福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高一下学期半期考试数学试卷（含解析）

福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，若，则（ ）
A．6 B． C． D．
3．如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则这个平面图形的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
6．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
7．有一个底面直径为4的圆柱形容器（不考虑该容器的厚度），该圆柱形容器盛有部分水，且水面到容器口的距离为1.现将一个半径为的小球放入该容器中，小球全部在水面下，且水没有溢出容器，则的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，在同一个平面内，向量，，满足，向量，的夹角为，向量，的夹角为，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．棱柱的侧面一定是平行四边形
B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥
C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点
D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆
10．已知，是复数，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则（ ）
A．角的取值范围是
B．的取值范围是
C．周长的取值范围是
D．的取值范围是
三、填空题
12．已知某圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是 .
13．某数学兴趣小组成员为测量，两地之间的距离，测得在的北偏东方向上，在的北偏西方向上，在的北偏东方向上，在的北偏东方向上，在的正东方向上，且，相距20千米，则，两地之间的距离是 千米.
14．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，直线平面，则 .
四、解答题
15．已知复数．
(1)若是纯虚数，求的值；
(2)若在复平面内所对应的点在第四象限，求的取值范围．
16．已知向量，满足，，且．
(1)求向量，的夹角；
(2)若，求的值．
17．在中，是线段的中点，点在线段上，线段与线段交于点．
(1)已知，，，．
①用向量，表示向量，；
②求的值．
(2)若，求的值．
18．如图，在三棱柱中，、分别是棱、上一点，且，.

(1)证明：平面.
(2)证明：直线、、交于同一点.
(3)记三棱台的体积为，多面体的体积为，求的值.
19．如图，某社区有一块空白区域，其中射线，是该空白区域的两条边界，点在射线上，千米，且.该社区工作人员计划在射线上选择一点，修建一条道路，将区域改造成儿童娱乐场地.

(1)已知.
①求道路的长度；
②求的面积.
(2)某工程队通过竞标，获得该社区改造项目的资格，已知改造儿童娱乐场地的利润为4万元每平方千米，修建道路的利润为2万元每千米，且要求不能大于，求该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值.
福建省龙岩市非一级达标校2024-2025学年高一下学期期中联考数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C A D D AC BCD
题号 11
答案 ABD
1．C
【详解】.
故选：C.
2．B
【详解】由向量，
因为，可得，解得.
故选：B.
3．D
【详解】在直观图中，，所以，
如图对应的原图形为，则，，
所以，故的周长为，
故选：D
4．B
【详解】因为是关于的方程的一个根，所以为方程的另一个根，
所以由韦达定理可得，解得.
故选：B
5．C
【详解】由，，，得或，相交，则A是假命题.
由，，，得或，异面，则B是假命题.
对于C，如下图所示，过直线作平面的平行平面，使得，
若，，，所以，
因为，，，所以，故，则C是真命题.
由，，，得或，相交或，异面，则D是假命题.
故选：C.
6．A
【详解】由余弦定理可得，
则.
因为，所以，所以是等腰三角形.
故选：A
7．D
【详解】要使小球全部在水面下，且水没有溢出容器，只需小球的体积不大于容器剩余的容积，
由题意知小球体积为，容器剩余的容积为，
由得，
故选：D.
8．D
【详解】
如图，过点作，交于点，作，交于点，
则.
因为，
所以，，，，.
因为，且，
所以由正弦定理得，
得，
故选：D.
9．AC
【详解】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确；
对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确；
对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确；
对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确.
故选：AC.
10．BCD
【详解】对于A中，设复数，
若，即，可得，即且，
由，所以，所以A正确；
对于B中，若，此时，
但复数和不能比较大小，所以B错误；
对于C中，如，可得，此时，所以C错误；
对于D中，若，可得，此时满足，
但且，所以D错误.
故选：BCD.
11．ABD
【详解】因为，且，所以，所以，
所以.因为是锐角三角形，，所以，
则，
则解得，所以，A正确.
因为，
所以.
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是，B正确.
.设，
则在上单调递增，所以，
即.因为，
所以周长的取值范围是，C错误.
因为，所以.
因为在单调递增，所以，
所以，即，D正确.
故选：ABD
12．
【详解】由题意得该圆锥底面圆的半径，侧棱长，
则该圆锥的侧面积为.
故答案为：.
13．
【详解】如图：
在中，由题意可知，，千米，
由正弦定理可得，则千米.
在中，由题意可知，，千米，
由正弦定理可得，则千米.
在中，，千米，则千米.
故答案为：
14．
【详解】如图，在线段上取点，使得.
连接，，，记，，
连接，因为直线平面，且平面平面，
所以.
因为四边形是平行四边形，
所以为线段的中点，则为线段的中点.
因为，，所以，
所以，即.
因为为线段的中点，所以是线段的中点，
则，所以，则.
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由复数，
因为复数是纯虚数，则满足，解得或（舍去），
所以实数的值为.
（2）由复数，
若在复平面内所对应的点在第四象限，则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
16．(1)
(2)或
【详解】（1）解：由向量，满足，，且．
可得，可得，
设向量与的夹角为，可得，
因为，所以，即向量与的夹角为.
（2）解：因为，可得，
即，解得或.
17．(1)①，；②
(2)
【详解】（1）因为是线段的中点，所以，
因为，则，
因为，，，所以，
所以.
（2）设，则，所以，又，所以，
由（1）知，所以，
因为三点共线，可设（），
所以，所以，
又，所以，解得，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为，，所以，所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）由（1）可知，.
因为，，所以，，则直线与相交.
设直线与的交点为，
因为点在直线上，且平面，所以平面.
因为点在直线上，且平面，所以平面.
因为平面平面，所以点在直线上，
即直线、、交于点.

（3）设的面积为，三棱柱的高为，
则三棱柱的体积.
因为，所以，且，
所以的面积，
则三棱台的体积，
故.
19．(1)①千米；②平方千米.
(2)万元.
【详解】（1）①由正弦定理可得，
则千米.
②因为，，所以，
所以
则的面积平方千米.
（2）设，
由正弦定理可得，
则，，
故的面积平方千米.
该工程队完成这项改造项目获得的利润万元.
因为，所以，所以，
所以，所以，
即该工程队完成这项改造项目获得的利润的最小值为万元.