第五章一元一次方程暑假预习练（含解析）

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第五章一元一次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是关于的方程的解，则常数的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．某比赛的计分方法为胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队共进行了14场比赛，负了5场，得14分，设该队共平了场，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知下列两个应用题：
①现有60个零件的加工任务，甲单独每小时可以加工4个零件，乙单独每小时可以加工6个零件．现甲乙两人合作，问两人开始工作几小时后还有20个零件没有加工？
②甲乙两人从相距20km的两地同时出发，背向而行，甲的速度是4km/h，乙的速度是6km/h，问经过几小时后两人相距60km？
其中可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系的应用题是（ ）
A．① B．② C．①② D．①②都不对
4．某储户去年8月份存入定期为1年的人民币5 000元（去年1年定期存款利率为1.75 %）．设到期后银行应向储户支付现金x元，则所列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（ ）
A．b的值为6 B．a为奇数
C．a的值大于3 D．乘积结果可以表示为
6．如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为115，那么该“十”字型中正中间的号数为（）
A．19 B．20 C．23 D．24
7．下列变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．将方程移项后，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．若三角形三个内角的度数分别是，，，则的值为（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
10．把方程变形为的依据是（ ）
A．不等式的基本性质1 B．等式的基本性质1
C．等式的基本性质2 D．分数的基本性质
11．若代数式与互为相反数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
12．一个书包的在进价的基础上调高后标价，现因为促销活动所有商品一律打9折，这个书包现在的售价为86.4元，那么这个书包的进价是（ ）元．
A．84.6元 B．90元 C．80元 D．100元
二、填空题
13．为响应国家防疫号召，某学校将七年级学生分成组进行核酸检测，若每组50人，则有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意可列方程为
14．若是关于的方程的解，则的值为 ．
15．规定一种新的运算：，求的解是 ．
16．如果关于x的方程有解，那么实数a的取值范围是 ．
17．如图所示的框图表示解方程的流程，其中A代表的步骤是 ，步骤A对方程进行变形的依据是 ．

三、解答题
18．小丽做作业时解方程的步骤如下：
解：①去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④合并同类项，得；
⑤系数化为1，得．
(1)小丽的解答过程正确吗？答：______（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是______．（填序号）
(2)请写出正确的解答过程．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由．
21．解方程：．
22．如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，运动时间为t秒（t＞0），M为AP的中点．
(1)当点P在线段AB上运动时，当t为多少时，PB＝2AM？
(2)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点．
①说明线段MN的长度不变，并求出其值；
②在P点的运动过程中，是否存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出t的值；若没有，请说明理由．
23．如图，点E是线段的中点，C是线段上一点，；
(1)若，求的长；
(2)若F为的中点，求长．
24．小李骑自行车从地到地，小明骑自行车从地到地，两人都沿同一公路匀速前进，已知两人在上午6时同时出发，到上午8时，两人还相距21千米，到上午10时，两人又相距21千米，求A，B两地间的路程．
《第五章一元一次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C A C C C D C C
题号 11 12
答案 C C
1．C
【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
把代入即可求出a的值．
【详解】解：把代入得，
解得：，
故选：C．
2．B
【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：平场得分+胜场得分分，根据此列方程即可．
【详解】解：设该队共平x场，则该队胜了场，胜场得分是分，平场得分是x分．
根据等量关系列方程得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到题中的等量关系是解题的关键．
3．C
【分析】①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，根据甲生产的零件数＋乙生产的零件数＋未加工的零件数＝计划加工零件的总数，即可得出关于x的一元一次方程；②设经过x小时后相距60km，根据甲的路程＋乙的路程＋原来两人间隔的距离＝两地间的距离，即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：①设两人开始工作x小时后还有20个零件没有加工，
依题意，得：4x＋6x＋20＝60，
∴①可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
②设经过x小时后两人相距60km，
依题意，得：4x＋6x+20＝60，
∴②可以用方程4x＋6x＋20＝60来表述；
综上分析可知，①②可以用方程4x+6x+20＝60表述题目中数量关系，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
4．A
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程即可，根据题意可得等量关系：本息和本金=本金×利率，根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：设到期后银行应向储户支付现金x元，由题意得：
，
故选A．
5．C
【分析】设的十位数字是m，个位数字是n，根据“铺地锦”，列出符合条件的方程即可求解；
【详解】设的十位数字是m，个位数字是n，则
∴，故A正确，不符合题意；
则
∵
∴，故B正确，不符合题意；故C不正确，符合题意；
根据上图乘积结果可以表示为 ，故D正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查了有理数的乘法和一元一次方程解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设该“十”字型中正中间的号数为，则另外四个号数分别为，根据移动“十”字型后所得五个数之和为115，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设该“十”字型中正中间的号数为，则另外四个号数分别为，
根据题意得：，
解得：，
该“十”字型中正中间的号数为23，
故选：C．
7．C
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A.若，则或，故本选项不符合题意；
B.若，且时，则，故本选项不符合题意；
C.若，则，故本选项符合题意；
D.若，则，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
8．D
【分析】本题主要考查解一元一次方程中的移项，注意移项要变号．方程利用移项得到结果，即可作出判断．
【详解】解：一元一次方程移项得：
，
故选：D．
9．C
【分析】本题考三角形内角和定理及解方程，由题意列方程求解即可得到答案，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．
【详解】解：三角形三个内角的度数分别是，，，
由三角形内角和定理可得，
即，
解得，
故选：C．
10．C
【分析】本题考查等式的基本性质，等式基本性质1：等式两边同时加上/减去同一个数，等式不变；等式基本性质2：等式两边同时乘以/除以（不为0的数）同一个数，等式不变，结合题意，将方程变形为需要等式两边同时乘以3，从而得到答案，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
【详解】解：将方程的两边同时乘以3，可变形为，
的依据是把方程变形为的依据是等式的基本性质2，
故选：C．
11．C
【分析】本题考查了相反数，一元一次方程的应用，根据相反数的定义列一元一次方程求解即可．
【详解】∵代数式与互为相反数，
∴
去括号得，
移项，合并同类项得，．
故选：C．
12．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用（销售盈亏），读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程是解题的关键．
设这个书包的进价为元，由题意得，解方程即可得出答案．
【详解】解：设这个书包的进价为元，由题意得：
，
解得：，
这个书包的进价是元，
故选：．
13．
【分析】根据两种情况下学生人数相等，即可列方程．
【详解】解：若每组50人，则学生人数，
若每组45人，则学生人数，
因此可列方程：，
故答案为：．
【点睛】本题考查列一元一次方程，找准等量关系是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了方程解的定义，把代入方程即可求解，理解方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
解得，
故答案为：．
15．
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
16．
【分析】根据一元一次方程有意义的条件得，进行计算即可得．
【详解】解：∵(a 4)x=2022有解
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程有意义的条件，解题的关键是掌握一元一次方程有意义的条件．
17． 移项 等式的性质1
【分析】观察框图中解方程步骤，找出A代表的步骤，进而确定出依据即可．
【详解】解：由图可知，A代表的步骤是移项，步骤A对方程进行变形的依据是等式的基本性质1．
故答案为：移项；等式的基本性质1．
【点睛】本题考查了解一元一次方程——移项、等式的基本性质等知识点，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
18．(1)不正确，①；
(2)见解析
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．
（1）根据小丽的解题过程分析即可；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：小丽的解答过程不正确，最早出现错误的步骤是①，
故答案为：不正确，①；
（2）解：
去分母，得；
②去括号，得；
③移项，得；
④合并同类项，得；
⑤系数化为1，得．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用去分母法解方程即可．
（2）利用去分母法解方程即可．
本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：，
去分母，得，
去括号，得．
移项，得，
合并同类项，得．
将未知数的系数化为1，得．
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得．
移项，得，
合并同类项，得．
20．是，见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“和谐方程”的定义验证即可求解；
【详解】解：方程与方程是“和谐方程”，
理由如下：由，解得．
由，解得．
因为，
所以方程与方程是“和谐方程”．
21．
【分析】此题考查了解一元一次方程，先移项再合并同类项最后系数化成1即可求解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
是原方程的解．
22．(1)6秒
(2)①见解析，12；②存在，t的值为36或18
【分析】（1）根据PB＝2AM建立关于t的方程，解方程即可；
（2）①当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧，根据线段中点的定义得出PM＝AP＝t，PN＝BP＝（2t 24）＝t 12．再根据MN＝PM PN即可求解；
②易知N不能是BM的中点，分M是NB的中点，B是MN的中点两种情况讨论求解．
【详解】（1）∵M是线段AP的中点，
∴AM＝AP＝t，PB＝AB－AP＝242t，
∵PB＝2AM，
∴242t＝2t，
解得t＝6；
∴当t＝6秒时，PB＝2AM ；
（2）①当P在AB延长线上运动时，点P在B点右侧，
∵M是线段AP的中点，
∴PM＝AP＝t，
∵N是线段BP的中点，
∴PN＝BP＝（2t24）＝t12，
∴MN＝PM－PN＝t（t12）＝12，
∵MN的长度是一个常数，
∴MN的长度不变，其值为12；
②由题意可知，N不可能是BM的中点．
如果M是NB的中点，那么BM＝MN＝BN，
∴t24 ＝12，
解得t＝36，符合题意；
如果B是MN的中点，那么BM＝BN＝MN，
∴24t＝×12，
解得t＝18，符合题意；
综上，在P点的运动过程中，存在这样的t的值，使M、N、B三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点，此时t为36或18．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
23．(1)20
(2)6
【分析】本题考查与线段中点有关的计算、一元一次方程的几何应用，根据图形得到线段间的数量关系是解答的关键．
（1）设，则，先根据线段中点求得，由列方程求得x，进而由可求解；
（2）根据点是线段的中点，得出，根据为的中点，得出，根据，求出结果即可．
【详解】（1）解：设，由得，
∵点是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（2）解：点是线段的中点，
∴，
为的中点，
，
．
24．63千米
【分析】设A，B两地间的路程为千米，根据两人的速度和为定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设A，B两地间的路程为千米，由题意，得：
，
解得：；
答：A，B两地间的路程为63千米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
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