初中数学北师大版九年级上册 第四章 三角形相似复习（无答案）

相似模型
模型1：A型、8型
已知∠1＝∠2
结论：△ADE∽△ABC
模型浅析
如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似．
模型题源
【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：．
【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，求的值．
练习：
1．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE//AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25．则S△BDE与S△CDE的比是____________．
2．如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对．
3．如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点．
4．在△ABC中，AD是角平分线，求证：．
5．如图，△ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求证：CE⊥AD．
模型2 子母型
已知： ∠1=∠2 结论：△ACD ∽△ABC
模型浅析
上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC进而可以得到：AC2=
模型题源
【例1】如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．
（1）图中有多少对相似三角形？
（2）求证：AB2=，AC2=，AD2=
（3）求证：=
练习：
1．如图所示，能判定△ABC∽△DAC的有 ．
①∠B=∠DAC
②∠BAC=∠ADC
③AC2=
④AD2=
2．已知△AMN是等边三角形，∠BAC=120o．求证：
（1）AB2==；
（2）AC2=；
（3）MN2= ．
3．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CD⊥AB于D，AC=，AD:DB=4:1．求CD的长．
4．如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，我们可以利用△ABC∽△ACD证明AC2=，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图②，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．
（1）试利用射影定理证明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的长．
模型3 一线三等角型
已知，如图①②③中：∠B=∠ACE=∠D
结论：△ABC∽△CDE
模型浅析
如图①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．
∴△ABC∽△CDE．图②③同理可证△ABC∽△CDE．
在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形．
模型题源
【例1】如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60o，BP=1，CD=．则△ABC的边长为 ．
【例2】如图，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有 个．
练习：
1．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），∠ADE＝45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设，，求关于的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，且．下列结论：
①△ADE∽△ACD；
②当BD＝6时，△ABD与△DCE全等；
③△DCE为直角三角形时，BD等于8或；
④
其中正确的结论是 ．
3．如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折叠与边BC交于O，连接AP、OP、OA．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
模型4 倒数型
条件：AF∥DE∥BC
结论：
仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平．
模型题源
如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．
求证：．
练习
如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上.
求证：
2．正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB于G，连接BF．求证：
(1) AF+BF=EF；
(2)
模型5 相似和旋转
如图①，已知DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度，连接BD、CE，得到如图②．
结论：△ABD∽△ACE．
该模型难度较大，常出现在压轴题中，以直角三角形为背景出题，对学生的综合能力要求较高，考察知识点有相似、旋转、勾股定理、三角函数等，是优等生必须掌握的—种题型．
模型题源
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，点P在△ABC内，且，PB＝5，PC＝2．
求．
练习
1．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，E在△ABC内，∠CA E＋∠ CBE＝90°，连接BF．
（1）求证：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的长．
2．已知，在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如图①．若AB＝AC，点P在△ABC内，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC绕着点A顺时针旋转，使点C旋转到点B处，得到△ADB，连接DP．①依题意补全图1； ②直接写出PB的长；
（2）如图②，若AB＝AC，点P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度数；
（3）如图③，若AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，∠APC＝120°，请直接写出PC的长．