湖南省郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测数学试卷
1．（2025·郴州模拟）下列各数中最小的一个数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数为：；
故答案为：B．
【分析】根据有理数大小比较的方法：正数都大于0；负数都小于0；任何正数都大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此即可判断
2．（2025·郴州模拟）下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称和中心对称图形定义：轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示。中心对称是指一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合；中心对称图形是指绕某一点旋转180度后能与自身重合的图形，据此即可判断
3．（2025·郴州模拟）2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据126000000用科学记数法表示为，
故答案为：B。
【分析】根据科学记数法的表示形式为：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．（2025·郴州模拟）如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
的左视图是，
故答案为：B．
【分析】根据左视图的方法：左视图是从物体左侧垂直投影得到的视图，据此即可判断
5．（2025·郴州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据幂运算的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，幂相加；同底数幂相除，底数不变，幂相减；整数和幂的乘方运算：分别对整数进行乘方和幂乘方进行运算，最后再进行相乘；根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可
6．（2025·郴州模拟）5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ）
A．176 B．188 C．190 D．191
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：该组数据从小到大排序为：176， 188，190，191，191，共5个数，第3个数是190，
即中位数是190，
故答案为：C．
【分析】根据中位数的求解方法：先对5名同学成绩按从小到大排序，然后找到中间的那个数，即可求解
7．（2025·郴州模拟）如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是，
故答案为：A ．
【分析】根据 的周长等于BD+BC+CD，而根据，可得AD=CD，而AD+BD=10，所以CD+BD=10，代入数据即可求解
8．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴点所在的象限是第四象限，
故答案为：D ．
【分析】根据坐标轴中各个象限的符号特征：第一象限（+，-），第二象限：（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），而，-2025<0，据此即可判断
9．（2025·郴州模拟）明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，半斤8两，
．
故答案为：C．
【分析】先对半斤化成银两数，然后再根据“每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤”，根据总银两数不变，建立方程：，据此即可求解
10．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象上的“和谐点”在第二象限
B．函数图象上有两个“和谐点”
C．函数图象上只有一个“和谐点”
D．函数图象上的“和谐点”的横坐标为
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，则点的关系为，即，
A、函数，
∴，
解得，，则，
∴“和谐点”为，在第二象限，正确，不符合题意；
B、函数，
∴，整理得，，
解得，，则对应的，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上有两个“和谐点”，正确，不符合题意；
C、函数，
∴，整理得，，无解，
∴函数图象上没有一个“和谐点”，故原选项错误，符合题意；
D、函数，
∴，整理得，，
解得，，则，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上的“和谐点”的横坐标为，正确，不符合题意；
故答案为：C ．
【分析】根据“和谐点”的定义：横坐标和纵坐标之和，等于0，然后对各个选项进行逐一验证，即可求解
11．（2025·郴州模拟）的绝对值是 ．
【答案】10
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：；
故答案为：。
【分析】根据绝对值的性质：，然后再进行求解即可
12．（2025·郴州模拟）已知关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入中，得
，
，
∴。
故答案为：1。
【分析】将代入中，然后再求出的值即可。
13．（2025·郴州模拟）将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是：
，
故答案为：．
【分析】题干中出现4个标有汉字的小球，则发生的总事件数为4，摸到汉字为“美”的事件为1，根据概率=可能发生的事件÷总发生事件，代入数据即可求解
14．（2025·郴州模拟）某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟．
【答案】5
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当时，（分钟），
故答案为：5．
【分析】根据实际播放时间与x的函数关系： ，将代入，然后再进行运算即可
15．（2025·郴州模拟）如图，，．若，则 度．
【答案】70
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的基本性质：两直线平行，同位角相等，可知，然后再根据两直线平行，同旁内角互补，求出，据此即可求解
16．（2025·郴州模拟）校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为 米（结果保留）．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：米，，
，
故答案为：．
【分析】根据弧长公式：，代入数据即可求解
17．（2025·郴州模拟）如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
即DE的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】根据两点之间，垂线段最短，当时，DE的长度最短，在直角三角形BDC中，根据勾股定理，求出BD=3，最后再角平分线的性质定理：角平分线上的任意一点到两边的距离相等，即可求解．
18．（2025·郴州模拟）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ．
【答案】；17
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：，
不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，
由题意得，
解得，
所以排队人数m的最小值为17，
故答案为：；17．
【分析】（1）根据“甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐”用甲的人数m减去6×2+4×2，再除以6，再根据“乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）”，用m减去4人，然后再除以6，结果时间相等，据此即可建立方程：
（2）乙窗口的取餐速度为6人/分钟，用m减去4人，然后再除以6人/分钟，求出小明在乙窗口取餐的时间；甲窗口的取餐速度为4人/分钟，用m减去4乘以2人，然后再除以4人/分钟，求出小明在甲窗口排队取餐的时间，最后再根据“小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少”，建立不等式：，最后再进行求解即可
19．（2025·郴州模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂的性质：任何一个不等于0的数的零次幂都等于1；平方根的运算法则以及负整数指数幂的运算，最后再求出特殊角的三角函数，最后再将各个数进行加减即可
20．（2025·郴州模拟）解方程组：．
【答案】解：，
①②得：，
解得：，
将代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先对方程组进行标注，然后再将两个方程进行相加，求出x的值，然后再将x的值代入原方程中任意一个，即可求出y的值
21．（2025·郴州模拟）某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；
（3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．
【答案】（1）50，40，72
（2）解：B等级人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：根据题意，可得
（人）
答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：该班参加竞赛的学生有（人），
扇形统计图中，，
圆心角，
故答案为：50，40，72
【分析】（1）用A等级人数除以所占百分比可得参赛总人数，然后用C等级的人数除以总人数，再乘以100，即可求出m的值；用D等级的人数除以总人数，再乘以360度，即可求出 圆心角的值；
（2）用总人数减去A，C，D人数即可求出B等级人数，然后再补全图形即可；
（3）用B等级的学生人数除以参加竞赛的学生人数，求出B等级的占比，然后再乘以参加知识竞赛的学生总人数，即可求解。
（1）解：该班参加竞赛的学生有（人），
扇形统计图中，，
圆心角，
故答案为：50，40，72；
（2）解：B等级人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：（人）
答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．
22．（2025·郴州模拟）某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A、B两款吉祥物的销售单价；
（2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是（a+20）元，根据题意得：
，
解得，a=40，
经检验，a=40是原分式方程的解，
∴a+20=60，
答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
（2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物（60-x）个，利润为w元，，
∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，
∴，
解得，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
120-x=40，
答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设根据A款吉祥物的单价是a元，“销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元”，可知，B款吉祥物的单价是（a+20）元；再根据“400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同”，可建立方程：，最后再解方程即可，最后再对分式方程进行验证即可
（2）设购买A款吉祥物x个，根据“A、B两款吉祥物数量共60个”，可知，购买B款吉祥物（60-x）个，设利润为w元，根据（1）可知，A款的利润为（40-25）元/个，B款的利润为（60-48）元/个，用A款吉祥物的利润单价乘以个数加上B款吉祥物的利润单价乘以B款的个数，然后与W建立函数关系式：；然后再根据“B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍”，建立不等式：，求出x的解集，然后再根据一次函数的性质，当x取得最大值时，W取得最大值
（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
（2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元，
，
∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，
∴，
解得，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
120-x=40，
答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
23．（2025·郴州模拟）如图，在中，点D为线段上任意一点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．
求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：选择①CD平分；
证明：平分，
，
∵EF是线段垂直平分线，
∴，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点，连接这两个交点，即可
（2）选择①CD平分，得到；又根据垂直平分线的性质，可得，，根据等边对等角，即可求出，，根据平行的判定定理，可得BC//DE，，然后再根据平行四边形的判定定理，即可证明四边形为平行四边形；最后再根据菱形的判定定理，即可证明
（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：选择①平分；
证明：平分，
，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
选择②点G为中点，
证明：∵是线段垂直平分线，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形．
24．（2025·郴州模拟）综合与实践
目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具 测角仪、卷尺
素材1 小敏借助测角仪测得：，，．
素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，）
任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．
任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）
【答案】解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，∵，
∴，合格，
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，合格，
综上所述，篮球架安装合格；
任务二：如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
设米，则，
∴米，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴米，
∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：根据图形，可知，合格，如图所示，过点作，然后再根据平行线的判定定理可得：，合格，由此即可求解；
任务二：如图所示，过点C作于点H，则，可得，设MH=x米，然后再根据三角函数定义：，即可求出米，根据题意得到，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后再将数字代入，即，最后再进行求解即可
25．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．
【答案】（1）解：把代入
中得
，
解得，；
（2）解：①如图所示，过点P作轴于H，交BD于G，
由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
在中，当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
∵点F为点P平移后的对应点，
∴点F的坐标为，即；
由①同理可求得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如2图所示，当点N在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴；
如2图所示，过点N作轴于K，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K，
同理可得，
∴，
设，
∴，
把代入中得：，
解得（舍去）或，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把A点坐标代入，利用待定系数法，即可求出b的值
（2）①过点P作轴于H，交BD于G，根据（1）所求的抛物线的解析式，令y=0，分别求出B和C的坐标，设BC所在直线的解析式，然后将B和C的坐标代进去，即可求出直线BC解析式；然后再根据“轴和”，即可证明，进而求出得到PG的值；因为P点在抛物线上，因此可以设，因为G点在BC的直线上，所以，可以设，根据两点间的距离公式，求出，最后再解方程即可
②根据平移的基本性质：左加右减，先求出抛物线的解析式；进而求出点F的坐标；用同样的方法，求出直线解析式，进而求出M的坐标，根据坐标，利用两点间的距离公式，可证明是等腰直角三角形，进而得到；再根据如图2所示，分两种情况：当点N在y轴右侧时，如图3所示，当点N在y轴左侧时，讨论求解即可．
（1）解：把代入中得，解得；
（2）解：①如图所示，过点P作轴于H，交于G，
由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
在中，当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
∵点F为点P平移后的对应点，
∴点F的坐标为，即；
由①同理可求得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如2图所示，当点N在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴；
如2图所示，过点N作轴于K，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K，
同理可得，
∴，
设，
∴，
把代入中得：，
解得（舍去）或，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
26．（2025·郴州模拟）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
【答案】（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，
即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）因为AB是圆所在的直径，据此可以推出，然后再根据垂直的定义得到，最后再根据互余的性质，即可求解
（2）根据，可知，，进而可知，然后根据30度所对的边等于直角边的一半，求出BC的值，根据勾股定理，可求出AC的值，①如图所示，连接OM，易证是等边三角形，即可求出OA=0M的值；
②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解．
（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
1 / 1湖南省郴州市2025年初中学业水平考试第二次监测数学试卷
1．（2025·郴州模拟）下列各数中最小的一个数是（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2025·郴州模拟）下列剪纸作品中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·郴州模拟）2025年清明节假期全国国内出游126000000人次，将数据126000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·郴州模拟）如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·郴州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·郴州模拟）5名同学1分钟跳绳成绩分别为176，191，188，190，191，则这组数据的中位数是（ ）
A．176 B．188 C．190 D．191
7．（2025·郴州模拟）如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
8．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025·郴州模拟）明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，下列说法错误的是（ ）
A．函数图象上的“和谐点”在第二象限
B．函数图象上有两个“和谐点”
C．函数图象上只有一个“和谐点”
D．函数图象上的“和谐点”的横坐标为
11．（2025·郴州模拟）的绝对值是 ．
12．（2025·郴州模拟）已知关于的方程的一个根为2，则的值为 ．
13．（2025·郴州模拟）将分别标有“大”“美”“郴”“州”四个汉字的小球装在一个不透明的袋中，这些小球除汉字外无其他差别．搅匀后随机摸出一个球，摸出小球上的汉字为“美”的概率是 ．
14．（2025·郴州模拟）某段视频的完整时长为40分钟，当以x倍速播放时，实际播放时间t（分钟）与x的函数关系为.若该视频以8倍速播放，则实际播放时间为 分钟．
15．（2025·郴州模拟）如图，，．若，则 度．
16．（2025·郴州模拟）校运会上铅球场地的有效落地区是以点O为圆心的扇形面．如图，在扇形面中，半径米，，则的长为 米（结果保留）．
17．（2025·郴州模拟）如图，在中，，平分．若，，E为边上一动点，则线段长的最小值为 ．
18．（2025·郴州模拟）小明去食堂排队取餐，看到甲、乙两窗口排队的人数均为，选择在甲窗口排队取餐．观察发现：甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟，且乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐，则小明在乙窗口排队取到餐所需时间为 （用含m的式子表示）．若小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少，不考虑其他因素，则排队人数m的最小值为 ．
19．（2025·郴州模拟）计算：．
20．（2025·郴州模拟）解方程组：．
21．（2025·郴州模拟）某班参加学校举行的“宪法学习”知识竞赛，赛后将该班参赛学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．
（1）该班参加竞赛的学生有________人；扇形统计图中，________，圆心角________度；
（2）补全条形统计图（要求在条形图上方标注人数）；
（3）若该校有3000名学生参加知识竞赛，请估计全校学生成绩为“B等级”的人数．
22．（2025·郴州模拟）某商店销售A、B两款2025年春晚“巳（sì）升升”吉祥物，销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元，400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A、B两款吉祥物的销售单价；
（2）A款吉祥物的进价为25元/个，B款吉祥物的进价为48元/个．若该商店计划购进A、B两款吉祥物数量共60个，且B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，则应如何进货能使得这批吉祥物全部售出后所获利润最大？最大利润是多少？
23．（2025·郴州模拟）如图，在中，点D为线段上任意一点．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，线段与交于点G，已知________（请从“①平分；②点G为中点”这两个条件中选取一个作为已知条件）．
求证：四边形是菱形．
24．（2025·郴州模拟）综合与实践
目标 篮球架安装是否合格及测量伸臂距离地面的高度
工具 测角仪、卷尺
素材1 小敏借助测角仪测得：，，．
素材2 为计算篮球架的伸臂距离地面的高度，小明在点处测得：米，.在距离点左侧米的处测得：． （参考数据：，，）
任务一 利用素材1，判断篮球架安装是否合格，并说明理由．（篮球架安装要求：伸臂地面，支架地面）．
任务二 利用素材2，求篮球架的伸臂距离地面的高度．（结果保留一位小数）
25．（2025·郴州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于，B两点，与y轴交于点C．
（1）求b的值；
（2）如图1，点P是直线上方抛物线上一点，横坐标设为m，且．连接，交于点D，．
①求点P的坐标；
②如图2，将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M．点N为抛物线上任意一点，连接．若，求线段的长．
26．（2025·郴州模拟）如图1，是的外接圆，是的直径，点是上一点，连接交于点，过点作，交于点，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，
①若，，求的长度；
②如图3，若点是的中点，过点作交的延长线于点，
求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最小的数为：；
故答案为：B．
【分析】根据有理数大小比较的方法：正数都大于0；负数都小于0；任何正数都大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此即可判断
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D．即是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称和中心对称图形定义：轴对称图形是指一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示。中心对称是指一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合；中心对称图形是指绕某一点旋转180度后能与自身重合的图形，据此即可判断
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据126000000用科学记数法表示为，
故答案为：B。
【分析】根据科学记数法的表示形式为：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左面看，只能看到一个竖着放置的长方形，且下面还有一部分长方形，
的左视图是，
故答案为：B．
【分析】根据左视图的方法：左视图是从物体左侧垂直投影得到的视图，据此即可判断
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据幂运算的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，幂相加；同底数幂相除，底数不变，幂相减；整数和幂的乘方运算：分别对整数进行乘方和幂乘方进行运算，最后再进行相乘；根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可
6．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：该组数据从小到大排序为：176， 188，190，191，191，共5个数，第3个数是190，
即中位数是190，
故答案为：C．
【分析】根据中位数的求解方法：先对5名同学成绩按从小到大排序，然后找到中间的那个数，即可求解
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的周长是，
故答案为：A ．
【分析】根据 的周长等于BD+BC+CD，而根据，可得AD=CD，而AD+BD=10，所以CD+BD=10，代入数据即可求解
8．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴点所在的象限是第四象限，
故答案为：D ．
【分析】根据坐标轴中各个象限的符号特征：第一象限（+，-），第二象限：（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-），而，-2025<0，据此即可判断
9．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，半斤8两，
．
故答案为：C．
【分析】先对半斤化成银两数，然后再根据“每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤”，根据总银两数不变，建立方程：，据此即可求解
10．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为的点称为“和谐点”，则点的关系为，即，
A、函数，
∴，
解得，，则，
∴“和谐点”为，在第二象限，正确，不符合题意；
B、函数，
∴，整理得，，
解得，，则对应的，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上有两个“和谐点”，正确，不符合题意；
C、函数，
∴，整理得，，无解，
∴函数图象上没有一个“和谐点”，故原选项错误，符合题意；
D、函数，
∴，整理得，，
解得，，则，
∴“和谐点”为，
∴函数图象上的“和谐点”的横坐标为，正确，不符合题意；
故答案为：C ．
【分析】根据“和谐点”的定义：横坐标和纵坐标之和，等于0，然后对各个选项进行逐一验证，即可求解
11．【答案】10
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：；
故答案为：。
【分析】根据绝对值的性质：，然后再进行求解即可
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入中，得
，
，
∴。
故答案为：1。
【分析】将代入中，然后再求出的值即可。
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：摸出小球上的汉字为“美”的概率是：
，
故答案为：．
【分析】题干中出现4个标有汉字的小球，则发生的总事件数为4，摸到汉字为“美”的事件为1，根据概率=可能发生的事件÷总发生事件，代入数据即可求解
14．【答案】5
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：当时，（分钟），
故答案为：5．
【分析】根据实际播放时间与x的函数关系： ，将代入，然后再进行运算即可
15．【答案】70
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的基本性质：两直线平行，同位角相等，可知，然后再根据两直线平行，同旁内角互补，求出，据此即可求解
16．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：米，，
，
故答案为：．
【分析】根据弧长公式：，代入数据即可求解
17．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：由垂线段最短知，当时，线段的长取得最小值，
∵，，，
∴，
∵平分，，
∴，
即DE的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】根据两点之间，垂线段最短，当时，DE的长度最短，在直角三角形BDC中，根据勾股定理，求出BD=3，最后再角平分线的性质定理：角平分线上的任意一点到两边的距离相等，即可求解．
18．【答案】；17
【知识点】一元一次不等式的应用；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，小明在乙窗口排队取到餐所需时间为：，
不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间为：，
由题意得，
解得，
所以排队人数m的最小值为17，
故答案为：；17．
【分析】（1）根据“甲、乙窗口的取餐速度分别为4人/分钟和6人/分钟.2分钟后，小明选择到乙窗口重新排队取餐”用甲的人数m减去6×2+4×2，再除以6，再根据“乙窗口每分钟新增4人排队取餐（假定后续同学按此速度取餐）”，用m减去4人，然后再除以6，结果时间相等，据此即可建立方程：
（2）乙窗口的取餐速度为6人/分钟，用m减去4人，然后再除以6人/分钟，求出小明在乙窗口取餐的时间；甲窗口的取餐速度为4人/分钟，用m减去4乘以2人，然后再除以4人/分钟，求出小明在甲窗口排队取餐的时间，最后再根据“小明在乙窗口取到餐所需时间，比不换队伍继续在甲窗口排队取到餐所需时间少”，建立不等式：，最后再进行求解即可
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据零指数幂的性质：任何一个不等于0的数的零次幂都等于1；平方根的运算法则以及负整数指数幂的运算，最后再求出特殊角的三角函数，最后再将各个数进行加减即可
20．【答案】解：，
①②得：，
解得：，
将代入①得
，
解得：，
原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先对方程组进行标注，然后再将两个方程进行相加，求出x的值，然后再将x的值代入原方程中任意一个，即可求出y的值
21．【答案】（1）50，40，72
（2）解：B等级人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：根据题意，可得
（人）
答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：该班参加竞赛的学生有（人），
扇形统计图中，，
圆心角，
故答案为：50，40，72
【分析】（1）用A等级人数除以所占百分比可得参赛总人数，然后用C等级的人数除以总人数，再乘以100，即可求出m的值；用D等级的人数除以总人数，再乘以360度，即可求出 圆心角的值；
（2）用总人数减去A，C，D人数即可求出B等级人数，然后再补全图形即可；
（3）用B等级的学生人数除以参加竞赛的学生人数，求出B等级的占比，然后再乘以参加知识竞赛的学生总人数，即可求解。
（1）解：该班参加竞赛的学生有（人），
扇形统计图中，，
圆心角，
故答案为：50，40，72；
（2）解：B等级人数为：（人），
补全图形如下：
（3）解：（人）
答：估计全校学生成绩为“B等级”的人数为720人．
22．【答案】（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是（a+20）元，根据题意得：
，
解得，a=40，
经检验，a=40是原分式方程的解，
∴a+20=60，
答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
（2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物（60-x）个，利润为w元，，
∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，
∴，
解得，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
120-x=40，
答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设根据A款吉祥物的单价是a元，“销售B款吉祥物的单价比A款吉祥物的单价高20元”，可知，B款吉祥物的单价是（a+20）元；再根据“400元购买A款吉祥物数量和600元购买B款吉祥物的数量相同”，可建立方程：，最后再解方程即可，最后再对分式方程进行验证即可
（2）设购买A款吉祥物x个，根据“A、B两款吉祥物数量共60个”，可知，购买B款吉祥物（60-x）个，设利润为w元，根据（1）可知，A款的利润为（40-25）元/个，B款的利润为（60-48）元/个，用A款吉祥物的利润单价乘以个数加上B款吉祥物的利润单价乘以B款的个数，然后与W建立函数关系式：；然后再根据“B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍”，建立不等式：，求出x的解集，然后再根据一次函数的性质，当x取得最大值时，W取得最大值
（1）解：设A款吉祥物的单价是a元，则B款吉祥物的单价是元，
根据题意得：，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：A款吉祥物的销售单价是40元、B两款吉祥物的销售单价是60元；
（2）解：设购买A款吉祥物x个，则购买B款吉祥物个，利润为w元，
，
∵B款吉祥物数量不低于A款吉祥物数量的2倍，
∴，
解得，，
∵，w随x的增大而增大，
∴当时，w取得最大值，此时，
120-x=40，
答：当购买A款吉祥物20个，B款吉祥物40个时，能使这批吉祥物的销售利润最大，最大利润是780元．
23．【答案】（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：选择①CD平分；
证明：平分，
，
∵EF是线段垂直平分线，
∴，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的作法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点，连接这两个交点，即可
（2）选择①CD平分，得到；又根据垂直平分线的性质，可得，，根据等边对等角，即可求出，，根据平行的判定定理，可得BC//DE，，然后再根据平行四边形的判定定理，即可证明四边形为平行四边形；最后再根据菱形的判定定理，即可证明
（1）解：如图：即为所求；
；
（2）解：选择①平分；
证明：平分，
，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
选择②点G为中点，
证明：∵是线段垂直平分线，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∵是线段垂直平分线，
∴，，
∵是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴四边形为菱形．
24．【答案】解：任务一：篮球架安装合格，理由如下，∵，
∴，合格，
如图所示，过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，合格，
综上所述，篮球架安装合格；
任务二：如图所示，过点作于点，则，
∵，
∴，
设米，则，
∴米，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
∴，即，
解得，，
∴米，
∴篮球架的伸臂距离地面的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：根据图形，可知，合格，如图所示，过点作，然后再根据平行线的判定定理可得：，合格，由此即可求解；
任务二：如图所示，过点C作于点H，则，可得，设MH=x米，然后再根据三角函数定义：，即可求出米，根据题意得到，从而可得是等腰直角三角形，进而可得，最后再将数字代入，即，最后再进行求解即可
25．【答案】（1）解：把代入
中得
，
解得，；
（2）解：①如图所示，过点P作轴于H，交BD于G，
由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
在中，当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
∵点F为点P平移后的对应点，
∴点F的坐标为，即；
由①同理可求得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如2图所示，当点N在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴；
如2图所示，过点N作轴于K，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K，
同理可得，
∴，
设，
∴，
把代入中得：，
解得（舍去）或，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把A点坐标代入，利用待定系数法，即可求出b的值
（2）①过点P作轴于H，交BD于G，根据（1）所求的抛物线的解析式，令y=0，分别求出B和C的坐标，设BC所在直线的解析式，然后将B和C的坐标代进去，即可求出直线BC解析式；然后再根据“轴和”，即可证明，进而求出得到PG的值；因为P点在抛物线上，因此可以设，因为G点在BC的直线上，所以，可以设，根据两点间的距离公式，求出，最后再解方程即可
②根据平移的基本性质：左加右减，先求出抛物线的解析式；进而求出点F的坐标；用同样的方法，求出直线解析式，进而求出M的坐标，根据坐标，利用两点间的距离公式，可证明是等腰直角三角形，进而得到；再根据如图2所示，分两种情况：当点N在y轴右侧时，如图3所示，当点N在y轴左侧时，讨论求解即可．
（1）解：把代入中得，解得；
（2）解：①如图所示，过点P作轴于H，交于G，
由（1）得抛物线解析式为，
在中，当时，解得或，
在中，当时，，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为；
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴点P的坐标为；
②∵将抛物线沿x轴向右平移3个单位，得到抛物线，
∴抛物线的解析式为；
∵点F为点P平移后的对应点，
∴点F的坐标为，即；
由①同理可求得直线解析式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如2图所示，当点N在y轴右侧时，
∵，
∴，
∴；
如2图所示，过点N作轴于K，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
把代入中得：，
解得或（舍去），
∴，
∴；
如图3所示，当点N在y轴左侧时，过点M作轴，过点N作于K，
同理可得，
∴，
设，
∴，
把代入中得：，
解得（舍去）或，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
26．【答案】（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，
即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定；圆与三角形的综合；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）因为AB是圆所在的直径，据此可以推出，然后再根据垂直的定义得到，最后再根据互余的性质，即可求解
（2）根据，可知，，进而可知，然后根据30度所对的边等于直角边的一半，求出BC的值，根据勾股定理，可求出AC的值，①如图所示，连接OM，易证是等边三角形，即可求出OA=0M的值；
②根据题意先证明，得，如图所示，在上取，连接，可证，得，，再证明，得，，由此即可求解．
（1）证明：∵是直径，
∴，
∵过点作，即，
∴，
∴；
（2）解：①∵是直径，，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，则，
如图所示，连接，
∵所对圆周角是，所对圆心角，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
由（1）可知，，且，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
如图所示，在上取，连接，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
在中，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
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