辽宁省丹东市凤城市第二中学2024-2025学年高二下学期6月教学质量检测数学试卷（PDF版、含答案）

凤城二中高二学年 2025年 6月考教学质量检测
高二数学
考试时间：120分钟满分 150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：共 8小题，每小题 5分，共 40分.
f x f x f x
1. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确
的是（ ）
A. 0 f 4 f 4 f 3 f 3
B. 0 f 3 f 4 f 4 f 3
C. 0 f 4 f 3 f 4 f 3
D. 0 f 4 f 3 f 4 f 3
2. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐
号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的 3 倍，和谐号列车的正点率为
0.98，复兴号列车的正点率为 0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875
3. 随机变量 X N (110,92 )，Y N (100,192 ) ，若 P X A P Y A ，那么实数 A
的值为（ ）
第 1页/共 24页
A. 119 B. 120 C. 121 D. 122
1
4. 2若函数 f x lnx x ax在 0, 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
2
A. 2, B. 2, C. , 2 D.
, 2
5. 某种植基地统计出花卉种植面积 y与年份 x的数据如下：
x 1 2 3 4 5
y 5 7 9 10 14
根据上表数据得到 y关于 x的线性回归方程为 y 2.1x a ，则第 6 年的花卉种植面积约为
（ ）
A. 17 B. 16 C. 15.3 D. 15
6. 已知函数 f x x 1 x 2 x 3 x 4 ，则 f x 的图象在 x 2处的切线方程为
（ ）
A. 2x y 4 0 B. 2x y 4 0
C. x y 2 0 D. x y 2 0
7. 已知 f (x)是函数 f (x) 的导函数，对于任意实数 x都有 f (x) f (x) ex (2x 3)，
f (0) 4，则不等式 f (x) 4ex的解集为（ ）
A. ( ,0) (3, ) B. ( , 1) (4, ) C. (0,3) D. ( 1,4)
8. 已知定义在 (0, )的函数 f (x) ，满足 f (x 1) 2 f (x) 2x，且 f (1) 0，则 f (100)
的值为（ ）
A. 99 299 B. 99 299 C. 100 2100 D.
100 2100
二、多项选择题：共 3小题，每小题 6分，共 18分.
9. 已知随机事件 A，B发生的概率分别为 P(A) 0.3,P(B) 0.6 ，下列说法正确的有（ ）
A. 若 P(AB) 0.18，则 A，B相互独立 B. 若 A，B相互独立，则
P B A 0.6
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C. 若P B A 0.4 ，则 P(AB) 0.12 D. 若 A B，则 P A B 0.3
10. 已知数列 an 的首项为 4，且满足 2 n 1 an nan 1 n N* ，则（ ）
a
A. n 为等差数列 B. an 为递增数列
n
2
C. a n 2n 的前 n项和 Sn n 1 2 4
a
D. n n n n
2n 1
的前 项和T
n 2
11. f x xex已知函数 a，则（ ）
A. f x 在区间 0,2 上单调递增
B. f x 1有最大值 a
e
C. 当 a 0 时， y f x 的图象过 1,0 的切线有且仅有 2 条
1
D. 关于 x的方程 f x 0有两个不等实根，则 a的取值范围是 ,
e
三、填空题：共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知数列 an 满足 an+1=3an 4, a1 1，则 an __________.
13. 已知 a,b,c,d 成等差数列，函数 f (x) x3 3bx2 cx b2 在 x 1时有极值 0，则
d a ______．
14. x x
b 1
已知函数 f x xe ax be ab a 0 ，若 f x 0，则 的最大值为
a
__________.
四、解答题
15. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了 100 名学生
调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图
1 为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图 2 为学生一个星期内整理数学错题天数的
扇形图．若本次数学成绩在 110 分及以上视为优秀，将一个星期有 4 天及以上整理数学错题
视为“经常整理”，少于 4 天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题
的学生占 70％．
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数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
（1）求图 1 中 m的值；
（2）根据图 1、图 2 中的数据，补全上方2 2列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概
率不超过 5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽
样，随机抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2 人进行座谈．这 2 名同学中经常整理
错题且数学成绩优秀的人数 X的分布列和数学期望．
n(ad bc)2 2附： ， n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( 2 k ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16. 已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n．
（1）求 an 的通项公式；
b 1（2）设 n ，T ba a n 为数列 n 的前 n项和，若对任意的 n N
*，不等式 Tn n 5恒
n n 1
成立，求实数 的取值范围．
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17. 已知 f x 1 4 x3 bx2 cx bc， 在 x 1处取得极值 ，
3 3
（1）求b，c的值.
（2） f x 在区间 4,4 上的最值.
18. 已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 an 1 3 Sn 1 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令bn nan，求 bn 的前 n项和Tn ；
1 1 1 8
（3）令 cn an 1，证明： c ．1 c2 cn 9
19. 设函数 f x ln x ax, x R．
（1）若 a 1，求 f x 在 e, e 1 处的切线方程；
（2）讨论函数 f x 的单调性；
（3）若 f x x 1恒成立，求实数 a的取值范围．
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凤城二中高二学年 2025年 6月考教学质量检测
高二数学
考试时间：120分钟满分 150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案
写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：共 8小题，每小题 5分，共 40分.
f x f 1. x f x 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确
的是（ ）
A. 0 f 4 f 4 f 3 f 3
B. 0 f 3 f 4 f 4 f 3
C. 0 f 4 f 3 f 4 f 3
D. 0 f 4 f 3 f 4 f 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象判断函数增长速度即可得解.
【详解】由图可知， f x 的增长速度越来越慢，所以0 f 4 f 3 ，
f
f 4 f 3
4 f 3
表示在 3, 4 上的平均变化率，
4 3
第 6页/共 24页
由图可知0 f 4 f 4 f 3 f 3 .
故选：A
2. 随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高．据统计，途经某车站的只有和谐
号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的 3 倍，和谐号列车的正点率为
0.98，复兴号列车的正点率为 0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ）
A. 0.9825 B. 0.9833 C. 0.9867 D. 0.9875
【答案】A
【解析】
【分析】利用全概率公式可得答案.
3 1
【详解】依题意，设到达该车站列车为和谐号列车的概率为 ，为复兴号列车的概率为 ，
4 4
3 1
则一列车能正点到达该车站的概率为 0.98 0.99 0.9825 .
4 4
故选：A.
3. 随机变量 X N (110,92 )，Y N (100,192 ) ，若 P X A P Y A ，那么实数 A
的值为（ ）
A. 119 B. 120 C. 121 D. 122
【答案】A
【解析】
【分析】利用正态分布3 原则来研究概率，即可判断各选项.
【详解】当 A 119时，由于 P X 119 P X 110 9 P X ,
P Y 119 P Y 100 19 P Y ,
所以 P X 119 P Y 119 ，故 A 正确，
当 A 120,121,122 时，此时 A 2 ，故无法判断是否相等，故 BCD 都不正确，
故选：A．
1
4. 2若函数 f x lnx x ax在 0, 上单调递增，则实数 a的取值范围是（ ）
2
A. 2, B. 2, C. , 2 D.
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, 2
【答案】C
【解析】
1 1
【分析】由题意可得 a≤ x对 x 0, 恒成立，利用基本不等式求得 y x的最
x x
小值即可.
【详解】因为函数 f x lnx 1 x2 ax在 0, 上单调递增，
2
所以 f x 1 x a 0对 x 0, a 1恒成立，所以 ≤ x对 x 0, 恒成立，
x x
即 a
1
x 1 ，又 y
1 1
x 2 x 2，当且仅当 x，即 x 1时取等号，
x min x x x
所以 a 2，得到实数 a的取值范围是 , 2 .
故选：C.
5. 某种植基地统计出花卉种植面积 y与年份 x的数据如下：
x 1 2 3 4 5
y 5 7 9 10 14
根据上表数据得到 y关于 x的线性回归方程为 y 2.1x a ，则第 6 年的花卉种植面积约为
（ ）
A. 17 B. 16 C. 15.3 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】计算平均数可得样本中心，代入回归方程求解 a 2.7，最后将 x 6 代入回归方
程计算即可.
1 2 3 4 5 5 7 9 10 14
【详解】由表中数据可得 x 3, y 9，故样本中心
5 5
为 (3,9)，
将 (3,9)代入 y 2.1x a 可得 a 2.7，所以线性回归方程为 y 2.1x 2.7 ，
当 x 6 时， y 2.1 6 2.7 15.3，故第 6 年的花卉种植面积约为15.3 .
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故选：C
6. 已知函数 f x x 1 x 2 x 3 x 4 ，则 f x 的图象在 x 2处的切线方程为
（ ）
A. 2x y 4 0 B. 2x y 4 0
C. x y 2 0 D. x y 2 0
【答案】A
【解析】
【分析】构建 g x x 1 x 3 x 4 ，可得 f x x 2 g x ，求导，结合导数
的几何意义求切线方程.
【详解】构建 g x x 1 x 3 x 4 ，
则 f x x 2 g x ， f x g x x 2 g x ，
可得 f 2 0 ， f 2 g 2 2 ，可知切线坐标为 2,0 ，切线斜率 k 2，
所以切线方程为 y 2 x 2 ，即 2x y 4 0 .
故选：A.
7. 已知 f (x)是函数 f (x) 的导函数，对于任意实数 x都有 f (x) f (x) ex (2x 3)，
f (0) 4，则不等式 f (x) 4ex的解集为（ ）
A. ( ,0) (3, ) B. ( , 1) (4, ) C. (0,3) D. ( 1,4)
【答案】A
【解析】
f (x) f (x)
【分析】根据要求解的不等式可变形为 x 4，构造函数 g(x) x ，并结合已知e e
f (x) f (x) ex (2x 3)可得 g(x) x2 3x c，从而得 f (x) e x(x 2 3x c) ，利用
f 0 4 求得参数 c的值，由此可将不等式 f (x) 4ex 化为 x2 3x 4 4 ，即可求得答
案.
g(x) f (x) , f
(x) f (x)
【详解】令 x ① 则 g
(x) ，
e ex
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∵ f (x) f (x) ex (2x 3)，
f (x) f (x)
∴ x 2x 3，e
即 g x 2x 3 ，
∴ g(x) x2 3x c（c为常数）②，
f (x)
由①②知， x x
2 3x c ，
e
∴ f (x) e x(x 2 3x c) ，又 f 0 4 ，
∴ e0 c 4 ，即 c 4 ，
f (x)
x x
2 3x 4 ，
e
f (x) 2
不等式 f (x) 4ex 即 x x 3x 4 4，e
∴ x 0 或 x 3，
即不等式 f (x) 4ex的解集为 ,0 3, ，
故选：A.
8. 已知定义在 (0, )的函数 f (x) ，满足 f (x 1) 2 f (x) 2x，且 f (1) 0，则 f (100)
的值为（ ）
A. 99 299 B. 99 299 C. 100 2100 D.
100 2100
【答案】B
【解析】
x
【分析】通过已知的递推公式 f x 1 2 f x 2 ，逐步推导出 f x 的表达式，进而
求出 f 100 的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，
再得到 f x 的通项公式，最后代入 x 100 求值.
【详解】因为 f x 1 2 f x 2x ，等式两边同时除以 2x 1 ，
f x 1 f x 1
得到 .
2x 1

2x 2
第 10页/共 24页
f xg x 设 ，则 g x 1
f 1
1 g x ，且x g 1 1 0 .2 2 2
所以 g x 1是以 0 为首项， 为公差的等差数列.
2
1 x 1
所以该数列的通项公式为 g x 0 x 1 .
2 2
f x 2x g x 2x x 1 x 1 2x 1所以 .
2
所以 f 100 100 1 2100 1 99 299 .
故选：B.
二、多项选择题：共 3小题，每小题 6分，共 18分.
9. 已知随机事件 A，B发生的概率分别为 P(A) 0.3,P(B) 0.6 ，下列说法正确的有（ ）
A. 若 P(AB) 0.18，则 A，B相互独立 B. 若 A，B相互独立，则
P B A 0.6
C. 若P B A 0.4 ，则 P(AB) 0.12 D. 若 A B，则 P A B 0.3
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用条件概率公式及独立事件的定义逐项分析即得.
【详解】因为随机事件 A，B发生的概率分别为 P(A) 0.3,P(B) 0.6 ，
对于 A，因为 P(AB) 0.18 P(A)P(B) 0.3 0.6 ，所以 A，B相互独立，故 A 正确；
对于 B，若 A，B相互独立，则 P B A P(B) 0.6，故 B 正确；
P AB P AB对于 C，若 P B A 0.4 ，则 P(AB) 0.12，故 C 正确；P A 0.3
P A
对于 D，若 A B，则 P A B 0.3 0.5，故 D 错误.
P B 0.6
故选：ABC
10. 已知数列 an 的首项为 4，且满足 2 n 1 an nan 1 n N* ，则（ ）
an A. 为等差数列 B. an 为递增数列
n
第 11页/共 24页
2
C. an 的前 n n 2
a
项和 Sn n 1 2 4 D. n n nn 1 的前 n项和T 2 n 2
【答案】BCD
【解析】
a a an
【分析】由 2(n 1)an nan 1得 n 1 2 n ，所以可知数列 是以首项为 4，公比为n 1 n n
2 的等比数列，从而可求出 an n 2
n 1
，可得数列 an 为递增数列，利用错位相减法可求
n 1
得 an 的前 n a n 2项和，由于 nn 1 n，从而利用等差数列的求和公式可求出数列2 2n 1
an
2n 1
的前 n项和Tn ．

【详解】对于选项 A：由 2(n 1)an na
a
，得 n 1
a
n 1 2 n ，n 1 n
an a
所以 是以 1 a1 4 为首项，2 为公比的等比数列，故 A 错误； n 1
a
B n 4 2n 1 2n 1 a n 2n 1对于选项 ：因为 ，即
n n
，
a 0 an 1 n 1 2
n 2

1
显然 n ，且 n 1 2 1 1，即 an 1 aa n
，
n n 2 n
所以 an 为递增数列，故 B 正确；
C S 1 22 2 23 n 2n 1对于选项 ：因为 n ，
2S 3 4 n 2则 n 1 2 2 2 n 2 ，
22 1 2n
两式相减得 S 1 22 23 L 2n 1

n n 2
n 2 n 2n 2 1 n 2n 2 4 ，
1 2
所以 Sn (n 1) 2
n 2 4，故 C 正确；
a n 2n 1
对于选项 D：因为 n ，
2n 1

2n 1
n
an n(1 n) n2 n
所以
2n 1
的前 n项和Tn ，故 D 正确． 2 2
第 12页/共 24页
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：错位相减法的关注点
1.适用题型：等差数列 an 与等比数列 bn 对应项相乘 an bn 型数列求和；
2.步骤：①求和时先乘以数列 bn 的公比；②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式．
11. 已知函数 f x xex a，则（ ）
A. f x 在区间 0,2 上单调递增
f x 1B. 有最大值 a
e
C. 当 a 0 时， y f x 的图象过 1,0 的切线有且仅有 2 条
1
D. 关于 x的方程 f x 0有两个不等实根，则 a的取值范围是 ,
e
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断 A 选项；分析函数 f x 的单调性，利用函
t
数的最值与导数的关系可判断 B 选项；设切点坐标为 t, te ，利用导数求出切线方程，再
将点 1,0 x的坐标代入切线方程，判断关于 t的方程解的个数，可判断 C 选项；令 g x xe ，
求导得到其单调性和最值，数形结合可判断 D 选项.
【详解】对于 A x选项，对任意的 x 0, 2 ， f x x 1 e 0恒成立，
所以， f x 在区间 0,2 上单调递增，A 对；
对于 B 选项，当 x 1时， f x 0，当 x 1时， f x 0 .
所以在区间 , 1 上 f x 单调递减，在区间 1, 上 f x 单调递增，
所以 f x 有最小值 f 1 1 a，无最大值，B 错；
e
对于 C 选项，当 a 0 时， f x xe x，设切点为 t, tet ，
f x x 1 ex，则切线斜率为 t 1 et ，
y f x t, tet t t所以曲线 在点 的切线方程为 y te t 1 e x t ，
第 13页/共 24页
将点 1,0 t的坐标代入切线方程为 te 1 t t 1 et，整理可得 t 2 t 1 0，
1 4 5 0 ，即方程 t 2 t 1 0有两个不等的实根，
所以，当 a 0 时， y f x 的图象过 1,0 的切线有且仅有 2 条，C 对；
对于 D 选项，方程 f x 0 ，即 xex a 0 xex a ，
令 g x xe x，而 g x ex xex ex x 1 ，
当 x 1时， g x 0，当 x 1时， g x 0 .
所以在区间 , 1 上 g x 单调递减，在区间 1, 上 g x 单调递增，
当 x 0 时 g x 0 ，且 g 0 0 ，如图，
要使方程 f x 1 0 有两个不等实根， a的范围是 ,0 ，D 错.
e
故选：AC.
三、填空题：共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12. 已知数列 an 满足 an+1=3an 4, a1 1，则 an __________.
【答案】3n 2
【解析】
【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式.
【详解】∵ an+1=3an 4，由 an 1 p a an p ，解得 a 3, p 2，
∴有 an 1 2 3 an 2 ，
an 2 是首项为 a1 2 3，公比为 3 的等比数列，
所以 an 2=3
n a =3n，∴ n 2 .
故答案为：3n 2 .
第 14页/共 24页
13. 已知 a,b,c,d 成等差数列，函数 f (x) x3 3bx2 cx b2 在 x 1时有极值 0，则
d a ______．
【答案】21
【解析】
【分析】由 f ( 1) 0, f 1 0，求得b,c，并验证，再结合等差数列概念即可求解.
【详解】 f (x) 3x2 6bx c，
由题意 f ( 1) 0, f 1 0，
1 3b c b2 0 b 2 b 1
即 ，解得： 或 ，
3 6b c 0 c 9 c 3
b 1
当 时， f (x) x3c 3 3x
2 3x 1， f (x) 3x2 6x 3 0，

此时函数单调递增无极值，舍去，
b 2
经验证 符合题意，
c 9
因 a,b,c,d 成等差数列，所以 d a 3 c b 21 .
故答案为： 21
14. 已知函数 f x xex ax bex ab a 0 b 1，若 f x 0，则 的最大值为
a
__________.
【答案】1
【解析】
【分析】由函数不等式恒成立可得a eb，再构造函数 g a ，求导分析单调性，得到最值
即可.
f x xex ax bex【详解】 ab x b ex a ，
因为 f x 0 x恒成立，所以 x b e a 0恒成立，所以 a eb，
b 1 ln a 1
所以 ，
a a
第 15页/共 24页
令 g a ln a 1 ln a ， a 0 ，则 g a 2 ，令 g a 0 a 1，a a
所以当 a 0,1 时，g a 0 ，g a 为增函数；当 a 1, 时，g a 0 ，g a 为
减函数；
所以 g a g 1 1，
b 1
所以 的最大值为 1.
a
故答案为：1
四、解答题
15. 为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了 100 名学生
调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图
1 为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图 2 为学生一个星期内整理数学错题天数的
扇形图．若本次数学成绩在 110 分及以上视为优秀，将一个星期有 4 天及以上整理数学错题
视为“经常整理”，少于 4 天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题
的学生占 70％．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
（1）求图 1 中 m的值；
（2）根据图 1、图 2 中的数据，补全上方2 2列联表，根据调查数据回答：在犯错误的概
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率不超过 5％的前提下，可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关吗？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽
样，随机抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2 人进行座谈．这 2 名同学中经常整理
错题且数学成绩优秀的人数 X的分布列和数学期望．
n(ad bc)2
附： 2 ， n a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
P( 2 k ) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】（1）m 0.015
（2）表格见解析，有 （3）分布列见解析， 0.7
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图各个小矩形的面积和为 1，求出m的值；
（2）先求出数学优秀和不优秀的人，常整理错题和不经常整理错题的人，得到2 2列联表，
根据2 2列联表求出 2 值，从而得出判断；
（3）先求出 X 的可能取值，并求出相应取值的概率，从而求出分布列和期望.
【小问 1 详解】
由题意可得 0.0025 0.005 0.0175 m 0.01 20 1，
解得m 0.015；
【小问 2 详解】
数学成绩优秀的有100 50% 50人，不优秀的人100 50% 50人，
经常整理错题的有100 40% 20% 60 人，不经常整理错题的是100 60 40人，
经常整理错题且成绩优秀的有 50 70% 35人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
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不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为H0 ：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
2 100(35 25 15 25)
2 25
根据列联表中的数据，经计算得到可得 4.167 3.841，
50 50 60 40 6
由于 4.167 3.841，所以在犯错误的概率不超过 5％的前提下，
可以认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联；
【小问 3 详解】
由分层抽样知，随机抽取的 5 名学生中经常整理错题的有 3 人，
不经常整理错题的有 2 人，则 X 可能取为 0，1，2，
经常整理错题的 3 名学生中，恰抽到 k人记为事件 Ak k 0,1,2 ，
Ck C2 k
则 P A 3 2k C2 (k 0,1,2,3)5
参与座谈的 2 名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到m人记为事件
Bm m 0,1,2
则 P(B0 | A0 ) 1， P(B | A )
5
0 1 ，P(B0 | A2 ) (
5 )2 25 ， P(B | A ) 7 ，
12 12 144 1 1 12
P(B 1 5 7 35 7 2 491 | A2 ) C2 ，P(B2 | A2 ) ( ) ，12 12 72 12 144
P X 0 P A0 P(B0 A0 ) P A1 P(B0 A1) P A2 P(B0 | A2 )
C2 1 12 1 C3C2 5 C
2
3 25 193 2 2 2 ，C5 C5 12 C5 144 480
P X 1 P A1 P(B1 A1) P A2 P(B1 A2 )
C1C1 7 C23 2 3 35 238 2 ，C5 12 C
2
5 72 480
2
P X 2 P A2 P(B
C3 49 49
2 | A2) ，C25 144 480
故 X的分布列如下：
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X 0 1 2
193 238 49
P
480 480 480
193 238 49
则可得 X的数学期望为 E X 0 1 2 0.7．
480 480 480
16. 已知数列 an 的前 n项和 Sn n2 n．
（1）求 an 的通项公式；
1
（2）设b *n ，Tn 为数列 bn 的前 na a 项和，若对任意的 n N ，不等式 Tn n 5恒n n 1
成立，求实数 的取值范围．

【答案】（1） an 2n, n N
（2） , 42
【解析】
【分析】（1）利用 Sn与 an 的关系求出数列 an 的通项公式，
（2）由（1）的结论，用裂项相消法求得Tn ，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调
性与最值，求实数的取值范围.
【小问 1 详解】
当 n 1时， a1 S1 2，
2
当 n 2 时， an Sn Sn 1 n n n 1
2 n 1 2n，
当 n 1时， a1 2成立，
所以 an 2n, n N
【小问 2 详解】
b 1 1 1 1 1由（1）得 n

a a ，n n 1 2n 2n 2 4 n n 1
T 1 1 1 1 1 1 1 1 n所以 n
，
4 2
2 3 n n 1 4 n 1
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T n 5 1 n
n 5 n 1
则 n n 5 4

4 n 5 6 ，
4 n 1 n n
5
由函数 y x 6在 0, 5 上单调递减，在 5, 上单调递增，x
当 x 1时， y 12
21
；当 x 2时， y ；
2
5 32
当 x 3时， y 3 6 ，
3 3
5
所以当 x 2时， 4 n 6 取最小值为 42，所以 42 ，
n
所以实数 的取值范围为 , 42 .
f x 117. 已知 x3 bx2 cx bc 4， 在 x 1处取得极值 ，
3 3
（1）求b，c的值.
（2） f x 在区间 4,4 上的最值.
【答案】（1）b 1,c 3
4 85
（2）最大值为 ，最小值为
3 3
【解析】
4
【分析】（1）求导，利用在 x 1处的导数值为 0，并且 f (1) ，解之检验即可求解；
3
（2）结合（1）的结果，列出在 x [ 4,4]时，随 x的变化， f (x), f (x)的变化情况，进而
即可求解.
【小问 1 详解】
1 3 2
因为函数 f x x bx cx bc，所以 f (x) x 2 2bx c，
3
4
又函数 f (x) 在 x 1处取得极值 .
3
f 1 1 2b c 0 1 2b c
b 1
则有 ，即 1 4 1
，解得：
f 1 b c bc b 1 2b b 1 2b
4
c 3
3 3 3 3
b 1
或
c 1
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经检验，b 1,c 1时， f x x2 2x 1 x 1 2 0, f x 单调递减，无极值不
符合题意，
经检验，b 1,c 3时，符合题意，故b 1,c 3 .
【小问 2 详解】
1
由（1 3 2 2）知：函数 f x x x 3x 3，则 f x x 2x 3，
3
令 f (x) 0，解得： x1 3, x2 1，
在 x [ 4,4]时，随 x的变化， f (x), f (x)的变化情况如下表所示：
x 4 ( 4, 3) 3 ( 1,1) 1 (1, 4) 4
f (x) 0 0
单调递 单调递 单调递
f (x) 29 4 85 12
3 减 增 3 减 3
由表可知：当 x 1时，函数 f (x) 有极大值 f (1)
4
；
3
当 x 3时，函数 f (x) 有极小值 f ( 3) 12；
因为 f ( 4) 29 ， f (4) 85 ，
3 3
故函数 f (x) 在[ 4,4] 85上的最小值为 f (4) ，最大值为 f (1) 4 .
3 3
18. 已知等比数列 an 的前 n项和为 Sn，且 an 1 3 Sn 1 ．
（1）求数列 an 的通项公式；
（2）令bn nan，求 bn 的前 n项和Tn ；
1 1 1 8
（3）令 cn an 1，证明： c1 c2 c
．
n 9
n- 1
【答案】（1） an = 3 4
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T n 1 n 1（2） n 4
3 3
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据 an 和 Sn关系求得 an 1 4an n 2 ，即可求出公比 q 4，再利用条件
求出 a1 3，即可求解通项公式.
（2）利用错位相减法求和即可.
1 1 2
（3）通过变形得 n 1 dc 3 4 1 3 4n 1 n，结合等比数列求和公式及数列的有界性证n
明即可.
【小问 1 详解】
由 an 1 3 Sn 1 ，得 an 3 Sn 1 1 n 2 ，
两式相减，得 an 1 an 3an n 2 ，
即 an 1 4an n 2 ，又 an 是等比数列，故公比q 4，
由 a n- 12 3 a1 1 4a1，知 a1 3，则 an = 3 4 ．
【小问 2 详解】
n 1
由题bn nan 3n 4 ，
则Tn 3 4
0 6 41 3n 4n 1，
4Tn 3 4
1 6 42 3n 4n，
两式相减，得
3 1 4n
3Tn 3 1 41 42 4n 1 3n 4n 3n 4n 1 3n 4n 1，1 4
T 1 n 1即 n n 4 ．
3 3
【小问 3 详解】
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2 1 3 4n 1 1 1cn an 1 3 4n 1 1，由 3 4n 1 0，3 4n 1 1 3 4n 1 3 4n 1 1
1 1 2
得： n 1 dcn 3 4 1 3 4
n 1 n
2 n 1
1
1 1 1 3 4

则 d1 d2 d
8 1 1 8 .
c c c n n 1 2 n 1 1 9 4 9
4
19. 设函数 f x ln x ax, x R．
（1）若 a 1，求 f x 在 e, e 1 处的切线方程；
（2）讨论函数 f x 的单调性；
（3）若 f x x 1恒成立，求实数 a的取值范围．
1
【答案】（1） y 1e
x

,1 1 （2）答案见解析 （3）
e2
【解析】
'
【分析】（1）先求 f x ，进而求切线斜率，再用点斜式求方程即可；
2 a 0 a 0 f '（ ）分 和 两种情况，分别研究 x 的正负性即可；
x 1 ln x
（3）利用参变分离，构造函数 g x ，求其最小值即可.
x
【小问 1 详解】
由题意 f x ln x x f '，得 x 1 1 1，所以切线的斜率为 k 1，
x e
y 1 1e, e 1 所以曲线在 处的切线方程为 1 x e e 1，即 y 1 x，
e e
则 f x 1在 e, e 1 处的切线方程为 y 1 x .
e
【小问 2 详解】
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由 f x ln x ax ' 1，则 f x a， x 0 ，
x
a 0 f '当 时， x 0恒成立，则 f x 在 0, 上单调递增；
a 0 '
1 ' 1
当 时， f x 0得0 x ； f x 0得 x ，
a a

则 f x 在 0,
1 1 上单调递增，在 ,

上单调递减．
a a
综上，当 a 0时， f x 在 0, 上单调递增；
1 1
当 a 0 时， f x 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减．
a a
【小问 3 详解】
由题意 ln x ax x 1恒成立，
a x 1 ln x a
x 1 ln x
因为 x 0 ，即得 恒成立，即 x
， x 0 ，
x min
g x x 1 ln x
1 1 x 0 x x 1 ln x 记 ， ，则 g ' x x ln x 2 ，x 2 x x2
令 g ' x 0 '得 0 x e2 ； g x 0 可得 x e2 ，
则 g x 在 0,e2 2上单调递减，在 e , 上单调递增，
2 1 1
所以 g x gmin e 1 2 ，所以a 1 e e2 ，
1
则实数 a的取值范围为 ,1 2 ． e
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