数学：第22章二次根式复习教案（华东师大版九年级上）
文档属性
| 名称 | 数学：第22章二次根式复习教案（华东师大版九年级上） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 164.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-01-30 14:32:00 | ||
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文档简介
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第22章 二次根式复习教案
二次根式的意义（一）
【目的要求】
1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，明确学习目的，增强数形结合和用数学的意识。
2、使学生了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学难点】理解二次根式的概念。
【教学方法】启发式
【教学过程】复习提问:
1、什么叫代数式？举出代数式的例子。
2、是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？是一个式子？是一个代数式？ 呢 ？
3、什么是勾股定理？在直角三角形中，已知两条直角边为 3 和 4，那么斜边长为多少？
新课讲解：
在前一章中，我们已经遇到过，，这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。
一般的，式子 ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 ) 必须有二次根号；
( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1：x 是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
解： 由x －3 ≥ 0 ， 得 x ≥ 3
当 x ≥ 3 时，式子在实数范围内有意义。
课堂练习：
教科书第 171 页 练习 1
代数同步精练 42 页第 1、2题
补充例题：
例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) 由≥ 0 ，解得：x 取任意实数
∴ 当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。
( 2 ) 由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0
解得：x ＞ 1
∴ 当 x ＞ 1时，二次根式在实数范围内都有意义。
课堂练习：
教科书第 172 页 B组 1 题
代数同步精练 43页 第 4 题
课堂小结 ：
这节课我们介绍了本章可以解决的一些新问题和二次根式的概念。
课外作业：
教科书第172页 11.1 A组 1、2 题。
代数同步精炼 第 42 页 第 3 题。
二次根式的化简（二）
【目的要求】
1、使学生复习和巩固二次根式性质；
2、使学生会根据二次根式性质以及积的算术平方根的性质化简某些二次根式 ( 被开方数除了含有二项式的完全平方外，不含其他加减运算 )。
【教学重点】二次根式性质以及运用。
【教学难点】二次根式性质的运用。
【教学方法】
【教学过程】复习提问：
1、二次根式有什么性质？
2、怎样运用二次根式的性质化简二次根式呢？
3、设 x 为任意实数，下面的化简对吗？如果不对，应怎样改正？
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
4、化简：
( 1 ) ； ( 2 ) －；
( 3 ) ( m ＜0 ＝ ( 4 ) ( t ＜0 ＝ 。
5、把第4 题第( 3 )、( 4 )小题中的限定条件“( m ＜0＝”和“( t ＜0 ＝”去掉，这两个小题的答案是什么？
新课讲解：
1、请同学们看教科书第208页上的 例 2 。
分析：当 a ＜3 时，a －3＜0，被开方数是一个负数的平方，所以可以运用二次根式 的性质将原式进行化简，即
＝ | a －3 | ＝ －（ a －3 ）＝ 3 － a
注意：在解这道题时，要防止学生出现。
＝ － | a －3 | ＝ a －3
2、例 2 还有其他解法吗？
当 m ＜0 时，m 的相反数是大于0 还是小于0？
当 m － n ＜0 时，m － n 的相反数是什么？
那么 n － m ＞0 。另外，根据 ( m － n )2 ＝ ( n － m )2，这就启发我们用 一种新的解法。
课堂练习：
教科书第209页上的练习
课堂小结：
在这节课里，我们复习和巩固了二次根式的性质，并利用这一性质以及积的算术平方根的性质对某些二次根式进行了化简。在化简时，一定要弄清题目中对被开放数所含字母怎样取值的限制条件。如果被开方数是一个二项式的完全平方，也可以利用以下公式来进行化简：( a － b )2 ＝ ( b － a )2 。也就是说，把取负值的 ( a － b )换成正值的 b － a ，或者把 b －a 换成正值的 a － b 。经过这样一交换，我们就可以直接运用 ＝ x ( x ＞ 0 ) 的性质。
课外作业：
教科书习题11. 7A组的第1题和第2题。
在这些题目中，除了特别规定的以外，所有字母都表示正数。
二次根式的性质（三）
【目的要求】
1、使学生复习、巩固和掌握二次根式的性质：
＝ | a | ＝
2、使学生会根据二次根式的性质以及积与商的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行化简。
【教学重点】复习、巩固和掌握二次根式的性质。
【教学难点】复习、巩固和掌握二次根式的性质运用。
【教学过程】
复习提问：
1、二次根式有什么性质？
2、化简：
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 ) 。
3、化简：
( 1 ) ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 )
新课讲解：
1、请同学们看教科书第208页上的例 3
分析：这道题中的被开方数是一个分式。经过认真观察，可以发现分母 1－2x＋x 是一个二项式的完全平方，即。再看题目对于被开方数所含字母怎样取值的限制条件，即 x ＞1，所以我们不妨把改写成，于是得到本题的解法。
解：∵ x ＞1 ，
∴ x ＞0 ，x －1 ＞ 0
∴
要求学生注意以下两点：
( 1 )当被开方数是一个分式时，通常先将这个分母和分子进行因式分解，然后运用商与积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简。这样做，就能有效地防止出错。为了简便和减少错误，还可以利用＝，＝等公式
( 2 )在例3 中，经过对题目的观察，要同时运用商与积的算术平方根的性质，还要用运用 x ＞0 与 x －1＞0 这两个条件。x ＞0 与 x －1＞0 这两个条件缺一不可，要在解的过程中通过推理确认这两个条件是具备的，
∵ x ＞1，
∴ x ＞ 0， x －1＞0 这个推理步骤必须写出来。
课堂练习：教科书209页上的练习。
课堂小结：
在这节课里，我们再次复习和巩固二次根式的性质，并利用这一性质以及商与积的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行了化简。在化简时，一定把被开方数进行因式分解，而且要注意题目中对被开方数所含字母怎样取值的限制条件，并善于利用 ＝，＝等公式 ，就能使化简过程简便一些，并且少出错误。
课外作业 ：教科书习题 11. 7 A组 第 2 题。
“商”的算术平方根的性质
教学目的：
使学生通过学习“商”的算术平方根的性质，进一步加深对二次根式意义的理解，初步掌握“被开方数中含有分母的二次根式”的化简，提高运算能力，观察分析问题的能力，通过向学生渗透“转化”、“类比”等数学思想，培养学生发现知识、归纳推理的能力。
教学重点：
学习“被开方数中含分母（分母中不含字母）”的二次根式的化简
教学难点：化去根式内的分母
教改实验设想：
根据教学过程的“普遍性和特殊原理”，通过学生在课堂上有效学习实践活动设计，贯彻“主体参与，分层指导，及时反馈，激励评价”原则，创设学习情境，优化学习过程，提高学习效率，探索代数课教学中“公式、性质”课的素质教育型课堂教学模式。
教学过程：
教学环节 学习内容 教师活动 学生活动 学生智、能、心的培养与发展
设1 (回忆已学过的有关二次根式的内容) ：公式1：公式2：(任何实数)〔上述公式的特点：(从左至右) 削去〕性质：“积的算术平方根” 推论： 提问板书 回忆思考举手回答(重点由 C组学生回答,其他组学生准备补充) * 复习巩固旧知识做好学习新内容的知识及心理准备
设2求 问题1，已知：甲正方形和乙正方 形的面积,分别为3和5, 求：甲乙两个正方形边长的比。(设甲的边长为x, 乙的边长为y). 解：方法1： 方法2：，∴。问题2，计算： ① ， ② ， ③ ，④ 。问题3, （1）从以上问题中能发现什么 (答案:) （2）怎么证明这个发现 *1 证明: 当时 ∵ , ∴ ， ∴ 。 放投影片指导学生思考并填写投影片板书板书 思考并举手回答问题1，由 A,B组同学答。 问题2由C组同学答 问题3,由同学举手回答 通过具体实例感知新知识,对新知识发生兴趣。 通过类比联想发现知识。渗透转化思想,培养推理能力。使发现上升为理性认识。
练1.2创1练2创2练3 直观上看,你认为这个等式有什么作用呢 (计算),你认为可以什么计算题？请几个同学每人出一个题,大家来计算,(类型及难度仿张士充实验教材Ｐ86 例1)*2。⑴(针对上面出现的如：)问：如何能消去分母中的根号呢 最好从开始采取措施。(方法示意： )⑵如何用等式概括上述方法的过程 练习1,化去下列各式中根号内的分母： ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ 。〔问题，为什么的分子、分母 同乘以2而不乘以8 ) 练习2,化去下列各式中根号内的分母： ①， ②， ③， ④， ⑤ 引导学生由简单到较复杂出5个题,并板书。带领同学评判黑板上的习作。 提出问题，下去加入小组讨论，发现结果。板 书 放投影片，指导个别差生,带领学生评判。 引导学生发言 放投影片提问C组学生,领全班校对答案， 由学生举手发言(注意多让C组学生发言) ，全班在练习本上练习,5位同学到黑板上做。学生发言小组讨论，小组代表发言(处理上面遗留题)个别学生举手发言 全班在练习本上做，5位同学上黑板。 学生思考举手发言。 除C组外的学生完成这个练习,C组同学由老师带领做实材。 巩固知识, 加深认识, 提高兴趣, 引起注意, 激发积极性.。 加深对知识的理解,扩大性质的作用,渗透转化思想, 完善认知结构。 巩固知识，提高计算能力与技巧。巩固方法形成技能
结 ⑴学习内容(给出名称) ；⑵注意：化去分母应乘以“最小数”，凑成最小平方数；分母经开方后，到外仍做分母。 （3）要求学生，结合自己实际情况，出难易程度不同的5道题。 课前发纸课后检查 学生举手发言 每个学生自己出5个小题自做，交小组长批阅，以小组为单位上交。 整理知识,形成认知结构。检查学习效果增强自主学习意识
布置作业 ⑴自己课后炼熟；⑵中的单数题。
板书安排：
投影屏幕所占部分 证明： （练习） （复习）
㈠ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸㈡ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 公式1： 2：性质1：推论：性质2：
课前准备： ⑴书写投影片； ⑵准备验收用纸。
注：本人将这个班的学生在数学学习方面分为A组 (优秀生)，B组 (一般学生) 和C组 (学
习困难生，10人左右) 三组，以便分层指导。
*1 实际课堂上学生樊小光又提出了下列作法：
证明：根据：， ∵ ， ，
∴ 。
*2 实际教学中，学生出的题：
①， ②， ③， ④， ⑤。
三、对教学设计的评价
对本教学模式的教学设计拟从以下几个方面给予评价（满分100分）。
1、 教学目标的确定（10%）
其中，知识0.4，能力0.4，德育0.2。
2、 教学过程的设计（60%）
（1） 教学内容及重点、难点的确定（10%）；
（2） 教师活动的设计（10%），学生活动的设计（20%），学生心理、能力发展内容的设定（10%）；
（3） 教学手段的运用（10%）。
3、 教学效果的检测（30%）
其中，学生测验成绩0.6，听课教师评议0.4。
这节课，通过教学过程的设计，加强了学生在课堂上的有效学习实践活动，既突出和保证了学生的主体地位，又较好发挥了教师的主导作用，整堂课中，学生不是在教师的讲授中被动的接受知识，而是在教师的引导下（由教师设计好的各环节的学习活动）通过参与学习全过程来完成学习任务，这堂课较好体现了“活动性、自主性、创造性”（如：学生通过实例自己发现知识并加以证明、自己出题进行练习、自己出题进行验收、小组讨论突破难点等）。特别是在实现分层指导上的一些作法值得借鉴（如：对不同程度的学生的复习提问、学生自己给自己出验收题、课堂练习时，教师按不同程度，分别组织学生进行不同的练习等），从而使这节课达到了教学目的和教改实验目的。
教师的教学严谨，课堂上注重创造热烈、和谐的学习氛围，师生关系融洽。教学中注意渗透了“数形结合、转化、类比”等数学思想并注意培养学生的能力。
这常课的教学过程设计是成功的。
存在的不足是：发现知识时，对于作为引例的两个问题利用的不够好，其中问题１中的“......边长的比”的表述不准确，应为“边长的比值”，否则会给学生造成一定程度的思维障碍。教学过程中，一个学生曾提出另一证法（见*1），而教师没有意识到。对于学生所出的“⑤”一题仅指导学生补充了条件“a>b”，而未加以分类讨论，使学生失去了提高的机会。教学过程中，对“商的算术平方根性质的实质揭示的不够，尤其是小结时，不够深入。”
最简二次根式教材分析
作用与地位
作为二次根式乘、除法与加减法的过渡桥梁的“最简二次根式”这一节课在本章中起着承上启下的作用，必须先复习与巩固已学过的乘、除法知识。另一方面，本小节的内容，显然是下一小节“二次根式的加减法”的基础，因为加减法就是在识别“同类的”最简二次根式的前提下进行的。
目的与要求
本课的内容比较单纯，就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。当然，这首先需要知道什么是最简二次根式（即本节课的重点），让学生了解最简二次根式的概念，不在于能否背出定义，关键还是遇到实际式子能够加以判断（也就是本节课的难点），所以应在练习中让学生熟悉这个概念。我采用启发式教学并借助实物投影以扩充教学容量。
背景
在实际问题中，遇到二次根式，一般应把它先化简，这会给解决问题带来方便，把二次根式化简，至少有以下三种用途：
（1）、把一个二次根式化简后，可避免因误差积累而造成的结果不准确。
（2）、把两个二次根式化简后，它们的乘除法运算可能变得简单，例如:
；15 ÷2===。
（3）、把一组二次根式化简成最简二次根式后，可以对同类二次根式进行加法、减法运算(这将在下一小节中学习)．
学生们在前面已经看到了这些用途，实际上，看到这些用途是第二位的，最重要的是从这些用途中领会把复杂化为简单，把未知化为已知，从而使问题得以解决的思想方法。
教学过程分成以下几个步骤
一、提出问题：（投影显示）
两个问题首先是对二次根式乘、除法的复习；其次通过两种解法对
比得出将繁杂的二次根式化为简单的二次根式后，使解决问题更加容易。
二、问题解决：
依照学生的认知规律引导学生从从简单的问题中发现规律，突出本
节课的重点。并由此引出新课“最简二次根式”，达到本课的第一个教学目的（理解最简二次根式的定义）。对于最简二次根式的定义以开门见山的方式直接给出。
三、解决问题：
接着通过训练将最简二次根式的定义加以熟练并总结出化简最简二
次根式的步骤，从而达到本课的第二个教学目的（会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式）。
在训练内容的选择上考虑到学生接受新知识的能力一是以常用运算
为主，采用由浅入深，层层递进的方式，二是以基本技能为主，而不追求繁难式子化简的特殊技巧。在进行最简二次根式的化简时，始终围绕二次根式的概念和性质，抓住学生问题的症结培养学生独立学习，思考解决问题的能力。
四、总结问题：
采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识。
最简二次根式
教学目的
1、 理解最简二次根式的定义；
2、 会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式。
教学重点:最简二次根式的定义
教学难点: 最简二次根式的识别
教学方法:启发、讨论
教学媒体:实物投影仪
教学过程:
一、复习提问：
练习1：
①、二次根式的乘法运算法则是什么？（在黑板上写出来）用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？（要尽量化简）
②、二次根式的除法运算法则是什么？（在黑板上写出来）用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
练习2：
计算（1） （2） 15 ÷2
解（1）方法1：===3
方法2：=×3=3
解（2）方法1：15 ÷2==
==
方法2：15 ÷2===
从这两个题目中，都可看出先化简再计算的好处。
练习3：
已知：=1.414，如何求与的近似值？（结果保留二位有效数字）
解：（1）===1.414÷20.71
（2）=22×1.4142.8
小结：从这个问题又可以看出，遇到一个二次根式将它化简会给解决问题带来方便，说到化简总是希望能化简到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢？
二、问题解决：
（板书）课题：§11.4 最简二次根式
定义：
它要求满足以下两条：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式。
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
例如：问题4中的化成最简二次根式就是，化成最简二次根就是2。
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1）；（2）；（3）； （4）x；
（5）4；（6）5m；（7）
三、解决问题：
例1 把下列各式化成最简二次根式：
（1） （2）
分析：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外。
解（1）==2；
（2）==3a。
练习1：（1）； （2）2。
答案：（1）4； （2）2ab。
例2 把下列各式化成最简二次根式：
（1）4； （2）x。
分析：（1）把被开方数中的带分数化成假分数；
（2）化去根号下的分母；
（3）化去分母中的根号。
解：（1）4=4====2；
（2）x===。
注意：第1题中根号外面的4与根号里的带分数的整数部分1在运
算的意义上是有区别的。
练习2：（1）； （2）； （3）； （4）x。
分析：把被开方数中的小数化成分数
答案：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。
练习3：判断下列各等式是否成立，若不成立请说出正确的解法和答案。
（1）=4＋3； （2）=；
（3）=2； （4） 2=
练习4：
（1）；（2）；
（3）；（4）（a>1）
分析：化简时，当被开方数是和的形式时先将它化为积的形式。
答案：（1）4； （2） 5m ；
（3）； （4） 。
四、问题总结：（采用学生小结教师补充的方式）
本节课学习了哪些知识？
本节课学习了最简二次根式的概念，知道了它的一些用途，同时还知道了如何化二次根式为最简二次根式，即如何辨析最简二次根式
课外作业：187页 A组：1、2、3的偶数题； B组：1、2（学有余力的同学做）。
二次根式的加减法（一）
目的要求：
1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式。
2、使学生通过同类二次根式，培养从特殊中找出一般，从个性中找出共性的对立统一观点的数学思想方法。
教学重点：最简二次根式的化简。
教学难点：辨别同类二次根式。
教学过程：
复习提问：
1、什叫最简二次根式？它必须满足那几个条件？（把学生回答的条件写在黑板上，其中应该包括分母中不含根号这一条。）
2、 把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
( 让四名学生上黑板做，其余学生分四组在下面选做)
3、已知：a ＝ 2，b ＝ －8 ，c ＝ 5 ，求代数式的值。
新课讲解：
1、请同学们看下面两个例子。
（1）计算，有那些方法？
一种是根据≈1. 414，进行近似计算，求出原式的近似值；
另一种是先设a＝，根据分配律进行计算，即：
原式＝2a ＋2b＝（2＋3） a ＝5a ＝ 5。
（2）计算，有那些方法？
一种是 查表求出、的近似值，在算出原式的近似值；
另一种是同前几节课一样，先把、进行化简，得：
原式＝。
其中最后一步变行形是根据例子（1）的结果。
从上面的例子可以看出：
（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算；
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，在考虑进行加减法运算。
几个二次根式化简成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
说 明：同类二次根式必须满足以下两个条件：
（1）它们都是最简二次根式；
（2）它们的被开方数必须完全相同。
例1：下列各式中，哪些是同类二次根式？
、、、、、、
分 析：先化简成最简二次根式；在判断哪些是同类二次根式。
解：因为＝＝；
＝
＝。
＝＝＝
所以，是同类二次根式。
，，是同类二次根式。
、是同类二次根式。
课堂练习：教科书第192 页上练习的第1 题
课堂小结：
在这节课里，我们学习什么是同类二次根式，我们知道它们必须符合两个条件，一是都化成最简二次根式的形式，二是被开方数完全相同。“同类二次根式”与“同类项”一样，将在加减法运算中起关键作用。从许多二次根式中找出同类二次根式，这种思想方法就归类的思想方法。与分类的思想一样，它们都是我们学习各门学科（包扩数学这样的工具学科）的重要思想方法。
课外作业：教科书习题11. 5 A 组的第 1 题。
二次根式的加减法（二）
目的要求：
1、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加减法。
2、使学生通过二次根式的加减，进一步了解归类的思想方法。培养学生的运算能力。
教学重点：合并同类二次根式，进行二次根式的加减法。
教学难点：通过二次根式的加减，了解归类的思想方法。
教学过程：
复习提问：
1、什么叫做同类二次根式？它有那两个必要条件？
（1）它们都是最简二次根式 ；
（2）它们的被开方数必须完全相同。
2、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
（1）； （2）； （3）；
（4） ； （5） ； （6）。
3、 x 取什么值时，最简二次根式与是同类二次根式？
新课讲解：
二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。
例 2 计算：。
解：原式＝
＝
＝
例3 计算：
解：原式＝
＝
课堂练习：教科书第 192 页 练习 2 题 （1）、（2）、（3）、（4）
（请同学上黑板做并给予讲评）
例4 计算：
解：原式＝
＝
＝
注意：不是同类二次根式的二次根式不能合并。
课堂练习：教科书第 192 页练习3 题
课堂小结：
这节课我们学习了二次根式的加法与减法运算。通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式，为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化简成最简二次根式，在按它们的被开方数是否完全相同去判断。
课外作业：教科书第 194 页 4 、5 题；同步精练练习（二）。
二次根式的乘法（一）
【目的要求】
1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质。
【教学重点】理解并掌握积的算术平方根的性质
【教学难点】理解并掌握积的算术平方根的性质
【教学方法】
【教学过程】复习提问：
1、对于二次根式中的被开方数 a ，我们有什么规定？
2、当 a ≥ 0 时，()2 等于多少？
新课讲解：
我们看下面的例子：＝＝ 6 ，
×＝ 2 × 3 ＝ 6 。
由此可以得 ＝×
一般的，有＝× ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。
例1：化简：
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) ＝×＝4 × 9＝36 ；
( 2 ) ＝＝××
＝10×2×
＝20
注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。
在例 1 中，我们根据算术平方根的定义，的出了＝10，＝ 2 等结果。一般的，有：
＝a ( a ≥ 0 )
例2：化简：
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) ＝
＝×××
＝2ab
( 2 ) ＝
＝×
＝
课堂练习：
教科书第175页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们学习了积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )；并且复习了以下公式： ( a ≥ 0 )。加深了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识。
课外作业：
教科书第 177 页 习题 A 组 1、2、3 题
同步精练练习 ( 一 )
板书设计：略。
二次根式的乘法（二）
【目的要求】
1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生了解两个二次根式的积仍然是一个二次根式(有的积可以化简成最简结果，甚至不含根号)。
【教学重点】掌握积的算术平方根的性质的运算
【教学难点】掌握积的算术平方根的性质的运算
【教学过程】复习提问：
1、用两种方式表示积的算术平方根的性质。
( 1 )用含字母的公式表示；
( 2 )用文字语言表示。
2、化简：
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
新课讲解：
例3：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝24 cm。 求：AB
解： ∵AB2＝AC2＋ BC2，
∴ AB＝
＝
＝
＝
＝2 × 13
＝26 (cm)
答：AB 的长为26 cm 。
把 ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 ) 反过来得到： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )。也就是说 ，二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。运用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算。
例4：计算：
( 1 ) × ( 2 ) ×
解： ( 1 ) ×＝
( 2 ) ×＝
注意：二次根式运算的结果，应该尽量化简，如例 4 中的结果不要写成 6而应化简成30。
课堂练习：
教科书第176页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们学习了二次根式的乘法运算法则： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )，以及利用这个法则进行运算与化简。并且学习了二次根式的乘法运算在几何中的运用。
课外作业：
教科书第 177 页 习题 A 组 4、5、6 题
同步精练练习 ( 二 )
板书设计：略。
二次根式的除法
【目的要求】
1、使学生复习和巩固 二次根式的除法运算法则以及将分母有理化的方法，会用它熟练地进行简单的二次根式的乘.除法运算。
2、使学生复习和巩固算术平方根，二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
3、使学生会将分母中含有一个 二次根式的式子进行分母有理化，培养 学生的运算能力。
【教学重点】二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【教学难点】二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【教学方法】精讲多练
【教学过程】复习提问：
( 1 ) 二次根式的除法与乘法运算的法则分别是什么 怎样用文字语言分别表达它们 对于运算结果有什么要求
( 2 ) 二次根式的除法运算,除了运用除法法则外,还可用 什么方法 在将分母有理化时,关键是什么
( 3 ) 积与商的算术平方根分别有什么性质 怎样用文字语言分别表达它们 它们的主要用途是什么 它们与二次根式的乘.除法运算的关系是什么 使用这两个公式时要注意什么
课堂练习：
1、计算：( 1 ) ； ( 2 )
2、把下列各式的分母有理化：
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 )
3、利用分母有理化计算：
( 1 )×÷； ( 2 ) ÷
现在请大家看教科书第184页上的“想一想”，请四位同学上黑板分别计算各式子的左边和右，再判断这四个等式是否成立。
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 )
看了以上结果，你们有什么体会
课堂小结：
在这节课里,我们复习和巩固了以下知识：
1、二次根式的乘法与除法的运算法则。
2、算术平方根、二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
以上这些知识今后要大量用到，我们应该牢牢记住，并能够熟练运用。
课外作业：
教科书习题11.3 A组的第5 题和第6题。
二次根式的混合运算（一）
【目的要求】
1、使学生复习和巩固二次根式的加减运算。
2、使学生会进行有关二次根式的简单的加减、乘法混合运算。
【教学重点】会进行有关二次根式的简单的加减、乘法混合运算。
【教学难点】会进行有关二次根式的简单的加减、乘法混合运算。
【教学方法】精讲多练
【教学过程】复习提问：
1、什么叫同类二次根式？
2、二次根式加减运算的方法是什么？
3、计算：
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ；
( 4 )
新课讲解：
在学习了二次根式的乘除法及二次根式的加减法后，在这个基础上，我们就可以进行二次根式混合运算的学习了。当二次根式有意义时，它所取的值都是实数。我们说过在实数范围内，过去学过的运算律仍然使用。所以在进行二次根式的混合运算时，可以把每一个二次根式看作一个“单项式”，利用多项式的乘法法则及学过的运算律来做。
例1 计算：
( 1 ) ；
( 2 )
解：( 1 ) ＝
＝
＝
( 2 )
＝
＝
课堂练习：教科书第198页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们复习和巩固了二次根式的加减运算，并利用多项式乘以单项式及多项式乘以多项式的法则，学习了有关二次根式的简单的加、减、乘法混合运算。由于混合运算同时牵涉到加法、减法、乘法及分母有理化，所以要特别细心。一般说来，混合运算的结果也要求尽量化简。那就是说，结果中的每一“项”，或者是单项式，或者是最简二次根式，并且所有同类二次根式都要合并。
课外作业： 教科书第 203 页 习题 A 组 1、2 题； 同步精练练习 ( 一 )。
二次根式的混合运算（二）
目的要求：
1、使学生复习和巩固有关二次根式的简单的加、减、乘混合运算。
2、使学生会利用乘法公式进行有关二次根式的加、减、乘混合运算。
3、培养学生的运算能力。
教学重点：简单的二次根式的加、减、乘混合运算。
教学难点：分母有理化。
教学过程：
复习提问：
1、几个二次根式的和与一个二次根式相乘，可以运用类似整式乘法运算 的法则吗？那么怎样进行？
2、计算：
（1）； （2）；
（3）；
（4）
3、 m 个二次根式的和与 n 个二次根式的和相乘，可以运用类似整式乘法运算的法则吗？那么怎样进行？
4、计算：
（1）；
（2）；
(3)；
(4)
新课讲解：
二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似。遇到适合多项式乘法公式的时候，也可以运用乘法公式。
例2：计算：
(1) ；
（2）；
（3）
与我们过去学过的整式的四则运算相比，第（1）小题相当于什么？（相当于计算（a ＋b ）（a －b）。这就是说：
于是容易接下去计算了。
第（2）小题相当于什么呢？（相当于计算，
于是容易接下去计算了。
第（3）小题相当于什么呢？（ 相当于计算这就是说，
。
例3：计算：
（1）；
（2）
提问：这里两道小题可不可以运用乘法公式？运用那个乘法公式？
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点：
（1）它们必须是成对出现的两个代数式；
（2）这两个代数式都是二次根式；
（3）这两个代数式的积不含有二次根式；
（4）一个二次根式，可以与几不同的代数式互为有理化因式。
例如：与这两个代数式。与互为有理化因式。
课堂练习：教科书199页练习。
课堂小结：
在这节课里，我们除了复习与巩固二次根式的加、减、乘混合运算外，还在这种运算中利用乘法公式使运算简便。此外，我们含学习了两个二次根式互为有理化因式的概念。这一概念很重要，它是我们下两节课中学习分母有理化的基础。
课外作业：教科书199页的练习。
二次根式的混合运算（三）
目的要求：
1、使学生复习和巩固利用乘法公式来简化某些二次根式的混合运算。
2、使学生把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
教学重点：二次根式的混合运算。
教学难点：分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
教学过程：复习提问：
1、怎样的两个代数式叫做互为有理化因式？
2、判断题：
（1）的有理化因式是 （ ）
（2）的有理化因式是（x ＞ y） （ ）
（3）的有理化因式是 （ ）
（4）与都是的有理化因式 （ ）
3、如何将进行分母有理化？
新课讲解：
1、如何将进行分母有理化？
分析：
这个式子的分母是两个二次根式的和。要将这样的式子分母有理化，需要利用我们前面学过的有理化因式概念。我们知道，的有理化因式是。将 的分子、分母都乘以分母的有理化因式：
即：
＝
＝
＝
从这个例子可以看出，无论分母是一个二次根式，还是两个 二次根式的和（或差），在进行分母有理化时，都是将原式的分母、分子都乘以分母的一个有理化因式。
2、讲解教科书第200页的例4
对于第（1）小题，关键是找出分母的有理化因式
对于第（2）小题，关键是找出分母的有理化因式。
注意：本小题中的限制条件“ x ≠ y”
对于第（3）小题，关键是找出分母的有理化因式
说明：第（3）题启发我们把思考过程反过来——先将分子因式分解，再进行“约分”，从而达到分母有理化的目的，
即：原式＝
课堂练习：教科书第202页上的练习。
课堂小结：
在这节课里，我们学习了分母是两个二次根式的和（或差）时，将分母进行有理化的方法。一般地，可以通过以下两种方法：一是将分母、分子都乘以分母的有理化因式；二是在条件许可时，将分子分解因式与分母进行约分，从而约去分母中含根号的式子。分母有理化实际上涉及了二次根式的除法运算，所以有关二次根式的除法，通过是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行运算。
课外作业：教科书习题11. 6 A 组第 4 题。
二次根式的混合运算（四）
目的要求：
1、使学生复习和巩固如何把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
2、使学生通过分母有理化的 方法求一些式子的近似值。培养学生的运算能力。
教学重点：分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化
教学难点：通过分母有理化的 方法求一些式子的近似值。
教学过程：
复习提问：
1、当分母中有两个二次根式时，如果对于这样的式子进行分母有理化？
2、把下列各式的分母有理化：
（1）； （2） ；
（3） ； （4） 。
3、计算：
（1）÷； （2）；
（3）；（4）
新课讲解：
1、请同学们看教科书第201页上的例5
分析：对于第（1）小题，如果先查表求出与的值，将它们相减，再用 4 除以所得的差；运算就相当繁琐。根据我们过去积累的“先化简”，在求值的经验，我们能否在这里也把原式先化简一下呢？要想化简，应该用什么方法呢？于是想到将分母有理化。
要向学生指出，根据近似值计算的规则，在近似计算的过程，每步得数都要比题目中要求的精确度多取一位，再把最后一个得数四舍五入，就是题目的答案。 对于第（2）小题，应该分别将与进行分母有理化，而不要先进行“通分”。教学时可以对比一下这两种解法。
课堂练习：教科书第202页上的练习题。
课堂小结：
在这一节课里，我们复习和巩固了如何把分母中有两个二次根式的式子进行分母有理化，含学习了通过分母有理化的方法求一些式子的近似值，由此又体会到“先化简，后求值”的好处。通过这节课，我们可以看到，分母有理化不仅可以代替二次根式的除法运算，还可以用来化简某些式子，是求它们的近似值变得简便。在计算近似值的过程中，要记住每一步得数都应比题目中要求夺取一位，然后再四舍五入求得最后答案。
课外作业：教科书习题11 . 6A 组的第6、7、8。
整体思想方法（根式运算技巧）
教学目的：
1、借助现实生活中实例，帮助学生理解“整体思想方法”的主旨，强化整体思考的观念，提高学生一般文化修养；
2、结合数学实例，引导学生指其要害，揭其本质，挖其所隐，提高学生整体解决问题的才能；
3、一生生交流，师生交流等形式，培养学生的合作创新的精神和能力。
教学重点：
掌握“整体思想方法”的实质及解决问题的常见方法。
教学过程：
板书课题：整体思想方法
一、引入
1、提问：同学们还记得马致远的名曲《天净沙 秋思》吧！（点一名学生背诵，之后屏幕粉四幅图片，小---大---小排列满屏幕，---出现《天净沙 秋思》）
枯藤老树昏鸦，小桥流水人家。故道西风瘦马，夕阳西下断肠人在天涯。
师：元代剧作家马致远含蓄地把十件互无必然联系的物件放在一起，是相信读者能借助整体思想，以悟出“断肠人”的凄苦心情。
2、播放兵马俑（学生先谈感想，老师再播字幕，诵读）
3、那么，整体思想方法到底是什么呢？
整体思想方法斯一种：从全局入手，从打出着眼，聚零为整，纲举目张地去把握事物的共性联系或结构的思想方法。
在数学里，这种“聚零为整，一举击破”的思想方法，完全不同于分类讨论的“化整为零，各个击破”。
举例：求右图中各图形面积之和。（教师准备教具）
师：如果着眼于个体，面积不好求，假若聚零为整，从整体上考虑，那就好多了。
二、实例探讨
例1：有甲、乙、丙三种文具，若买甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若买甲4件， 乙10件，丙1件，共需4.20元。现买甲、乙、丙各一件，共需要多少元？
分析：这是一个三元但之有两个独立条件的问题，因此要分别求出买甲、乙、丙各一件分别需要多少元是不可能的，必需用整体法。（提问：同学们讨论，怎么办？）
解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要x、y、z元，由题意得方程组：
3×（1）—2×（2）得x+y+z=1.05(元)
答：------。
例2：如图是个圆柱体被斜切所得的几何体，下底半径为R，最短母线为a,最长母线为 b，如何求出它的体积V？
分析：如果我们着眼于几何体的一个一个元素，势必陷于困境，因为没有现成的公式可用。（启发学生出主意，想办法）。假若把体积V看成一个整体，从整体结构上考虑，就可以避免烦琐的运算，使解题简洁明了。
解：这是一个非规范的几何体（叫不出名字，不是圆柱、圆锥、圆台），为了能简捷地计算体积，应将它转化为规范的几何体！（提问：怎样转化？）
比如拼接一个完全相同的几何体，使之转化为圆柱，原体积为此圆柱体积一半。
发散：如果不限制工具，同学们还能想道什么方法求出它的体积？（思考，讨论3分钟）
启发：爱迪生是如何快速求出电灯泡的体积的？
生：排水法。
师：事实上，借助于量筒，排水法是求体积的万能方法。
三、课堂练习
1、一个长方体的长、宽、高的和为19， 其表面积为192，求长方体的外接球面积。
略解：设长、宽、高分别为x、y、z，
要解出x、y 、z是不可能的，应该用整体法来解。
∴
1． 已知求的值。
略解：若无理方程求出x后代入求值，由于x 是无理式，计算复杂，容易出错。应整体代入。
∵x0, 且。
∴=。
四、小结
整体思想方法不但在数学上用得多，其实在各行各业中都要用到。（绘画与哲学）中国画讲究整体联系，黑白相生，方圆相济，虚实相间，长短横斜，曲直合拍，借象达意，浑然天成，是中国绘画的章法，纵观中国古代文化与哲学，不过是一个“天人合一”的整体观，几千年主张的是“人与天齐，天人一体“，追求着人、自然、社会三者的和谐统一，整体和谐成为价值准则，整体和谐成为至上原则。我们现在强调环境保护，生态平衡，正是从全局出发，保持人、自然、社会的整体和谐。我们在数学学习中，应当运用整体思方法来分析问题和解决问题。
五、作业
求的值
解：设；∵
∴
得
∵
∴ ∴
即：=2
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第22章 二次根式复习教案
二次根式的意义（一）
【目的要求】
1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，明确学习目的，增强数形结合和用数学的意识。
2、使学生了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学难点】理解二次根式的概念。
【教学方法】启发式
【教学过程】复习提问:
1、什么叫代数式？举出代数式的例子。
2、是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？是一个式子？是一个代数式？ 呢 ？
3、什么是勾股定理？在直角三角形中，已知两条直角边为 3 和 4，那么斜边长为多少？
新课讲解：
在前一章中，我们已经遇到过，，这样的式子，知道符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。
一般的，式子 ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 ) 必须有二次根号；
( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1：x 是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
解： 由x －3 ≥ 0 ， 得 x ≥ 3
当 x ≥ 3 时，式子在实数范围内有意义。
课堂练习：
教科书第 171 页 练习 1
代数同步精练 42 页第 1、2题
补充例题：
例：x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) 由≥ 0 ，解得：x 取任意实数
∴ 当 x 取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。
( 2 ) 由 x －1 ≥ 0 ，且 x －1 ≠ 0
解得：x ＞ 1
∴ 当 x ＞ 1时，二次根式在实数范围内都有意义。
课堂练习：
教科书第 172 页 B组 1 题
代数同步精练 43页 第 4 题
课堂小结 ：
这节课我们介绍了本章可以解决的一些新问题和二次根式的概念。
课外作业：
教科书第172页 11.1 A组 1、2 题。
代数同步精炼 第 42 页 第 3 题。
二次根式的化简（二）
【目的要求】
1、使学生复习和巩固二次根式性质；
2、使学生会根据二次根式性质以及积的算术平方根的性质化简某些二次根式 ( 被开方数除了含有二项式的完全平方外，不含其他加减运算 )。
【教学重点】二次根式性质以及运用。
【教学难点】二次根式性质的运用。
【教学方法】
【教学过程】复习提问：
1、二次根式有什么性质？
2、怎样运用二次根式的性质化简二次根式呢？
3、设 x 为任意实数，下面的化简对吗？如果不对，应怎样改正？
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
4、化简：
( 1 ) ； ( 2 ) －；
( 3 ) ( m ＜0 ＝ ( 4 ) ( t ＜0 ＝ 。
5、把第4 题第( 3 )、( 4 )小题中的限定条件“( m ＜0＝”和“( t ＜0 ＝”去掉，这两个小题的答案是什么？
新课讲解：
1、请同学们看教科书第208页上的 例 2 。
分析：当 a ＜3 时，a －3＜0，被开方数是一个负数的平方，所以可以运用二次根式 的性质将原式进行化简，即
＝ | a －3 | ＝ －（ a －3 ）＝ 3 － a
注意：在解这道题时，要防止学生出现。
＝ － | a －3 | ＝ a －3
2、例 2 还有其他解法吗？
当 m ＜0 时，m 的相反数是大于0 还是小于0？
当 m － n ＜0 时，m － n 的相反数是什么？
那么 n － m ＞0 。另外，根据 ( m － n )2 ＝ ( n － m )2，这就启发我们用 一种新的解法。
课堂练习：
教科书第209页上的练习
课堂小结：
在这节课里，我们复习和巩固了二次根式的性质，并利用这一性质以及积的算术平方根的性质对某些二次根式进行了化简。在化简时，一定要弄清题目中对被开放数所含字母怎样取值的限制条件。如果被开方数是一个二项式的完全平方，也可以利用以下公式来进行化简：( a － b )2 ＝ ( b － a )2 。也就是说，把取负值的 ( a － b )换成正值的 b － a ，或者把 b －a 换成正值的 a － b 。经过这样一交换，我们就可以直接运用 ＝ x ( x ＞ 0 ) 的性质。
课外作业：
教科书习题11. 7A组的第1题和第2题。
在这些题目中，除了特别规定的以外，所有字母都表示正数。
二次根式的性质（三）
【目的要求】
1、使学生复习、巩固和掌握二次根式的性质：
＝ | a | ＝
2、使学生会根据二次根式的性质以及积与商的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行化简。
【教学重点】复习、巩固和掌握二次根式的性质。
【教学难点】复习、巩固和掌握二次根式的性质运用。
【教学过程】
复习提问：
1、二次根式有什么性质？
2、化简：
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 ) 。
3、化简：
( 1 ) ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 )
新课讲解：
1、请同学们看教科书第208页上的例 3
分析：这道题中的被开方数是一个分式。经过认真观察，可以发现分母 1－2x＋x 是一个二项式的完全平方，即。再看题目对于被开方数所含字母怎样取值的限制条件，即 x ＞1，所以我们不妨把改写成，于是得到本题的解法。
解：∵ x ＞1 ，
∴ x ＞0 ，x －1 ＞ 0
∴
要求学生注意以下两点：
( 1 )当被开方数是一个分式时，通常先将这个分母和分子进行因式分解，然后运用商与积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简。这样做，就能有效地防止出错。为了简便和减少错误，还可以利用＝，＝等公式
( 2 )在例3 中，经过对题目的观察，要同时运用商与积的算术平方根的性质，还要用运用 x ＞0 与 x －1＞0 这两个条件。x ＞0 与 x －1＞0 这两个条件缺一不可，要在解的过程中通过推理确认这两个条件是具备的，
∵ x ＞1，
∴ x ＞ 0， x －1＞0 这个推理步骤必须写出来。
课堂练习：教科书209页上的练习。
课堂小结：
在这节课里，我们再次复习和巩固二次根式的性质，并利用这一性质以及商与积的算术平方根的性质对某些稍复杂的二次根式进行了化简。在化简时，一定把被开方数进行因式分解，而且要注意题目中对被开方数所含字母怎样取值的限制条件，并善于利用 ＝，＝等公式 ，就能使化简过程简便一些，并且少出错误。
课外作业 ：教科书习题 11. 7 A组 第 2 题。
“商”的算术平方根的性质
教学目的：
使学生通过学习“商”的算术平方根的性质，进一步加深对二次根式意义的理解，初步掌握“被开方数中含有分母的二次根式”的化简，提高运算能力，观察分析问题的能力，通过向学生渗透“转化”、“类比”等数学思想，培养学生发现知识、归纳推理的能力。
教学重点：
学习“被开方数中含分母（分母中不含字母）”的二次根式的化简
教学难点：化去根式内的分母
教改实验设想：
根据教学过程的“普遍性和特殊原理”，通过学生在课堂上有效学习实践活动设计，贯彻“主体参与，分层指导，及时反馈，激励评价”原则，创设学习情境，优化学习过程，提高学习效率，探索代数课教学中“公式、性质”课的素质教育型课堂教学模式。
教学过程：
教学环节 学习内容 教师活动 学生活动 学生智、能、心的培养与发展
设1 (回忆已学过的有关二次根式的内容) ：公式1：公式2：(任何实数)〔上述公式的特点：(从左至右) 削去〕性质：“积的算术平方根” 推论： 提问板书 回忆思考举手回答(重点由 C组学生回答,其他组学生准备补充) * 复习巩固旧知识做好学习新内容的知识及心理准备
设2求 问题1，已知：甲正方形和乙正方 形的面积,分别为3和5, 求：甲乙两个正方形边长的比。(设甲的边长为x, 乙的边长为y). 解：方法1： 方法2：，∴。问题2，计算： ① ， ② ， ③ ，④ 。问题3, （1）从以上问题中能发现什么 (答案:) （2）怎么证明这个发现 *1 证明: 当时 ∵ , ∴ ， ∴ 。 放投影片指导学生思考并填写投影片板书板书 思考并举手回答问题1，由 A,B组同学答。 问题2由C组同学答 问题3,由同学举手回答 通过具体实例感知新知识,对新知识发生兴趣。 通过类比联想发现知识。渗透转化思想,培养推理能力。使发现上升为理性认识。
练1.2创1练2创2练3 直观上看,你认为这个等式有什么作用呢 (计算),你认为可以什么计算题？请几个同学每人出一个题,大家来计算,(类型及难度仿张士充实验教材Ｐ86 例1)*2。⑴(针对上面出现的如：)问：如何能消去分母中的根号呢 最好从开始采取措施。(方法示意： )⑵如何用等式概括上述方法的过程 练习1,化去下列各式中根号内的分母： ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ 。〔问题，为什么的分子、分母 同乘以2而不乘以8 ) 练习2,化去下列各式中根号内的分母： ①， ②， ③， ④， ⑤ 引导学生由简单到较复杂出5个题,并板书。带领同学评判黑板上的习作。 提出问题，下去加入小组讨论，发现结果。板 书 放投影片，指导个别差生,带领学生评判。 引导学生发言 放投影片提问C组学生,领全班校对答案， 由学生举手发言(注意多让C组学生发言) ，全班在练习本上练习,5位同学到黑板上做。学生发言小组讨论，小组代表发言(处理上面遗留题)个别学生举手发言 全班在练习本上做，5位同学上黑板。 学生思考举手发言。 除C组外的学生完成这个练习,C组同学由老师带领做实材。 巩固知识, 加深认识, 提高兴趣, 引起注意, 激发积极性.。 加深对知识的理解,扩大性质的作用,渗透转化思想, 完善认知结构。 巩固知识，提高计算能力与技巧。巩固方法形成技能
结 ⑴学习内容(给出名称) ；⑵注意：化去分母应乘以“最小数”，凑成最小平方数；分母经开方后，到外仍做分母。 （3）要求学生，结合自己实际情况，出难易程度不同的5道题。 课前发纸课后检查 学生举手发言 每个学生自己出5个小题自做，交小组长批阅，以小组为单位上交。 整理知识,形成认知结构。检查学习效果增强自主学习意识
布置作业 ⑴自己课后炼熟；⑵中的单数题。
板书安排：
投影屏幕所占部分 证明： （练习） （复习）
㈠ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸㈡ ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 公式1： 2：性质1：推论：性质2：
课前准备： ⑴书写投影片； ⑵准备验收用纸。
注：本人将这个班的学生在数学学习方面分为A组 (优秀生)，B组 (一般学生) 和C组 (学
习困难生，10人左右) 三组，以便分层指导。
*1 实际课堂上学生樊小光又提出了下列作法：
证明：根据：， ∵ ， ，
∴ 。
*2 实际教学中，学生出的题：
①， ②， ③， ④， ⑤。
三、对教学设计的评价
对本教学模式的教学设计拟从以下几个方面给予评价（满分100分）。
1、 教学目标的确定（10%）
其中，知识0.4，能力0.4，德育0.2。
2、 教学过程的设计（60%）
（1） 教学内容及重点、难点的确定（10%）；
（2） 教师活动的设计（10%），学生活动的设计（20%），学生心理、能力发展内容的设定（10%）；
（3） 教学手段的运用（10%）。
3、 教学效果的检测（30%）
其中，学生测验成绩0.6，听课教师评议0.4。
这节课，通过教学过程的设计，加强了学生在课堂上的有效学习实践活动，既突出和保证了学生的主体地位，又较好发挥了教师的主导作用，整堂课中，学生不是在教师的讲授中被动的接受知识，而是在教师的引导下（由教师设计好的各环节的学习活动）通过参与学习全过程来完成学习任务，这堂课较好体现了“活动性、自主性、创造性”（如：学生通过实例自己发现知识并加以证明、自己出题进行练习、自己出题进行验收、小组讨论突破难点等）。特别是在实现分层指导上的一些作法值得借鉴（如：对不同程度的学生的复习提问、学生自己给自己出验收题、课堂练习时，教师按不同程度，分别组织学生进行不同的练习等），从而使这节课达到了教学目的和教改实验目的。
教师的教学严谨，课堂上注重创造热烈、和谐的学习氛围，师生关系融洽。教学中注意渗透了“数形结合、转化、类比”等数学思想并注意培养学生的能力。
这常课的教学过程设计是成功的。
存在的不足是：发现知识时，对于作为引例的两个问题利用的不够好，其中问题１中的“......边长的比”的表述不准确，应为“边长的比值”，否则会给学生造成一定程度的思维障碍。教学过程中，一个学生曾提出另一证法（见*1），而教师没有意识到。对于学生所出的“⑤”一题仅指导学生补充了条件“a>b”，而未加以分类讨论，使学生失去了提高的机会。教学过程中，对“商的算术平方根性质的实质揭示的不够，尤其是小结时，不够深入。”
最简二次根式教材分析
作用与地位
作为二次根式乘、除法与加减法的过渡桥梁的“最简二次根式”这一节课在本章中起着承上启下的作用，必须先复习与巩固已学过的乘、除法知识。另一方面，本小节的内容，显然是下一小节“二次根式的加减法”的基础，因为加减法就是在识别“同类的”最简二次根式的前提下进行的。
目的与要求
本课的内容比较单纯，就是要求学生掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法。当然，这首先需要知道什么是最简二次根式（即本节课的重点），让学生了解最简二次根式的概念，不在于能否背出定义，关键还是遇到实际式子能够加以判断（也就是本节课的难点），所以应在练习中让学生熟悉这个概念。我采用启发式教学并借助实物投影以扩充教学容量。
背景
在实际问题中，遇到二次根式，一般应把它先化简，这会给解决问题带来方便，把二次根式化简，至少有以下三种用途：
（1）、把一个二次根式化简后，可避免因误差积累而造成的结果不准确。
（2）、把两个二次根式化简后，它们的乘除法运算可能变得简单，例如:
；15 ÷2===。
（3）、把一组二次根式化简成最简二次根式后，可以对同类二次根式进行加法、减法运算(这将在下一小节中学习)．
学生们在前面已经看到了这些用途，实际上，看到这些用途是第二位的，最重要的是从这些用途中领会把复杂化为简单，把未知化为已知，从而使问题得以解决的思想方法。
教学过程分成以下几个步骤
一、提出问题：（投影显示）
两个问题首先是对二次根式乘、除法的复习；其次通过两种解法对
比得出将繁杂的二次根式化为简单的二次根式后，使解决问题更加容易。
二、问题解决：
依照学生的认知规律引导学生从从简单的问题中发现规律，突出本
节课的重点。并由此引出新课“最简二次根式”，达到本课的第一个教学目的（理解最简二次根式的定义）。对于最简二次根式的定义以开门见山的方式直接给出。
三、解决问题：
接着通过训练将最简二次根式的定义加以熟练并总结出化简最简二
次根式的步骤，从而达到本课的第二个教学目的（会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式）。
在训练内容的选择上考虑到学生接受新知识的能力一是以常用运算
为主，采用由浅入深，层层递进的方式，二是以基本技能为主，而不追求繁难式子化简的特殊技巧。在进行最简二次根式的化简时，始终围绕二次根式的概念和性质，抓住学生问题的症结培养学生独立学习，思考解决问题的能力。
四、总结问题：
采用学生小结教师补充的方式来概括本节课的知识。
最简二次根式
教学目的
1、 理解最简二次根式的定义；
2、 会将不是最简二次根式的根式化成最简二次根式。
教学重点:最简二次根式的定义
教学难点: 最简二次根式的识别
教学方法:启发、讨论
教学媒体:实物投影仪
教学过程:
一、复习提问：
练习1：
①、二次根式的乘法运算法则是什么？（在黑板上写出来）用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？（要尽量化简）
②、二次根式的除法运算法则是什么？（在黑板上写出来）用文字语言怎么表达？对于运算的结果有什么要求？
练习2：
计算（1） （2） 15 ÷2
解（1）方法1：===3
方法2：=×3=3
解（2）方法1：15 ÷2==
==
方法2：15 ÷2===
从这两个题目中，都可看出先化简再计算的好处。
练习3：
已知：=1.414，如何求与的近似值？（结果保留二位有效数字）
解：（1）===1.414÷20.71
（2）=22×1.4142.8
小结：从这个问题又可以看出，遇到一个二次根式将它化简会给解决问题带来方便，说到化简总是希望能化简到最简形式，那么什么样的二次根式是“最简二次根式”呢？
二、问题解决：
（板书）课题：§11.4 最简二次根式
定义：
它要求满足以下两条：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式。
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
例如：问题4中的化成最简二次根式就是，化成最简二次根就是2。
判断下列各式是否为最简二次根式？
（1）；（2）；（3）； （4）x；
（5）4；（6）5m；（7）
三、解决问题：
例1 把下列各式化成最简二次根式：
（1） （2）
分析：化简时，往往需要把被开方数分解因式或分解因数，把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外。
解（1）==2；
（2）==3a。
练习1：（1）； （2）2。
答案：（1）4； （2）2ab。
例2 把下列各式化成最简二次根式：
（1）4； （2）x。
分析：（1）把被开方数中的带分数化成假分数；
（2）化去根号下的分母；
（3）化去分母中的根号。
解：（1）4=4====2；
（2）x===。
注意：第1题中根号外面的4与根号里的带分数的整数部分1在运
算的意义上是有区别的。
练习2：（1）； （2）； （3）； （4）x。
分析：把被开方数中的小数化成分数
答案：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。
练习3：判断下列各等式是否成立，若不成立请说出正确的解法和答案。
（1）=4＋3； （2）=；
（3）=2； （4） 2=
练习4：
（1）；（2）；
（3）；（4）（a>1）
分析：化简时，当被开方数是和的形式时先将它化为积的形式。
答案：（1）4； （2） 5m ；
（3）； （4） 。
四、问题总结：（采用学生小结教师补充的方式）
本节课学习了哪些知识？
本节课学习了最简二次根式的概念，知道了它的一些用途，同时还知道了如何化二次根式为最简二次根式，即如何辨析最简二次根式
课外作业：187页 A组：1、2、3的偶数题； B组：1、2（学有余力的同学做）。
二次根式的加减法（一）
目的要求：
1、使学生知道什么是同类二次根式，会辨别两个根式是否是同类二次根式。
2、使学生通过同类二次根式，培养从特殊中找出一般，从个性中找出共性的对立统一观点的数学思想方法。
教学重点：最简二次根式的化简。
教学难点：辨别同类二次根式。
教学过程：
复习提问：
1、什叫最简二次根式？它必须满足那几个条件？（把学生回答的条件写在黑板上，其中应该包括分母中不含根号这一条。）
2、 把下列各式化成最简二次根式：
（1）； （2）；
（3）； （4）
( 让四名学生上黑板做，其余学生分四组在下面选做)
3、已知：a ＝ 2，b ＝ －8 ，c ＝ 5 ，求代数式的值。
新课讲解：
1、请同学们看下面两个例子。
（1）计算，有那些方法？
一种是根据≈1. 414，进行近似计算，求出原式的近似值；
另一种是先设a＝，根据分配律进行计算，即：
原式＝2a ＋2b＝（2＋3） a ＝5a ＝ 5。
（2）计算，有那些方法？
一种是 查表求出、的近似值，在算出原式的近似值；
另一种是同前几节课一样，先把、进行化简，得：
原式＝。
其中最后一步变行形是根据例子（1）的结果。
从上面的例子可以看出：
（1）如果几个二次根式的被开方数相同，那么可以直接根据分配律进行加减运算；
（2）如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，在考虑进行加减法运算。
几个二次根式化简成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
说 明：同类二次根式必须满足以下两个条件：
（1）它们都是最简二次根式；
（2）它们的被开方数必须完全相同。
例1：下列各式中，哪些是同类二次根式？
、、、、、、
分 析：先化简成最简二次根式；在判断哪些是同类二次根式。
解：因为＝＝；
＝
＝。
＝＝＝
所以，是同类二次根式。
，，是同类二次根式。
、是同类二次根式。
课堂练习：教科书第192 页上练习的第1 题
课堂小结：
在这节课里，我们学习什么是同类二次根式，我们知道它们必须符合两个条件，一是都化成最简二次根式的形式，二是被开方数完全相同。“同类二次根式”与“同类项”一样，将在加减法运算中起关键作用。从许多二次根式中找出同类二次根式，这种思想方法就归类的思想方法。与分类的思想一样，它们都是我们学习各门学科（包扩数学这样的工具学科）的重要思想方法。
课外作业：教科书习题11. 5 A 组的第 1 题。
二次根式的加减法（二）
目的要求：
1、使学生会通过合并同类二次根式，进行二次根式的加减法。
2、使学生通过二次根式的加减，进一步了解归类的思想方法。培养学生的运算能力。
教学重点：合并同类二次根式，进行二次根式的加减法。
教学难点：通过二次根式的加减，了解归类的思想方法。
教学过程：
复习提问：
1、什么叫做同类二次根式？它有那两个必要条件？
（1）它们都是最简二次根式 ；
（2）它们的被开方数必须完全相同。
2、下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
（1）； （2）； （3）；
（4） ； （5） ； （6）。
3、 x 取什么值时，最简二次根式与是同类二次根式？
新课讲解：
二次根式相加减，先把各个二次根式化简成最简二次根式，在把同类二次根式分别合并。合并同类二次根式与合并同类项类似，因此，二次根式的加减可以对比整式的加减进行。
例 2 计算：。
解：原式＝
＝
＝
例3 计算：
解：原式＝
＝
课堂练习：教科书第 192 页 练习 2 题 （1）、（2）、（3）、（4）
（请同学上黑板做并给予讲评）
例4 计算：
解：原式＝
＝
＝
注意：不是同类二次根式的二次根式不能合并。
课堂练习：教科书第 192 页练习3 题
课堂小结：
这节课我们学习了二次根式的加法与减法运算。通过运算我们知道，二次根式相加减的实质就是合并同类二次根式，为了确认哪些二次根式是同类二次根式，我们先要把被确认的二次根式都化简成最简二次根式，在按它们的被开方数是否完全相同去判断。
课外作业：教科书第 194 页 4 、5 题；同步精练练习（二）。
二次根式的乘法（一）
【目的要求】
1、使学生掌握积的算术平方根的性质，会根据这一性质熟练的化简二次根式。
2、使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质。
【教学重点】理解并掌握积的算术平方根的性质
【教学难点】理解并掌握积的算术平方根的性质
【教学方法】
【教学过程】复习提问：
1、对于二次根式中的被开方数 a ，我们有什么规定？
2、当 a ≥ 0 时，()2 等于多少？
新课讲解：
我们看下面的例子：＝＝ 6 ，
×＝ 2 × 3 ＝ 6 。
由此可以得 ＝×
一般的，有＝× ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )
这就是说：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
注意：a ，b 必须都是非负数，上式才能成立。在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示正数。
例1：化简：
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) ＝×＝4 × 9＝36 ；
( 2 ) ＝＝××
＝10×2×
＝20
注意：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中所有的因式(或因数)能开的尽方，可以利用积的算数平方根的性质，将这些因式(或因数)开出来，从而将二次根式化简。
在例 1 中，我们根据算术平方根的定义，的出了＝10，＝ 2 等结果。一般的，有：
＝a ( a ≥ 0 )
例2：化简：
( 1 ) ( 2 )
解： ( 1 ) ＝
＝×××
＝2ab
( 2 ) ＝
＝×
＝
课堂练习：
教科书第175页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们学习了积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积，即： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )；并且复习了以下公式： ( a ≥ 0 )。加深了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识。
课外作业：
教科书第 177 页 习题 A 组 1、2、3 题
同步精练练习 ( 一 )
板书设计：略。
二次根式的乘法（二）
【目的要求】
1、使学生掌握二次根式的乘法运算法则，会用它进行简单的二次根式的乘法运算。
2、使学生了解两个二次根式的积仍然是一个二次根式(有的积可以化简成最简结果，甚至不含根号)。
【教学重点】掌握积的算术平方根的性质的运算
【教学难点】掌握积的算术平方根的性质的运算
【教学过程】复习提问：
1、用两种方式表示积的算术平方根的性质。
( 1 )用含字母的公式表示；
( 2 )用文字语言表示。
2、化简：
( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
( 4 ) ( 5 ) ( 6 )
新课讲解：
例3：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝24 cm。 求：AB
解： ∵AB2＝AC2＋ BC2，
∴ AB＝
＝
＝
＝
＝2 × 13
＝26 (cm)
答：AB 的长为26 cm 。
把 ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 ) 反过来得到： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )。也就是说 ，二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。运用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算。
例4：计算：
( 1 ) × ( 2 ) ×
解： ( 1 ) ×＝
( 2 ) ×＝
注意：二次根式运算的结果，应该尽量化简，如例 4 中的结果不要写成 6而应化简成30。
课堂练习：
教科书第176页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们学习了二次根式的乘法运算法则： ( a ≥ 0 ，b ≥ 0 )，以及利用这个法则进行运算与化简。并且学习了二次根式的乘法运算在几何中的运用。
课外作业：
教科书第 177 页 习题 A 组 4、5、6 题
同步精练练习 ( 二 )
板书设计：略。
二次根式的除法
【目的要求】
1、使学生复习和巩固 二次根式的除法运算法则以及将分母有理化的方法，会用它熟练地进行简单的二次根式的乘.除法运算。
2、使学生复习和巩固算术平方根，二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
3、使学生会将分母中含有一个 二次根式的式子进行分母有理化，培养 学生的运算能力。
【教学重点】二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【教学难点】二次根式的除法运算法则的运算以及将分母有理化的方法。
【教学方法】精讲多练
【教学过程】复习提问：
( 1 ) 二次根式的除法与乘法运算的法则分别是什么 怎样用文字语言分别表达它们 对于运算结果有什么要求
( 2 ) 二次根式的除法运算,除了运用除法法则外,还可用 什么方法 在将分母有理化时,关键是什么
( 3 ) 积与商的算术平方根分别有什么性质 怎样用文字语言分别表达它们 它们的主要用途是什么 它们与二次根式的乘.除法运算的关系是什么 使用这两个公式时要注意什么
课堂练习：
1、计算：( 1 ) ； ( 2 )
2、把下列各式的分母有理化：
( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 )
3、利用分母有理化计算：
( 1 )×÷； ( 2 ) ÷
现在请大家看教科书第184页上的“想一想”，请四位同学上黑板分别计算各式子的左边和右，再判断这四个等式是否成立。
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ； ( 4 )
看了以上结果，你们有什么体会
课堂小结：
在这节课里,我们复习和巩固了以下知识：
1、二次根式的乘法与除法的运算法则。
2、算术平方根、二次根式的概念，以及积与商的算术平方根的性质。
以上这些知识今后要大量用到，我们应该牢牢记住，并能够熟练运用。
课外作业：
教科书习题11.3 A组的第5 题和第6题。
二次根式的混合运算（一）
【目的要求】
1、使学生复习和巩固二次根式的加减运算。
2、使学生会进行有关二次根式的简单的加减、乘法混合运算。
【教学重点】会进行有关二次根式的简单的加减、乘法混合运算。
【教学难点】会进行有关二次根式的简单的加减、乘法混合运算。
【教学方法】精讲多练
【教学过程】复习提问：
1、什么叫同类二次根式？
2、二次根式加减运算的方法是什么？
3、计算：
( 1 ) ； ( 2 ) ；
( 3 ) ；
( 4 )
新课讲解：
在学习了二次根式的乘除法及二次根式的加减法后，在这个基础上，我们就可以进行二次根式混合运算的学习了。当二次根式有意义时，它所取的值都是实数。我们说过在实数范围内，过去学过的运算律仍然使用。所以在进行二次根式的混合运算时，可以把每一个二次根式看作一个“单项式”，利用多项式的乘法法则及学过的运算律来做。
例1 计算：
( 1 ) ；
( 2 )
解：( 1 ) ＝
＝
＝
( 2 )
＝
＝
课堂练习：教科书第198页 练习1、2 题
课堂小结：
这节课我们复习和巩固了二次根式的加减运算，并利用多项式乘以单项式及多项式乘以多项式的法则，学习了有关二次根式的简单的加、减、乘法混合运算。由于混合运算同时牵涉到加法、减法、乘法及分母有理化，所以要特别细心。一般说来，混合运算的结果也要求尽量化简。那就是说，结果中的每一“项”，或者是单项式，或者是最简二次根式，并且所有同类二次根式都要合并。
课外作业： 教科书第 203 页 习题 A 组 1、2 题； 同步精练练习 ( 一 )。
二次根式的混合运算（二）
目的要求：
1、使学生复习和巩固有关二次根式的简单的加、减、乘混合运算。
2、使学生会利用乘法公式进行有关二次根式的加、减、乘混合运算。
3、培养学生的运算能力。
教学重点：简单的二次根式的加、减、乘混合运算。
教学难点：分母有理化。
教学过程：
复习提问：
1、几个二次根式的和与一个二次根式相乘，可以运用类似整式乘法运算 的法则吗？那么怎样进行？
2、计算：
（1）； （2）；
（3）；
（4）
3、 m 个二次根式的和与 n 个二次根式的和相乘，可以运用类似整式乘法运算的法则吗？那么怎样进行？
4、计算：
（1）；
（2）；
(3)；
(4)
新课讲解：
二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似。遇到适合多项式乘法公式的时候，也可以运用乘法公式。
例2：计算：
(1) ；
（2）；
（3）
与我们过去学过的整式的四则运算相比，第（1）小题相当于什么？（相当于计算（a ＋b ）（a －b）。这就是说：
于是容易接下去计算了。
第（2）小题相当于什么呢？（相当于计算，
于是容易接下去计算了。
第（3）小题相当于什么呢？（ 相当于计算这就是说，
。
例3：计算：
（1）；
（2）
提问：这里两道小题可不可以运用乘法公式？运用那个乘法公式？
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。对于有理化因式，要注意以下四点：
（1）它们必须是成对出现的两个代数式；
（2）这两个代数式都是二次根式；
（3）这两个代数式的积不含有二次根式；
（4）一个二次根式，可以与几不同的代数式互为有理化因式。
例如：与这两个代数式。与互为有理化因式。
课堂练习：教科书199页练习。
课堂小结：
在这节课里，我们除了复习与巩固二次根式的加、减、乘混合运算外，还在这种运算中利用乘法公式使运算简便。此外，我们含学习了两个二次根式互为有理化因式的概念。这一概念很重要，它是我们下两节课中学习分母有理化的基础。
课外作业：教科书199页的练习。
二次根式的混合运算（三）
目的要求：
1、使学生复习和巩固利用乘法公式来简化某些二次根式的混合运算。
2、使学生把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
教学重点：二次根式的混合运算。
教学难点：分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
教学过程：复习提问：
1、怎样的两个代数式叫做互为有理化因式？
2、判断题：
（1）的有理化因式是 （ ）
（2）的有理化因式是（x ＞ y） （ ）
（3）的有理化因式是 （ ）
（4）与都是的有理化因式 （ ）
3、如何将进行分母有理化？
新课讲解：
1、如何将进行分母有理化？
分析：
这个式子的分母是两个二次根式的和。要将这样的式子分母有理化，需要利用我们前面学过的有理化因式概念。我们知道，的有理化因式是。将 的分子、分母都乘以分母的有理化因式：
即：
＝
＝
＝
从这个例子可以看出，无论分母是一个二次根式，还是两个 二次根式的和（或差），在进行分母有理化时，都是将原式的分母、分子都乘以分母的一个有理化因式。
2、讲解教科书第200页的例4
对于第（1）小题，关键是找出分母的有理化因式
对于第（2）小题，关键是找出分母的有理化因式。
注意：本小题中的限制条件“ x ≠ y”
对于第（3）小题，关键是找出分母的有理化因式
说明：第（3）题启发我们把思考过程反过来——先将分子因式分解，再进行“约分”，从而达到分母有理化的目的，
即：原式＝
课堂练习：教科书第202页上的练习。
课堂小结：
在这节课里，我们学习了分母是两个二次根式的和（或差）时，将分母进行有理化的方法。一般地，可以通过以下两种方法：一是将分母、分子都乘以分母的有理化因式；二是在条件许可时，将分子分解因式与分母进行约分，从而约去分母中含根号的式子。分母有理化实际上涉及了二次根式的除法运算，所以有关二次根式的除法，通过是先写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行运算。
课外作业：教科书习题11. 6 A 组第 4 题。
二次根式的混合运算（四）
目的要求：
1、使学生复习和巩固如何把分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化。
2、使学生通过分母有理化的 方法求一些式子的近似值。培养学生的运算能力。
教学重点：分母中含有两个二次根式的式子进行分母有理化
教学难点：通过分母有理化的 方法求一些式子的近似值。
教学过程：
复习提问：
1、当分母中有两个二次根式时，如果对于这样的式子进行分母有理化？
2、把下列各式的分母有理化：
（1）； （2） ；
（3） ； （4） 。
3、计算：
（1）÷； （2）；
（3）；（4）
新课讲解：
1、请同学们看教科书第201页上的例5
分析：对于第（1）小题，如果先查表求出与的值，将它们相减，再用 4 除以所得的差；运算就相当繁琐。根据我们过去积累的“先化简”，在求值的经验，我们能否在这里也把原式先化简一下呢？要想化简，应该用什么方法呢？于是想到将分母有理化。
要向学生指出，根据近似值计算的规则，在近似计算的过程，每步得数都要比题目中要求的精确度多取一位，再把最后一个得数四舍五入，就是题目的答案。 对于第（2）小题，应该分别将与进行分母有理化，而不要先进行“通分”。教学时可以对比一下这两种解法。
课堂练习：教科书第202页上的练习题。
课堂小结：
在这一节课里，我们复习和巩固了如何把分母中有两个二次根式的式子进行分母有理化，含学习了通过分母有理化的方法求一些式子的近似值，由此又体会到“先化简，后求值”的好处。通过这节课，我们可以看到，分母有理化不仅可以代替二次根式的除法运算，还可以用来化简某些式子，是求它们的近似值变得简便。在计算近似值的过程中，要记住每一步得数都应比题目中要求夺取一位，然后再四舍五入求得最后答案。
课外作业：教科书习题11 . 6A 组的第6、7、8。
整体思想方法（根式运算技巧）
教学目的：
1、借助现实生活中实例，帮助学生理解“整体思想方法”的主旨，强化整体思考的观念，提高学生一般文化修养；
2、结合数学实例，引导学生指其要害，揭其本质，挖其所隐，提高学生整体解决问题的才能；
3、一生生交流，师生交流等形式，培养学生的合作创新的精神和能力。
教学重点：
掌握“整体思想方法”的实质及解决问题的常见方法。
教学过程：
板书课题：整体思想方法
一、引入
1、提问：同学们还记得马致远的名曲《天净沙 秋思》吧！（点一名学生背诵，之后屏幕粉四幅图片，小---大---小排列满屏幕，---出现《天净沙 秋思》）
枯藤老树昏鸦，小桥流水人家。故道西风瘦马，夕阳西下断肠人在天涯。
师：元代剧作家马致远含蓄地把十件互无必然联系的物件放在一起，是相信读者能借助整体思想，以悟出“断肠人”的凄苦心情。
2、播放兵马俑（学生先谈感想，老师再播字幕，诵读）
3、那么，整体思想方法到底是什么呢？
整体思想方法斯一种：从全局入手，从打出着眼，聚零为整，纲举目张地去把握事物的共性联系或结构的思想方法。
在数学里，这种“聚零为整，一举击破”的思想方法，完全不同于分类讨论的“化整为零，各个击破”。
举例：求右图中各图形面积之和。（教师准备教具）
师：如果着眼于个体，面积不好求，假若聚零为整，从整体上考虑，那就好多了。
二、实例探讨
例1：有甲、乙、丙三种文具，若买甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若买甲4件， 乙10件，丙1件，共需4.20元。现买甲、乙、丙各一件，共需要多少元？
分析：这是一个三元但之有两个独立条件的问题，因此要分别求出买甲、乙、丙各一件分别需要多少元是不可能的，必需用整体法。（提问：同学们讨论，怎么办？）
解：设购买甲、乙、丙各一件分别需要x、y、z元，由题意得方程组：
3×（1）—2×（2）得x+y+z=1.05(元)
答：------。
例2：如图是个圆柱体被斜切所得的几何体，下底半径为R，最短母线为a,最长母线为 b，如何求出它的体积V？
分析：如果我们着眼于几何体的一个一个元素，势必陷于困境，因为没有现成的公式可用。（启发学生出主意，想办法）。假若把体积V看成一个整体，从整体结构上考虑，就可以避免烦琐的运算，使解题简洁明了。
解：这是一个非规范的几何体（叫不出名字，不是圆柱、圆锥、圆台），为了能简捷地计算体积，应将它转化为规范的几何体！（提问：怎样转化？）
比如拼接一个完全相同的几何体，使之转化为圆柱，原体积为此圆柱体积一半。
发散：如果不限制工具，同学们还能想道什么方法求出它的体积？（思考，讨论3分钟）
启发：爱迪生是如何快速求出电灯泡的体积的？
生：排水法。
师：事实上，借助于量筒，排水法是求体积的万能方法。
三、课堂练习
1、一个长方体的长、宽、高的和为19， 其表面积为192，求长方体的外接球面积。
略解：设长、宽、高分别为x、y、z，
要解出x、y 、z是不可能的，应该用整体法来解。
∴
1． 已知求的值。
略解：若无理方程求出x后代入求值，由于x 是无理式，计算复杂，容易出错。应整体代入。
∵x0, 且。
∴=。
四、小结
整体思想方法不但在数学上用得多，其实在各行各业中都要用到。（绘画与哲学）中国画讲究整体联系，黑白相生，方圆相济，虚实相间，长短横斜，曲直合拍，借象达意，浑然天成，是中国绘画的章法，纵观中国古代文化与哲学，不过是一个“天人合一”的整体观，几千年主张的是“人与天齐，天人一体“，追求着人、自然、社会三者的和谐统一，整体和谐成为价值准则，整体和谐成为至上原则。我们现在强调环境保护，生态平衡，正是从全局出发，保持人、自然、社会的整体和谐。我们在数学学习中，应当运用整体思方法来分析问题和解决问题。
五、作业
求的值
解：设；∵
∴
得
∵
∴ ∴
即：=2
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