2025年福建省中考数学模拟试卷（含答案）

2025年福建省中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列各数：，，，，，，中无理数的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.在下列图形中，是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
3.根式中，的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.如图所示物体，其主视图是( )
A. B.
C. D.
5.把不等式组中的两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示
A. B. C. D.
6.已知与互为相反数，且，下列各式不成立的是( )
A. B. C. D.
7.若与互补，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.我国南宋数学家杨辉在田亩比类乘除算法中记录了有关“直田矩形面积与其长、阔宽”
的问题，今有一块矩形面积是平方步，其中宽与长的和为步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是( )
A. B.
C. D.
9.如图，是的外接圆，直径，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知二次函数的图象经过原点，它可以由二次函数的图象平移得到，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.某公司今年盈利万元，记作万元，去年亏损万元，可记作：______．
12.如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开若测得的长为，则，两点间的距离为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，函数的图象过点连接，，若图中的阴影面积为，则的值为______．
14.在中，，，则边上的中线的取值范围是______．
15.某中学规定：学生综合数学成绩是由平时、期中、期末：：的比计算所得．若某同学本学期三项成绩依次为分、分、分，则他本学期综合成绩是______分．
16.最近，重庆八中号召所有老师锻炼身体，初三年级的王老师和周老师就约着从壹江城沿北滨路一直匀速跑到大剧院，已知他们的速度不同，王老师先跑一段路程后，周老师开始出发，当周老师超出王老师一定距离后他就停下来等候王老师，两人相遇后继续以原来的速度跑向大剧院，如图是两人在跑步过程中各自所走的路程米与王老师出发的时间分钟之间的函数图象，则王老师和周老师在第一次相遇时，周老师跑了______米．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，连接过点作于点，过上一点作于点，交于点；过作于点，连接．
若，，，求的长．
若，求证：．
20.本小题分
“体重管理年”掀起全民健身热潮，健康生活方式成新风尚沙坪坝区某校举办了“食动并行，体质并重”的科普知识竞赛现从该校七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩百分制进行收集、整理、描述、分析所有学生的成绩均高于分成绩得分用表示，共分为三组：；；，下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，．
八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：，，．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
众数
根据以上信息，解答下列问题：
上述图表中______，______，______；
根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的科普知识竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可；
该校七年级有名学生、八年级有名学生参加了此次科普知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为点，点，点，将先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，得到，其中点与点对应，点与点对应，点与点对应．
若将看成是由经过一次平移得到的，请写出这一平移的平移方向与平移距离；
将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的，其中点与点对应，点与点对应，分别写出点、点的坐标．
22.本小题分
综合与实践：
【问题情境】
在数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动已知直线，在直角三角板中，，，．
【操作发现】
如图所示，将直角三角板顶点放在直线上，设边与相交于点，边与相交于点当时，求证：．
【深入探究】
如图所示，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，若，求的度数．
【拓展运用】
同学们继续探究以下问题，将图中三角板的直角顶点放在平行线和之间，交于点，交于点，点在上，连接并延长至点，连接，，平分，若，求的度数．
23.本小题分
若一个正整数能表示成是正整数，且的形式，则称这个数为“优美数”，与是的一个平方差分解．
例如：因为，所以是“优美数”，与是的平方差分解；
再如：也是“优美数”其中，是正整数，所以也是“优美数”，与是的一个平方是分解．
判断：是否是“优美数”，如果是，请写出的所有平方差分解：如果不是，请说明理由．
设两个连续正奇数为和其中是正整数，由它们构成的“优美数”能被整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
已知是正整数，是常数，且，要使是“优美数”，请写出一个符合条件的一个值______．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点．
求点、、的坐标；
连接，点为抛物线第四象限上的动点，过点作轴的垂线，交线段于点，交轴于点，连接、、、，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标，并求出此时的最大值．
25.本小题分
数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心在轴正半轴上，点为第一象限内的一个动点，据此：
【前提条件】假若，；
【探究规律】如图，连接并延长交轴于点，那么在点移动过程中，是否有为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．
【归纳总结】如图，小明发现做题越来越有意思，于是作，，交轴于点，连接，点为线段的三等分点以点为圆心，以线段为半径作，设半径为，在点移动过程中，是否有为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．
【拓展提升】如图，若圆心和半径大小均不固定，那么点，，，，，均为动点，作轴，交动圆于点，两点为直线右侧的两个动点，并且那么在点运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．
答案
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11.【答案】万元
12.【答案】
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15.【答案】
16.【答案】
17.【解析】解：原式
．
将，代入可得，
原式．
18.【解析】解：原式
．
19.解：，
，
四边形是平行四边形，
，
；
如图，过点作，交的延长线于点，连接，，，
，且，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，
，
点，，点，点四点共圆，
，
，
，
，
点，点，点，点四点共圆，
，，且，
，
，
，
，
，且，，
≌
，
．
20.解：七年级名学生的竞赛成绩的众数，
八年级名学生的竞赛成绩在组的人数为人，
所以八年级名学生的竞赛成绩的中位数，
八年级成绩在组的人数为人，
所以八年级成绩在组人数所占百分比，即；
故答案为：，，；
八年级学生的科普知识竞赛成绩较好，
因为八年级学生安全知识竞赛成绩的中位数大于七年级，
所以八年级学生的科普知识竞赛成绩较好答案不唯一，合理均可；
人，
答：估计该校七、八年级参加此次科普知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是人．
21.解：是由沿方向一次平移个单位长度得到的；理由如下：
如图，连接，
根据勾股定理可得：，
是由沿方向一次平移个单位长度得到的；
将绕点顺时针旋转得到的，如图即为所求；
由坐标系可得：点、点．
22.证明：
，
，
，
，
，
；
解：过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，
，
平分，
，
过点作，
，，
，
，
，
，
．
23.解：是“优美数”，
，
，
是“优美数”，与，与都是的平方差分解；
，
能被整除，
由它们构成的“优美数”能被整除；
，
当时，为“优美数”，此时，
故当时，为“优美数”．
24.解：已知抛物线与轴交于、两点在的左侧，与轴交于点．
当时；，解得，，
当时；，
点、、的坐标分别为，，；
如图：
由已知点，，，
设直线的表达式为，
将，代入中，
，
解得，
直线的表达式为，
设，则点坐标为，
，都在第四象限，
，
当时，此时点为，．
25.解：【探究规律】如图，为定值，理由如下：
连接和，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∽，
，
；
【归纳总结】如图，为定值，理由如下：
连接，作于，
由知：，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
在中，
，
由得，
，
，
，
，
，
是的三等分点，，
，，
在中，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
化简得，
；
不是定值．有最小值．
理由：如图中，设与交于点，则，，设．
，
，
，令，，
，
整理得，
，
，
整理得，
，
的最小值为，
最小值是．
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