福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高二下学期4月半期考试数学试卷（含解析）

福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（ ）
A．4米/秒 B．3米/秒 C．2米/秒 D．1米/秒
2．随机变量的分布列是
5 8 9
则（ ）
A． B． C． D．
3．下列求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在三棱柱中，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
6．临近期末，某中学要对本校高中部一线科任教师进行评教评学调查.调查结果显示，高一年级50名一线科任教师的好评率为0.96，高二年级60名一线科任教师的好评率为0.95，高三年级80名一线科任教师的好评率为0.90.依此估计该中学高中部一线科任教师的好评率为（ ）
A．0.94 B．0.91 C．0.92 D．0.93
7．函数的极小值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，，且事件与相互独立，则（ ）
A． B．
C． D．
10．若函数在定义域内给定区间上存在，使得，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的平均值点．若函数在上有两个不同的平均值点，则的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋
要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（ ）
A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个
C． D．
三、填空题
12．已知函数在处可导，若，则 .
13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为 .
14．已知随机事件满足，则 .
四、解答题
15．将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1～8.现从中任取4个球，以表示所取球的最大号码.
(1)求的分布列；
(2)求的概率.
16．已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求；
(2)求在上的值域.
17．如图，在四棱锥中，，，，．

(1)证明：平面平面．
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．
18．数据显示，中国大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国大模型用户的年龄分布情况，某公司调查了500名中国大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照分组，得到如下的频率分布直方图.
(1)估计中国大模型用户年龄的第60百分位数.
(2)为了进一步了解用户在工作中使用.模型辅助工作的需求，现采用分层抽样的方式，从年龄在内的用户中随机选取7名用户进行座谈，为了感谢这7名用户，公司在座谈后随机赠送每名用户1个礼盒，其中有3个礼盒中设置了幸运大礼.
①求至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率；
②记年龄在内的用户中获得幸运大礼的人数为，求的分布列.
19．已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间上的二阶导函数，则称为上的凹函数，若二阶导函数，则称为上的凸函数.
(1)若函数是上的凸函数，求实数的取值范围.
(2)已知函数.
①若是上的凹函数，求实数的取值范围；
②若在内有两个不同的零点，证明：.
福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高二下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C A D B C BC BC
题号 11
答案 AD
1．A
【详解】由，得，
则物体在秒时的瞬时速度米／秒．
故选：A.
2．B
【详解】由，解得.
故选：B
3．D
【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以B错误，
对于C，因为，所以C错误，
对于D，因为，所以D正确，
故选：D.
4．C
【详解】因为，
所以.
故选：C
5．A
【详解】易知函数定义域为，因为，
所以，令，得，
所以，即，所以的单调递增区间为，
故选：A.
6．D
【详解】该中学高中部一线科任教师的好评率为.
故选：D.
7．B
【详解】.
令，得；令，得.
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以极小值点为1.
故选：B.
8．C
【详解】连接，设，连接，
由，得，所以，
因为底面是菱形，所以，
又因为，且，在平面内，
所以平面，
在中，，，所以，
如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，
则有，令，得，
所以点到平面的距离.
故选：C.
9．BC
【详解】与相互独立，所以，
.
故选：BC
10．BC
【详解】∵函数在上有两个不同的平均值点，
∴方程在有两个不同的根，
即在有两个不同的根.
∴直线与函数的图象在上有两个交点.
则，
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数取得最大值，
且，，
故.

故选：BC.
11．AD
【详解】每位家长选择跳绳的概率，A选项正确；
的可能取值为0，1，2，3，4，
，
故B，C错误，AD正确.
故选：AD.
12．
【详解】因为，
所以.
故答案为：
13．
【详解】因为向量，，
所以向量在向量上的投影向量，其模为.
故答案为：
14．
【详解】因为，
所以.
故答案为：
15．(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意可知，的可能取值有，
则，，
，，，
所以的分布列为
4 5 6 7 8
（2）由（1）知，.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）因为，所以.
又在点处的切线方程为，
所以，解得，所以，
则，又切点在切线上，所以，解得，
所以，.
（2）由（1）知，则.
令，得或，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为，，，所以在上的值域为.
17．(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）在四棱锥中，由，，得，
则，而，平面，
因此平面，又平面，
所以平面平面.
（2）取中点，连接，由，得，
又平面，则平面，而平面，
则，由平面，平面，得，
又平面，因此平面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

令，由，得四边形是平行四边形，
则，由，得点，
，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面的法向量，则，取，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．(1)40；
(2)①；②分布列见解析.
【详解】（1）AI大模型的用户年龄在，，，，内的频率分别为0.1，0.3，0.4，0.15，0.05，
所以AI大模型用户年龄的第60百分位数在内.
设AI大模型用户年龄的第60百分位数为，
则，解得，
所以估计中国AI大模型用户年龄的第60百分位数为40.
（2）由分层抽样可知，抽取的7名用户中年龄在内和内的分别有3人和4人.
①记至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼为事件，
则，所以至少有1名年龄在内的用户获得幸运大礼的概率为.
②的所有可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
所以的分布列为
0 1 2 3
19．(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）因为，定义域为，
所以，.
因为是上的凸函数，所以在上恒成立，
即当时，恒成立.
函数图象的对称轴为直线，
当，即时，只需时，即可，所以，
当，即时，只需时，即可，所以，
综上可得.
（2）①因为，，所以，.
因为是上的凹函数，所以在上恒成立，
即在上恒成立.
令，则.
当时，，则，单调递增；
当时，，则，单调递减.
所以，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
②证明：由①知，因为在内有两个不同的零点，，
所以方程在内有两个根，，即.
因为在上单调递增，在上单调递减，所以.
欲证，即证.
因为且在上单调递减，
所以只需证明，即证.
欲证，即证，即，
只需证，即证，而该式显然成立.
欲证，即证.
因为，所以只需证，
即证，即需证.
令，，则，
所以在上单调递增，所以，则原不等式得证.
故.