上海浦东新区2009-2010学年九年级上数学期末考试及答案

浦东新区2009学年度第一学期期末初三数学抽测试卷
（测试时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
3．本次测试可使用科学计算器．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是
（A）； （B）； （C）； （D）．
2．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO∶DO=1∶2，那么下列式子错误的是
（A）BO∶CO=1∶2； （B）AB∶CD=1∶2；
（C）AD∶DO=3∶2； （D）CO∶BC=1∶2．
3．对于抛物线y=(x+2)2，下列说法正确的是
（A）最低点坐标是（，0）； （B）最高点坐标是（，0）；
（C）最低点坐标是（0，）； （D）最高点坐标是（0，）．
4．已知二次函数的图像如图所示，那么a、b的符号为
（A）a>0，b>0； （B）a<0，b>0；
（C）a>0，b<0； （D）a<0，b<0．
5．已知非零向量、和，下列条件中，不能判定∥的是
（A）∥，∥； （B）=，=；
（C）=； （D）．
6．已知D是△ABC的边BC上的一点，∠BAD=∠C，那么下列结论中正确的是
（A）； （B）；
（C）； （D）．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝9，c＝4，那么b＝ ．
8．已知甲、乙两地之间的距离为10千米，画在一张地图上的距离为5厘米，那么在这张地图上量得距离为2厘米的A、B两地的实际距离为 千米．
9．已知是二次函数，那么的取值范围是 ．
10．在平面直角坐标系中，如果把抛物线y=x2向左平移5个单位，那么所得抛物线的表达式为 ．
11．已知抛物线，如果点P（，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q的坐标是 ．
12．请写出一个以直线为对称轴，且在对称轴左侧部分是上升的抛物线的表达式，这条抛物线的表达式可以是 ．
13．如果E、F是△ABC的边AB和AC的中点，=，=，那么= ．
14．在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=a，∠B=，那么AB= （用含a和的式子表示）．
15．如果两个相似三角形的面积比为1∶2，那么它们的对应角平分线的比为 ．
16．已知点G是△ABC的重心，AD是中线，AG=6，那么DG= ．
17．小李在楼上点A处看到楼下点B处的小明的俯角是35度，那么点B处的小明看点A处的小李的仰角是 度．
18．如果在△ABC中，AB=AC= 3，BC=2，那么顶角的正弦值为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
如图，已知两个不平行的向量、．
先化简，再求作：．
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
20．（本题满分10分）
已知二次函数的图像经过点（2，-1）和（1，0），求这个二次函数的解析式，并求出它的图像的顶点坐标和对称轴．
21．（本题满分10分）
如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交BD于点G，交DC的延长线于点F，AB=6，BE=3EC，求DF的长．
22．（本题满分10分）
如图是一座大楼前的六级台阶的截面图，每级台阶的高为0.15米，宽为0.30米，现要将它改为无障碍通道（图中EF所示的斜坡），如果斜坡EF的坡角为8 ，求斜坡底部点F与台阶底部点A的距离AF．（精确到0.01米）
（备用数据：tan8 =0.140，sin8 =0.139，cos8 =0.990）
23．（本题满分12分，其中每小题各6分）
已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△ACD；
（2）．
24．（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题6分）
如图，一次函数的图像与轴、轴分别相交于点A和点B，二次函数的图像经过A、B两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求二次函数的解析式；
（3）如果点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，求tan∠CAB的值．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=AB，P是边AC上的一个点，AP=PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由．
浦东新区2009学年度第一学期期末质量抽测试卷
初三数学参考答案及评分说明
一、选择题：
1．C； 2．D； 3．A； 4．B； 5．D； 6．B．
二、填空题：
7．6； 8．4； 9．； 10．； 11．（4，5）； 12．等； 13．； 14．； 15．1∶； 16．3； 17．35； 18．（或0.6285）．
三、解答题：
19．解：原式=…………………………………………………………（2分）
=．……………………………………………………………………（2分）
图（略）．…………………………………………………………………………（5分）
结论．………………………………………………………………………………（1分）
20．解：由题意，得……………………………………………………（2分）
解得……………………………………………………………（2分）
∴这个二次函数的解析式是．…………………………（2分）
顶点坐标是（2，-1），……………………………………………………（2分）
对称轴是直线x=2．………………………………………………………（2分）
21．解：在平行四边形ABCD中，
∵AB∥CD，∴．……………………………………………………（4分）
又∵BE=3EC，AB=6，∴CF=2．………………………………………………（3分）
∵CD=AB=6，∴DF=8．…………………………………………………………（3分）
22．解：作EH⊥AB，垂足为点H．………………………………………………………（1分）
由题意，得EH=0.9，AH=1.5．…………………………………………………（2分）
在Rt△EFH中，，∴．………………………………（3分）
∴FH≈6.429．……………………………………………………………………（2分）
∴AF=FH-AH=6.429-1.5=4.929≈4.93（米）．…………………………………（2分）
注：如果使用计算器产生的误差，也可被认可，如FH≈6.404，AF≈4.90等．
23．证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．………………………（1分）
又∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，∴∠BAE=∠BAD+45°．…（1分）
而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，………………………………………（1分）
∴∠BAE=∠ADC．……………………………………………………………（1分）
∴△ABE∽△ACD．……………………………………………………………（2分）
（2）由△ABE∽△ACD，得．……………………………………（2分）
∴．………………………………………………………（1分）
而AB=AC，，∴．………………………（2分）
∴．…………………………………………………………（1分）
24．解：（1）由题意，得点B的坐标为（0，6）．………………………………………（1分）
∴m=6．………………………………………………………………………（1分）
∴一次函数的解析式为．……………………………………（1分）
（2）由题意，得点A的坐标为（8，0）．………………………………………（1分）
∴．
∴．……………………………………………………………………（1分）
∴二次函数的解析式为．……………………………（1分）
（3）∵点C在这个二次函数的图像上，且点C的横坐标为5，
∴．
∴点C的坐标为（5，6）．…………………………………………………（1分）
作CH⊥AB，垂足为点H．…………………………………………………（1分）
∵点B与点C的纵坐标相等，∴BC∥x轴．
∴∠CBH=∠BAO．…………………………………………………………（1分）
又∵∠CHB=∠BOA=90°，∴△CHB∽△BOA．
∴．
∵OB=6，OA=8，∴AB=10．
∴．………………………………………………………………（1分）
∴CH=3，BH=4，AH=6．…………………………………………………（1分）
∴．………………………………………………………（1分）
25．（1）证明：∵，，∴．…………………………（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．………………………………（1分）
∴∠DAP=∠ACB．…………………………………………………………（1分）
∴AD∥BC．…………………………………………………………………（1分）
（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA．
∴AD=PD．…………………………………………………………………（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．…………………………………………………………（1分）
∵，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴，即．……………………………（1分）
整理，得y关于x的函数解析式为．……………………………（1分）
定义域为．…………………………………………………………（1分）
（3）解：平行．…………………………………………………………………………（1分）
证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD>∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE．…………………………（1分）
∴，即．………………………………………………（1分）
把代入，整理得．
∴x=2，x=-2（舍去）．………………………………………………………（1分）
∴y=4．
∴AP=CP，AB=BE．…………………………………………………………（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．
A
B
C
D
O
（第2题图）
O
x
y
（第4题图）
（第19题图）
A
B
C
D
F
E
（第21题图）
G
B
A
D
E
F
（第22题图）
A
B
D
E
C
（第23题图）
（第24题图）
y
x
O
A
B
C
A
B
C
E
D
P
（第25题图）