湖北省宜昌市部分省级示范高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷（含解析）

湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则△ABC的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．下列各式的值为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在四边形中，，，设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A．若、可以作为基底，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则
D．若与的夹角为，则或
10．函数的部分图象如图，图象与轴交于点，与轴交于点，点在图象上，点、关于点对称，则下列正确的是（ ）

A．函数的最小正周期是
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为偶函数
11．设表示不超过的最大整数，如：，，又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A．，
B．，若，则
C．，
D．不等式的解集为或
三、填空题
12．已知函数则 ．
13．在中，分别为的中点，则 .
14．记的内角、、所对的边分别为、、，已知，，点在边上，若，，则的值为 .
四、解答题
15．已知向量满足，且与的夹角为.
(1)若，求实数的值；
(2)求与的夹角的余弦值.
16．（1）已知，均为锐角且，，求的值；
（2）已知，，求的值.
17．在中，内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，边上的中线，求的面积及BC边上的高.
18．已知，，函数，的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)当时，求的最值及取到最值时的值；
(3)若函数在上有两个不同的零点、，求实数的取值范围，并求的值.
19．意大利著名画家、数学家、物理学家达芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类曲线的函数表达式可以为，其中、为非零实数.
(1)利用单调性定义证明：当时，在上单调递增；
(2)当时，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(3)若为奇函数，函数，，探究是否存在实数，使的最小值为？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
湖北省宜昌市部分省级示范高中2025学年高一下学期4月期中考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B C C D B ACD BC
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】.
故选：A.
2．C
【详解】因为，且
图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
3．B
【详解】依题意，，
因此实数的大小关系是.
故选：B
4．B
【详解】由余弦定理得：，则，所以，由此知△ABC为直角三角形.
故选：B
5．C
【详解】对于A选项，
，A不满足；
对于B选项，，B不满足；
对于C选项，
，C满足；
对于D选项，，D不满足.
故选：C.
6．C
【详解】因为，
所以
.
故选：C.
7．D
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
因为，，故，
所以，函数不是奇函数，A不满足；
对于B选项，对于函数，由可得，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，故函数为奇函数，
因为内层函数在上单调递减，
外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足；
对于C选项，函数的定义域为，，
故函数为偶函数，C不满足；
对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
因为，
内层函数为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，在定义域上为增函数，D满足.
故选：D.
8．B
【详解】因为，
因为且，则，
因为函数在上无零点，故，
所以，，解得，
由，解得，
，当时，可得，当时，可得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
9．ACD
【详解】已知向量，，易知、均为非零向量，
对于A选项，若、可以作为基底，则、不共线，可得，解得，所以A对；
对于B选项，，则，解得或，所以B错；
对于C选项，在上的投影向量为，
即，解得，所以C对；
对于D选项，因为与的夹角为，则，
即，整理可得，解得或，所以D对.
故选：ACD.
10．BC
【详解】对于A选项，因为点与点关于点对称，则点，
结合图形可知，函数的最小正周期为，A错；
对于B选项，，且函数在附近单调递增，
故，所以，
又因为，故，所以，，
因为，所以函数的图象关于点对称，B对；
对于C选项，当时，，
所以函数在上单调递增，C对；
对于D选项，函数的图象向右平移后，得到的图象，
则函数为奇函数，D错.
故选：BC.
11．BCD
【详解】对于A，，则，故，故A不成立.
对于B，，则，
故，所以，故B成立.
对于C，设，其中，
则，，
若，则，，故；
若，则，，故，故C成立.
对于D，由不等式可得或，
故或，故D正确.
故选：BCD
12．
【详解】因为函数
因为，
，
即，故答案为.
13．－4
【详解】由已知，，
．
故答案为：．
14．
【详解】如下图所示：

由题意可知，则，所以，，
所以，，
即①，
由余弦定理可得②，
又因为，联立①②可得，代入②可得.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
即，即，
所以，解得.
（2）因为，
，
所以，
即与的夹角的余弦值为.
16．（1）；（2）
【详解】（1），
，
则，
.
（2），
即又，
即.
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，即，
所以，
因为，所以；
（2）因为为边上的中线，
所以，两边同时平方得，
因为，，
所以，得，
所以，解得或（舍去），
所以的面积，
由余弦定理得，所以
设BC边上的高为，因为的面积，
所以，得.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)的取值范围是，
【详解】（1）因为，，
所以，，，
，
因为函数的最小正周期为，则，可得，故.
由可得，
因此，函数的单调递增区间为.
（2）令，由可得，即，
故当时，即当时，取得最大值，
当时，即当时，取得最小值.
（3）函数所在上有两个不同的零点、，
由可得，由可得，
所以，函数在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，，解得，
故实数的取值范围是，
由可得，所以，直线为函数图象的一条对称轴，
因为，所以点、关于直线对称，
所以，因此.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）当时，，，
则
，由，得，
则，，于是，即，
所以在上单调递增.
（2）函数的定义域为R，，则为偶函数，
不等式，
函数在上单调递增，则
依题意，不等式对恒成立，
当时，，，
因此对恒成立，
令，而，
则，当时，，
，当时，，于是，
所以的取值范围为.
（3）由函数为奇函数，得恒成立，
即恒成立，则，
于是，，
令，，由函数在上单调递增，得，
则函数化为，，
假设存在实数，使即的最小值为，
当，即时，在上单调递增，，不符合要求；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，此时；
当，即时，在上单调递减，，
解得，不满足，
所以当时，的最小值为.