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空间向量法证垂直和平行
一、例题分析
1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
解析： （1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。
（2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1∥平面BDF，O’H∥平面BDF。
（1） 为证A1O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A1O，再寻A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。
猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O⊥OF。
（4）∵ CC1⊥平面AC，∴ CC1⊥BD，又BD⊥AC，∴ BD⊥平面AA1C，又BD平面BDF
∴ 平面BDF⊥平面AA1C
2. 如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
(1)求证:C1C⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
(1)证明： 设=, =,,依题意，||=||，、、?中两两所成夹角为θ，于是
=－，
=(－)=·－·=||·||cosθ－||·||cosθ=0,∴C1C⊥BD.
(2)解： 若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，
由
=(++)·(－)=||2+·－·－||2
=||2－||2+||·||cosθ－||·||·cosθ=0,得
当|=||时，A1C⊥DC1，同理可证当||=||时，A1C⊥BD，
∴=1时，A1C⊥平面C1BD.
3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1.
解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC、BC、C1C两两垂直，如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（，2,0）
（1）∵＝（－3,0，0），＝（0，－4,0），∴ ＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）.∵＝（－，0,2），＝（－3,0，4），∴，∴DE∥AC1.
二、课下作业
1. 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。求证：平面EDB⊥平面PBC；
讲解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
∵ 面PDC⊥底面ABCD，交线为DC，∴ DE在平面ABCD内的射影就是DC。
在正方形ABCD中，DC⊥CB，∴ DE⊥CB。又，，
∴ DE⊥。又面EDB，∴ 平面EDB⊥平面PBC。
2. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，
求证：（1）∥
（2）
【解析】证明：（1）因为分别是的中点，所以，又，，所以∥；
（2）因为直三棱柱，所以，，又，所以，又，所以。
3. 2009浙江卷理）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．
证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，.
则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面
（II）设点M的坐标为，则，因为平面BOE，所以有，因此有，即点M的坐标为，在平面直角坐标系中，的内部区域满足不等式组，经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在内存在一点，使平面，由点M的坐标得点到，的距离为．.
A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
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空间向量法证垂直和平行
一、例题分析
1. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点，O为AC与BD的交点（如图），求证：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H；（3）A1O⊥平面BDF；（4）平面BDF⊥平面AA1C。
2. 如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
(1)求证:C1C⊥BD；
(2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.
3. 如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点， （I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1.
二、课下作业
1. 如图：已知四棱锥中，底面四边形为正方形，侧面PDC为正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC中点。求证：平面EDB⊥平面PBC；
2. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，
求证：（1）∥
（2）
3. 2009浙江卷理）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．
空间向量法求立体几何中的角
一、例题分析
1. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
2.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
3. (2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
（1） 证明：直线EE//平面FCC；
（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。
二、课下练习
1.在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。
2. （2009年上海卷理）如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。
3. 如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
4. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(Ⅰ) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(Ⅱ) 求直线EC1与FD1所成角的余弦值.
空间向量法求立体几何中的距离
一、例题分析
1. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
2. 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
3. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.
二、课下练习
1. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
2. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,
cos∠ADC=,PA⊥面ABCD且PA=a.
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.
空间向量法求立体几何中的综合问题
一、例题分析
1. (2009湖北卷理)
如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且
（Ⅰ）求证：对任意的，都有
（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值
2. （2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。
3. 如图，在直三棱柱中，平面侧面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.
二、课下练习
1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
2.矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
3. 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平
面PQGH所成角的正弦值．
A
B
C
A1
B1
C1
E
F
D
E
A
B
C
F
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A1
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C1
D1
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空间向量法求立体几何中的角
一、例题分析
1. 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为
A.arccos B.arccos C.arccos D.arccos
分析：本题可利用两向量的夹角公式求解.
解法一：∵= +， = +，∴·=（ +）·（+）=·= .
而||====.
同理，||=.如令α为所求之角，则cosα===，∴α=arccos.
解法二：建立如下图所示坐标系，把D点视作原点O，分别沿、、方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，，1），C（0，1，0），N（1，1，）.
∴=（1，，1）－（1，0，0）=（0，，1），=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）.
故·=0×1+×0+1×=，||== ，
||==.∴cosα===.∴α=arccos.
答案：D
2. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1
（Ⅰ）证明：AB=AC
（Ⅱ）设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小
解：（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，，c）.
于是=（，，0），=（-1，b,0）.由DE⊥平面知DE⊥BC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。
（Ⅱ）设平面BCD的法向量则
又=（-1，1， 0），
=（-1，0，c）,故
令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ).
又平面的法向量=（0，1，0）
由二面角为60°知，=60°，
故 °，求得
于是 ，
，
°
所以与平面所成的角为30°.
3. (2009山东卷理) 如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
（1） 证明：直线EE//平面FCC；
（2） 求二面角B-FC-C的余弦值。
解:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为
等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,
以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则
D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,
C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.
（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,
,,
所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
二、课下练习
1.在正三棱柱中，AB=4, ,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE.
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。
解:（Ⅰ）如图所示，由正三棱柱的性质知平面.
又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,
所以DE⊥平面.又DE 平面，
故平面⊥平面.
解法2 : 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).
易知=（-3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）.
设是平面的一个法向量，则
解得.
故可取.于是
= .
由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为 .
2. （2009年上海卷理）如图，在直三棱柱中，,,求二面角的大小。
【解】如图，建立空间直角坐标系
则A（2，0，0）、 C（0，2，0） A1（2，0，2），.
B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） ……2分
设AC的中点为M，∵BM⊥AC, BM⊥CC1;
∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。……5分
设平面的一个法向量是 =（x，y，z），
=（-2，2，-2）， =（-2，0，0） ……7分
设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角
…………………….14分
3. 如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
解法：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示直角坐标系．
依题设，．
，
．
（Ⅰ）因为，，
故，．又，所以平面．
（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则，．
故，．令，则，，．
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为．
4. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.
(Ⅰ) 求二面角C—DE—C1的正切值;
(Ⅱ) 求直线EC1与FD1所成角的余弦值.
解：(Ⅰ)以A为原点分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系,则有D(0,3,0), D1(0,3,2), E(3,0,0), F(4,1,0), C(4,3,2). 于是=(3,-3,0),=(1,3,2),=(-4,2,2)设向量n=(x,y,z)与平面C1DE垂直,则有.
∴n=(-,-,z)=(-1,-1,2),其中z>0.取n0=(-1,-1,2),则n0是一个与平面C1DE垂直的向量, ∵向量=(0,0,2)与平面CDE垂直, ∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角. ∴cosθ=.∴tanθ=.
(Ⅱ)设EC1与FD1所成角为β,则cosβ=.
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
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A
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y
z
M
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E
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空间向量法求立体几何中的综合问题
一、例题分析
1. (2009湖北卷理)
如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且
（Ⅰ）求证：对任意的，都有
（Ⅱ）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值
证：（Ⅰ）以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如
图2所示的空间直角坐标系，则
D（0，0，0），A（，0，0），B（，，0），C（0，，0），E（0，0），
，
即。
（Ⅱ）由（I）得.
设平面ACE的法向量为n=(x，y，z)，则由得
。
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为.
.
0<，，
.
由于，解得，即为所求。
2. （2009宁夏海南卷理）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E， 使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。
解： （Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。
设底面边长为，则高。 于是
故 从而
(Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为
（Ⅲ）在棱上存在一点使.
由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，
且 设
则
而
即当时，
而不在平面内，故
3. 如图，在直三棱柱中，平面侧面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.
（Ⅰ）证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，所以AD⊥BC.
因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，
又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分
别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,
AB=c,则 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是
设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z)，则
由得
可取n=(0,-a,c)，于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.
所以
于是由c＜b，得
即又所以
二、课下练习
1. 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由，得解y=-或y=(舍去)，
此时，所以存在点Q满足题意，此时.
2. 如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2。
（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；
（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为？
解：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，
则，，，，．
（Ⅰ）证明：，，，
所以，，从而，，
所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
故平面．
（Ⅱ）解：因为，，
所以，，从而解得．
所以，．设与平面垂直，则，，
解得．又因为平面，，
所以，得到．
所以当为时，二面角的大小为．
3. 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b（0（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若与平面PQEF所成的角为，求与平
面PQGH所成角的正弦值．
解：以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D－xyz由已知得，故，，，，
，，， ，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，，
．
因为，所以是平面PQEF的法向量．
因为，所以是平面PQGH的法向量．
因为，所以，
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直． 4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值． 8分
（Ⅲ）解：由已知得与成角，又可得
，
即，解得．
所以，又，所以与平面PQGH所成角的正弦值为
． 12分
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F
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z
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B
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空间向量法求立体几何中的距离
一、例题分析
1. 如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴ ，，
，，．
设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由平面EFG，得，，于是
，．
∴
整理得：，解得．∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．
∴ .故点B到平面EFG的距离为．
2. 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,
(1)
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得
，
(2)设与所成的角为,
, 与所成角的大小为
(3)设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
3. 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，E是AB上一点，PE⊥EC. 已知求
（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
（Ⅱ）二面角E—PC—D的大小.
解法：（Ⅰ）以D为原点，、、分别为x、y、
z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D（0，0，0），P（0，0，，
C（0，2，0）设
由，
即 由，
又PD⊥DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得，故异面直线PD、
CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG⊥PC，可设G（0，y，z）.由得
即作EF⊥PC于F，设F（0，m，n），
则
由，
又由F在PC上得
因故平面E—PC—D的平面角的大小为向量的夹角.
故 即二面角E—PC—D的大小为
二、课下练习
1. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），
C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，
（II）设为平面AEC1F的法向量，
EMBED Equation.3
的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为
2. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AD上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.
解法：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）
（1）
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，
，设平面ACD1的法向量为，则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为
（3）设平面D1EC的法向量，∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,
cos∠ADC=,PA⊥面ABCD且PA=a.
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.
解：(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC，∴AE⊥平面PBC，AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a，∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=，∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF，
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形，∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.
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