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2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（广东专用）
八年级数学
时间：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式的定义，解题的关键是熟记判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．根据分式定义逐项判断即可．
【详解】解：、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是整式，不是分式，此选项不符合题意，排除；
、是分式，此选项符合题意；
故选：．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形定义，轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故不符合题意；
故选：B．
3．将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据“上加下减，左减右加”的平移规律求解即可．
【详解】解：∵将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，
∴点B的坐标为，即，
故选：B．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式进行因式分解，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、，因式分解错误，不符合题意；
C、等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是因式分解，符合题意；
故选D．
5．、都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键，特别是性质3不等式的两边同乘或同除同一个负数，不等号的方向改变．
根据不等式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：A、 ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B、 ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
C、∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
D、∵，∴当时，不成立，符合题意；
故选：D．
6．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x，y的变化找出分子分母的变化．依题意，x和y都扩大为原来的倍，那么分母扩大倍，即，分子扩大倍，即，整理式子即可作答．
【详解】解：∵把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，
∴分母扩大倍，即，
∴分子扩大倍，即，
那么，
所以缩小为原来的，
故选：D．
7．如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定性质、等角对等边、直角三角形的两个锐角互余等知识点，证明是解题的关键．由于点，可以得到和是直角三角形，根据直角三角形的判定“”，可以证明,得到，进而得到．
【详解】解：∵于点
∴
在和中
∴
∴
∴
∴
∴
故选：B．
8．为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找出题中的等量关系．
设乙组每小时做个虾饺，根据“甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同”列出方程．
【详解】解：设乙组每小时做个虾饺，则甲组同学平均每小时做个虾饺，
根据题意，得，
故选： A．
9．如图，在中，点在上，且平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】D
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的性质．过点E作于点F，根据直角三角形的性质可得，再根据平行四边形的性质以及平分可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作于点F，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D
10．如图，在中，，将周长为12的沿方向平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；② ；③四边形的周长是16；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平移的距离以及图形的面积．根据平移的性质逐一判定即可．
【详解】解：∵将周长为12的沿方向平移2个单位得到，，
∴，，，，，，
∴，故①②正确；
四边形的周长．故③正确；
由平移性质得，
∴，
∴，故④正确，
即结论正确的有4个．
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件．
根据分母不为零即可求出答案．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴．
故答案为：．
12．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形．
【答案】6
【分析】本题考查了多边形内角和定理的应用，根据边形内角和定理，列方程解答即可，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，由内角和公式可得
解得，
故答案为6．
13．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解；先提取公因式2，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
14．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系， 只需要找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由题意得，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
15．如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，连接，取中点K，连接，由三角形中位线定理推出，，，，得到，求出，，由勾股定理即可求出的长．
【详解】解：连接，取中点K，连接，
∵P，Q分别为的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．先化简，再求值：，其中．
【答案】，.
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内的分式的加法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可．
【详解】解：
把代入上式，得原式.
17．如图，在中，，是边延长线上一点．
（1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴．
又∵，
∴是等边三角形．
18．按下列步骤解不等式组：
（1）解不等式①，得：______
（2）解不等式②，得：______
（3）不等式组的解集在数轴上表示为：
（4）不等式组的解集是______
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练解每个不等式，准确利用数轴确定不等式组的解集．
（1）解不等式，填空即可；
（2）解不等式，填空即可；
（3）根据不等式的解集，再数轴上表示出即可；
（4）根据数轴上的解集的公共部分，确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解：解不等式①，得，
故答案为：．
（2）解：解不等式②，
去分母得，，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，．
故答案为：．
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）解：根据（3）中解集，可知不等式组的解集为，
故答案为：．
四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在中，连结对角线，点E和点F是外两点，且在直线上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明是解题的关键．
（1）由，推导出，由平行四边形的性质得，，则，即可根据“”证明，得，，所以，则四边形是平行四边形；
（2）由，，，求得，则，所以，则，求得．
【详解】（1）证明：点和点是直线上的两点且，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，，
，
，
，
，
，
．
20．将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：．
（1）利用上述方法解决下列问题：
分解因式：①
②．
（2）类比应用：若，满足，求与的值．
（3）延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)
(3)是等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查因式分解，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分组分解法时，要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
（1）①根据“”分法分解因式，即可求解；①根据“”分法即可得出答案；
（2）把原式变形为，则可因式分解得到，再由非负数的性质求解即可；
（3）把原式可因式分解为，根据构成三角形的条件可推出，据此可得结论．
【详解】（1）解：解：①
；
②
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形。
21．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.2倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元．
（1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价；
（2）今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了2元，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？
【答案】(1)去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元
(2)学校至少要购买个品牌足球
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确找出数量关系．
（1）设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，根据题意列方程即可求解；
（2）先求出今年、两种品牌的单价，再设学校今年购买个品牌足球，根据题意列不等式即可求解．
【详解】（1）解：设去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，符合题意，
，
答：去年品牌足球的单价为元，则去年品牌足球的单价为元；
（2）解：∵A品牌比去年降低了2元，
∴今年品牌足球的单价为（元），
今年品牌足球的单价为（元），
设学校今年购买个品牌足球，
根据题意可得：，
解得：，
答：学校至少要购买个品牌足球．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动．
素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间．
素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式：
分时电表 普通电表
峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度
电价0.6元/度 电价0.4元/度
素材三：
小明家 4月 5月 6月 备注
时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价
用电量（度） 250 50 250 100 320 100
小红家 4月 5月 6月 备注
用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价
任务一：
（1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元；
（2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元．
任务二：
（1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式；
（2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样．
任务三：
根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费．
【答案】任务一：（1）170；232；（2）154；231；任务二：（1）；；（2）当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样；任务三：答案不唯一，见解析
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，有理数的混合运算，解一元一次方程，正确理解题意是解题的关键．
任务一：
（1）（2）根据素材三即可求解；
任务二：
（1）根据素材三即可建立函数解析式；
（2）当时，建立一元一次方程，求解即可；
任务三：当，解得：，故的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可）
【详解】解：任务一：
（1），
（2），；
任务二：（1）；
（2）当时，
解得：
∴当时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样
任务三：当，解得：
∴的值尽可能小，建议：为了节省电费，使用分时电表的家庭可以减少峰时使用电器时间，这样才能更节省电费（答案合理即可）
23．是等边三角形，点E是射线上的一点（不与点B，C重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
（1）如图1，当点E为中点时，线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请求出的长．
【答案】(1)
(2)成立，证明见解析
(3)或
【分析】（1）证明，进一步可得答案；
（2）连接，可证明，从而，，进而得出，从而得出，从而，结合得出四边形是平行四边形，从而得出；
（3）分为两种情形：当点在的延长线上时，作于，可得出和，从而，进而得出，进一步得出结果；当点在上时，作于，可得出，即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，点是的中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（2）解：结论成立，证明如下：
连接，，如图，
和是等边三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
∴，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：当点在的延长线上时，作于，连接，如图，
，
∴
，
，
，
由（2）知：，
和是等边三角形，
∴
当点在上时，作于，如图，
同上知：和是等边三角形，
∴，
，
，
，
∵
∴
，
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型．中小学教育资源及组卷应用平台
2024~2025学年度第二学期数学期末模拟卷（广东专用）
八年级数学
时间：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）
1．下列各式是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．将点按如下方式进行平移：先向上平移2个单位，再向左平移3个单位后与点重合，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．、都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍
C．不变 D．缩小为原来的
7．如图，在中于点，为上一点，连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
8．为弘扬广府饮食文化，某校开展“广东点心制作”实践活动．已知甲组同学平均每小时比乙组多做个虾饺，甲组制作个虾饺所用的时间与乙组制作个虾饺所用的时间相同．求甲、乙两组同学平均每小时各做多少个虾饺．若设乙组每小时做个虾饺，可列出关于的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点在上，且平分．若，，则的面积为（ ）
A． B． C．16 D．32
10．如图，在中，，将周长为12的沿方向平移2个单位得到，连接，则下列结论：①，；② ；③四边形的周长是16；④，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
12．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形．
13．因式分解： ．
14．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
15．如图，已知，延长直角边至点，使，为直角边上的点，且，连接，、分别为，的中点，连接，则 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．先化简，再求值：，其中．
17．如图，在中，，是边延长线上一点．
（1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）；
（2）在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形．
18．按下列步骤解不等式组：
（1）解不等式①，得：______
（2）解不等式②，得：______
（3）不等式组的解集在数轴上表示为：
（4）不等式组的解集是______
四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题9分，共27分）
19．如图，在中，连结对角线，点E和点F是外两点，且在直线上，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，，，求的长．
20．将一个多项式适当分组，并分别运用提公因式法或公式法进行分解，最后将多项式因式分解的方法叫做分组分解法，常见的分组分解法的形式有：“”等分法．如“”分法：．再如“”分法：．
（1）利用上述方法解决下列问题：
分解因式：①
②．
（2）类比应用：若，满足，求与的值．
（3）延伸探究：若三边满足，请判断的形状，并说明理由．
21．某学校去年通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费3000元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.2倍，每个足球的售价A品牌比B品牌便宜12元．
（1）求去年A品牌足球和B品牌足球的单价；
（2）今年需要从该店再购买A、B两种足球共60个，已知今年该店对每个足球的售价进行了调整，A品牌比去年降低了2元，B品牌比去年提高了，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校至少要购买多少个A品牌足球？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“家庭用电成本”为主题的综合实践活动．
素材一：入夏以来，为提倡居民错时用电，避免用电高峰，实行峰谷分时计价制度，8：00到22：00是峰时时间，22：00到次日8：00为谷时时间．
素材二：F市从1月份开始实行新的收费政策，该政策有两种用电收费方式：
分时电表 普通电表
峰时（8：00到22：00） 谷时（22：00到次日8：00） 电价0.55元/度
电价0.6元/度 电价0.4元/度
素材三：
小明家 4月 5月 6月 备注
时刻 峰时 谷时 峰时 谷时 峰时 谷时 安装分时电表，实施分时电表计价
用电量（度） 250 50 250 100 320 100
小红家 4月 5月 6月 备注
用电量（度） 280 340 420 安装普通电表，实施统一计价
任务一：
（1）小明家4月份电费为______元，6月份电费为______元；
（2）小红家4月份电费为______元，6月份电费为______元．
任务二：
（1）某家庭某月用电量a度（a为常数），其中峰时用电x度，用分时电表计价时总价为元，用普通电表计价时总价为元．分别求出、与用电量之间的关系式；
（2）通过计算判断，当为何值时，家庭使用分时电表和普通电表费用一样．
任务三：
根据分时电表的特点，为了节省电费，应使的值尽可能（填“大”或“小”），请给使用分时电表的家庭提出一条合理建议，使其更加节省电费．
23．是等边三角形，点E是射线上的一点（不与点B，C重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接，交于点M．
（1）如图1，当点E为中点时，线段与的数量关系是 ；
（2）如图2，当点E在线段的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当，时，请求出的长．
