面积与体积公式
条件 球的半径为R
表面积公式 S球面=4πR2
体积公式 V球= πR3
V球= S球面·R
名师点睛
1.球的表面是曲面,不能展开为平面图形(即球没有表面展开图),也不能用计算平面图形面积的方法去计算其准确面积;
2.用球的表面积公式求得的球的表面积是准确值,而不是近似值,球的体积和表面积公式以后可以证明.
思考辨析
若球的体积与其表面积数值相等,球的半径为定值吗
提示 是定值,说明如下:设球的半径为R,则4πR2= πR3,解得R=3.
自主诊断
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)球的表面积等于它的大圆面积的2倍.(　　)
(2)若球的直径为1,则球的体积为 .(　　)
(3)两个球的半径之比为1∶2,则其体积之比为1∶4.(　　)
(4)若球的半径变为原来的2倍,则球的表面积变为原来的2倍.(　　)
(5)球的体积是关于球半径的一个函数.(　　)
×
√
×
×
√
2.已知A,B,C是球面上三点,且AB=AC=4,∠BAC=90°,若球心O到平面ABC的距离为2 ,则该球的表面积为　 .
64π
解析 因为AB=AC=4,∠BAC=90°,
所以BC为平面ABC截球所得小圆的直径,
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探究点一　球的表面积与体积
(2)已知球的表面积为64π,求它的体积.
【例1】 (1)若两个球的半径之比为1∶3,求这两个球的表面积之比.
规律方法　1.球的基本量是球的半径,由半径可以求出球的表面积和体积,反过来,由表面积和体积也可以求出球的半径,进而解决其他问题.
2.球的表面积之比是半径比的平方,球的体积之比是半径比的立方.
变式训练1若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的
　　　　　倍,表面积变为原来的　　　　　倍.
8
4　
探究点二　球的截面
【例2】 在半径为R的球面上有A,B,C三点,且AB=BC=CA=3,球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.
规律方法　1.有关球的截面问题,常画出过球心的截面圆,将问题转化为平面中圆的问题.
2.解题时要注意借助球半径R,截面圆半径r,球心到截面的距离d构成的直角三角形,即R2=d2+r2.
变式训练2如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为
6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为(　　)
A
解析 利用球的截面性质结合直角三角形求解.
如图,作出球的一个截面,则MC=8-6=2(cm),
设球的半径为R cm,
则R2=OM2+MB2=(R-2)2+42,
解得R=5,
探究点三　与球有关的切、接问题
【例3】 一个高为16的圆锥外接一个体积为972π的球,在圆锥里又有一个内切球.求:
(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥内切球的体积.
解 (1)如图所示,
作出轴截面,则等腰三角形SAB外接圆O,而圆O1内切于△SAB.
设圆O的半径为R,则有 πR3=972π,
∴R3=729,R=9,∴SE=2R=18.
∵SD=16,∴ED=2.
∵SE是直径,∴SA⊥AE,∴SA2=SD×SE=16×18=288,AD2=SD×DE=16×2=32,
规律方法　1.处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时,要注意球心的位置与几何体的关系,一般情况下,由于球的对称性,球心总在特殊位置,比如中心、对角线的中点等.
2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间问题转化为平面问题来计算.
变式训练3若一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上,则正方体的表面积为(　　)
A
解析 ∵球的半径为1,且正方体内接于球,
∴球的直径即为正方体的体对角线,即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a,则有3a2=4,即a2= ,∴正方体的表面积为6a2=6× =8.
本节要点归纳
1.知识清单:
(1)球的截面及性质;
(2)与球有关的切、接问题;
(3)球的表面积与体积.
2.方法归纳:转化与化归,数形结合.
3.常见误区:(1)不能定量地分析球的半径变化引起的表面积和体积的变化程度;(2)与球有关的切、接问题中关键要素及其数量关系容易把握不清.
学以致用·随堂检测促达标
1
2
3
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1.一个圆柱的底面直径与高相等,且该圆柱的表面积与球O表面积相等,则球O的半径与圆柱底面半径之比为(　　)
A
解析 设圆柱的底面半径为r,则其高为2r,所以圆柱的表面积S1=2πr×2r+πr2+πr2=6πr2.
设球O的半径为R,则其表面积S2=4πR2.
1
2
3
4
2.平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 ,则此球的体积为(　　)
B
1
2
3
4
3.正方体的内切球与其外接球的体积之比为(　　)
C
1
2
3
4
4.如图,边长为2的正方形ABCD中,以B为圆心的圆与AB,BC分别交于点E,F,若tan∠CDF= ,则阴影部分绕直线BC旋转一周形成的几何体的体积等于　　　　.
6π　
1
2
3
4
解析 在Rt△DCF中,DC=2,CF=DCtan∠CDF=2× =1,
所以BF=BC-CF=2-1=1,
正方形ABCD绕直线BC旋转一周形成圆柱,圆柱的底面半径R=AB=2,
高h1=BC=2,其体积V1=πR2h1=π×22×2=8π;
直角三角形CDF绕直线BC旋转一周形成与圆柱同底的圆锥,所以圆锥的底面半径R1=2,
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2
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本 课 结 束