安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第六次联考（5月期中）数学试卷（含解析）

安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第六次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若集合，则
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程是，则（ ）
A． B．8 C． D．
3．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24 B．48
C．60 D．72
4．已知数列是等差数列，，其中公差，若 是和的等比中项，则（ ）
A．398 B．388
C．189 D．199
5．设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．粽，即粽粒，俗称粽子，主要材料是糯米、馅料，用籍叶(或箬叶.簕古子叶等)包裹而成，形状多样，主要有尖角状、四角状等.粽子由来久远，最初是用来祭祀祖先神灵的贡品.南北叫法不同，北方产黍，用黍米做粽，角状，古时候在北方称“角黍”.由于各地饮食习惯的不同，粽子形成了南北风味；从口味上分，粽子有咸粽和甜粽两大类.某地流行的四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体，现需要在粽子内部放入一个肉丸，肉丸的形状近似地看成球，当这个肉丸的体积最大时，其半径与该正四面体的高的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
8．关于下列命题，正确的是（ ）
A．若点在圆外，则或
B．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
C．已知圆与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切
D．已知点是直线上一动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，则四边形的面积的最小值为
二、多选题
9．已知实数a，b均不为1，且满足，则下列关系式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．设，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，数列的前项和为，且满足，则下列有关数列的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．函数在处的切线方程是，则 ．
13．设随机变量，其中且，若，，则 .
14．定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .（注：）
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面，点M是棱上一点，且．
(1)若，求证：平面；
(2)求二面角的正弦值；
16．书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）
(2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望．
17．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.
(1)求点的轨迹的方程.
(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.
18．已知．
(1)试判断的单调性；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，求证：．
19．错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利—欧拉的装错信封问题．现在定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数（的对应位置为）．容易得到，．另外，规定．
(1)计算：；
(2)记的前项和为，证明：；
(3)定义错排概率为随机将共个元素排列在共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：．
安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二下学期第六次联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B C B C AB ACD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】∵集合A＝{1，3，5，7}，
B＝{x|2x＞8}＝{x|x＞3}，
∴A∩B＝{5，7}．
故选：C．
2．A
【详解】由抛物线方程，知，所以，所以，所以.
故选:A
3．D
【详解】试题分析：由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.
4．C
【详解】解：数列是等差数列，，其中公差， 是和的等比中项，
，
化为，．
所以，
则．
故选：C．
5．B
【详解】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；
当成等比数列时，则，所以是必要条件.
综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件
故选B.
6．C
【详解】当肉丸的体积最大时,肉丸所成的球是该正四面体的内切球,
设正四面体的边长为高为内切球的半径为
所以，，所以
正四面体的表面积为，
所以根据等体积法得，即，解得
所以，所以.
故选：C
7．B
【详解】，
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以，所以，所以.
故选：B.
8．C
【详解】对于A：若点在圆外，
所以或，故A错误；
对于B：圆心，所以圆心到直线的距离为，
当时，，所以，
即此时不存在使直线与圆相切，故B错误；
对于C：对于任意的，令，
所以，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确；
对于D：圆心，半径，圆心到直线的距离为，
即的最小值，由，所以的最小值为，
四边形的面积最小值为，故D错误，
故选：C.
9．AB
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，因函数在R上单调递减，又，则，故C错误；
对于D，函数在R上单调递增，但由题不能判断与1的大小，则D错误.
故选：AB
10．ACD
【详解】对于A，由题意，展开式的通项公式为，
所以，故A正确；
对于B，设，
，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，当时，，则在上单调递增，
故，因，故，所以，故B正确；
对于C，因，则，故C错误；
对于D，令，则，则在上单调递增，
故，即，故，从而，
即，也即，故得.故D正确.
故选：ABD.
12．2
【详解】解：∵函数的图象在点处的切线方程是，
，
故答案为2．
13．/
【详解】因为，，
又因为，所以，解得.
因为随机变量，其期望，所以.
因为二项分布的方差，解得.
因为，将，代入可得
.
故答案为：
14．
【详解】因为，令，则，
所以，函数的图象关于直线对称，则，
因为函数的图象关于点对称，
设，则，
即，即，
令，则，故函数为奇函数，
所以，则，
故函数是周期为的周期函数，
则，当时，，则，可得，
即当时，，所以，，，
，，
所以，
.
故答案为：.
15．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）∵在四棱锥中，平面，
∴以A为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
∵点M是棱上一点，，，．
∴，
，
设平面的法向量，
则，取，得，
∵平面，∴平面．
（2），
设平面的法向量，
则，取，得，
又为平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，则
则，则
∴二面角的正弦值为．
16．(1)74
(2)分布列见解析，
【详解】（1）根据频率分布直方图得：
（2）由题意可知和的频率之比为：1:2:2，
故抽取的10人中和分别为：2人，4人，4人，
随机变量的取值可以为0，1，2，3，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以．
17．(1)
(2)是，证明见解析
【详解】（1）解：因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，
所以，
故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），
且，所以，
所以的轨迹的方程为；
（2）解：设直线的方程为：，，，
联立方程得：，
则，，
所以，
又直线的方程为：，
又直线的方程为：，
联立方程，解得，
把代入上式得：，
所以当点运动时，点恒在定直线上
18．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，该函数的定义域为，.
当时，，则在上是增函数；
当时，令，得，
由可得，由可得，
此时，函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，在上是增函数；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）即恒成立，则，
且函数在上为增函数，故，
当时，，则在是增函数，成立，合乎题意；
当时，，由（1）可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
所以不合题意．
所以．
（3）由（2）得当时，，
所以要证，只要，即证：，
设，，则，
因为函数、在上均为增函数，故函数在是增函数，
因为，，所以存在，使．
故时，，则在上为减函数，
当时，，则在上为增函数，
因为，，
所以时，，故命题成立．
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）可以排在上，有种排法．
当的位置确定后，剩下两个元素只有1种排法．
所以．
可以排在上，有种排法．
不妨设排在上，接下来讨论．
当排在上时，剩下两个元素的排法有（种）．
当不排在上时，可以排在上，有种情况．
若排在上，剩下两个元素只有1种排法．
所以．
（2）当时，，满足．
当时，要证明，只需证明，
所以只需证明．
当时，，成立．
回到定义，当时，对于，不妨从开始排列，
设排在上，有种排法．接下来讨论，
①当排在上时，剩下共个元素
分别不在上，
共有种排法．
②当不排在上时，
因为分别不在上，
所以共个元素
分别不在上，
共有种排法．
所以．
所以，
即．
综上，成立．
（3）根据定义，，
先从个元素中选出个元素，再对它们进行排列，并使它们均不排在对应位置上，
所以．
所以．
不妨记，则，且，
得，
则，
故是等比数列，且公比为，
又，所以，
变形得，
则当时，，
累加得，
经检验也符合上式，所以，
所以．