湖南省娄底市部分学校联考2024-2025学年高二下学期4月期中数学试卷（含解析）

湖南省娄底市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（ ）
A．63 B．72 C．81 D．90
5．设为锐角，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切
7．已知函数且，若在上为减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题为（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差可能会变
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好
10．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．不是的周期
B．成立的充要条件是，
C．的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到
D．在区间上单调递减
11．已知定义在上的函数满足，若时，，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小正周期
B．的图象关于对称
C．
D．函数在区间上所有的零点之和为2
三、填空题
12．展开式中的常数项为 ．
13．如图，在中，，，为的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为 ．
14．甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为 ，该次品来自乙机床的概率为 ．
四、解答题
15．在中，角，，对应的边分别为，，，满足．
(1)求；
(2)若，求的取值范围．
16．已知椭圆，为的左焦点，右顶点到的距离为，且离心率为，直线过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于、两点（、异于左、右顶点），求直线与的斜率之积．
17．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面为等腰直角三角形，平面平面，且，．

(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．慢跑是一项简单且高效的有氧运动，长期坚持能显著提升身体健康水平，它通过增强心肺功能、促进代谢、改善情绪等多方面作用，成为大众健身的首选方式之一．某志愿者协会随机对全市100位居民的跑步时间进行了问卷调查，并将问卷中的这100人根据其跑步时长分组统计如图所示．
(1)求的取值以及这组数据的中位数（结果精确到）；
(2)已知跑步时长在分钟内的男生数与女生数之比为，若在该区间的人中随机抽取2人进行采访，求2人均为男生的概率；
(3)用样本估计总体，在全市慢跑居民中随机抽取3人，记抽取的3人中时长在区间中的人数为，求的分布列及期望．
19．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求证：总存在唯一的极小值点，且．
湖南省娄底市部分学校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C C D A B AD BCD
题号 11
答案 BC
1．B
【详解】，解得，，
又，.
故选：B.
2．A
【详解】由已知得，化简得.
故选：A.
3．D
【详解】由已知得：，，
所以，解得.
故选：D
4．C
【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得，
即，解得，代入，故.
故选：C.
5．C
【详解】.
故选：C
6．D
【详解】由题意，直线可化为：，
直线过定点，代入圆中，
易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切.
故选：D.
7．A
【详解】当时，单调递减，此时，
若当时，单调递减，则，此时，
因为在上单调递减，所以，解得，又，所以.
故选：A.
8．B
【详解】设，
则，
因为，所以，又，所以恒成立，
所以在定义域上单调递增．
故原不等式可转化为，又，所以，
所以，所以，故不等式的解集为．
故选：B
9．AD
【详解】A选项：，，，正确；
B选项：将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，错误；
C选项：随机变量服从正态分布，则，
若，则，则，错误；
D选项：对于回归分析，相关系数的绝对值越大，说明拟合效果越好，正确.
故选：AD
10．BCD
【详解】A：是的最小正周期，故是的周期，错．
B：当时，，，则，，正确．
C：把的图象上所有点向左平移个单位长度得到，正确．
D：，则，
在区间上单调递减，正确．
故选：BCD
11．BC
【详解】因为，所以是奇函数；
因为，所以的图象关于对称，
所以，则，
因而，所以的最小正周期，故A错误；
由，
则的一个对称中心为，故B正确；
，故C正确；
当时，单调递增且值域为，
因为的图象关于对称，所以在单调递减且值域为，
又因为是奇函数，所以在的图象关于对称且值域为，
所以函数在区间上有两个零点，且所有零点之和为-2，故D错误.
故选：BC.
12．
【详解】二项式展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
即展开式中的常数项为.
故答案为：
13．
【详解】在中，，，为的中点，则，
平面平面，平面平面，平面，
且，
平面，又，
取的中点，连接，则，
过作，则平面，
设三棱锥的外接球球心为，则球心必位于上，如图：
设其半径为，则，
，，解得，
三棱锥的外接球的表面积为．
故答案为：
14． 0.1/ 0.3/
【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，
则，，，
B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得：
，
由贝叶斯公式得：.
故答案为：0.1；0.3.
15．(1)
(2)
【详解】（1），
，
在中，由正弦定理得，
因为，则,
，则．
因为，所以．
（2）由（1）知，又，
则由正弦定理，，
，， 又在中，,
则
，
，，，
故.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点、，
依题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意可得直线的斜率存在且不为，
设直线的方程为，设点、，
由得，，可得，
由韦达定理可得， ，
已知，则，同理可得，
所以
.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）底面为直角梯形，，为直角，，，
，，得，所以，
又平面平面，平面平面，平面，则平面，
又平面，，
又侧面为等腰直角三角形，，，
又，平面，又平面，所以，．
（2）平面平面，平面平面，
可过点作垂足为，
由题意知为等腰直角三角形，故点为线段的中点，且，
分别以过点与直线，平行的直线为轴，轴，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，

所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，，所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)，56.7
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）根据题意可得，解得；
因为前3组的频率依次为0.1，0.2，0.3，，
所以中位数在50和60之间，设中位数为，则，解得，
所以该市群众每天慢跑时长的中位数约为56.7.
（2）慢跑时长在分钟内有人，
因为男生数与女生数之比为，所以其中男生6人，女生4人，
记“随机抽取2人进行采访，2人均为男生”为事件，
所以.
（3）因为用样本估计总体，所以任取1人时长在的概率为，
随机变量服从二项分布，即，的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
.
19．（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析．
【详解】（1）函数的定义域为．
当时，，所以，
易知在上单调递增，且．
则在上，在上，
从而在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：，所以，且．
设，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
由即，设
，则在上单调递增且．
则当时，都恰有一个，使得，
且当时，当时，
因此总有唯一的极小值点．
所以，从而，
极小值
由，可得当时，即，
随增大而增大，易得．
令，则，设，
，所以在上单调递减，且，从而．
即．