湖南省岳阳市湘一南湖学校2025年中考一模数学试题
1．（2025·岳阳模拟）为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B。
【分析】根据中心对称与轴对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。然后对各个图形逐一分析即可求解
2．（2025·岳阳模拟）已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A(2，4)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( 2， 4)，
故答案为：D．
【分析】与原点对称的点的坐标特点：纵坐标，横坐标都互为相反数，据此即可求解
3．（2025·岳阳模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角，据此即可求解
4．（2025·岳阳模拟）是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义：只要令x的幂等于2即可求解
5．（2025·岳阳模拟）一组数据的最大值是100，最小值是45，若选取组距为10，则这组数据可分成（ ）
A．6组 B．7组 C．8组 D．9组
【答案】A
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵一组数据的最大值是100，最小值是45，
∴100-45=55，
∵选取组距为10，
∴可分成6组，
故答案为：A
【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距进行计算即可求解。
6．（2025·岳阳模拟）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降，
∴山上距离地面千米处的温度为，
故答案为：C
【分析】根据某地面温度为，且每升高1千米温度下降，列出关系式即可．
7．（2025·岳阳模拟）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：平分，
如图：过F作，
∵点到的距离为4，
∴，
∵，，平分，
∴．
故答案为：B。
【分析】根据题干中的作图步骤可得，平分，过F作，然后再根据角平分线的性质定理可得，，据此即可解答．
8．（2025·岳阳模拟）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点的坐标是，的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，
即，
，，，
点坐标每4个为一个循环，
，
点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据的坐标，的终结点为，点的终结点为，分别求出、、的坐标，然后再分析其周期规律，然后用2024除以其周期，求出其循环数，即可求出的坐标。
9．（2025·岳阳模拟）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025·岳阳模拟）如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（ ）
A．18 B．17 C．15 D．16
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：将代入得：，
反比例函数的解析式为∶，
将 代入得∶，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶
，解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∴
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∴，
∴D点纵坐标为4，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：D．
【分析】将代入 ，求出反比例函数的解析式，然后再将代入求出的反比例函数的解析式中，求出b的值；设AB所在的解析式为 ，然后再将A和B的坐标代入，求出AB所在直线的解析，进而可以求出C点坐标，然后再根据两点间的距离公式，求出AB和AC的距离；连接BD，根据 和 ，证明，求出、，则，即D点纵坐标为4，可得，然后再根据，可得，最后作差即可解答．
11．（2025·岳阳模拟）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得．
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限，据此结合题意列出不等式，求解即可.
12．（2025·岳阳模拟）《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有 名．
【答案】18
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意得：名，
该班学会炒菜的学生有18名．
故答案为：．
【分析】根据频数等于总次数乘以频率，代入数据即可求解
13．（2025·岳阳模拟）关于x的一元二次方程有一个根是，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程有一个根是，
，
解得，
故答案为：。
【分析】将已知的根x=-1代入一元二次方程中，得到一个新的关于m的方程，然后解该方程，即可求出m的值。
14．（2025·岳阳模拟）点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”）．
【答案】<
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵在直线中，，
∴随x增大而增大，
又∵，
∴．
故答案为：<．
【分析】因为y=2x中，x>0，所以，正比例函数的图象的性质是：x随着y的增大而增大，然后再根据所给坐标中的数，即可求解
15．（2025·岳阳模拟）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，
点坐标为，
即，
故答案为：
【分析】根据平移的性质：左加右减，上加下减，然后再结合已知点，的坐标，即可得到答案。
16．（2025·岳阳模拟）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ．
【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，，，
∴，
因为D是AB的中点，DE//BC
所以，DE是三角形ABC的中位线
所以，BC=2DE=10
∵长方形的面积等于的面积
∴，
故答案为：．
【分析】因为D是AB的中点，又因为，所以，，所以，，，然后再根据，，求出，最后再根据长方形的面积公式，即可求出 的面积
17．（2025·岳阳模拟）年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴正方形的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是的中点，即为的斜边上的中线，
∴．
故答案为：．
【分析】根据， ，先求出正方形的边长AD，然后再根据勾股定理求出DF，然后说明，即可得出，最后再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，代入数据即可求解
18．（2025·岳阳模拟）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则 ．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是 ．
【答案】384；82
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：当，则，
∴，
设，
则，
，
∵与的个位数字之和能被5整除，且，
∴，
则能被5整除，
令，
当时，或或或；
当时，或或或或或或或；
当时，或或或；
满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是，
故答案为：384，82．
【分析】根据“过数”的定义，可知，且，然后再利用定义即可求出的值；设，则，可求得，根据题意可知能被5整除，则能被5整除，令，当x=1，2和3三种情况，分别求出a和b的值，然后再找出最大和最小的“过数”，最后再将最大的减去最小的，即可求解
19．（2025·岳阳模拟）解方程：
【答案】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】理解平方和开方的定义，求一个非负数的平方根，即一元二次方程的解。
20．（2025·岳阳模拟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据平方根、零指数幂和负指数幂的求解方法，对、、和进行运算，最后再将这些数进行加减即可求解
21．（2025·岳阳模拟）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是．
（1）坐标原点应为______的位置．
（2）在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点）
（3）图书馆的坐标是______；
（4）若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点．
【答案】（1）高中楼
（2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示：
（3）（4，1）
（4）解：宿舍楼如图所示：
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是，
∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置，
（3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为，
故答案为：高中楼；（4，1）
【分析】（1）观察平面示意图和结合初中楼和实验楼的坐标，可知坐标原点是以高中楼作为原点
（2）以高中楼作为坐标原点，然后过高中楼画一条横线，再画一条垂直于高中楼的直线，然后横轴设为x，竖轴设为y，交点为O，据此即可求解
（3）根据（1）可知，图书馆位于高中楼x轴右边第4格，y轴上方2格，据此即可求解
（4）根据（1）可知，宿舍楼位于y轴下方2格，位于x轴的左边第3格，据此即可求解
（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是，
∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置，
故答案为：高中楼
（2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示：
（3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为，
故答案为：
（4）解：宿舍楼如图所示：
22．（2025·岳阳模拟）如图，在中，，，平分交于点．
（1）求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：在中，，，
的周长
=48
（2）解：在中，，，
平分，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形周长：C=2（AB+AD），代入数据即可求解
（2）根据平行四边形的性质：两组对边平行且相等，可得，，所以得出；根据平分，可得，，再根据平行四边形的性质：同旁内角互补，即可求出
，．
（1）解：在中，，，
的周长．
（2）解：在中，，，
平分，
，
，
．
23．（2025·岳阳模拟）某校举行了“向海图强当先锋”国防教育知识竞赛，为了了解学生对国防教育知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对成绩进行了统计．
组别 成绩x/分 频数 频率
A 6 0.1
B 12 0.2
C m 0.25
D 18 n
E 9 0.15
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）甲同学说：“我的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”则甲同学的成绩在哪个范围内？说明理由．
【答案】（1）15；0.3
（2）解：补全直方图为：
（3）解：一共由60组数据，∴中位数应该是第30，31个数的平均数，
∵，
∴中位数落在C组，
∴甲同学的成绩x应该是．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【分析】（1）用频数除以频率，求出抽取的学生总数，将总数乘以C组的频率，即可求出m的值，将D组的频数除以总数，即可求出n的值．
（2）将（1）中求出m的值然后再将数据在条状图中画出来即可
（3）因为学生总人数有60个人，所以，一共有60个分数，60是偶数，中位数是位于第30和第31个数两个数的平均数；将50分-60分，60-70，70-80分的人数相加，然后再与中位数的位置相比，即可求出甲同学的成绩，进而求出甲同学的成绩范围
（1）解：抽取调查的学生总数为，
C组频数为，即，
D组的频数为，即；
故答案为：15；0.3．
（1）解：抽取调查的学生总数为，C组频数为，即，D组的频数为，即；
故答案为：15；0.3．
（2）解：补全直方图为：
（3）解：一共由60组数据，
∴中位数应该是第30，31个数的平均数，
∵，
∴中位数落在C组，
∴甲同学的成绩x应该是．
24．（2025·岳阳模拟）【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强p与受力面积S的数据关系如下表所示：
桌面所受压强 250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
（1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？
（2）求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
（3）如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
【答案】（1）解：由表中数据可知
当时，，
此时；
当时，，
此时；
当时，，
此时；
由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变．
（2）解：根据题意，
把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
解得；
（3）解：这种摆放方式不安全．
60cm=0.6m
40cm=0.4m
10cm=0.1m
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据压强的计算公式，利用表格当中所给数据分别计算出F的值，然后观察F的值，即可求解
（2）把代入压强公式：，先求出压力，进而求出压强和压力的关系式：，然后再将代入，即可求出a的值；
（3）先将厘米换算成米，然后再根据长方形的面积公式，求出接触面积S，再代入压强公式：，求出P，然后与4000比较大小即可得到答案．
（1）由表中数据可知
当时，，
此时；
当时，，
此时；
当时，，
此时；
由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变．
（2）把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得；
（3）这种摆放方式不安全．
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
25．（2025·岳阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，且，．如果，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点，的“相关矩形”．下图为点，的“相关矩形”的示意图．
（1）已知点的坐标为，
①如果点的坐标为，求点，的“相关矩形”的面积；
②如果点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，求直线表达式．
（2）当，，时，如果在线段上存在一个点，使点，的“相关矩形”为正方形，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：①由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点，
∵的坐标为，点的坐标为，
∴“相关矩形”的边长分别为，
∴面积为，
∴点，的“相关矩形”的面积为6；
②∵的坐标为，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，
∴正方形的边长为1，点坐标为或，
当时，设直线的表达式为，
将代入得，，
∴直线的表达式为；
当时，设直线的表达式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为；
综上所述，直线表达式为或。
（2）
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵点D，M的“相关矩形”为正方形，
∴当重合时，；
当重合时，；
∴。
【分析】（1）①由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点，由，，可求出“相关矩形”的边长，根据面积公式，即可求出“相关矩形”的面积；
②根据A的坐标，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，即可求出正方形的边长，进而可求出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）根据点，的“相关矩形”为正方形，可知当重合时，；当重合时，；进而可得．
26．（2025·岳阳模拟）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C．
（1）直接写出定点A的坐标为______；
（2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标；
（3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值．
【答案】（1）
（2）解：由题意得：，，，
，
在和中
∵，
，
，
故，
故B坐标为
，，
，
，
如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，
则，，，
故，，
在和中，
，
，，
，
设直线的解析式为：，根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为：，
把代入得，
解得，
的坐标为．
（3）证明：如图2，过A作于点N，
，
，
又且，
，
，
，
设的解析式为，
令，则，
设的解析式为，代入A和G的坐标得：
，
解得：，
的解析式为，
，
，
，
，为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：变形得，
∵过定点，
∴的解有无数，
∴，
解得，
故直线过定点，
故答案为：．
【分析】（1）把转化为k的一元一次方程：，因为该方程经过定点，所以，方程有无数个解，只要令方程左右两边的系数均为0，即可求出该定点
（2）根据题干信息，易证，进而即可确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，设直线的解析式为，然后再将点A和点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的解析式，最后再将E点坐标代入，即可求解；
（3）过A作于点N，根据题干信息，易证，然后再设的解析式为，令kx-6=0，求出G点坐标，再设的解析式为，将A和G的坐标代入解析式中，求得AG的解析式，分别求出OM、CM、CB的长，然后代入式子中，化简，即可证明
（1）解：变形得，
∵过定点，
∴的解有无数，
∴，
解得，
故直线过定点，
故答案为：．
（2）解：由题意得：，，
，
，
在和中
∵，
，
，
故，
故B坐标为
，，
，
，
如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，
则，，，
故，，
在和中，
，
，，
，
设直线的解析式为：，根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为：，
把代入得，
解得，
的坐标为．
（3）解：如图2，过A作于点N，
，
，
又且，
，
，
，
设的解析式为，
令，则，
设的解析式为，代入A和G的坐标得：
，
解得：，
的解析式为，
，
，
，
，为定值．
1 / 1湖南省岳阳市湘一南湖学校2025年中考一模数学试题
1．（2025·岳阳模拟）为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·岳阳模拟）已知点与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·岳阳模拟）如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·岳阳模拟）是关于的一元二次方程，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·岳阳模拟）一组数据的最大值是100，最小值是45，若选取组距为10，则这组数据可分成（ ）
A．6组 B．7组 C．8组 D．9组
6．（2025·岳阳模拟）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则山上距离地面千米处的温度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·岳阳模拟）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2025·岳阳模拟）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到点，我们把点叫作点的终结点，已知的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到点，若点的坐标是，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·岳阳模拟）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时，
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
10．（2025·岳阳模拟）如图，反比例函数的图象经过，两点，直线与轴相交于点，是线段上一点．连接，记，的面积分别为，，若，且，则的值为（ ）
A．18 B．17 C．15 D．16
11．（2025·岳阳模拟）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ．
12．（2025·岳阳模拟）《义务教育劳动课程标准年版》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有45名学生，其中学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生有 名．
13．（2025·岳阳模拟）关于x的一元二次方程有一个根是，则 ．
14．（2025·岳阳模拟）点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”）．
15．（2025·岳阳模拟）如图，已知，两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是 ．
16．（2025·岳阳模拟）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取，的中点，，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是 ．
17．（2025·岳阳模拟）年月日时分，嫦娥六号着陆器和上升器组合体在鹊桥二号中继星的支持下，成功着陆在月球背面南极一艾特肯盆地预选着陆区．组合体元件中有个展板的平面图如图所示，在正方形中，，分别是，上的点，，相交于点是的中点，若，，则的长为
18．（2025·岳阳模拟）一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则 ．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是 ．
19．（2025·岳阳模拟）解方程：
20．（2025·岳阳模拟）计算：
21．（2025·岳阳模拟）如图，这是某校的平面示意图，如以正东为轴正方向，正北为轴正方向建立平面直角坐标系后，得到初中楼的坐标是，实验楼的坐标是．
（1）坐标原点应为______的位置．
（2）在图中画出此平面直角坐标系；（只需画出轴，轴，标出原点）
（3）图书馆的坐标是______；
（4）若宿舍楼的坐标是，请在图上标出点．
22．（2025·岳阳模拟）如图，在中，，，平分交于点．
（1）求的周长；
（2）若，求的度数．
23．（2025·岳阳模拟）某校举行了“向海图强当先锋”国防教育知识竞赛，为了了解学生对国防教育知识的掌握情况，随机抽取了部分学生的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并对成绩进行了统计．
组别 成绩x/分 频数 频率
A 6 0.1
B 12 0.2
C m 0.25
D 18 n
E 9 0.15
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）甲同学说：“我的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”则甲同学的成绩在哪个范围内？说明理由．
24．（2025·岳阳模拟）【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强p与受力面积S的数据关系如下表所示：
桌面所受压强 250 400 500 800
受力面积 0.8 0.5 a 0.25
（1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？
（2）求出压强关于受力面积的函数表达式及a的值；
（3）如图②，将另一长、宽、高分别为，，，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上．若玻璃桌面能承受的最大压强为，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由．
25．（2025·岳阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，，，且，．如果，为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，那么就称该矩形为点，的“相关矩形”．下图为点，的“相关矩形”的示意图．
（1）已知点的坐标为，
①如果点的坐标为，求点，的“相关矩形”的面积；
②如果点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，求直线表达式．
（2）当，，时，如果在线段上存在一个点，使点，的“相关矩形”为正方形，直接写出的取值范围．
26．（2025·岳阳模拟）已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线过定点A．与y轴交于点B，过点A作轴于点C．
（1）直接写出定点A的坐标为______；
（2）如图1，点，连接，当时，连接，若，且在左侧存在点使得，求点B和点E的坐标；
（3）如图2，当时，直线交x轴于点F，平移直线交x轴正半轴于点G，交y轴负半轴于点H，连接，交y轴正半轴于点M．当时，求证：为定值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B。
【分析】根据中心对称与轴对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。然后对各个图形逐一分析即可求解
2．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点A(2，4)与点B关于原点对称，则点B的坐标为( 2， 4)，
故答案为：D．
【分析】与原点对称的点的坐标特点：纵坐标，横坐标都互为相反数，据此即可求解
3．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角，据此即可求解
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵是关于的一元二次方程，
∴，
∴；
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程的定义：只要令x的幂等于2即可求解
5．【答案】A
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵一组数据的最大值是100，最小值是45，
∴100-45=55，
∵选取组距为10，
∴可分成6组，
故答案为：A
【分析】根据组数=（最大值-最小值）÷组距进行计算即可求解。
6．【答案】C
【知识点】函数解析式
【解析】【解答】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降，
∴山上距离地面千米处的温度为，
故答案为：C
【分析】根据某地面温度为，且每升高1千米温度下降，列出关系式即可．
7．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：平分，
如图：过F作，
∵点到的距离为4，
∴，
∵，，平分，
∴．
故答案为：B。
【分析】根据题干中的作图步骤可得，平分，过F作，然后再根据角平分线的性质定理可得，，据此即可解答．
8．【答案】B
【知识点】点的坐标；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：点的坐标是，的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，
即，
，，，
点坐标每4个为一个循环，
，
点的坐标与点的坐标相同，即点的坐标是，
故答案为：B．
【分析】根据的坐标，的终结点为，点的终结点为，分别求出、、的坐标，然后再分析其周期规律，然后用2024除以其周期，求出其循环数，即可求出的坐标。
9．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解∶由图1知：当时，，故A正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，故B正确，但不符合题意；
由图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故C错误，符合题意；
由图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故D正确，但不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：将代入得：，
反比例函数的解析式为∶，
将 代入得∶，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将两点坐标代入得∶
，解得，，
∴直线的解析式为，
∴直线与x轴的交点坐标为，
∴
如图：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∴，
∴D点纵坐标为4，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴．
故答案为：D．
【分析】将代入 ，求出反比例函数的解析式，然后再将代入求出的反比例函数的解析式中，求出b的值；设AB所在的解析式为 ，然后再将A和B的坐标代入，求出AB所在直线的解析，进而可以求出C点坐标，然后再根据两点间的距离公式，求出AB和AC的距离；连接BD，根据 和 ，证明，求出、，则，即D点纵坐标为4，可得，然后再根据，可得，最后作差即可解答．
11．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解： 反比例函数的图象经过第二、四象限，
∴，
解得．
故答案为：.
【分析】反比例函数中，当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限，据此结合题意列出不等式，求解即可.
12．【答案】18
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意得：名，
该班学会炒菜的学生有18名．
故答案为：．
【分析】根据频数等于总次数乘以频率，代入数据即可求解
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：一元二次方程有一个根是，
，
解得，
故答案为：。
【分析】将已知的根x=-1代入一元二次方程中，得到一个新的关于m的方程，然后解该方程，即可求出m的值。
14．【答案】<
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵在直线中，，
∴随x增大而增大，
又∵，
∴．
故答案为：<．
【分析】因为y=2x中，x>0，所以，正比例函数的图象的性质是：x随着y的增大而增大，然后再根据所给坐标中的数，即可求解
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：平移后对应点C的坐标为，
点的横坐标加上了4，纵坐标加1，
，
点坐标为，
即，
故答案为：
【分析】根据平移的性质：左加右减，上加下减，然后再结合已知点，的坐标，即可得到答案。
16．【答案】30
【知识点】三角形全等及其性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，，，
∴，
因为D是AB的中点，DE//BC
所以，DE是三角形ABC的中位线
所以，BC=2DE=10
∵长方形的面积等于的面积
∴，
故答案为：．
【分析】因为D是AB的中点，又因为，所以，，所以，，，然后再根据，，求出，最后再根据长方形的面积公式，即可求出 的面积
17．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∴正方形的边长为3．
在中，由勾股定理，得．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵N是的中点，即为的斜边上的中线，
∴．
故答案为：．
【分析】根据， ，先求出正方形的边长AD，然后再根据勾股定理求出DF，然后说明，即可得出，最后再根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，代入数据即可求解
18．【答案】384；82
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：当，则，
∴，
设，
则，
，
∵与的个位数字之和能被5整除，且，
∴，
则能被5整除，
令，
当时，或或或；
当时，或或或或或或或；
当时，或或或；
满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是，
故答案为：384，82．
【分析】根据“过数”的定义，可知，且，然后再利用定义即可求出的值；设，则，可求得，根据题意可知能被5整除，则能被5整除，令，当x=1，2和3三种情况，分别求出a和b的值，然后再找出最大和最小的“过数”，最后再将最大的减去最小的，即可求解
19．【答案】解：∵，
∴，
∴或，
∴或．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【分析】理解平方和开方的定义，求一个非负数的平方根，即一元二次方程的解。
20．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【分析】根据平方根、零指数幂和负指数幂的求解方法，对、、和进行运算，最后再将这些数进行加减即可求解
21．【答案】（1）高中楼
（2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示：
（3）（4，1）
（4）解：宿舍楼如图所示：
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是，
∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置，
（3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为，
故答案为：高中楼；（4，1）
【分析】（1）观察平面示意图和结合初中楼和实验楼的坐标，可知坐标原点是以高中楼作为原点
（2）以高中楼作为坐标原点，然后过高中楼画一条横线，再画一条垂直于高中楼的直线，然后横轴设为x，竖轴设为y，交点为O，据此即可求解
（3）根据（1）可知，图书馆位于高中楼x轴右边第4格，y轴上方2格，据此即可求解
（4）根据（1）可知，宿舍楼位于y轴下方2格，位于x轴的左边第3格，据此即可求解
（1）解：∵初中楼的坐标是，实验楼的坐标是，
∴坐标原点在初中楼右边4个单位，下方2个单位处，即坐标原点应为高中楼的位置，
故答案为：高中楼
（2）解：根据坐标原点在高中楼，建立平面直角坐标系，如图所示：
（3）解：由坐标系可知，图书馆的坐标为，
故答案为：
（4）解：宿舍楼如图所示：
22．【答案】（1）解：在中，，，
的周长
=48
（2）解：在中，，，
平分，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据平行四边形周长：C=2（AB+AD），代入数据即可求解
（2）根据平行四边形的性质：两组对边平行且相等，可得，，所以得出；根据平分，可得，，再根据平行四边形的性质：同旁内角互补，即可求出
，．
（1）解：在中，，，
的周长．
（2）解：在中，，，
平分，
，
，
．
23．【答案】（1）15；0.3
（2）解：补全直方图为：
（3）解：一共由60组数据，∴中位数应该是第30，31个数的平均数，
∵，
∴中位数落在C组，
∴甲同学的成绩x应该是．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数
【解析】【分析】（1）用频数除以频率，求出抽取的学生总数，将总数乘以C组的频率，即可求出m的值，将D组的频数除以总数，即可求出n的值．
（2）将（1）中求出m的值然后再将数据在条状图中画出来即可
（3）因为学生总人数有60个人，所以，一共有60个分数，60是偶数，中位数是位于第30和第31个数两个数的平均数；将50分-60分，60-70，70-80分的人数相加，然后再与中位数的位置相比，即可求出甲同学的成绩，进而求出甲同学的成绩范围
（1）解：抽取调查的学生总数为，
C组频数为，即，
D组的频数为，即；
故答案为：15；0.3．
（1）解：抽取调查的学生总数为，C组频数为，即，D组的频数为，即；
故答案为：15；0.3．
（2）解：补全直方图为：
（3）解：一共由60组数据，
∴中位数应该是第30，31个数的平均数，
∵，
∴中位数落在C组，
∴甲同学的成绩x应该是．
24．【答案】（1）解：由表中数据可知
当时，，
此时；
当时，，
此时；
当时，，
此时；
由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变．
（2）解：根据题意，
把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
解得；
（3）解：这种摆放方式不安全．
60cm=0.6m
40cm=0.4m
10cm=0.1m
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据压强的计算公式，利用表格当中所给数据分别计算出F的值，然后观察F的值，即可求解
（2）把代入压强公式：，先求出压力，进而求出压强和压力的关系式：，然后再将代入，即可求出a的值；
（3）先将厘米换算成米，然后再根据长方形的面积公式，求出接触面积S，再代入压强公式：，求出P，然后与4000比较大小即可得到答案．
（1）由表中数据可知
当时，，
此时；
当时，，
此时；
当时，，
此时；
由此可知在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，压力F不变．
（2）把代入，得，
解得，
∴，
把代入，得，
解得；
（3）这种摆放方式不安全．
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全．
25．【答案】（1）解：①由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点，
∵的坐标为，点的坐标为，
∴“相关矩形”的边长分别为，
∴面积为，
∴点，的“相关矩形”的面积为6；
②∵的坐标为，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，
∴正方形的边长为1，点坐标为或，
当时，设直线的表达式为，
将代入得，，
∴直线的表达式为；
当时，设直线的表达式为，
将，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为；
综上所述，直线表达式为或。
（2）
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】（2）解：如图，
∵点D，M的“相关矩形”为正方形，
∴当重合时，；
当重合时，；
∴。
【分析】（1）①由题意知，，为“相关矩形”对角线上两顶点，由，，可求出“相关矩形”的边长，根据面积公式，即可求出“相关矩形”的面积；
②根据A的坐标，点在轴上，点的“相关矩形”为正方形，即可求出正方形的边长，进而可求出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的解析式即可；
（2）根据点，的“相关矩形”为正方形，可知当重合时，；当重合时，；进而可得．
26．【答案】（1）
（2）解：由题意得：，，，
，
在和中
∵，
，
，
故，
故B坐标为
，，
，
，
如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，
则，，，
故，，
在和中，
，
，，
，
设直线的解析式为：，根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为：，
把代入得，
解得，
的坐标为．
（3）证明：如图2，过A作于点N，
，
，
又且，
，
，
，
设的解析式为，
令，则，
设的解析式为，代入A和G的坐标得：
，
解得：，
的解析式为，
，
，
，
，为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：变形得，
∵过定点，
∴的解有无数，
∴，
解得，
故直线过定点，
故答案为：．
【分析】（1）把转化为k的一元一次方程：，因为该方程经过定点，所以，方程有无数个解，只要令方程左右两边的系数均为0，即可求出该定点
（2）根据题干信息，易证，进而即可确定点B的坐标，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，再证明，确定的坐标，设直线的解析式为，然后再将点A和点的坐标代入，利用待定系数法即可求出直线的解析式，最后再将E点坐标代入，即可求解；
（3）过A作于点N，根据题干信息，易证，然后再设的解析式为，令kx-6=0，求出G点坐标，再设的解析式为，将A和G的坐标代入解析式中，求得AG的解析式，分别求出OM、CM、CB的长，然后代入式子中，化简，即可证明
（1）解：变形得，
∵过定点，
∴的解有无数，
∴，
解得，
故直线过定点，
故答案为：．
（2）解：由题意得：，，
，
，
在和中
∵，
，
，
故，
故B坐标为
，，
，
，
如图1，过B作，交的延长线于点，过点作轴于点，
则，，，
故，，
在和中，
，
，，
，
设直线的解析式为：，根据题意，得，
解得，
故直线的解析式为：，
把代入得，
解得，
的坐标为．
（3）解：如图2，过A作于点N，
，
，
又且，
，
，
，
设的解析式为，
令，则，
设的解析式为，代入A和G的坐标得：
，
解得：，
的解析式为，
，
，
，
，为定值．
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