四川省泸州市2025年中考数学试题
1．（2025·泸州）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．2和 D．和
2．（2025·泸州）据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·泸州）如图，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·泸州）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·泸州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·泸州）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
8．（2025·泸州）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·泸州）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·泸州）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025·泸州）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2025·泸州）若点在第一象限，则的取值范围是 ．
14．（2025·泸州）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是 ．
15．（2025·泸州）若一元二次方程的两根为，则的值为 ．
16．（2025·泸州）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为 ．
17．（2025·泸州）计算：．
18．（2025·泸州）如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
19．（2025·泸州）化简：．
20．（2025·泸州）某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 6 12 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数；
（3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率．
21．（2025·泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
22．（2025·泸州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
23．（2025·泸州）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．
（1）求的度数；
（2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
24．（2025·泸州）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
25．（2025·泸州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：A、7和-7互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B、和，虽然符号不同，但绝对值也不相同，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C、和，符号相同，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D、和，虽然符号不同，但绝对值也不相同，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义可得，进而根据二直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3，从而即可得出答案.
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算正确，故本选项符合题意；
D、，原计算错误，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据负整数指数幂的性质“”可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高，
从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定，
∴选择乙同学参加比赛，
故答案为：B．
【分析】平均数是反应一组数据集中趋势的量，平均数越大，其成绩越好；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断可得答案.
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴ ∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°
故答案为：B．
【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB=70°，由三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠BAC=40°，进而根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠CBD的度数.
9．【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故答案为：C．
【分析】先将方程变形成用含x的式子表示y的形式，然后根据x、y都是正整数，写出符合题意得正整数解即可.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证一定是负数，故C选项中原结论不正确，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A选项；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，即抛物线一定与x轴有两个不同的交点，据此可判断B；当x=-2时，y=4a+2b+c＞0，再将代入，即可判断D；当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证所有情况下一定是负数，据此可判断C选项.
11．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴；
∵为的中点，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∵，，
∴，
∴；
在中，，
，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：B．
【分析】过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=DC=2，∠BCD=∠B=90°，由线段中点的定义得到AE=BE=1，在Rt△BCE中，由勾股定理求出CE的长，分别求出∠BEC的正弦与余弦函数值；由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠GCD=∠BEC，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义可求出CG的长，由等腰三角形的三线合一定理得到，进而根据线段和差求出；在Rt△EFH中，由∠FEH的余弦函数求出EH，由∠FEH的正弦函数求出FH，进而根据AH=AE+EH求出AH的长，最后在Rt△AFH中，利用勾股定理算出AF即可.
12．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故答案为：B．
【分析】根据新定义运算法则可直接判断①；根据新定义运算法则分x≥3与x＜3两种情况求解可判断②；利用据特例的方法结合新定义运算法则可判断③；根据新定义运算法则分2x-4≥2与2x-4＜2两种情况，分别列出不等式组，求解得出两个不等式组的解集，即可判断④.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】第一象限内点的坐标符号为(+，+)，据此列出关于字母a的不等式，求解即可得出a的取值范围.
14．【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为4，6，
∴中位数为，
故答案为：5．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
15．【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据一元二次方程根的定义得，即，由一元二次方程根与系数的关系得，进而将待求式子利用添拆项的方法变形为含与的式子，再整体代入计算可得答案.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴，
∵四边形ABCD是梯形，且，
∴点共线，
∴四边形为矩形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，
同理可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
【分析】设AD、CD、BC分别与的切点记为点E、F、G，连接OE、OF、OG，过点D作DH⊥BC于点H，过点B作BK⊥CD于点K，过点A作AM⊥BC于点M，由圆的切线的垂直经过切点的半径得∠OGC=∠OED=∠DHG=∠DHC=∠BKC=90°，由切线长定理得DE=DF，CD=CG，由平行线的性质可推出E、O、G三点共线，从而根据有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形EGHD是矩形，由矩形的对边相等得EG=DH，DE=HG；根据圆的面积公式求出该圆的半径为4，设DE=DF=HG=x，用含x的式子表示出CF、CH，在Rt△DHC中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值从而得到CH的长，同理可得AE=MG=2，BM=6，进而根据线段的和差算出BC=16，最后由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△BKC∽△DHC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BK的长.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”、有理数的乘方运算法则“-1的奇数次幂等于-1”及算术平方根性质“”分别计算，进而计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减法运算即可得出答案.
18．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
19．【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】把小括号内的减数“1”看成“”，从而利用同分母分式的减法法则计算小括号内的分式减法，然后将被除式的分子利用平方差公式分解因式，除式的分子利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数把除法变成乘法，最后计算分式乘法，约分化简即可得到答案．
20．【答案】（1）15；
（2）解：（名），
答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；
（3）解：根据题意列表如下；
由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中两门课程的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解；（名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴；
∴，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是；
故答案为：15；；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而参与调查的学生人数乘以最喜欢“美味烹饪”的人数的占比，即可求出最喜欢“美味烹饪”的人数b的值；根据喜欢五门课程的人数之和等于本次调查 的总人数可求出最喜欢“巧手木艺”的人数a的值，进而用360度乘以最喜欢“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）用该校八年级学生的总人数乘以样本中八年级最喜欢A、B两门课程的学生人数占比即可估计该校八年级最喜欢A、B两门课程的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，先利用列表法列举出所有等可能的情况数，由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中D、E两门课程的结果数有两种，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解；（名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴；
∴，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是；
故答案为：15；；
（2）解：（名），
答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；
（3）解：根据题意列表如下；
由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中两门课程的概率为．
21．【答案】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件甲商品的费用+购买(100-m)件乙商品的费用不超过7800元列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
22．【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，
∴直线解析式为，
联立，
解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“上加下减函数值，左加右减自变量”的平移规律可得直线BC解析式，然后联立直线BC与反比例函数解析式，求解得出点B、C的坐标；过点A作AT∥y轴交直线BC于T，根据点的坐标与图形性质可得点T的横坐标为2，然后将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点T的坐标；根据平面内两点间的距离公式计算出AT，进而根据S△ABC=S△ABT+S△ACT及三角形的面积公式列式求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
23．【答案】（1）解：如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC=90°，再利用直角三角形两锐角互余分别求出∠CDH与∠ADE，最后根据角的构成，由∠CDE=∠CDH-∠ADE，列式计算即可；
（2）过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，由直角三角形两锐角互余求出∠DET=45°，再由平角的定义求出∠CET=30°；解Rt△BCE中，由∠BEC的正弦函数求出CE的长，解Rt△CTE中，由∠CET的正弦函数求出CT，由∠CET的余弦函数求出ET，在Rt△DET中，由∠EDT的正切啊哈双女户求出DT，然后根据CD=DT+CT算出CD的长；在Rt△DCH中，由∠DCH的正弦啊哈双女户求出DH；由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形ABCH是矩形，由矩形的对边相等得出AH=BC，最后根据AD=AH+DH可算出答案.
（1）解：如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
24．【答案】（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OE，由圆的切线垂直经过切点的半径可得∠OBE=90°，从而用SSS判断出△OEC≌△OEB，由全等三角形的对应角相等得∠OCE=∠OBE=90°，然后根据垂直半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M，设OA=OC=r，根据线段的和差用含r的式子表示出OF，由∠F的正弦函数可得3OC=OF，据此建立方程求解得出r的值，进而可得AB、OF、BF的长；在Rt△OCF中，由勾股定理算出CF，再根据余弦函数的定义求出∠F的余弦函数值，在Rt△BEF中，由∠F的余弦函数可求出EF的长，再根据线段和差算出CE的长，在Rt△CDE中，利用勾股定理算出DE的长，由等面积法算出CH的长；由AAS判断出△DOM≌△COH，由全等三角形的对应边相等得DM=CH；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DGM∽△EGB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出EG的长.
（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
25．【答案】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点（2，3）与点（-1，0）分别代入抛物线y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）如图所示，过点D作DM⊥x轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，设直线于y轴交于T，先根据直线与y轴交点的坐标特点求出，然后根据正切函数的定义求出∠OAT的正切值；由正方形的性质可得DE=EF，∠DEF=∠EDC=90°，由同角的余角相等推出∠MDE=∠NEF，从而由AAS判断出△MDE≌△NEF，由全等三角形的对应边相等得DM=EN，ME=NF；根据点的坐标与图形性质设，则；由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义可得，据此可求出，将点D的坐标代入上，得到关于字母f的方程，解方程求出f的值，即可得到点F的坐标；
（3）根据抛物线上点的坐标特点，分别表示出y1与y2，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可．
（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
1 / 1四川省泸州市2025年中考数学试题
1．（2025·泸州）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A．和 B．和 C．2和 D．和
【答案】A
【知识点】判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解：A、7和-7互为相反数，故该选项正确，符合题意；
B、和，虽然符号不同，但绝对值也不相同，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
C、和，符号相同，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意；
D、和，虽然符号不同，但绝对值也不相同，不互为相反数，故该选项不正确，不符合题意.
故答案为：A．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
2．（2025·泸州）据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游人次，将数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
3．（2025·泸州）如图，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴
故答案为：B．
【分析】根据邻补角的定义可得，进而根据二直线平行，同位角相等，可得∠2=∠3，从而即可得出答案.
4．（2025·泸州）下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、此选项中的图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可.
5．（2025·泸州）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意；
B、，原计算错误，故本选项不符合题意；
C、，原计算正确，故本选项符合题意；
D、，原计算错误，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据负整数指数幂的性质“”可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断D选项.
6．（2025·泸州）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：从平均数的角度分析，乙和丁同学平均成绩最高，
从方差角度分析，乙和甲方差最小，最稳定，
∴选择乙同学参加比赛，
故答案为：B．
【分析】平均数是反应一组数据集中趋势的量，平均数越大，其成绩越好；方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此判断可得答案.
7．（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
8．（2025·泸州）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴ ∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°
故答案为：B．
【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB=70°，由三角形内角和定理可得∠BAC=40°，根据同弧所对的圆周角相等得∠BDC=∠BAC=40°，进而根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD=90°，最后根据直角三角形的两锐角互余可求出∠CBD的度数.
9．（2025·泸州）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故答案为：C．
【分析】先将方程变形成用含x的式子表示y的形式，然后根据x、y都是正整数，写出符合题意得正整数解即可.
10．（2025·泸州）已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证一定是负数，故C选项中原结论不正确，不符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据对称轴计算公式可得，即，据此可判断A选项；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间，即抛物线一定与x轴有两个不同的交点，据此可判断B；当x=-2时，y=4a+2b+c＞0，再将代入，即可判断D；当x=-1时，y=a-b+c＞0，将b=-2a代入得3a+c＞0，将b=-2a代入a-2b+4c得5a+4c，由于a＞0，当c接近-3a时，5a+4c可能为负数，但不能保证所有情况下一定是负数，据此可判断C选项.
11．（2025·泸州）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴；
∵为的中点，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∵，，
∴，
∴；
在中，，
，
∴，
在中，由勾股定理得．
故答案为：B．
【分析】过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=DC=2，∠BCD=∠B=90°，由线段中点的定义得到AE=BE=1，在Rt△BCE中，由勾股定理求出CE的长，分别求出∠BEC的正弦与余弦函数值；由直角三角形的两锐角互余、角的构成及同角的余角相等得∠GCD=∠BEC，由等角的同名三角函数值相等及余弦函数的定义可求出CG的长，由等腰三角形的三线合一定理得到，进而根据线段和差求出；在Rt△EFH中，由∠FEH的余弦函数求出EH，由∠FEH的正弦函数求出FH，进而根据AH=AE+EH求出AH的长，最后在Rt△AFH中，利用勾股定理算出AF即可.
12．（2025·泸州）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故答案为：B．
【分析】根据新定义运算法则可直接判断①；根据新定义运算法则分x≥3与x＜3两种情况求解可判断②；利用据特例的方法结合新定义运算法则可判断③；根据新定义运算法则分2x-4≥2与2x-4＜2两种情况，分别列出不等式组，求解得出两个不等式组的解集，即可判断④.
13．（2025·泸州）若点在第一象限，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第一象限，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】第一象限内点的坐标符号为(+，+)，据此列出关于字母a的不等式，求解即可得出a的取值范围.
14．（2025·泸州）一组数据3，2，6，7，4，6的中位数是 ．
【答案】5
【知识点】中位数
【解析】【解答】解；把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，4，6，6，7，处在最中间的两个数分别为4，6，
∴中位数为，
故答案为：5．
【分析】将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
15．（2025·泸州）若一元二次方程的两根为，则的值为 ．
【答案】10
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【分析】根据一元二次方程根的定义得，即，由一元二次方程根与系数的关系得，进而将待求式子利用添拆项的方法变形为含与的式子，再整体代入计算可得答案.
16．（2025·泸州）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为 ．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴，
∵四边形ABCD是梯形，且，
∴点共线，
∴四边形为矩形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，
同理可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
【分析】设AD、CD、BC分别与的切点记为点E、F、G，连接OE、OF、OG，过点D作DH⊥BC于点H，过点B作BK⊥CD于点K，过点A作AM⊥BC于点M，由圆的切线的垂直经过切点的半径得∠OGC=∠OED=∠DHG=∠DHC=∠BKC=90°，由切线长定理得DE=DF，CD=CG，由平行线的性质可推出E、O、G三点共线，从而根据有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形EGHD是矩形，由矩形的对边相等得EG=DH，DE=HG；根据圆的面积公式求出该圆的半径为4，设DE=DF=HG=x，用含x的式子表示出CF、CH，在Rt△DHC中，由勾股定理建立方程，求解得出x的值从而得到CH的长，同理可得AE=MG=2，BM=6，进而根据线段的和差算出BC=16，最后由有两组角对应相等的两个三角形相似判断出△BKC∽△DHC，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出BK的长.
17．（2025·泸州）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先代入特殊锐角三角函数值，同时根据0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”、有理数的乘方运算法则“-1的奇数次幂等于-1”及算术平方根性质“”分别计算，进而计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减法运算即可得出答案.
18．（2025·泸州）如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
19．（2025·泸州）化简：．
【答案】解：
．
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】把小括号内的减数“1”看成“”，从而利用同分母分式的减法法则计算小括号内的分式减法，然后将被除式的分子利用平方差公式分解因式，除式的分子利用完全平方公式分解因式，并根据除以一个不为零的数等于乘以这个数的倒数把除法变成乘法，最后计算分式乘法，约分化简即可得到答案．
20．（2025·泸州）某市教育综合实践基地开设有：巧手木艺；：创意缝纫；：快乐种植；：美味烹饪；：爱心医护等五门课程．某校组织八年级学生到该基地开展活动，一段时间后，基地采用随机抽样的方式，在该校八年级抽取部分学生开展了“我最喜欢的综合实践课程”的问卷调查，并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
课程名称 巧手木艺 创意缝纫 快乐种植 美味烹饪 爱心医护
人数 6 12 18
根据图表信息，回答下列问题：
（1）______，扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是________；
（2）若该校八年级共有480名学生，请你估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数；
（3）小明同学从四门课程中随机选择两门，求恰好选中两门课程的概率．
【答案】（1）15；
（2）解：（名），
答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；
（3）解：根据题意列表如下；
由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中两门课程的概率为．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解；（名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴；
∴，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是；
故答案为：15；；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用最喜爱“快乐种植”的人数除以其人数占比得到参与调查的学生人数，进而参与调查的学生人数乘以最喜欢“美味烹饪”的人数的占比，即可求出最喜欢“美味烹饪”的人数b的值；根据喜欢五门课程的人数之和等于本次调查 的总人数可求出最喜欢“巧手木艺”的人数a的值，进而用360度乘以最喜欢“巧手木艺”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；
（2）用该校八年级学生的总人数乘以样本中八年级最喜欢A、B两门课程的学生人数占比即可估计该校八年级最喜欢A、B两门课程的学生人数；
（3）此题是抽取不放回类型，先利用列表法列举出所有等可能的情况数，由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中D、E两门课程的结果数有两种，最后依据概率计算公式求解即可．
（1）解；（名），
∴本次一共调查了60名学生，
∴；
∴，
∴扇形统计图中表示“巧手木艺”部分对应扇形的圆心角度数是；
故答案为：15；；
（2）解：（名），
答：估计该校八年级最喜欢两门课程的学生人数为120名；
（3）解：根据题意列表如下；
由表格可知，一共有12中等可能性的结果数，其中恰好选中两门课程的结果数有两种，
∴恰好选中两门课程的概率为．
21．（2025·泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；
（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，此题是一道平均降低率的问题，根据公式a(1-x)n=p，其中a是平均降低开始的量，x是降低率，n是降低次数，P是降低结束达到的量，根据公式即可列出方程，利用直接开平方法求解并检验即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品(100-m)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件甲商品的费用+购买(100-m)件乙商品的费用不超过7800元列出不等式，求出m的最小整数解即可.
（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
22．（2025·泸州）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，
∴直线解析式为，
联立，
解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据“上加下减函数值，左加右减自变量”的平移规律可得直线BC解析式，然后联立直线BC与反比例函数解析式，求解得出点B、C的坐标；过点A作AT∥y轴交直线BC于T，根据点的坐标与图形性质可得点T的横坐标为2，然后将x=2代入直线BC的解析式算出对应的函数值可得点T的坐标；根据平面内两点间的距离公式计算出AT，进而根据S△ABC=S△ABT+S△ACT及三角形的面积公式列式求解即可．
（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
23．（2025·泸州）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．
（1）求的度数；
（2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】（1）解：如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC=90°，再利用直角三角形两锐角互余分别求出∠CDH与∠ADE，最后根据角的构成，由∠CDE=∠CDH-∠ADE，列式计算即可；
（2）过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，由直角三角形两锐角互余求出∠DET=45°，再由平角的定义求出∠CET=30°；解Rt△BCE中，由∠BEC的正弦函数求出CE的长，解Rt△CTE中，由∠CET的正弦函数求出CT，由∠CET的余弦函数求出ET，在Rt△DET中，由∠EDT的正切啊哈双女户求出DT，然后根据CD=DT+CT算出CD的长；在Rt△DCH中，由∠DCH的正弦啊哈双女户求出DH；由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形ABCH是矩形，由矩形的对边相等得出AH=BC，最后根据AD=AH+DH可算出答案.
（1）解：如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
24．（2025·泸州）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OE，由圆的切线垂直经过切点的半径可得∠OBE=90°，从而用SSS判断出△OEC≌△OEB，由全等三角形的对应角相等得∠OCE=∠OBE=90°，然后根据垂直半径外端点的直线是圆的切线可得结论；
（2）过点C作CH⊥BF于H，过点D作DM⊥BF于M，设OA=OC=r，根据线段的和差用含r的式子表示出OF，由∠F的正弦函数可得3OC=OF，据此建立方程求解得出r的值，进而可得AB、OF、BF的长；在Rt△OCF中，由勾股定理算出CF，再根据余弦函数的定义求出∠F的余弦函数值，在Rt△BEF中，由∠F的余弦函数可求出EF的长，再根据线段和差算出CE的长，在Rt△CDE中，利用勾股定理算出DE的长，由等面积法算出CH的长；由AAS判断出△DOM≌△COH，由全等三角形的对应边相等得DM=CH；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△DGM∽△EGB，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出EG的长.
（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
25．（2025·泸州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标；
（3）设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值．
【答案】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点（2，3）与点（-1，0）分别代入抛物线y=-x2+bx+c可得关于字母b、c的二元一次方程组，求解得出b、c的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）如图所示，过点D作DM⊥x轴于M，过点F作FN⊥x轴于N，设直线于y轴交于T，先根据直线与y轴交点的坐标特点求出，然后根据正切函数的定义求出∠OAT的正切值；由正方形的性质可得DE=EF，∠DEF=∠EDC=90°，由同角的余角相等推出∠MDE=∠NEF，从而由AAS判断出△MDE≌△NEF，由全等三角形的对应边相等得DM=EN，ME=NF；根据点的坐标与图形性质设，则；由直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得，由等角的同名三角函数值相等及正切函数的定义可得，据此可求出，将点D的坐标代入上，得到关于字母f的方程，解方程求出f的值，即可得到点F的坐标；
（3）根据抛物线上点的坐标特点，分别表示出y1与y2，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可．
（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，
∴，
在中，当时，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵在直线上，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴；
（3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上，
∴，，
令
∴
，
∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上，
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）；
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得或（舍去）
当时，∵时，的最小值为3，
∴当时，，
∴，
解得（舍去）；
综上所述，或．
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