江苏省连云港市2015-2016学年高二下学期期末考试数学（理）试题（图片版）

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连云港市2015－2016学年度高二理科调研考试
一、填空题：
1．2
2．2
3．6
4.
5．
6．
7．
8．1140
二、解答题：．
9.
（1）．
………………………………………………4分
（2）法1：．
………………………………………………8分
法2：．
（3）．
………………………………………………14分
10.
（1）由题知，即解得所以．…………2分
矩阵A的特征多项式为，
所以，，设对应的特征向量为，．
由，，可得，，
故属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为．…8分
（2）令m＋n，则，解得，．
………………10分
所以
．……14分
11.
（1）曲线C的直角坐标方程为，圆心，半径为1，
直线l的普通方程为，圆心到直线l的距离为，
所以直线l与曲线C相离．
………………………………………………6分
（2）将直线l的参数方程为代入抛物线，得，
即，解得，，所以．…………………………14分
法2：直线l的普通方程为，联立，解得，，
即，所以．
…………………………14分
12.
（1）记“摸出的3个球颜色不全相同”为事件的,
则其概率为
．
…………………………………………4分
答：摸出的3个球颜色不全相同的概率为．…………………………………………5分
（2）随机变量的可能取值为，
，
，．
………………12分
所以随机变量X的分布列为
X
6
7
8
9
P
所以
……………………………14分
13．（1）建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，，．所以，．
所以，
，
．
所以，
解得．所以．
…………………8分
（2）设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为．
由，，
得得令，可得．
由，，
得得令，可得．
，，，
．
所以二面角的余弦值为．……………………………………………16分
14.（1）因为，当且仅当时等号成立，
所以函数在上是单调增函数．……………………………………………4分
（2）因为在上是单调增函数，
要证，只要证，
因为a，b是正实数，所以只要证，
即证，只要证，显然成立，
所以．
………………………………………………10分
（2）法1：假设，则或．
若，则由（1）知，与矛盾．
若，则由（1）知，与矛盾．
又，则．
综上所述，．
………………………………………………16分
法2：由，设，则，
故，，两式相减得，
设，则，故在R上单调递增，
故由，得，即．……………………………………………16分
15.
（1）在中，令，则得．
……………2分
（2）由（1）知，①
在式中，令，得，②
令，③
…………………………………6分
则得又的展开式中可知④
…………8分
由①②③④得．…………………………10分
（3）在两边同乘以，得
，两边求导得
，
令，则得．
………………………………………………16分
16．解：（1），，，．
………………………………2分
（2）猜想
，…………………………………………4分
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当时，结论成立；
（ⅱ）假设当时结论成立，即，
那么当时，则，
又由题意可设的首项为，
则，易求，………8分
故为以为首项，前项和，
即，………………………………10分
所以
………………………………14分
=．
所以当时，命题成立．
综上（ⅰ）（ⅱ），．…………………………………16分
y
x
z