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北师大版（2024）七年级下期末复习试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线
C．科赫曲线 D．费马螺线
2．一种病毒的直径约为0.00000252米，0.00000252米用科学记数法表示是（ ）
A．0.252×10﹣6 B．2.52×10﹣6
C．2.52×10﹣7 D．2.52×10﹣3
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（a﹣b）（a+2b）＝a2﹣2b2 D．a3 a3＝a6
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．三角形的三条中线交于一点
D．两直线被第三条直线所截，同位角相等
5．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠5 D．∠4+∠ADC＝180°
6．如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝25°，则∠F的度数为（ ）
A．25° B．60° C．70° D．95°
7．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝36°，那么∠1的度数是（ ）
A．36° B．54° C．24° D．30°
8．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，作DE⊥AB于点E，若DE＝2，AB＝8，△ABC的面积为13，则AC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．为测量校园内的旗杆AC的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为1.5m的B处，使用测角仪测得∠ABC＝75°，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在AB的延长线上取一点M，将一根木棒MN竖直立在地面上的点M处，MN＝1.5m，此时测得∠NBM＝15°，故淇淇得出结论△ABC≌△MNB，进而推得BM＝AC，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A．SAS B．AAS C．HL D．SSS
二．填空题（共9小题）
11．计算（﹣0.25）2024×（﹣4）2025的结果是 ．
12．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 个黑球．
13．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 cm．
14．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上点E处，若∠AGE＝36°，则∠GHC等于 °．
15．若3x﹣m与（2x﹣5）2的乘积中不含x的二次项，则m的值为 ．
16．若a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k＝ ．
17．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如表，则y与x的对应关系可用关系式表示为 ．
时间x/s 5 10 15 20
两车相距y/m 275 250 225 200
18．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 ．
19．如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝5，且S△ABC＝15，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为 ．
三．解答题（共9小题）
20．（1）；
（2）（2a2b）3 （﹣ab）÷（﹣3a3b2）2；
（3）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x2+4x）÷2x，其中．
21．如图，已知：∠D＝∠B，AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△CBE．
（2）若AC＝20，CE＝17，求EF的长．
22．如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C均在格点上．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A1和A对应，B1和B对应，C1和C对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上作点P，使PB+PC的值最小．
23．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温t（℃） 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度v（m/s） 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量；
（2）声音在空气中的传播速度v（m/s）与气温t（℃）的关系式可以表示为 ；
（3）某日的气温为20℃，小乐看到烟花燃放4s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
24．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
25．如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠DFG的度数为 ，则∠P的度数为 ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+∠G的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
26．甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）图中t＝ min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是 m/min；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值．
27．【定义理解】对于两个正数a，b（a≠1），定义一种新的运算，记作η（a，b），即：如果ac＝b，那么η（a，b）＝c．例如：∵33＝27，∴η（3，27）＝3
【问题初探】
根据你对定义的理解，请填空：η（2，4）＝ ；η（2，16）＝ ；η（2，64）＝ ．
【归纳猜想】
先观察η（2，4），η（2，16）与η（2，64）的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：η（a，m）+η（a，n）＝ ；
【初步应用】
如图，大正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若η（a，m）+η（a，n）＝η（a，p），η（2，m+n）＝4，η（2，p）＝5．求图中阴影部分的面积．
28．（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD．
（2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM．
（3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版（2024）七年级下期末复习试卷
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B B C D B B
一．选择题（共10小题）
1．下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A．蝴蝶曲线 B．笛卡尔心形线
C．科赫曲线 D．费马螺线
【思路点拔】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．一种病毒的直径约为0.00000252米，0.00000252米用科学记数法表示是（ ）
A．0.252×10﹣6 B．2.52×10﹣6
C．2.52×10﹣7 D．2.52×10﹣3
【思路点拔】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此可得，此题的a＝2.52，10的指数为﹣6．
【解答】解：0.00000252＝2.52×10﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（a﹣b）（a+2b）＝a2﹣2b2 D．a3 a3＝a6
【思路点拔】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、多项式乘多项式分别判断得出答案．
【解答】解：A．（a3）2＝a6，故此选项不合题意；
B．a6÷a2＝a4，故此选项不合题意；
C．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2，故此选项不合题意；
D．a3 a3＝a6，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．三角形的三条中线交于一点
D．两直线被第三条直线所截，同位角相等
【思路点拔】根据随机事件的定义进行解答即可．
【解答】解：A、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数，是随机事件，不符合题意；
B、车辆随机到达一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
C、三角形的三条中线交于一点，是必然事件，符合题意；
D、两直线被第三条直线所截，同位角相等，是随机事件，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了随机事件和必然事件，解答此题的关键是理解随机事件和必然事件的定义．
5．如图，下列条件中，能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠5 D．∠4+∠ADC＝180°
【思路点拔】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠4不能判定AB∥CD，不符合题意；
B、∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，符合题意；
C、∵∠1＝∠5，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠4+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6．如图，在△ABC和△DEF中，点B，C，E，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝25°，则∠F的度数为（ ）
A．25° B．60° C．70° D．95°
【思路点拔】根据BE＝CF，可以得到BC＝EF，利用全等三角形的判定证图中的两个三角形全等，再根据全等三角形的性质可以得到∠F的度数．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
∴∠D＝∠A＝95°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定和性质解答．
7．如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝36°，那么∠1的度数是（ ）
A．36° B．54° C．24° D．30°
【思路点拔】依据∠ABC＝60°，∠2＝36°，即可得到∠EBC＝24°，再根据BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝24°．
【解答】解：如图，∵∠ABC＝60°，∠2＝36°，
∴∠EBC＝24°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝24°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
8．如图是长方体水槽轴截面示意图，其底部放有一个实心铜球（铜的密度大于水），现向水槽中匀速注水，下列四个图象中能大致反映水槽中水的深度（y）与注水时间（x）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】根据题意可分两段进行分析：当水的深度未超过球顶时；当水的深度超过球顶时．分别分析出水槽中装水部分的宽度变化情况，进而判断出水的深度变化快慢，以此得出答案．
【解答】解：根据题意可分两段进行分析如下：
①当水的深度未超过球顶时，
水槽中能装水的部分的宽度由下到上由宽逐渐变窄，再变宽，
所以在匀速注水过程中，水的深度变化先从上升较慢变为较快，再变为较慢；
②当水的深度超过球顶时，
水槽中能装水的部分宽度不再变化，
所以在匀速注水过程中，水的深度的上升速度不会发生变化．
综上，水的深度先上升较慢，再变快，然后变慢，最后匀速上升．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的图象，理解题意是关键．
9．如图，在△ABC中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，作DE⊥AB于点E，若DE＝2，AB＝8，△ABC的面积为13，则AC的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【思路点拔】过D作DF⊥AC交AC的延长线于F，根据角平分线的性质得到DE＝FD＝2，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过D作DF⊥AC交AC的延长线于F，
由作图知AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，
∴DE＝FD＝2，
∵△ABC的面积为13，
∴S△ABD+S△ACDAB DEAC DF2×82AC＝13，
解得，AC＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
10．为测量校园内的旗杆AC的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为1.5m的B处，使用测角仪测得∠ABC＝75°，由于75°角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在AB的延长线上取一点M，将一根木棒MN竖直立在地面上的点M处，MN＝1.5m，此时测得∠NBM＝15°，故淇淇得出结论△ABC≌△MNB，进而推得BM＝AC，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ）
A．SAS B．AAS C．HL D．SSS
【思路点拔】由全等三角形的判定定理AAS或ASA均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案．
【解答】解：由题意可得：测量校园内的旗杆AC的高度，MN＝AB＝1.5，∠CAB＝∠BMN＝90°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝90°﹣75°＝15°＝∠MBN，
∴△ABC≌△MNB，
∴AC＝BM，
∴依据可能是AAS，所以答案B符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，正确进行计算是解题关键．
二．填空题（共9小题）
11．计算（﹣0.25）2024×（﹣4）2025的结果是 ﹣4 ．
【思路点拔】逆用积的乘方公式和同底数幂乘法公式解答即可．
【解答】解：（﹣0.25）2024×（﹣4）2025＝（﹣0.25）2024×（﹣4）2024×（﹣4）
＝[﹣4×（﹣0.25）]2024×（﹣4）
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键是关键．
12．一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有 12 个黑球．
【思路点拔】用白球个数除以白球频率的估计值求得球的总个数，再乘以黑球的频率即可．
【解答】解：由题意知，袋中球的总个数约为8÷（1﹣0.6）＝20（个），
则口袋中黑球的个数约为20×0.6＝12（个），
故答案为：12．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
13．等腰三角形的一边长为9cm，另一边长为4cm，则它的第三边长为 9 cm．
【思路点拔】分为两种情况：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，再根据三角形三边关系定理确定答案即可．
【解答】解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
所以三角形的第三边为9cm，
故答案为：9．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，能够进行分类讨论是解决问题的关键．
14．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上点E处，若∠AGE＝36°，则∠GHC等于 108 °．
【思路点拔】由折叠可得∠DGH∠DGE＝72°，再根据平行线的性质即可得到∠GHC＝180°﹣∠DGH＝108°．
【解答】解：∵∠AGE＝36°，
∴∠DGE＝180°﹣∠AGE＝144°，
由折叠可得，∠DGH∠DGE＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝108°．
故答案为：108．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
15．若3x﹣m与（2x﹣5）2的乘积中不含x的二次项，则m的值为 ﹣15 ．
【思路点拔】由题意列式为（3x﹣m）（2x﹣5）2，利用完全平方公式，多项式乘多项式法则计算后根据题意得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（3x﹣m）（2x﹣5）2
＝（3x﹣m）（4x2﹣20x+25）
＝12x3﹣60x2+75x﹣4mx2+20mx﹣25m
＝12x3﹣（4m+60）x2+（20m+75）x﹣25m，
∵3x﹣m与（2x﹣5）2的乘积中不含x的二次项，
∴4m+60＝0，
解得：m＝﹣15，
故答案为：﹣15．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16．若a2﹣2ka+9是一个完全平方式，则k＝ ±3 ．
【思路点拔】根据完全平方式得出﹣2ka＝±2 a 3，再求出答案即可．
【解答】解：∵多项式a2﹣2ka+9是一个完全平方式，
∴﹣2ka＝±2 a 3，
解得：k＝±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
17．甲，乙两车分别从A，B两地沿直路同向匀速行驶，两车相距y（单位：m）与行驶时间x（单位：s）（0≤x≤60）的部分对应值如表，则y与x的对应关系可用关系式表示为 y＝﹣5x+300（0≤x≤60） ．
时间x/s 5 10 15 20
两车相距y/m 275 250 225 200
【思路点拔】根据变量的变化规律求出函数关系式即可．
【解答】解：由表格可知，时间增加1s，两车之间的距离缩短5m，
则y＝275﹣5（x﹣5）＝﹣5x+300，
∴y与x的对应关系式为y＝﹣5x+300（0≤x≤60）．
故答案为：y＝﹣5x+300（0≤x≤60）．
【点评】本题考查函数关系式，找到变量的变化规律并求出函数关系式是解题的关键．
18．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自黑色部分的概率为 ．
【思路点拔】首先设设正方形的面积，再表示出阴影部分面积，然后可得概率．
【解答】解：设“东方模板”的面积为4，则阴影部分三角形面积为1，平行四边形面积为，
则点取自黑色部分的概率为：，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率，关键是表示图形的面积和阴影部分面积．
19．如图，在△ABC纸片中，∠BAC＝45°，BC＝5，且S△ABC＝15，P为BC上一点，将纸片沿AP剪开，并将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，连接DE，则△ADE面积的最小值为 18 ．
【思路点拔】根据将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，可得△ADE是等腰直角三角形，要使△ADE面积最小，即是使AD（AE）的长度最小，也就是AP长度最小，此时AP为△ABC的边BC上的高，根据BC＝5，且S△ABC＝15，可得AP最小为6，即可得△ADE面积的最小值为AD AE＝18．
【解答】解：∵将△ABP、△ACP分别沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，
∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAB，AE＝AP，∠EAC＝∠PAC，
∴AD＝AP＝AE，∠DAB+∠EAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
要使△ADE面积最小，即是使AD（AE）的长度最小，也就是AP长度最小，此时AP为△ABC的边BC上的高，
∵BC＝5，且S△ABC＝15
∴AP最小为6，即AD（AE）的最小值为6，
∴△ADE面积的最小值为AD AE18，
故答案为：18．
【点评】本题考查三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质，得到△ADE是等腰直角三角形．
三．解答题（共9小题）
20．（1）；
（2）（2a2b）3 （﹣ab）÷（﹣3a3b2）2；
（3）先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x2+4x）÷2x，其中．
【思路点拔】（1）先计算零指数幂、乘方和负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）先计算单项式乘方，再计算乘法，最后计算除法即可；
（3）先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣9+4
＝﹣4；
（2）原式＝（8a6b3） （﹣ab）÷（9a6b4）
＝﹣8a7b4÷（9a6b4）
a；
（3）原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）2
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+92
x+15，
当x时，
原式15
＝﹣5+15
＝10．
【点评】本题主要考查实数混合运算和整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
21．如图，已知：∠D＝∠B，AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：△ADF≌△CBE．
（2）若AC＝20，CE＝17，求EF的长．
【思路点拔】（1）由AD∥BC，得∠A＝∠C，由AE＝CF，推导出AF＝CE，而∠D＝∠B，即可根据“AAS”证明△ADF≌△CBE；
（2）由AC＝20，AF＝CE＝17，求得CF＝AC﹣AF＝3，则EF＝CE﹣CF＝14．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）．
（2）解：由（1）得AF＝CE，
∵AC＝20，CE＝17，
∴AF＝17，
∴CF＝AC﹣AF＝20﹣17＝3，
∴EF＝CE﹣CF＝17﹣3＝14，
∴EF的长为14．
【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出∠A＝∠C，AF＝CE，进而证明△ADF≌△CBE是解题的关键．
22．如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C均在格点上．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A1和A对应，B1和B对应，C1和C对应）；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l上作点P，使PB+PC的值最小．
【思路点拔】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（3）连接BC1，交直线l于点P，则点P即为所求．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△ABC的面积为6﹣2﹣1＝3．
（3）如图，连接BC1，交直线l于点P，连接PC，
此时PB+PC＝PB+PC1＝BC1，为最小值，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23．科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系：
气温t（℃） 0 1 2 3 4 5
声音在空气中的传播速度v（m/s） 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在这个变化过程中， 气温 是自变量， 声音在空气中的传播速度 是因变量；
（2）声音在空气中的传播速度v（m/s）与气温t（℃）的关系式可以表示为 v＝0.6t+331 ；
（3）某日的气温为20℃，小乐看到烟花燃放4s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？
【思路点拔】（1）结合题意运用函数的定义进行求解；
（2）根据表格中数据信息，气温每上升1°C声音在空气中的传播速度增大0.6m/s进行求解；
（3）先运用第（2）小题结果求得气温为20℃时声音在空气中的传播速度，再根据路程＝速度×时间进行求解．
【解答】解：（1）由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
（2）由题意得，气温每上升1°C声音在空气中的传播速度增大0.6m/s，
∴声音在空气中的传播速度v/（m/s）与气温t（℃）的关系式可以表示为v＝0.6t+331，
故答案为：v＝0.6t+331；
（3）（0.6×20+331）×4
＝（12+331）×4
＝343×4
＝1372（m），
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1372m远．
【点评】此题考查了运用函数概念解决实际问题的能力，关键是能准确理解并运用该知识和实际问题间的数量关系．
24．如图，△ABC中，D是BC延长线上一点，满足CD＝AB，过点C作CE∥AB且CE＝BC，连接DE并延长，分别交AC、AB于点F、G．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度数．
【思路点拔】（1）根据CE∥AB可得∠B＝∠DCE，由SAS定理可得结论；
（2）利用全等三角形的性质定理可得∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，由平行线的性质定理易得∠ACE＝∠A＝22°，由三角形的内角和定理和外角的性质可得结果．
【解答】（1）证明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理，平行线的性质定理，外角的性质等，熟记定理是解答此题的关键．
25．如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．
（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：
①如图1，若EG⊥FG，则∠DFG的度数为 50° ，则∠P的度数为 45° ；
②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+∠G的度数；
（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．
【思路点拔】（1）①如图，分别过点G、P作GN∥AB，PM∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作QR∥CD，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；
（2）如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α可得∠EOF＝β﹣2α，进而说明∠G＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据∠OEA＝2α，∠OFC＝β得到∠OEA+2∠OFC＝160°．
【解答】解：（1）①如图，分别过点G、P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN＝40°，
∵AB∥CD，
∴NG∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∴∠NGF＝90°﹣40°＝50°＝∠GFD，
由条件可知，
∴．
故答案为：50°，45°；
②如图，过点Q作QR∥CD，
由条件可知∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
设∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴AB∥CD∥QR，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
由条件可知∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴a+∠FQR＝180°，
∴a+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+∠G＝80°﹣α+40°+α＝120°．
（2）如图，在AB的上方有一点O，FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，
设H为线段GE的延长线上一点，则∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝∠OEH+∠AEH＝2α，
∴∠EOF＝∠TOF﹣∠TOE＝β﹣2α，
由（1）可知：∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
由条件可知β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，即α+β＝80°，
∴2α+2β＝160°，
∵∠OEA＝2α，∠OFC＝β，
∴∠OEA+2∠OFC＝160°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
26．甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）图中t＝ 2 min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①则甲登山的上升速度是 10 m/min；
②请求出甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；
③当甲、乙两人距地面高度差为50m时，请直接写出满足条件的x值．
【思路点拔】（1）根据题意和函数图象可以求得t的值；
（2）①根据乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，可以求得甲的速度；
②根据题意和函数图象中的数据可以求得甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式；
③根据函数图象可以求得AB段乙的函数解析式，从而可以求得x的值．
【解答】解：（1）在OA段，乙每分钟走的路程为15÷1＝15米/分，
则t＝30÷15＝2，
故答案为：2；
（2）①乙提速后的速度为：（300﹣30）÷（11﹣2）＝30米/分，
∴甲的速度为：30÷3＝10m/min，
故答案为：10；
②甲登山用的时间为：（300﹣100）÷10＝20（分钟），
设甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即甲登山过程中，距地面的高度y（m）与登山时间x（min）之间的函数关系式是：
y＝10x+100；
③设乙在AB段对应的函数解析式为y＝mx+n，
，得，
∴y＝30x﹣30，
∴|30x﹣30﹣（10x+100）|＝50（2＜x≤11），
解得，x＝4或 x＝9，
当11＜x≤20时，300﹣（10x+100）＝50，
解得x＝15，
综上所述，当x的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函数的思想解答．
27．【定义理解】对于两个正数a，b（a≠1），定义一种新的运算，记作η（a，b），即：如果ac＝b，那么η（a，b）＝c．例如：∵33＝27，∴η（3，27）＝3
【问题初探】
根据你对定义的理解，请填空：η（2，4）＝ 2 ；η（2，16）＝ 4 ；η（2，64）＝ 6 ．
【归纳猜想】
先观察η（2，4），η（2，16）与η（2，64）的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：η（a，m）+η（a，n）＝ η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn） ；
【初步应用】
如图，大正方形ABCD的边长为m，小正方形CGFE的边长为n，若η（a，m）+η（a，n）＝η（a，p），η（2，m+n）＝4，η（2，p）＝5．求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）由22＝4，24＝16，26＝64，可得η（2，4）＝2，η（2，16）＝4，η（2，64）＝6；
（2）观察可知，4×16＝64，η（2，4）+η（2，16）＝η（2，64），即可得η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）；
（3）求出p＝25＝32＝mn，m+n＝24＝16，而S正方形ABCD＝m2，S梯形CDFE（m+n） n，S△ABDm2，S△BCFmn，故S阴影＝S正方形ABCD+S梯形CDFE﹣S△ABD﹣S△BCFm2n2（m+n）2﹣mn＝96．
【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，
∴η（2，4）＝2，η（2，16）＝4，η（2，64）＝6，
故答案为：2，4，6；
（2）观察可知，4×16＝64，η（2，4）+η（2，16）＝η（2，64），
∴η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）；
故答案为：η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）；
（3）∵η（a，m）+η（a，n）＝η（a，p），
∴p＝mn，
∵η（2，p）＝5，
∴p＝25＝32＝mn，
∵η（2，m+n）＝4，
∴m+n＝24＝16，
∵S正方形ABCD＝m2，S梯形CDFE（m+n） n，S△ABDm2，S△BCFmn，
∴S阴影＝S正方形ABCD+S梯形CDFE﹣S△ABD﹣S△BCF
＝m2（m+n） nm2mn
＝m2mnn2m2mn
m2n2
（m+n）2﹣mn
162﹣32
＝96；
∴图中阴影部分的面积为96．
【点评】本题考查有理数乘方，涉及新定义，正方形性质，完全平方公式的应用等知识，解题的关键是读懂题意，理解新定义．
28．（1）问题提出：如图1，点E为等腰△ABC内一点，AB＝AC，若另有一个以AD、AE为腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求证：△ABE≌△ACD．
（2）尝试应用：如图2，点D为等腰Rt△ABC外一点，AB＝AC，BD⊥CD，过点A的直线分别交DB的延长线和CD的延长线于点N、M，BD与AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求证：MC+NB＝2AM．
（3）问题拓展：如图3，△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于点H，等边△ABF的边AF与BC相交于G点．若CE＝6，AH＝4，请直接写出BE的长度．
【思路点拔】（1）首先证明∠BAE＝∠CAD，即可解决问题；
（2）延长MC至G，使CG＝BN，连接AG，证明△ABN≌△ACG（SAS），得∠BAN＝∠CAG，然后证明∠MAG＝90°，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题；
（3）过A作AM⊥BC于M，连接EF，证明△ACE≌△AFE（SAS），得CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF，证明△BEH≌△BEF（ASA），得EH＝EF＝6，利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵△AED是以AD、AE为腰的等腰三角形，
∴AE＝AD，
∵∠BAC＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）证明：延长MC至G，使CG＝BN，连接AG，如图2，
∵∠BAK＝90°＝∠CDK，∠AKB＝∠DKC，
∴∠ABK＝∠DCK，
∴∠ABN＝∠ACG，
在△ABN和△ACG中，
，
∴△ABN≌△ACG（SAS），
∴∠BAN＝∠CAG，
∵∠CAG+∠BAG＝90°，
∴∠BAN+∠BAG＝90°，
∴∠NAG＝90°，
∴∠MAG＝90°，
∵∠M＝60°，
∴∠G＝90°﹣60°＝30°，
∴MG＝2AM，
∵MG＝MC+CG＝MC+NB，
∴MC+NB＝2AM；
（3）解：BE的长度为16，理由如下：
如图3，过A作AM⊥BC于M，连接EF．
∵△ABF为等边三角形，
∴BF＝AF＝AB＝AC，∠AFB＝∠ABF＝60°＝∠BDA＝∠BEA，
∵∠AHD＝∠BHE，
∴∠DBE＝∠CAE，
∵∠AGE＝∠BGF，
∴∠4＝∠1，
∵∠AEB＝60°＝∠C+∠2，∠ABF＝60°＝∠ABC+∠4，
∴∠C+∠CAE＝∠ABC+∠FBE，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF，
∵∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝∠AEF＝120°，
∴∠BEF＝∠AEF﹣∠AEB＝60°＝∠AEB，
∵∠3＝∠4，BE＝BE，
∴△BEH≌△BEF（ASA），
∴EH＝EF＝6，
∴AE＝AH+EH＝4+6＝10，
∵AM⊥BC，∠AEM＝60°，
∴∠MAE＝30°，
∴EMAE＝5，
∴CM＝EM+CE＝6+5＝11，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝11，
∴BE＝BM+EM＝11+5＝16．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABN≌△ACG．
