四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高二下学期6月期末模拟数学试题
1．（2024高二下·射洪期末）下列求导数运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·射洪期末）某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024高二下·射洪期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·射洪期末）已知函数，则在（ ）
A．上单调递增 B．处有最小值
C．上有三个零点 D．上单调递增
5．（2024高二下·射洪期末）对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位：件）与单价（单位：元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ）
单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量件 84 83 78 m
A．65 B．67 C．73 D．75
6．（2024高二下·射洪期末）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
7．（2024高二下·射洪期末）已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（ ）
A．20 B．18 C．8 D．6
8．（2024高二下·射洪期末）若对任意的且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二下·射洪期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（ ）
A．任取一个零件，它是次品的概率是0.0525
B．任取一个零件，它是次品的概率是0.16
C．如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为
D．如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额
10．（2024高二下·射洪期末）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．．
11．（2024高二下·射洪期末）已知函数（且），则（ ）
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．函数恒有1个极值点
C．若曲线有两条过原点的切线，则
D．若有两个零点，则
12．（2024高二下·射洪期末）已知随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
13．（2024高二下·射洪期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”.
14．（2024高二下·射洪期末）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 .
15．（2024高二下·射洪期末）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16．（2024高二下·射洪期末）（1）已知的展开式中共有7项.求展开式中的常数项；
（2）已知，，的展开式中含项的系数为，含 项的系数为，求的近似值.（精确到0.01）
17．（2024高二下·射洪期末）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．（2024高二下·射洪期末）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程中，.
参考数据
5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6
（2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
19．（2024高二下·射洪期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导数的运算法则和复合函数的导数公式求解判断即可.
2．【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件为“抽到的2位队长来自同一部门”，
事件为“抽到的2位队长都来自市场部”，
，，
则.
故答案为：C．
【分析】利用条件概率公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴是，
则，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可知正态曲线的对称轴是，由可得，再根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，；
A、由上述分析可知函数在不单调，故A错误；
B、由上述分析可知函数在处取得极大值，故B错误；
C、，因为函数在单调递增，
所以在有一个零点，又因为，所以函数在没有零点，
综上所述，在上只有一个零点，故C错误；
D、由上述分析可知函数在单调递增，故D正确.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数研究其单调性，最值和零点即可.
5．【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，
当时，，代入，解得，
则，即，
则，解得.
故答案为：B．
【分析】利用样本点处的残差为3，求得，再由，求得，即可得.
6．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，先从五人中任选三人，有种方法；
第二步、从三个区域选择一个区域，有种方法；
第三步，另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法，
根据分步乘法计数原理，共有种方法.
故答案为：C.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
7．【答案】B
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可知，解得，
则，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据概率之和等于1得出的值，再根据随机变量X的期望公式和方差公式，从而求出随机变量X的数学期望与方差，再根据方差的性质得出的值.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知，由题意可得：，
则，即，
令，易知函数在上单调递减，
求导可得，
当时，，即函数的单调递减区间为，
则，解得，则实数的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】易知，原式变形可得，即，构造函数，求导，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，
则两两互斥，且，
，
，
由全概率公式可得
，故A正确，B错误；
“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率，
，
类似地，可得，
则第1台车床的操作员应承担的份额等于第2台车床的操作员应承担的份额，故C正确，D错误．
故答案为：AC．
【分析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且两两互斥．求出，以及，由全概率公式得即可判断AB；“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算即可判断CD
10．【答案】B,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：A、的展开式的通项为：，
取，可得，则，故A错误；
B、令，可得，
令，可得，
则，故B正确；
C、，
两边求导可得，
令，可得，
则，故C正确；
D、因为，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二项式展开式通项公式求含的项的系数即可判断A；利用赋值法求系数和和即可判断B；求导，结合赋值法求即可判断C；结合二项式展开式系数和与选项C结论即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数的定义域为，
A、当时，函数，，
则，即曲线在点处的切线方程为，
即，故A正确；
B、，
当时，，则在上恒成立，即函数在上单调递增，无极值点，故B错误；
C、设切点为，因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
又因为切线过原点，所以，
则，即，，
设（且），，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
当时，；当时，，且的极大值为，
由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，则，
即，即，故C正确；
D、要使有两个零点，则方程有两个解，即方程有两个解，
即方程有两个解，设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
又因为，当时，，当时，，
所以，解得，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用导数的几何意义，求切线方程即可判断A；由，当时，得到恒成立即可判断B；设切点为，求得点处的切线方程，代入原点，得到，设，利用导数求得函数的单调性和极大值，结合函数的图象与直线有两个不同的交点，求得的范围即可判断C；转化为方程有两个解，设，利用导数求得函数的单调性与极大值，进而求得的范围即可判断D.
12．【答案】-2.2
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 ，
故答案为：-2.2
【分析】先求出 ，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
13．【答案】54
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有个，
分别为109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，730，703，406，460，604，640，505，550；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为
127，172，217，271，712，721136，163，316，361513，631；145，154，415，451，514，541235，253325，352，523，532
综上：18+12+24=54
故答案为：54
【分析】利用分类加法计数原理即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，所以由可得，
则有唯一的根，直线与函数的图象有一个交点(非切点)
又，所以当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，所以，函数g(x)的极大值为g(0)=1，
且当时，，当时，，则函数g(x)得图象如下图所示
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点(非切点)，
因此，实数m的取值范围是.
故答案为：
【分析】先求导，由，可得出，得直线与函数的图象有一个交点(非切点)，利用导数分析函数的单调性与极值，观察图形得出实数m的取值范围.
15．【答案】（1）解：依题意，列联表如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知可得，，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再计算卡方值并与临界值比较，从而认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）根据二项分布概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望的公式和方差公式，从而得出数学期望和方差.
（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
16．【答案】解：（1）易知，
展开式的通项为，
令，解得，则展开式中的常数项为；
（2）展开式的通项为（且），
则展开式中含项的系数为，即，即①，
的展开式中的系数为，
将①变形为代入上式得，解得或，即或，
则，
故.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）易知，写出展开式的通项公式，令的指数为，求得，从而求常数项即可；
（2）由展开式中含项的系数为，含 项的系数为得到两个含有的方程，联立解出，从而得到，，因为精确到0.01，所以只要写出两个二项式的前两项后相加即可.
17．【答案】（1）解：定义域为，
，
令，解得或，
列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
函数的极大值为，极小值为；
（2）解：不等式，分离参数可得，
令，，
由，可得，由，可得，
则函数的增区间为，减区间为，且，
即，故实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值；
（2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得实数的取值范围.
（1），
该函数的定义域为，
则，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，
所以，，故实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将，两边取对数可得：，
由题意可得：，则，
即关于的线性回归方程为，
故关于的回归方程为；
（2）解：X的可能值为，
，
，
则X的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】回归分析的初步应用；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据散点图的形状，判断回归方程类型；将两边取对数，转化为线性回归方程，结合已知条件求解即可.
（2）先求X的可能值，以及各个值对应的概率，再列分布列即可.
（1）根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将两边同时取自然对数，得，
依题意，，，
因此，则，
于是z关于x的线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为.
（2）依题意，X的可能值为，
，
，
所以X的分布列为：
0 1 2 3
19．【答案】（1）证明：设函数定义域为，，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即；
（2）证明：由泰勒公式知①，
②，
由①②得，
，
则，
即；
（3）解：由（2）可得：，
当时，，
当时，对恒成立，
下面证明：当时，对不恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
令，即，
解得或．
因为当时，，故舍去，
所以当时，，得在上单调递减，
故，即，
从而在上单调递减，故，即，
因此在上单调递减，所以，矛盾，
所以当时，对不恒成立，
综上，的最大值是1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）设函数，利用导数求出其最小值证明即可；
（2）先由泰勒公式求出，再放缩证明即可；
（3）由（2）可得当时，，再分和两种情况讨论，即可得证.
（1）设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，即；
（2）由泰勒公式知①，
于是②，
由①②得，
，
所以，
即；
（3）由（2）知，
所以当时，，
由此可知，当时，有对恒成立，
下面证明：当时，对不恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
令，即，
解得或．
因为当时，，故舍去，
所以当时，，得在上单调递减，
故，即，
从而在上单调递减，故，
即，
因此在上单调递减，所以，矛盾，
所以当时，对不恒成立，
综上，的最大值是1．
1 / 1四川省遂宁市射洪中学校2023-2024学年高二下学期6月期末模拟数学试题
1．（2024高二下·射洪期末）下列求导数运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据导数的运算法则和复合函数的导数公式求解判断即可.
2．（2024高二下·射洪期末）某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：记事件为“抽到的2位队长来自同一部门”，
事件为“抽到的2位队长都来自市场部”，
，，
则.
故答案为：C．
【分析】利用条件概率公式求解即可.
3．（2024高二下·射洪期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以正态曲线的对称轴是，
则，
又因为，
所以，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可知正态曲线的对称轴是，由可得，再根据正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值.
4．（2024高二下·射洪期末）已知函数，则在（ ）
A．上单调递增 B．处有最小值
C．上有三个零点 D．上单调递增
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，；
A、由上述分析可知函数在不单调，故A错误；
B、由上述分析可知函数在处取得极大值，故B错误；
C、，因为函数在单调递增，
所以在有一个零点，又因为，所以函数在没有零点，
综上所述，在上只有一个零点，故C错误；
D、由上述分析可知函数在单调递增，故D正确.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数研究其单调性，最值和零点即可.
5．（2024高二下·射洪期末）对于数据组，如果由线性回归方程得到的自变量的估计值是，那么将称为样本点处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量（单位：件）与单价（单位：元）之间的线性回归方程为，且样本点处的残差为3，则（ ）
单价/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量件 84 83 78 m
A．65 B．67 C．73 D．75
【答案】B
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：易知，
当时，，代入，解得，
则，即，
则，解得.
故答案为：B．
【分析】利用样本点处的残差为3，求得，再由，求得，即可得.
6．（2024高二下·射洪期末）2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：第一步，先从五人中任选三人，有种方法；
第二步、从三个区域选择一个区域，有种方法；
第三步，另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法，
根据分步乘法计数原理，共有种方法.
故答案为：C.
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
7．（2024高二下·射洪期末）已知随机变量的分布列如下：
2 3 6
则的值为（ ）
A．20 B．18 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：根据随机变量X的分布列可知，解得，
则，
，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据概率之和等于1得出的值，再根据随机变量X的期望公式和方差公式，从而求出随机变量X的数学期望与方差，再根据方差的性质得出的值.
8．（2024高二下·射洪期末）若对任意的且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知，由题意可得：，
则，即，
令，易知函数在上单调递减，
求导可得，
当时，，即函数的单调递减区间为，
则，解得，则实数的取值范围为．
故答案为：C．
【分析】易知，原式变形可得，即，构造函数，求导，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减，由求解即可.
9．（2024高二下·射洪期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（ ）
A．任取一个零件，它是次品的概率是0.0525
B．任取一个零件，它是次品的概率是0.16
C．如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为
D．如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额
【答案】A,C
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，
则两两互斥，且，
，
，
由全概率公式可得
，故A正确，B错误；
“如果取到的零件是次品，计算它是第台车床加工的概率”，就是计算在件B发生的条件下，事件发生的概率，
，
类似地，可得，
则第1台车床的操作员应承担的份额等于第2台车床的操作员应承担的份额，故C正确，D错误．
故答案为：AC．
【分析】设事件B为“任取一个零件为次品”，事件为“零件是第i台车床加工”，则，且两两互斥．求出，以及，由全概率公式得即可判断AB；“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算即可判断CD
10．（2024高二下·射洪期末）已知，则下列命题正确的是（ ）
A．；
B．；
C．；
D．．
【答案】B,C,D
【知识点】简单复合函数求导法则；二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：A、的展开式的通项为：，
取，可得，则，故A错误；
B、令，可得，
令，可得，
则，故B正确；
C、，
两边求导可得，
令，可得，
则，故C正确；
D、因为，
则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据二项式展开式通项公式求含的项的系数即可判断A；利用赋值法求系数和和即可判断B；求导，结合赋值法求即可判断C；结合二项式展开式系数和与选项C结论即可判断D.
11．（2024高二下·射洪期末）已知函数（且），则（ ）
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．函数恒有1个极值点
C．若曲线有两条过原点的切线，则
D．若有两个零点，则
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】函数的定义域为，
A、当时，函数，，
则，即曲线在点处的切线方程为，
即，故A正确；
B、，
当时，，则在上恒成立，即函数在上单调递增，无极值点，故B错误；
C、设切点为，因为，
所以曲线在点处的切线方程为，
又因为切线过原点，所以，
则，即，，
设（且），，
当时，；当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
当时，；当时，，且的极大值为，
由题意可知，函数的图象与直线有两个不同的交点，则，
即，即，故C正确；
D、要使有两个零点，则方程有两个解，即方程有两个解，
即方程有两个解，设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
又因为，当时，，当时，，
所以，解得，故D正确．
故答案为：ACD.
【分析】利用导数的几何意义，求切线方程即可判断A；由，当时，得到恒成立即可判断B；设切点为，求得点处的切线方程，代入原点，得到，设，利用导数求得函数的单调性和极大值，结合函数的图象与直线有两个不同的交点，求得的范围即可判断C；转化为方程有两个解，设，利用导数求得函数的单调性与极大值，进而求得的范围即可判断D.
12．（2024高二下·射洪期末）已知随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
【答案】-2.2
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】 ，
故答案为：-2.2
【分析】先求出 ，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解.
13．（2024高二下·射洪期末）若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如都是“十全十美数”，则一共有 个“十全十美数”.
【答案】54
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：“十全十美数”有54个列举如下：①有一位数字是0的，共有个，
分别为109，190，901，910，208，280，802，820，307，370，730，703，406，460，604，640，505，550；
②含有两个相同数字的，共有个，分别为；
③不含0且没有相同数字的，共有个，分别为
127，172，217，271，712，721136，163，316，361513，631；145，154，415，451，514，541235，253325，352，523，532
综上：18+12+24=54
故答案为：54
【分析】利用分类加法计数原理即可得到答案.
14．（2024高二下·射洪期末）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题意得，，
若函数存在唯一极值点，
则在上有唯一的根，所以由可得，
则有唯一的根，直线与函数的图象有一个交点(非切点)
又，所以当时，，g(x)单调递增，
当时，，g(x)单调递减，所以，函数g(x)的极大值为g(0)=1，
且当时，，当时，，则函数g(x)得图象如下图所示
所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点(非切点)，
因此，实数m的取值范围是.
故答案为：
【分析】先求导，由，可得出，得直线与函数的图象有一个交点(非切点)，利用导数分析函数的单调性与极值，观察图形得出实数m的取值范围.
15．（2024高二下·射洪期末）2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 80
感染支原体肺炎 40
合计 120 200
（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？
（2）用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望和方差．
附：，．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
【答案】（1）解：依题意，列联表如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关，
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）解：因为70岁以上的老年人中随机抽查了200人，
感染支原体肺炎的老年人为120人，
则感染支原体肺炎的频率为，
由已知可得，，
则，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；2×2列联表
【解析】【分析】（1）根据已知数据完善列联表，再计算卡方值并与临界值比较，从而认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）根据二项分布概率公式得出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望的公式和方差公式，从而得出数学期望和方差.
（1）（1）列联表，如图所示：
有慢性疾病 没有慢性疾病 合计
未感染支原体肺炎 40 40 80
感染支原体肺炎 80 40 120
合计 120 80 200
假设岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病无关.
则，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身慢性疾病有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）70岁以上的老年人中随机抽查了200人，感染支原体肺炎的老年人为120人，则感染支原体肺炎的频率为，
由已知得，
，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以，.
16．（2024高二下·射洪期末）（1）已知的展开式中共有7项.求展开式中的常数项；
（2）已知，，的展开式中含项的系数为，含 项的系数为，求的近似值.（精确到0.01）
【答案】解：（1）易知，
展开式的通项为，
令，解得，则展开式中的常数项为；
（2）展开式的通项为（且），
则展开式中含项的系数为，即，即①，
的展开式中的系数为，
将①变形为代入上式得，解得或，即或，
则，
故.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）易知，写出展开式的通项公式，令的指数为，求得，从而求常数项即可；
（2）由展开式中含项的系数为，含 项的系数为得到两个含有的方程，联立解出，从而得到，，因为精确到0.01，所以只要写出两个二项式的前两项后相加即可.
17．（2024高二下·射洪期末）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：定义域为，
，
令，解得或，
列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
则函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
函数的极大值为，极小值为；
（2）解：不等式，分离参数可得，
令，，
由，可得，由，可得，
则函数的增区间为，减区间为，且，
即，故实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，可求得函数的增区间、减区间以及极大值、极小值；
（2）结合参变量分离法可得，令，利用导数求出函数的最大值，即可得实数的取值范围.
（1），
该函数的定义域为，
则，列表如下：
1 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以，函数的增区间为和，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）当时，由可得，
令，其中，则，
由可得，由可得，
所以，函数的增区间为，减区间为，
所以，，
所以，，故实数的取值范围是.
18．（2024高二下·射洪期末）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.
（1）根据散点图判断，与（其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度（℃）的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程；
附：回归方程中，.
参考数据
5215 2347.3 33.6 27 81.3 3.6
（2）现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.
【答案】（1）解：根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将，两边取对数可得：，
由题意可得：，则，
即关于的线性回归方程为，
故关于的回归方程为；
（2）解：X的可能值为，
，
，
则X的分布列为：
0 1 2 3
【知识点】回归分析的初步应用；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）根据散点图的形状，判断回归方程类型；将两边取对数，转化为线性回归方程，结合已知条件求解即可.
（2）先求X的可能值，以及各个值对应的概率，再列分布列即可.
（1）根据散点图的形状，判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型，
将两边同时取自然对数，得，
依题意，，，
因此，则，
于是z关于x的线性回归方程为，
所以y关于x的回归方程为.
（2）依题意，X的可能值为，
，
，
所以X的分布列为：
0 1 2 3
19．（2024高二下·射洪期末）英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
（1）证明：；
（2）设，证明：；
（3）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【答案】（1）证明：设函数定义域为，，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即；
（2）证明：由泰勒公式知①，
②，
由①②得，
，
则，
即；
（3）解：由（2）可得：，
当时，，
当时，对恒成立，
下面证明：当时，对不恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
令，即，
解得或．
因为当时，，故舍去，
所以当时，，得在上单调递减，
故，即，
从而在上单调递减，故，即，
因此在上单调递减，所以，矛盾，
所以当时，对不恒成立，
综上，的最大值是1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）设函数，利用导数求出其最小值证明即可；
（2）先由泰勒公式求出，再放缩证明即可；
（3）由（2）可得当时，，再分和两种情况讨论，即可得证.
（1）设，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因此，即；
（2）由泰勒公式知①，
于是②，
由①②得，
，
所以，
即；
（3）由（2）知，
所以当时，，
由此可知，当时，有对恒成立，
下面证明：当时，对不恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
令，即，
解得或．
因为当时，，故舍去，
所以当时，，得在上单调递减，
故，即，
从而在上单调递减，故，
即，
因此在上单调递减，所以，矛盾，
所以当时，对不恒成立，
综上，的最大值是1．
1 / 1
