北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形培优题(含解析)

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北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形培优题
一．选择题（共6小题）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC边于点E，F，若AB＝2，AC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．4
2．如图是一个铭丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成，寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为8cm和6cm，重叠部分是一个面积为6cm2的菱形，则这个图案的总面积为（　　）
A．42cm2 B．48cm2 C．54cm2 D．60cm2
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的动点．作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若M是EF的中点，则在点P运动过程中，PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（　　）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
6．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中错误的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共4小题）
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD，∠APB＝135°，则正方形ABCD的面积为　 　 ．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　 　 ．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝　 　 ．
10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　 　 ．
三．解答题（共19小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE∥DC，AD∥CE．求证：四边形ADCE是矩形．
12．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC．
（1）求证：四边形ACFG是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．
14．如图，四边形AOBE是平行四边形，对角线AB，OE交于点F，FO＝FA，延长AO到点C，使CO＝AO，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，DC和BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝13，AC＝24，求AD与BC间的距离．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线GH经过点O，分别与BA、DC的延长线交于点G、H，与AD、CB交于点E、F．
（1）求证：△AOG≌△COH；
（2）连接AH、CG，若GH＝GD，当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？请说明理由．
16．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F，请问点O在AC边上什么位置时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．
（1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边得四边形是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边得四边形是矩形？
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE相交于点G．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）求∠DGF的度数．
21．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若，DE＝1，求菱形ABCD的面积．
22．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请你添加一个条件 　 　 ，则四边形EBFD是矩形．并证明．
23．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
25．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
①△GAB≌△FAD吗？说明理由．
②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．
③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
27．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
29．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC于点F，下面是两位同学的对话．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）如图2，若∠BAD＝60°，四边形CEGF是菱形，分别连结DB，DG，求∠BDG的度数．
北师大九年级数学上册第一章特殊平行四边形培优题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A C A B A
一．选择题（共6小题）
1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC边于点E，F，若AB＝2，AC＝4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B．2 C． D．4
【分析】首先证△BOF≌△DOE，由此可得出S阴影S矩形ABCD则可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，
∴∠BAD＝90°，OD＝OB，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△EOD≌△FOB（ASA）；
∴S△BOF＝S△DOE；
∴S阴影＝S△BOF+S△COF＝S△BOCS矩形ABCD＝ ，
故选：B．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及矩形面积的求法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
2．如图是一个铭丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成，寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为8cm和6cm，重叠部分是一个面积为6cm2的菱形，则这个图案的总面积为（　　）
A．42cm2 B．48cm2 C．54cm2 D．60cm2
【分析】这个图形的总面积＝两个菱形的面积﹣重叠部分的面积．
【解答】解：这个图形的总面积＝两个菱形的面积﹣重叠部分的面积＝26×8﹣6＝42．
故选：A．
【点评】本题考查图形的拼剪，全等图形，解题的关键是理解题意，正确计算．
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的动点．作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若M是EF的中点，则在点P运动过程中，PM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】证四边形AFPE是矩形，得EF＝AP，再由垂线段最短和三角形面积求出AP的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中点，
∴PMEFAP，
根据垂线段最短可知，当AP⊥BC时，AP最短，
则PM也最短，
此时，S△ABCBC APAB AC，
∴AP，
即AP最短时，AP，
∴PM的最小值AP，
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P，MQ⊥BC于点Q，则PQ的最小值为（　　）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
【分析】连接MC，首先根据勾股定理解得BD的值，证明四边形MPCQ是矩形，可得PQ＝CM，当时CM⊥BD，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可获得答案．
【解答】解：四边形ABCD为矩形，AD＝3，AB＝4，如图，连接MC，
∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝3，AB＝CD＝4，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
∵MP⊥CD，MQ⊥BC，
∴∠MPC＝∠MQC＝∠PCQ＝90°，
则四边形MPCQ是矩形，
∴PQ＝CM，
当时CM⊥BD，CM最小，则PQ最小，
此时，
即，
解得CM＝2.4，
∴PQ的最小值为2.4．
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，勾股定理，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　）
A．2.5 B． C． D．2
【分析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC，CF＝3，则∠ACF＝90°，再利用勾股定理计算出AF＝2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．
【解答】解：连接AC、CF，如图，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，ACBC，CFCE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF2，
∵H是AF的中点，
∴CHAF．
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
6．如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中错误的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】①由正方形性质得AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，进而得AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，由此可依据“SAS”判定△BCE和△CDF全等，则∠BCE＝∠CDF，进而可证明∠CGD＝90°，据此可对结论结论①进行判断；
②连接AH，证明四边形AECH是平行四边形得AH∥CE，进而得AH⊥DF，再根据直角三角形斜边中线性质得HG＝HD＝HCCD，则∠AHG＝∠AHD，由此可依据“SAS”判定△AHG和△AHD全等，再根据全等三角形的判定即可对结论②进行判断；
③根据△AHG和△AHD全等得∠DAG＝2∠DAH，证明∠DAH＝∠HDG得∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，再根据三角形外角性质及HG＝HD得∠CHG＝2∠HGD，由此可对结论③进行判断；
④由HG＝HD＝HCCD，AD＝CD即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，
∴AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCG＝∠BCD＝90°，
∴∠CDF+∠DCG＝90°，
在△CDG中，∠CGD＝180°﹣（∠CDF+∠DCG）＝90°，
即CE⊥DF，
故结论①正确；
②连接AH，如图所示：
∵AB∥CD，AE＝CH，
∴四边形AECH是平行四边形，
∴AH∥CE，
∵CE⊥DF，
∴AH⊥DF，
∴∠CGD＝90°，点H是CD的中点，
∴GH是Rt△CDG的斜边CD上的中线，
∴HG＝HD＝HCCD，
又∵AH⊥DF，
∴∠AHG＝∠AHD，
在△AHG和△AHD中，
，
∴△AHG≌△AHD（SAS），
∴AG＝AD，
故结论②正确；
③∵△AHG≌△AHD，
∴∠GAH＝∠DAH，
∴∠DAG＝2∠DAH，
∵AH⊥DF，∠ADC＝90°，
∴∠DAH+∠ADG＝90°，∠ADG+∠HDG＝90°，
∴∠DAH＝∠HDG，
∴∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，
∵∠CHG是△HDG的外角，
∴∠CHG＝∠HDG+∠HGD，
∵HG＝HD，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠CHG＝2∠HGD，
∴∠CHG＝∠DAG，
故结论③正确；
④∵HG＝HD＝HCCD，AD＝CD，
∴HGAD，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②③④，错误的结论有0个．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
二．填空题（共4小题）
7．如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP、BP、DP，若AP＝1，PD，∠APB＝135°，则正方形ABCD的面积为　13　 ．
【分析】将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，由旋转的性质可求PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，可求PH的长，在Rt△DPH中，由勾股定理可求DH的长，在Rt△ADE中，由勾股定理可求AD2，即可求解．
【解答】解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AHD，连接PH，过点A作AE⊥DH交DH的延长线于E，
∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，
∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，
∴PHAP，∠APH＝∠AHP＝45°，
∴∠PHD＝90°，
∴DH2，
∵∠AHD＝135°，
∴∠AHE＝45°，
∵AE⊥DH，
∴∠AHE＝∠HAE＝45°，
∴AE＝EH，AHAE，
∴AE＝EH，
∴DE，
∵AD2＝AE2+DE2＝13，
∴正方形的面积为13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，动点E、F分别在线段AB、BC上，且BE＝CF，则EF的最小值为 　　 ．
【分析】连接BD，过点D作DG⊥AB于G，先证明△ABD、△BCD都是等边三角形，得到CD＝BD，∠CDB＝60°，进而证明△BDE≌△CDF得到DE＝DF，进一步证明△EDF是等边三角形，得到EF＝DE，则当E与G重合时，此时DE最小，即EF最小，最小值为DG，利用勾股定理求出DG即可得到答案．
【解答】解：如图所示，连接BD，过点D作DG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，AD∥BC，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD、△BCD都是等边三角形，
∴CD＝BD，∠ABD＝∠CDB＝60°，
∴∠DBA＝∠CDB＝60°＝∠C，
又∵BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDE+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，
即∠EDF＝∠CDB＝60°，
∴△EDF是等边三角形，
∴EF＝DE，
∴当DE最小时，EF最小，
∴当E与G重合时，此时DE最小，即EF最小，最小值为DG，
∵DG⊥AB，
∴AGAD＝1，
∴DGAG，
∴EF的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理以及最小值等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，则AH＝　　 ．
【分析】由菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再由菱形的性质得出CO的长，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝8，
∵S菱形ABCDAC×BD＝24，
即：AC×8＝24，
∴AC＝6，
∴COAC6＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
即：5×AH＝24，
∴AH．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
10．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．运动过程中点D到点O的最大距离是 　3　 ．
【分析】取AB的中点E，连接OD、OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OEAB，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形任意两边之和大于第三边可得OD过点E时最大．
【解答】解：如图：取线段AB的中点E，连接OE，DE，OD，
∵AB＝6，点E是AB的中点，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝3＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，
∴DE，
∵OD≤OE+DE，
∴当点D，点E，点O共线时，OD的长度最大．
∴点D到点O的最大距离＝OE+DE＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，三角形三边关系，确定出OD过AB的中点时值最大是解题的关键．
三．解答题（共19小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边BC的中点，AE∥DC，AD∥CE．求证：四边形ADCE是矩形．
【分析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再由等腰三角形的性质得AD⊥BC，则∠ADC＝90°，然后由矩形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AE∥DC，AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
12．如图，已知在 ABCD中，点E、F分别是边AD、CD的中点，过点E、F的直线交BA的延长线于点G，联结AC．
（1）求证：四边形ACFG是平行四边形；
（2）联结CE，如果CE＝AE，求证：四边形ACFG是矩形．
【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AG＝DF＝CF可得结论；
（2）证明∠ACF＝90°可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BG∥CD，
∴∠C＝∠EFD，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEG＝∠DEF，
∴△AEG≌△DEF（ASA），
∴AG＝DF，
∵F是CD的中点，
∴CF＝DF，
∴AG＝CF，
∵AG∥CF，
∴四边形ACFG是平行四边形；
（2）∵△AEG≌△DEF，
∴AE＝DE，
∵AE＝EC，
∴CE＝AE＝DE，
∴∠ACF＝90°，
∵四边形ACFG是平行四边形，
∴四边形ACFG是矩形．
【点评】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．
【分析】连接AC，交BD于点O，证明平行四边形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，再证明EO＝FO，则四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【解答】证明：如图，设AC交BD于点O，
∵AB＝AD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四边形AFCE是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
14．如图，四边形AOBE是平行四边形，对角线AB，OE交于点F，FO＝FA，延长AO到点C，使CO＝AO，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，DC和BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝13，AC＝24，求AD与BC间的距离．
【分析】（1）先由对角线互相平分的四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的性质得出BD⊥AC，即可得出结论；
（2）由矩形的性质得出AB＝OE＝13，由菱形的性质得出，由勾股定理求出OB＝5，则BD＝10，设AD与BC间的距离为d，然后由菱形的面积公式即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵CO＝AO，DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵四边形AOBE是平行四边形，
∴AF＝FB，OF＝FE，
∵FO＝FA
∴AB＝OE，
∴四边形AOBE是矩形，
∴BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形AEBO是矩形，OE＝13，
∴AB＝OE＝13，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝24，
∴OB＝OD，∠AOB＝90°，，BC＝AB＝13，
∴，
∴BD＝2OB＝2×5＝10，
设AD与BC间的距离为d，
∵，
∴．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
15．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线GH经过点O，分别与BA、DC的延长线交于点G、H，与AD、CB交于点E、F．
（1）求证：△AOG≌△COH；
（2）连接AH、CG，若GH＝GD，当点C位于DH的什么位置时，四边形AHCG是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行四边形的性质证出AO＝OC，AB∥CD．由全等三角形的判定可得出结论；
（2）由全等三角形的性质得出AG＝CH，证明四边形AHCG是平行四边形，由等腰三角形的性质证出∠GCH＝90°，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠G＝∠H．
在△AOG与△COH中，
，
∴△AOG≌△COH（AAS）；
（2）解：当C为DH的中点时，四边形AHCG是矩形．
理由：∵△BOG≌△DOH，
∴BG＝DH，
∵AB＝CD，
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∵GH＝GD，C为DH的中点，
∴GC⊥CD，
∴∠GCH＝90°，
∴四边形AHCG是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，证得△BOG≌△DOH是解题的关键．
16．如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F，请问点O在AC边上什么位置时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
【分析】首先证明EO＝CO，然后同理再证明FO＝CO，再利用证明四边形是矩形，则要证明一个角为直角的平行四边形，通过题干条件证明之．
【解答】解：当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形
理由如下：
∵CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO．
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是“平行四边形”，当∠ECF＝90度时，平行四边形AECF是矩形，
∵EO＝FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4180°＝90°．
即∠ECF＝90度，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定以及平行四边形的判定，本题中根据矩形判定得出∠ECF＝90度是解题的关键．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【分析】（1）先证明EO是△DAB的中位线，再结合已知条件OG∥EF，得到四边形OEFG是平行四边形，再由条件EF⊥AB，得到四边形OEFG是矩形；
（2）先求出AE＝5，由勾股定理进而得到AF＝3，再由中位线定理得到OEABAD＝5，得到FG＝5，最后BG＝AB﹣AF﹣FG＝2．
【解答】（1）证明：由四边形ABCD为菱形可知：点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
（2）解：由条件可知：AE，
∵∠EFA＝90°，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF3．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝10，
∴OEAB＝5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG＝OE＝5，
∴BG＝10﹣3﹣5＝2．
故答案为：OE＝5，BG＝2．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握特殊四边形的性质和判定属于中考常考题型，需要重点掌握．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？求出此时菱形AQCP的面积．
【分析】（1）根据题意，得到当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，列出方程进行求解即可；
（2）根据题意，得到当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，列出方程求出t的值，根据菱形的面积公式求出面积即可．
【解答】解：（1）由题意，得：BQ＝t，DP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝8，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AP＝8﹣t，
当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，
∴t＝8﹣t，
解得：t＝4，
∴当t＝4s时，四边形ABQP是矩形；
（2）∵AB＝4，BQ＝t，∠B＝90°，
∴，
当四边形AQCP是菱形时，AP＝AQ，
∴，
解得：t＝3，
当t＝3时，BQ＝3，
∴CQ＝BC﹣BQ＝5，
菱形AQCP的面积为CQ AB＝5×4＝20cm2．
【点评】本题考查矩形的判定，菱形的判定和性质．掌握相关判定方法和性质，是解题的关键．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从A点出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．
（1）从运动开始，经过多少时间点P、Q、C、D为边得四边形是平行四边形？
（2）从运动开始，经过多少时间点A、B、Q、P为边得四边形是矩形？
【分析】（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形列出方程，解方程即可；
（2）由AD∥BC，∠B＝90°，可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，即可得方程：t＝26﹣2t，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）当PD＝CQ时，四边形PQCD为平行四边形，
即24﹣t＝3t，
解得，t＝6，
即当t＝6s时，四边形PQCD为平行四边形；
（2）根据题意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，
∴DP＝AD﹣AP＝24﹣t（cm），BQ＝26﹣3t（cm），
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，
∴t＝26﹣3t，
解得：t＝6.5，
即当t＝6.5s时，四边形ABQP是矩形；
【点评】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定形的判定．熟练掌握平行四边形和矩形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键．
20．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且AE＝BF，AF与DE相交于点G．
（1）求证：△ADE≌△BAF；
（2）求∠DGF的度数．
【分析】（1）根据正方形性质得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，由此可依据“SAS”判定△ADE和△BAF全等；
（2）根据全等三角形性质得∠ADE＝∠BAF，再根据∠DAG+∠BAE＝90°得∠DAG+ADE＝90°，由此可得出∠AGD＝90°，据此即可得出∠DGF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAE＝∠DAG+∠BAE＝90°，
∴∠DAG+ADE＝90°，
在△AGD中，∠AGD＝180°﹣（∠DAG+ADE）＝90°，
即AF⊥DE，
∴∠DGF＝90°．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
21．如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接BD，DF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若，DE＝1，求菱形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，推出四边形DFBE是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理和菱形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴四边形DFBE是矩形；
（2）解：∵∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2，
∵CD＝BC，
∴3+（CD﹣1）2＝CD2，
∴CD＝2，
∴菱形ABCD的面积＝CD BE＝22．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
22．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）请你添加一个条件 　BE⊥DE　 ，则四边形EBFD是矩形．并证明．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，得到∠BAE＝∠DCF，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）由（1）知△ABE≌△CDF，得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，求得∠BEO＝∠DFO，根据平行线的判定定理得到BE∥DF，得到四边形EBFD是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：添加一个条件BE⊥DE，
证明：由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEO＝∠DFO，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE⊥DE，
∴∠BEF＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
故答案为：BE⊥DE．
【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定．熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定是解题的关键．
23．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，即可得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法证出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝8即可．
【解答】解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四边形EMCN为正方形，
∵四边形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG为正方形，
（2）CE+CG的值为定值，理由如下：
∵矩形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CEAB48，
∴CE+CG＝8是定值．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理的综合运用，解本题的关键是作出辅助线，构造三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
24．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
（3）在（2）的条件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，可得∠CAD∠BAC，根据等式的性质，可得∠CAD+∠CAE（∠BAC+∠CAM）＝90°，根据垂线的定义，可得∠ADC＝∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；
（3）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，
∴∠CAD∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠CAE∠CAM．
∵∠BAC与∠CAM是邻补角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC时，四边形ADCE是一个正方形，
证明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四边形ADCE为矩形，
∴四边形ADCE为正方形；
（3）解：由勾股定理，得
AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周长4AD＝4×2＝8．
【点评】本题考查了的正方形的判定与性质，（1）利用了等腰三角形的性质，矩形的判定；（2）利用了正方形的判定；（3）利用了勾股定理，正方形的周长．
25．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD上两点，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G为边CB延长线上一点．
①△GAB≌△FAD吗？说明理由．
②若线段DF＝4，BE＝8，求线段EF的长度．
③若DF＝4，CF＝8．求线段EF的长度．
【分析】①由正方形的性质可知AB＝AD，∠ABG＝∠D，然后依据ASA证明两个三角形全等即可；
②依据SAS证明△AGE≌△AFE，从而可得到EF＝GE，然后再由GB＝DF可得到EF＝BE+DF；
③设EF＝x，则EC＝16﹣x，然后在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：①全等．
证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，
在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D
∴△GAB≌△FAD．
②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°
∴∠DAF+∠BAE＝45°
∵△GAB≌△FAD
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF
∴∠GAB+∠BAE＝45°
∴∠GAE＝45°
∴∠GAE＝∠EAF
在△GAE和△FAE中
∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE．
∵△GAB≌△FAD
∴GB＝DF
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．
③设EF＝x，则BE＝GE﹣BG＝x﹣4．
∵EC＝BC﹣BE，
∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．
在Rt△EFC中，依据勾股定理可知：EF2＝FC2+EC2，即（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
∴EF＝10．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质，解答本题主要应用了全等三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）四边形AEFD能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
【分析】（1）能，首先证明四边形AEFD为平行四边形．当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题．
（2）分三种情形讨论即可．
【解答】（1）证明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t．
∴当t秒时，四边形AEFD为菱形．
（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴ADAE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．
综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
27．在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，点E从A出发以1cm/s的速度向D运动，点F从点B出发，以2cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，
（1）t取何值时，四边形EFCD为矩形？
（2）M是BC上一点，且BM＝4，t取何值时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形？
【分析】（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，列出方程即可解决问题；
（2）分两种情形列出方程即可解决问题；
【解答】解：（1）当DE＝CF时，四边形EFCD为矩形，
则有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s时，四边形EFCD为矩形．
（2）①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝4﹣2t，解得t，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝2t﹣4，解得t＝4，
综上所述，t＝4或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查矩形判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
28．如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为t s．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
29．如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC于点F，下面是两位同学的对话．
（1）请你选择一位同学的说法，并进行证明；
（2）如图2，若∠BAD＝60°，四边形CEGF是菱形，分别连结DB，DG，求∠BDG的度数．
【分析】（1）选小波，证明∠DAE＝∠CEF得出AD∥BC，进而可证四边形ABCD为平行四边形；选小杭，证明∠DAE＝∠BEA，得出AD∥BC，进而可证四边形ABCD为平行四边形；
（2）分别连接GB，GC，由菱形和平行四边形的性质证明△ECG是等边三角形得EG＝CG，∠GCE＝∠CEG＝∠EGC＝60°，根据SAS证明△BEG≌△DCG，结合全等三角形的性质得出△BDG是等边三角形，即可求得∠BDG的度数．
【解答】（1）解：选小波，
证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠F（等边对等角），
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
选小杭，
证明：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA（等边对等角），
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）证明：如图，分别连接GB，GC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，AD∥BC，
∴∠ECF＝120°，∠ABC＝180﹣∠BAD＝120°，
∵AB＝BE，
∴DC＝BE，∠BAE＝∠BEA＝30°，
∵四边形CEGF是菱形，
∴CE＝CF＝EG，CF∥EG，
∴∠CEF＝∠BEA＝∠CFE＝30°，∠CEG＝∠BCD＝60°，
∴△ECG为等边三角形，
∴∠EGC＝∠ECG＝60°，
∴∠DCG＝∠BCD+∠ECG＝120°，
∵∠CEG＝60°，四边形CEGF是菱形，
∴，
∴∠BEG＝180°﹣∠AEB﹣∠GEF＝120°，
∴∠BEG＝∠DCG，
在△BEG和△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠BGE+∠DGE＝∠DGC+∠DGE＝∠EGC＝60°，
∴△BDG是等边三角形，
∴∠BDG＝60°．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
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