河北省邢台市七县多校2024-2025学年高一下学期6月质量检测数学试卷（含解析）

河北省邢台市七县多校2024-2025学年高一下学期6月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．7 B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
3．在平行四边形中，为的中点，点在上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，为异面直线，，，则
5．若向量，满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则（ ）
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
8．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为，则得到的球的表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（ ）
A．众数为65 B．极差为7 C．平均数为65.4 D．80%分位数为67.5
10．已知，均为复数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则是实数
C．若，则是纯虚数 D．若，则
11．如图，在棱长为1的正方体中，、分别是、的中点，下列结论正确的是（ ）
A．EF与垂直
B．平面ABCD
C．异面直线与所成的角为
D．点到平面的距离为
三、填空题
12．用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比 .
13． .
14．在中，D是的中点，点E满足，与交于点O，则的值为 ；若，则的值是 ．
四、解答题
15．已知点.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
16．在中，内角所对的边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，判断的形状并说明理由．
17．函数在一个周期内的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值.
18．用分层随机抽样从某校高一年级1000名学生的数学成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本容量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个.再将40个男生成绩样本数据分为6组：，，，，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)由频率分布直方图，求出图中的值；
(2)为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从中抽取2人，求这2人中男生女生各1人的概率；
(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为66和40，求总样本的平均数和方差.
19．如图，在三棱柱中，底面是边长为3的等边三角形，，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)若点是棱上的动点（包括端点），求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
河北省邢台市七县多校2024-2025学年高一下学期6月质量检测数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C D D B ABD ABC
题号 11
答案 BCD
1．A
【详解】，所以虚部为7.
故选：A.
2．D
【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确；
根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确；
抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确；
独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误.
故选：D.
3．B
【详解】因为平行四边形中，为的中点，点在上，且，
所以，
则.
故选：B.
4．C
【详解】
在正方体中，由于平面，平面，
但平面与平面不平行，故A错误；
同理，由于平面，平面，且
但平面与平面不平行，故B错误；
同理，由于平面，平面，且与是异面直线，
但平面与平面不平行，故D错误；
对于C，由，得，而，因此，C正确.
故选：C.
5．C
【详解】因为，，由可得：，
以向量在向量上的投影向量为．
故选：C．
6．D
【详解】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”，
由题意解得
故甲命中乙也命中的概率为.
故选D.
7．D
【详解】根据题意可知，
在中，利用正弦定理可得，所以；
又易知，
在中，利用正弦定理可得，所以；
又，因此可得，
因此.
故选：D
8．B
【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，，则，
易知圆台的轴截面是一个等腰梯形，又母线与底面所成的角为，则等腰梯形的底角为．
由于，即，解得，，
则圆台的高为，将梯形补成边长为10的等边三角形，
所以该等边三角形的内切圆的半径为，
又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为，
所以球的表面积最大值为．
故选：B．
9．ABD
【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，
65出现次数最多，故众数为65，故A正确；
极差为，故B正确；
平均数，故C错误；
，所以80%分位数为，故D正确．
故选：ABD．
10．ABC
【详解】因为，又，所以，A正确；
设，则，所以为实数，B正确；
设，则，又，所以，，所以是纯虚数，C正确；
若，，则满足，而，D错误.
故选：ABC.
11．BCD
【详解】对A：连接，，则交于，
又为中点，可得，即，但AC与不垂直，故A错误；
对B：由，平面，平面，故平面；故B正确.
对C：由于，故就是异面直线与所成的角或其补角，
由正方体可知，即为等边三角形，
故，即异面直线与所成的角为，故C正确；
对D：由于，平面，平面，故平面，
所以点E到平面的距离等于点A到平面的距离，设为d，
由体积法可知，，故D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】设正方形的边长为，则正方形的周长为，
直观图中,，则其周长为，
所以正方形与直观图的周长之比为.
故答案为：.
13．
【详解】.
故答案为：
14．
【详解】在中，由，得，则，
令，又D是的中点，则，
而共线，因此，解得，所以；
，于是，所以.
故答案为：；
15．(1)
(2)或.
【详解】（1）由题知，.
若，则，
解得，故实数的值为.
（2）若，则，整理得，
解得或.
16．(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得，
由余弦定理得，
由，所以.
（2）因为，
故，即，又，则，
所以为等腰三角形.
17．(1)
(2)取到最小值为；取到最大值为
【详解】（1）由最值得，
由相邻两个对称中心之间的距离得，则，即，
此时，
图象的一个最高点坐标为，代人得，
则，即，
又因为，所以，
故.
（2）由题意得，
因为，所以，
又在上单调递减，在上单调递增，
所以当，即时，取到最小值，为；
当时，即时，取到最大值，为.
18．(1)
(2)
(3)平均数和方差分别为68和105.1
【详解】（1）由图形可得，解得.
（2）男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，按性别采用分层随机抽样的方法抽取5人，
则抽取男生人数为，女生人数为3人，
设男生为，女生为，
抽取两人的情况为：，共10种，
再从中抽取2人，这2人中男生女生各1人的情况为：
所以概率为.
（3）设男生成绩样本平均数为，方差为，
女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为，
．
．
所以总样本的平均数和方差分别为68和105.1．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）证明：在中，，，，所以，所以，
在中，，，，所以，所以，
又，平面，，所以平面．
（2）如图，连接，取的中点，连接．
因为平面，平面平面，平面，所以，
因为，，所以，
因为，，是的中点，所以，，
所以是二面角的平面角．
在等边中，，，所以，
在中，因为，，所以，
在平行四边形中，，
所以，，
在中，，
所以，
故二面角的正弦值为．
（3）如图，过点作，交的延长线于点．
因为，，，，平面，所以平面．
因为平面，所以．
又，，，平面，
所以平面，，
所以．
因为，平面，平面，所以平面．
又因为点在棱上，所以点到平面的距离为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
当时，最短，为，
可得直线与平面所成角的正弦值的最大值为，
当点与重合时，最长，为4，
可得直线与平面所成角的正弦值的最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．