浙江省绍兴市上虞区2025年中考二模数学试题
1．（2025·上虞二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ）
A．吐鲁番盆地-154米
B．新疆天山1815米
C．珠穇朗玛峰8848米
D．玉龙雪山5596米
2．（2025·上虞二模）由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·上虞二模）据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算.其中数140000000用科学记数法表示为（ ）.
A． B． C． D．
4．（2025·上虞二模）下列运算正确的是（ ）.
A． B． C． D．
5．（2025·上虞二模）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子.每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列出的方程组为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2025·上虞二模）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（2025·上虞二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若，，则（ ）.
A． B． C． D．
8．（2025·上虞二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.若，则（ ）.
A． B． C． D．
9．（2025·上虞二模）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
10．（2025·上虞二模）如图，在中，，于点D，过点D作于点E，连接AE.记AE的长为x，DE的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）.
A．xy B．x+y C．x-y D．
11．（2025·上虞二模）分解因式：x2-1= .
12．（2025·上虞二模）若分式的值为1，则字母x的取值为 .
13．（2025·上虞二模）如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点A，B，C，其中A，B两点分别与钟面12，3两个时刻的刻度点重合，连结AC，BC，则∠ACB= °.
14．（2025·上虞二模）王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午自修时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是 .
15．（2025·上虞二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是边DC的三等分点，连结BE，AF，AF交BE于点G，交BC延长线于点H.若，则 .
16．（2025·上虞二模）如图，在矩形ABCD中，已知，点E是对角线AC上一动点，边AB绕点E按逆时针方向旋转得到线段MN，连结BN，CM.当点M落在边BC上时，的值为 .
17．（2025·上虞二模）计算：.
18．（2025·上虞二模）解方程组：
19．（2025·上虞二模）如图，在中，，点D在边BC上，且，连结AD.
（1）求AD的长.
（2）求sin∠BAD的值.
20．（2025·上虞二模）为了解九年级学生每周利用DeepSeek进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“AI智能探究小组”成员随机调查了该校m名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题.
（1）填空：m= ；n= .
（2）补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数的中位数.
（3）若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数.
21．（2025·上虞二模）已知平行四边形ABCD，在边AD上画点M，使CM⊥AD于点M.
甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点C为圆心，CD长为半径画弧交边AD于D，E两点，再分别以点E，点D为圆心，大于ED长为半径画弧，两弧交于点F，作射线CF交边AD于点M，则点M为符合要求的点.
乙：如图2，分别以点C，点D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF交边CD于点O，再以点O为圆心，OD长为半径画弧交边AD于点M，连结CM，则点M为符合要求的点.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由。
22．（2025·上虞二模）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜.戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里.而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里，已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示.
（1）求a和m的值；
（2）求b和n的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式.
23．（2025·上虞二模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴是直线，点A的坐标为（-1，0）.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有n的代数式表示）.
（3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值.
24．（2025·上虞二模）如图1，已知点D在的边BC上，连接AD，是的外接圆，AC切于点A.
（1）【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点A作的直径AE，连接ED，根据已知条件，可以证明.请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程.
（2）【拓展迁移】当，时.
①求的值；
②求面积的最大值，并求出此时的半径.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-154<1815<5596<8848，
∴其中最低的是吐鲁番盆地.
故答案为：A.
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，得到的图形为：
故答案为：D.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从而得到答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140000000=1.4×108，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3与a2不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a3·a=a4，故该项正确，符合题意；
C、(2a)3=8a3，故该项不正确，不符合题意；
D、a6÷a3=a3，故该项不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项方法进行解题即可.
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，
∴5x+2y=19，
∵2头牛，3只羊共12两银子，
∴2x+3y=12.
∴ 可列方程组为
故答案为：A.
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，x>-1，
解不等式②得，x≤2，
∴解得不等式组的解集为-1∴解集在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】求出每个不等式的解集，写出解集的公共部分.
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD//BC，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE
∴∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠BCE=2∠BAE.
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=105°，
∴∠DAB=75°，
∴ 3∠BAE=75°
∴ ∠BAE =25°，
∴ ∠ACB=∠DAC=2∠BAE=50°
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质推出BC=AD，AD//BC，得到BC=AE=BE，推出∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，由三角形的外角性质得到∠BCE=2∠BAE，由平行线的性质推出∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，得到∠DAB=75°，即可求出∠BAE=25°，进而即可得出结论.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长为x，
∵Rt△ABF和Rt△BCG全等，
∴BF=CG，
∵四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，
∴∠EGH=90°，
在Rt△BCG中，∵，
∴BG=2CG，
∴BF+FG=2CG
即CG+FG=2CG
∴ CG=FG=x，
∴ BG=2x，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】设正方形EFGH的边长为x，根据全等三角形的性质得到BF=CG，在Rt△BCG中利用正切的定义得到，则BG=2CG，所以CG=FG=x，接着利用勾股定理可计算出， 然后利用正方形的面积公式计算的值.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=1>0，
∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵1∴n-4<0∴点A(n-4，y1)在第三象限，点B(n-1，y2)，C(n+4，y3)在第一象限，
∴y1<0，y2>y3>0，
∴y1故答案为：B.
【分析】k=1>0可得函数图象第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，进而得到y1、y2、y3的大小关系.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点A作AF⊥BC，设，利用勾股定理表示出，再通过直角三角形的性质证得，由相似三角形的性质可得，进而可以证得.
11．【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-1=（x+1）（x-1）.
故答案为：（x+1）（x-1）.
【分析】观察此多项式的特点：有两项，且符号相反，都能化成平方形式，因此利用平方差公式分解因式。
12．【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
去分母得：x+2=4，
解得：x=2，
经检验，x=2是分式方程的解，
故答案为：2.
【分析】由题意易得 ，解方程后并检验即可.
13．【答案】45
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵所对的圆心角为90°，
∴，
故答案为：45.
【分析】根据一条弧所对的圆周角为圆心角的一半即可求解.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
小丽 小慧 小聪 小颖
小丽 （小丽，小慧） （小丽，小聪） （小丽，小颖）
小慧 （小慧，小丽） （小慧，小聪） （小慧，小颖）
小聪 （小聪，小丽） （小聪，小慧） （小聪，小颖）
小颖 （小颖，小丽） （小颖，小慧） （小颖，小聪）
共有12种等可能的结果，其中选中的两人中恰好有小丽参加的结果有6种，
∴选中的两人中恰好有小丽参加的概率为，
故答案为：.
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两人中恰好有小丽参加的结果数，再利用概率公式可得出答案.
15．【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接BF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵点E，F是边DC的三等分点，
∴
∵EF//AB，
∴△GEF∽△GBA，
∴，
∴S△BGF=3S△GEF=3×5=15，
S△GBA=9S△GEF=9×5=45，
∵EF=CF，
∴S△BCF=S△BEF=15+5=20，
∴S四边形ABCF=20+15+45=80，
∵CF//AB，
∴△HCF∽△HBA，
∴
即
∴S△HCF=10
故答案为：10.
【分析】连接BF，如图，先根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，则，再证明△GEF∽△CBA，根据相似三角形的性质可计算出S△BGF=3S△GEF=15，S△GBA=45，接着根据三角形面积公式，由EF=CF得到S△BCF=S△BEF=20，然后证明 △HCF∽△HBA ，则根据相似三角形的性质，最后利用比例的性质求出 S△HCF 的值.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作EF⊥AB于点F，EH⊥BC于点H，则∠EFB=∠EHB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBH=90°，
∴四边形EFBH是矩形，
∴∠FEH=90°，
∴当EH=EF时，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°，则点M、点N都在BC边上，点F的对应点为点H，
当EH=EF时，则四边形EFBH是正方形，设AF=3m，则MH=AF=3m，
∵∠AFE=∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴AB=AF+BF=3m+5m=8m，
BM=BH-MH=5m-3m=2m，
∴，
∴，
∵EN=EB，EH⊥BN于点H，
∴NH=BH=5m，
∴BN=2BH=10m，
∴，
故答案为：.
【分析】作EF⊥AB于点F，EH⊥BC于点H，则∠EFB=∠EHB=90° ，则∠FEH=90° ，可知当EH=EF时，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°，则点M、点N都在BC边上，点F的对应点为点H，此时四边形EFBH是正方形，设AF=3m，则MH=AF=3m，因为，所以，，求得AB=8m，BM=2m，所以，则 ，由I5NH=BH=5m，得BN=10m，进而即可得到答案.
17．【答案】解：原式=2-3+3=2
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】 原式利用立方根定义，绝对值的代数意义化简、负整数指数幂法则，计算即可得到结果.
18．【答案】解：
由①+②得：，所以.
将代入②得：.
∴原方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法即可解二元一次方程组.
19．【答案】（1）解：过点 A 作 于点 H，如图.
， ，
又 ， ， .
∴在Rt中，
在中，
（2）解：过点 D 作 于点 E， 如图.
由已知可得： ，
， ∴，
， ∴.
∴.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系；面积及等积变换
【解析】【分析】(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据已知易得：BC=12，再利用等腰三角形的性质可得BE=6，从而可得DE=2，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答；
(2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，先利用面积法求出DE的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
20．【答案】（1）60；20
（2）解：∵60-(21+10+7+6+4)=12，
∴调查的学生中一周使用DeepSeek的有12人，
补全条形统计图：
在60个数据中从小到大的第30和31位数都是6，
∴所调查的这批学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数的中位数6.
（3）解：由题意知：（人）.
故该校九年级学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数估计为255人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)这次调查的学生数为6÷10%=60(名)，
即m的值为60；
n%=1-(35%+16.7%+11.6%+10%+6.7%)=20%
∴n=20，
故答案为：60，20.
【分析】(1)利用每周使用DeepSeek9次的学生人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用1-(35%+16.7%+11.6%+10%+6.7%)即可得出n；
(2)用60-(21+10+7+6+4)得出每周使用7次的学生人数，补全条形统计图；根据中位数的定义求出中位数；
(3)用900乘以每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数所占百分比即可得出结论.
21．【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确
甲同学作法正确的理由如下，
甲：如图1中，连接CE，CD，EF，DF，
由作图可知，CE=CD，EF=DE，
∴CF垂直平分线段DE，即CM⊥AD.
乙同学作法正确的理由如下.
乙：连接OM.
由作图可知OC=OD=OM，
∴∠CMD=90°，即CM⊥AD.
【知识点】尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】甲乙的作法都正确，利用线段垂直平分线的判定，直角三角形的判定解决问题.
22．【答案】（1）解：由题意知：a=15.
∴小明的步行速度为1200÷(30-15)=80米/分.
∴80×10= 800，1200+ 800= 2000.
∴m=2000.
（2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为1200÷(80-40)=30米/分.
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为t分钟，
则有80t-30t =2000-1200，∴t =16.
∴b=40+16=56，n=1200-30×16=720.
（3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程s(米)关于步行时间t(分)的函数表达式为，
∴将(40，2000)，(56，720)代入，有，
∴ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象正确获取信息求出小明的步行速度进而求出结论；
(2)先求出小明爸爸回家的步行速度，设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为t分钟，列方程解决问题；
(3)设小明离开家的路程s(米)关于步行时间t(分)的函数表达式为s=kt+c，用待定系数法求表达式即可.
23．【答案】（1）解：∵的图象对称轴是直线，
∴，.
∵A(-1，0)在其图象上，
∴，.
∴此二次函数的表达式为.
（2）解：若，当时，的最小值在时取到， .
（3）解：当 时，∵，
∴. .
∵ 二次函数的最大值比最小值大2
∴.
∴.
当 时，∵，
∴，，
∵ 二次函数的最大值比最小值大2
∴.
∴.
当 时，∵，
∴，∴，
若 ，解得 ，不符合；
若 ，解得 ，不符合.
∴ 或 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)利用对称轴公式和已知点坐标，列方程，即可求出二次函数的表达式；
(2)由于开口向下，对称轴为x=1，当n>0时，n≤x≤n+2的最小值在x=n+2处，代入即可求解；
(3)根据t≤x≤t+1，判断分情况讨论，计算最大值与最小值的差值，解方程t即可.
24．【答案】（1）解： 过点A的⊙O的直径AE，连结ED，如图.
，.
又切于点A，
，即.
.
又，
.
（2）解：①知，
又，
.
设，，.
.
，解得，(舍去).
..
②由题意：当BA⊥AC时，△ABC面积最大，如图，
∵AC切☉O于点A，BA⊥AC，
∴AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
由①知：，
∴
∵
∴BA=4.
∴此时⊙O的半径为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)过点A作☉O的直径AE，连结ED，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，以及同角的余角相等的性质解答即可；
(2)①利用相似三角形的判定与性质求得CD，再利用相似三角形的性质解答即可；
②当BA⊥AC时，△ABC面积最大，画出符合题意的图形，利用圆周角定理和勾股定理解答即可.
1 / 1浙江省绍兴市上虞区2025年中考二模数学试题
1．（2025·上虞二模）海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ）
A．吐鲁番盆地-154米
B．新疆天山1815米
C．珠穇朗玛峰8848米
D．玉龙雪山5596米
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-154<1815<5596<8848，
∴其中最低的是吐鲁番盆地.
故答案为：A.
【分析】根据有理数大小比较方法解答即可.
2．（2025·上虞二模）由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，得到的图形为：
故答案为：D.
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从而得到答案.
3．（2025·上虞二模）据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算.其中数140000000用科学记数法表示为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：140000000=1.4×108，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·上虞二模）下列运算正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a3与a2不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意；
B、a3·a=a4，故该项正确，符合题意；
C、(2a)3=8a3，故该项不正确，不符合题意；
D、a6÷a3=a3，故该项不正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项方法进行解题即可.
5．（2025·上虞二模）我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子.每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列出的方程组为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，
∴5x+2y=19，
∵2头牛，3只羊共12两银子，
∴2x+3y=12.
∴ 可列方程组为
故答案为：A.
【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解.
6．（2025·上虞二模）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，x>-1，
解不等式②得，x≤2，
∴解得不等式组的解集为-1∴解集在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】求出每个不等式的解集，写出解集的公共部分.
7．（2025·上虞二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若，，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD//BC，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE
∴∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠BCE=2∠BAE.
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=105°，
∴∠DAB=75°，
∴ 3∠BAE=75°
∴ ∠BAE =25°，
∴ ∠ACB=∠DAC=2∠BAE=50°
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质推出BC=AD，AD//BC，得到BC=AE=BE，推出∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，由三角形的外角性质得到∠BCE=2∠BAE，由平行线的性质推出∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，得到∠DAB=75°，即可求出∠BAE=25°，进而即可得出结论.
8．（2025·上虞二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.若，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长为x，
∵Rt△ABF和Rt△BCG全等，
∴BF=CG，
∵四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形，
∴∠EGH=90°，
在Rt△BCG中，∵，
∴BG=2CG，
∴BF+FG=2CG
即CG+FG=2CG
∴ CG=FG=x，
∴ BG=2x，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】设正方形EFGH的边长为x，根据全等三角形的性质得到BF=CG，在Rt△BCG中利用正切的定义得到，则BG=2CG，所以CG=FG=x，接着利用勾股定理可计算出， 然后利用正方形的面积公式计算的值.
9．（2025·上虞二模）若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，k=1>0，
∴函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，
又∵1∴n-4<0∴点A(n-4，y1)在第三象限，点B(n-1，y2)，C(n+4，y3)在第一象限，
∴y1<0，y2>y3>0，
∴y1故答案为：B.
【分析】k=1>0可得函数图象第一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小，进而得到y1、y2、y3的大小关系.
10．（2025·上虞二模）如图，在中，，于点D，过点D作于点E，连接AE.记AE的长为x，DE的长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）.
A．xy B．x+y C．x-y D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】过点A作AF⊥BC，设，利用勾股定理表示出，再通过直角三角形的性质证得，由相似三角形的性质可得，进而可以证得.
11．（2025·上虞二模）分解因式：x2-1= .
【答案】（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-1=（x+1）（x-1）.
故答案为：（x+1）（x-1）.
【分析】观察此多项式的特点：有两项，且符号相反，都能化成平方形式，因此利用平方差公式分解因式。
12．（2025·上虞二模）若分式的值为1，则字母x的取值为 .
【答案】2
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：由题意得，
去分母得：x+2=4，
解得：x=2，
经检验，x=2是分式方程的解，
故答案为：2.
【分析】由题意易得 ，解方程后并检验即可.
13．（2025·上虞二模）如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点A，B，C，其中A，B两点分别与钟面12，3两个时刻的刻度点重合，连结AC，BC，则∠ACB= °.
【答案】45
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵所对的圆心角为90°，
∴，
故答案为：45.
【分析】根据一条弧所对的圆周角为圆心角的一半即可求解.
14．（2025·上虞二模）王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午自修时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
小丽 小慧 小聪 小颖
小丽 （小丽，小慧） （小丽，小聪） （小丽，小颖）
小慧 （小慧，小丽） （小慧，小聪） （小慧，小颖）
小聪 （小聪，小丽） （小聪，小慧） （小聪，小颖）
小颖 （小颖，小丽） （小颖，小慧） （小颖，小聪）
共有12种等可能的结果，其中选中的两人中恰好有小丽参加的结果有6种，
∴选中的两人中恰好有小丽参加的概率为，
故答案为：.
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及选中的两人中恰好有小丽参加的结果数，再利用概率公式可得出答案.
15．（2025·上虞二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是边DC的三等分点，连结BE，AF，AF交BE于点G，交BC延长线于点H.若，则 .
【答案】10
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接BF，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵点E，F是边DC的三等分点，
∴
∵EF//AB，
∴△GEF∽△GBA，
∴，
∴S△BGF=3S△GEF=3×5=15，
S△GBA=9S△GEF=9×5=45，
∵EF=CF，
∴S△BCF=S△BEF=15+5=20，
∴S四边形ABCF=20+15+45=80，
∵CF//AB，
∴△HCF∽△HBA，
∴
即
∴S△HCF=10
故答案为：10.
【分析】连接BF，如图，先根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB=CD，则，再证明△GEF∽△CBA，根据相似三角形的性质可计算出S△BGF=3S△GEF=15，S△GBA=45，接着根据三角形面积公式，由EF=CF得到S△BCF=S△BEF=20，然后证明 △HCF∽△HBA ，则根据相似三角形的性质，最后利用比例的性质求出 S△HCF 的值.
16．（2025·上虞二模）如图，在矩形ABCD中，已知，点E是对角线AC上一动点，边AB绕点E按逆时针方向旋转得到线段MN，连结BN，CM.当点M落在边BC上时，的值为 .
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：作EF⊥AB于点F，EH⊥BC于点H，则∠EFB=∠EHB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBH=90°，
∴四边形EFBH是矩形，
∴∠FEH=90°，
∴当EH=EF时，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°，则点M、点N都在BC边上，点F的对应点为点H，
当EH=EF时，则四边形EFBH是正方形，设AF=3m，则MH=AF=3m，
∵∠AFE=∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴AB=AF+BF=3m+5m=8m，
BM=BH-MH=5m-3m=2m，
∴，
∴，
∵EN=EB，EH⊥BN于点H，
∴NH=BH=5m，
∴BN=2BH=10m，
∴，
故答案为：.
【分析】作EF⊥AB于点F，EH⊥BC于点H，则∠EFB=∠EHB=90° ，则∠FEH=90° ，可知当EH=EF时，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°，则点M、点N都在BC边上，点F的对应点为点H，此时四边形EFBH是正方形，设AF=3m，则MH=AF=3m，因为，所以，，求得AB=8m，BM=2m，所以，则 ，由I5NH=BH=5m，得BN=10m，进而即可得到答案.
17．（2025·上虞二模）计算：.
【答案】解：原式=2-3+3=2
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】 原式利用立方根定义，绝对值的代数意义化简、负整数指数幂法则，计算即可得到结果.
18．（2025·上虞二模）解方程组：
【答案】解：
由①+②得：，所以.
将代入②得：.
∴原方程组的解为.
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法即可解二元一次方程组.
19．（2025·上虞二模）如图，在中，，点D在边BC上，且，连结AD.
（1）求AD的长.
（2）求sin∠BAD的值.
【答案】（1）解：过点 A 作 于点 H，如图.
， ，
又 ， ， .
∴在Rt中，
在中，
（2）解：过点 D 作 于点 E， 如图.
由已知可得： ，
， ∴，
， ∴.
∴.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形—边角关系；面积及等积变换
【解析】【分析】(1)过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据已知易得：BC=12，再利用等腰三角形的性质可得BE=6，从而可得DE=2，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，再在Rt△ADE中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答；
(2)过点D作DF⊥AB，垂足为F，先利用面积法求出DE的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
20．（2025·上虞二模）为了解九年级学生每周利用DeepSeek进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“AI智能探究小组”成员随机调查了该校m名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题.
（1）填空：m= ；n= .
（2）补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数的中位数.
（3）若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数.
【答案】（1）60；20
（2）解：∵60-(21+10+7+6+4)=12，
∴调查的学生中一周使用DeepSeek的有12人，
补全条形统计图：
在60个数据中从小到大的第30和31位数都是6，
∴所调查的这批学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数的中位数6.
（3）解：由题意知：（人）.
故该校九年级学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数估计为255人.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1)这次调查的学生数为6÷10%=60(名)，
即m的值为60；
n%=1-(35%+16.7%+11.6%+10%+6.7%)=20%
∴n=20，
故答案为：60，20.
【分析】(1)利用每周使用DeepSeek9次的学生人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用1-(35%+16.7%+11.6%+10%+6.7%)即可得出n；
(2)用60-(21+10+7+6+4)得出每周使用7次的学生人数，补全条形统计图；根据中位数的定义求出中位数；
(3)用900乘以每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数所占百分比即可得出结论.
21．（2025·上虞二模）已知平行四边形ABCD，在边AD上画点M，使CM⊥AD于点M.
甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点C为圆心，CD长为半径画弧交边AD于D，E两点，再分别以点E，点D为圆心，大于ED长为半径画弧，两弧交于点F，作射线CF交边AD于点M，则点M为符合要求的点.
乙：如图2，分别以点C，点D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF交边CD于点O，再以点O为圆心，OD长为半径画弧交边AD于点M，连结CM，则点M为符合要求的点.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由。
【答案】解：甲、乙两位同学的作法都正确
甲同学作法正确的理由如下，
甲：如图1中，连接CE，CD，EF，DF，
由作图可知，CE=CD，EF=DE，
∴CF垂直平分线段DE，即CM⊥AD.
乙同学作法正确的理由如下.
乙：连接OM.
由作图可知OC=OD=OM，
∴∠CMD=90°，即CM⊥AD.
【知识点】尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用
【解析】【分析】甲乙的作法都正确，利用线段垂直平分线的判定，直角三角形的判定解决问题.
22．（2025·上虞二模）小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜.戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里.而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里，已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示.
（1）求a和m的值；
（2）求b和n的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式.
【答案】（1）解：由题意知：a=15.
∴小明的步行速度为1200÷(30-15)=80米/分.
∴80×10= 800，1200+ 800= 2000.
∴m=2000.
（2）解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为1200÷(80-40)=30米/分.
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为t分钟，
则有80t-30t =2000-1200，∴t =16.
∴b=40+16=56，n=1200-30×16=720.
（3）解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程s(米)关于步行时间t(分)的函数表达式为，
∴将(40，2000)，(56，720)代入，有，
∴ .
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据图象正确获取信息求出小明的步行速度进而求出结论；
(2)先求出小明爸爸回家的步行速度，设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为t分钟，列方程解决问题；
(3)设小明离开家的路程s(米)关于步行时间t(分)的函数表达式为s=kt+c，用待定系数法求表达式即可.
23．（2025·上虞二模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴是直线，点A的坐标为（-1，0）.
（1）求此二次函数的表达式.
（2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有n的代数式表示）.
（3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值.
【答案】（1）解：∵的图象对称轴是直线，
∴，.
∵A(-1，0)在其图象上，
∴，.
∴此二次函数的表达式为.
（2）解：若，当时，的最小值在时取到， .
（3）解：当 时，∵，
∴. .
∵ 二次函数的最大值比最小值大2
∴.
∴.
当 时，∵，
∴，，
∵ 二次函数的最大值比最小值大2
∴.
∴.
当 时，∵，
∴，∴，
若 ，解得 ，不符合；
若 ，解得 ，不符合.
∴ 或 .
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】(1)利用对称轴公式和已知点坐标，列方程，即可求出二次函数的表达式；
(2)由于开口向下，对称轴为x=1，当n>0时，n≤x≤n+2的最小值在x=n+2处，代入即可求解；
(3)根据t≤x≤t+1，判断分情况讨论，计算最大值与最小值的差值，解方程t即可.
24．（2025·上虞二模）如图1，已知点D在的边BC上，连接AD，是的外接圆，AC切于点A.
（1）【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点A作的直径AE，连接ED，根据已知条件，可以证明.请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程.
（2）【拓展迁移】当，时.
①求的值；
②求面积的最大值，并求出此时的半径.
【答案】（1）解： 过点A的⊙O的直径AE，连结ED，如图.
，.
又切于点A，
，即.
.
又，
.
（2）解：①知，
又，
.
设，，.
.
，解得，(舍去).
..
②由题意：当BA⊥AC时，△ABC面积最大，如图，
∵AC切☉O于点A，BA⊥AC，
∴AB为圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
由①知：，
∴
∵
∴BA=4.
∴此时⊙O的半径为.
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)过点A作☉O的直径AE，连结ED，利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和直角三角形的性质，以及同角的余角相等的性质解答即可；
(2)①利用相似三角形的判定与性质求得CD，再利用相似三角形的性质解答即可；
②当BA⊥AC时，△ABC面积最大，画出符合题意的图形，利用圆周角定理和勾股定理解答即可.
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