浙江省宁波市江北区2025年5月中考二模数学试卷
1．（2025·江北二模） 下列各数中， 最小的是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
2．（2025·江北二模）鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·江北二模）2025年1月，中国人工智能企业深度求索（Deep Seek）宣布，其研发的智能助手 Deep Seek - V3的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一。数120000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江北二模） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江北二模） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
6．（2025·江北二模） 如图，四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'是位似图形，位似比为，且四边形 ABCD 的周长为 36，则四边形 A'B'C'D'的周长为（ ）
A．16 B．24 C．54 D．81
7．（2025·江北二模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·江北二模）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离。已知f，v，则u=（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江北二模） 反比例函数的图象上有，两点。下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·江北二模） 如图，在中， ， ， ， ， 记， ， 当BC不变， AB改变的过程中， 下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．xy C． D．
11．（2025·江北二模）二次根式中字母x的取值范围为 。
12．（2025·江北二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同，如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 。
13．（2025·江北二模） 因式分解：a2b-5ab2= 。
14．（2025·江北二模） 如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交AC于点E。已知CE=4，∠A=40°，则的长为 。（结果保留π）
15．（2025·江北二模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，AC与DH，BF分别交于M，N两点，若AC=3MN=3。则BN长为 。
16．（2025·江北二模）如图，在平行四边形ABCD中，E 为对角线AC上一点，AE=CE，将△BCE沿 BE折叠，点 C的对应点F刚好落在AD边上，则△ABF与平行四边形ABCD的面积之比为 。
17．（2025·江北二模）计算：。
18．（2025·江北二模）先化简，再求值：，其中
19．（2025·江北二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是BC边上的中线，tan∠BAD=1，DE⊥AC，垂足为E。
（1）求 sinC的值。
（2）求AE的长。
20．（2025·江北二模）近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件。某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图。
调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是 ▲ （单选）。 A.研学+历史 B．研学+科学 C.研学+艺术 D.研学+农业 E.研学+外文 F．研学+工业
（1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中C，D的百分比。
（2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为 °.
（3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数。
21．（2025·江北二模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，BD为对角线。
（1）尺规作图：作菱形BEDF，使点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）在（1）的条件下，若AB=4，AD=8，求BE的长。
22．（2025·江北二模）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行活动。大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶。已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，OA、BA分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数图象。
（1）大巴的速度为 千米/时。
（2）求AB所在直线的函数解析式。
（3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米。
23．（2025·江北二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2bx+b2+b的顶点为A，且与y轴交于点B。
（1）求点A的坐标（用含b的代数式表示）。
（2）若点B的纵坐标为m，求m的最小值。
（3）当b<0，∠ABO为锐角时，求b的取值范围。
24．（2025·江北二模）如图1，AD为锐角△ABC的中线，延长AD与△ABC的外接圆⊙O交于点E，点F在AD上，连结 BF，CF，BE，CE，∠CBF=∠BAE。
（1）求证：四边形BECF为平行四边形。
（2）如图2，连结OF，若OF⊥CF，求证：△BFE为等腰三角形。
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 OC，若OC平分∠ACF，求tan∠BAC的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2<-1<1<2，
∴最小值是-2，
故答案为：D.
【分析】利用有理数比较大小的方法分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的左视图为
故答案为：D.
【分析】通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120000000=1.2×108，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a9÷a3=a6，故本选项错误；
B、a2+a2=2a2，故本选项错误；
C、(2a)2= 4a2，故本选项错误；
D、a2·a4=a6，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项分别进行计算，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是位似图形，位似比为，
∴四边形ABCD~四边形A'B'C'D'，
∴
∵四边形ABCD的周长为36，
∴四边形A'B'C'D'的周长为54.
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比即可解答.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案.
8．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质，把等式(v≠f)恒等变形，用含f，v的的代数式表示u.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：当t<0时，-t>0，因此(正数)，(正数).若t=-1，则y1-y2=1-1-0，不满足>0，若t=-2，则y1-y2=0.5-0.25=0.25>0，选项A不恒成立，错误；
选项B：，分母t2>0，分子-t+1的符号决定整体符号：当t<1时，分子>0，整体>0；当t>1时，分子<0，整体<0，选项B不恒成立，错误；
选项C：，当t<-1时，t+1<0，因此(分母t2>0)，选项C恒成立，正确；
选项D：，当t>1时，分子-t+1<0，整体<0，选项D不恒成立，错误；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数定义，直接代入点坐标计算；针对每个选项中的t范围，分析y1和y2的符号及大小关系；通过通分、因式分解等方法简化表达式，判断代数式的符号.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F，
∵AD//BC，
∴四边形AEFD为矩形，
∵AB=AC
∴BE=CE
∵BC不变，
∴设BE=CE=a为定值，
∵AB=x，
∴AE2=AB2-BE2=x2-a2，
∴AE=DF，AD=EF=y，
∴BF=a+y，CF=a-y，DF2=x2-a2，
∵∠BFD=∠CFD=∠BDC=90°，
∴∠BDF=90°-∠CDF=∠DCF.
∴△BDF∽△DCF，
∴
∴DF2=CF·BF，即x2-a2=(a+y)(a-y)，
整理得x2+y2=2a2
∴x2+y2为定值，
故答案为：C.
【分析】过点A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F，设BE=CE=a为定值，由勾股定理求得AE2=x2-a2，再证明△BDF∽△DCF，推出DF2=CF·BF，得到x2-a2=(a+y)(a-y)，据此求解即可.
11．【答案】x≥4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
x-4≥0，
解得：x≥4，
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
任意摸出一个球恰好为红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率.
13．【答案】ab(a-5b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b-5ab2=ab(a-5b)，
故答案为：ab(a-5b).
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
14．【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是☉O的切线，切点为D，
∴∠ADO=90°，.
∵∠A=40°
∴∠AOD=90°-∠A=50°
∴∠COD=180°-∠AOD=130°
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD，求出∠ADO=90°，即可求出∠COD=130°，根据弧长公式的计算，即可解答.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH组成，
∴AH=CF，∠AHM=∠CFN，∠BAE=∠DCG，
∵∠BAC=∠ACD=45°，∠BAC-∠BAE=∠ACD-∠DCG，即∠HAM=∠FCN，
∴△HAM≌△FCN(AAS).
∴AM=CN
∵AC=3MN=MN+2AM=3.
∴AM=MN=CN=1，，
∵∠ANE=∠CNF，∠AEN=∠CFN，
∴△ANE∽△CNF，
∴
设CF=a，则BF=AE=2a，
根据勾股定理可得CF2+BF2=BC2，即，
解得(负值舍去)
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意可得△HAM≌△FCN(AAS)，可得AM=MN=CN=1，再证明△ANE~△CNF，利用勾股定理列方程即可解答.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设，则，由折叠的性质可得，利用平行四边形的性质可得，进而证得，再通过相似三角形的性质求得，即可表示出，利用平行线的性质可得，然后求得△ABF与平行四边形ABCD的面积之比.
17．【答案】解：原式=2+-=2
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义化简、负整数指数幂法则，计算即可得到结果.
18．【答案】解：原式
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x=3代入计算即可.
19．【答案】（1）解：，
∵AD为BC边上的中线，
，
（2）解：∵，，
∴
∵，，
∴
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；三角形的中线
【解析】【分析】(1)先根据∠BAD的正切值及AB的长，求出BC的长，进一步得出AC的长，再根据正弦的定义即可解决问题；
(2)根据∠C的正弦求出DE的长，据此进一步求出AE的长即可解决问题.
20．【答案】（1）解：样本容量为：100÷25%=400，
∴C所占百分比为：，
∴D所占百分比为：1-25%-18%-20%-15%-12%=10%，
D的人数为：400×10%=40，
补全条形统计图如下：
（2）136.8
（3）解：4500×25%=1125（人)，
答：估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数约1125名.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为：360°×(18%+20%)=136.8°，
故答案为：136.8.
【分析】(1)根据A的人数及其所占百分比可得样本容量，用C的人数除以样本容量可得C所占百分比，再用“1”分别减去其它分别所占百分比可得D所占百分比；用样本容量乘D所占百分比可得D的人数，即可补全条形统计图；
(2)用360°乘“B”与“C”所占百分比之和即可；
(3)利用样本估计总体列式解答即可.
21．【答案】（1）解：如图，菱形BEDF即为所求.
（2）解：设 BF=DF=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
则有x2=42+ (8 -x) 2，
解得x=5，
∴BE=5.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)连接AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD交BC于点E，交AD于点F，连接BF，DE即可；
(2)设BF=DF=x，则有x2=42+(8-x)2，解方程求出x可得结论.
22．【答案】（1）50
（2）解：由题意得，A(3，150)，
设AB所在直线的函数表达式为，把A(3，150)、B(1，0)代入得，
解得，
所在直线的函数表达式为；
（3）解：由（1）得大巴的速度为50千米/时，
轿车的速度为150÷（3-1）=75（千米/时)
设轿车出发t小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
由题意得，50(t+1)- 75t=5.
解得t=1.8，
答：轿车出发1.8小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得，大巴的速度为50÷1=50(千米/时)，
故答案为：50.
【分析】(1)运用路程除以时间，得出速度，即可作答；
(2)由题意可得A(3，150)，再利用待定系数法解答即可求解；
(3)分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答，即可求解.
23．【答案】（1）解：，
∴顶点A为（-b.b)
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为
（3）解：当时，顶点A在第四象限，
又为锐角，
点B在x轴上方，
，，
，
，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)把抛物线化为顶点式即可得到答案；
(2)由题意可得：，再利用二次函数的性质可得答案；
(3)由b<0时，顶点A在第四象限，结合∠ABO为锐角，可得点B在x轴上方，可得b2+b>0，再进一步求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵点E在的外接圆上，
∴，
∵AD为的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形BECF为平行四边形。
（2）解：如图，连结 OB，OE，
∵四边形BECF为平行四边形，
∴CF // BE。
∴OF⊥CF，
∴OF⊥BE，
∵OB=OE，
∴∠BOF=∠EOF，
∵OF=OF，
∴△BOF≌△EOF(SAS)，
∴FB=FB。
∴△BPE为等腰三角形。
（3）解：如图，作，
，
平分
，
，
。
，
。
∵在平行四边形BECF中，
作
设，
∵，
∴，
∴。
∵，
∴。
∴。
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)证明△BDF≌△CDE(ASA)，求得BF=CE，BF//CE，即可证明四边形BECF为平行四边形；
(2)利用等腰三角形的性质求得∠BOF=∠EOF，推出△BOF≌△EOF(SAS)，得到FB=FE，即可证明△BFE为等腰三角形；
(3)作OG⊥AC，证明△OCG≌△OCF(AAS)，得到CG=CF=BE，即AC=2BE，证明△ADC∽△BDE，推出，设DM=EM=x，求得，推出，利用等角的补角相等，求得∠BAC=∠CFE，据此求解即可.
1 / 1浙江省宁波市江北区2025年5月中考二模数学试卷
1．（2025·江北二模） 下列各数中， 最小的是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-2
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵-2<-1<1<2，
∴最小值是-2，
故答案为：D.
【分析】利用有理数比较大小的方法分析求解即可.
2．（2025·江北二模）鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早，如图是鼓的立体图形，该立体图形的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：该立体图形的左视图为
故答案为：D.
【分析】通过观察立体图形，根据左边看到的图形为左视图，即可求解.
3．（2025·江北二模）2025年1月，中国人工智能企业深度求索（Deep Seek）宣布，其研发的智能助手 Deep Seek - V3的用户数量突破120000000，成为全球用户量最大的智能助手之一。数120000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：120000000=1.2×108，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·江北二模） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a9÷a3=a6，故本选项错误；
B、a2+a2=2a2，故本选项错误；
C、(2a)2= 4a2，故本选项错误；
D、a2·a4=a6，故本选项正确；
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的除法、同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项分别进行计算，即可得出答案.
5．（2025·江北二模） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（ ）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
6．（2025·江北二模） 如图，四边形 ABCD 和四边形 A'B'C'D'是位似图形，位似比为，且四边形 ABCD 的周长为 36，则四边形 A'B'C'D'的周长为（ ）
A．16 B．24 C．54 D．81
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应周长；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是位似图形，位似比为，
∴四边形ABCD~四边形A'B'C'D'，
∴
∵四边形ABCD的周长为36，
∴四边形A'B'C'D'的周长为54.
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比即可解答.
7．（2025·江北二模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺：将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意可得，
故选：A．
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案.
8．（2025·江北二模）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离。已知f，v，则u=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：A.
【分析】利用分式的基本性质，把等式(v≠f)恒等变形，用含f，v的的代数式表示u.
9．（2025·江北二模） 反比例函数的图象上有，两点。下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：选项A：当t<0时，-t>0，因此(正数)，(正数).若t=-1，则y1-y2=1-1-0，不满足>0，若t=-2，则y1-y2=0.5-0.25=0.25>0，选项A不恒成立，错误；
选项B：，分母t2>0，分子-t+1的符号决定整体符号：当t<1时，分子>0，整体>0；当t>1时，分子<0，整体<0，选项B不恒成立，错误；
选项C：，当t<-1时，t+1<0，因此(分母t2>0)，选项C恒成立，正确；
选项D：，当t>1时，分子-t+1<0，整体<0，选项D不恒成立，错误；
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数定义，直接代入点坐标计算；针对每个选项中的t范围，分析y1和y2的符号及大小关系；通过通分、因式分解等方法简化表达式，判断代数式的符号.
10．（2025·江北二模） 如图，在中， ， ， ， ， 记， ， 当BC不变， AB改变的过程中， 下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．xy C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F，
∵AD//BC，
∴四边形AEFD为矩形，
∵AB=AC
∴BE=CE
∵BC不变，
∴设BE=CE=a为定值，
∵AB=x，
∴AE2=AB2-BE2=x2-a2，
∴AE=DF，AD=EF=y，
∴BF=a+y，CF=a-y，DF2=x2-a2，
∵∠BFD=∠CFD=∠BDC=90°，
∴∠BDF=90°-∠CDF=∠DCF.
∴△BDF∽△DCF，
∴
∴DF2=CF·BF，即x2-a2=(a+y)(a-y)，
整理得x2+y2=2a2
∴x2+y2为定值，
故答案为：C.
【分析】过点A和D作BC的垂线，垂足分别为E和F，设BE=CE=a为定值，由勾股定理求得AE2=x2-a2，再证明△BDF∽△DCF，推出DF2=CF·BF，得到x2-a2=(a+y)(a-y)，据此求解即可.
11．（2025·江北二模）二次根式中字母x的取值范围为 。
【答案】x≥4
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得
x-4≥0，
解得：x≥4，
故答案为：x≥4.
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可.
12．（2025·江北二模）在不透明的布袋中装有3个红球，4个白球，这些球只是颜色不同，如果布袋中再放进2个同样规格的红球，那么此时从布袋中，任意摸出一个球恰好为红球的概率是 。
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
任意摸出一个球恰好为红球的概率，
故答案为：.
【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出任意摸出一个球恰好为红球的概率.
13．（2025·江北二模） 因式分解：a2b-5ab2= 。
【答案】ab(a-5b)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2b-5ab2=ab(a-5b)，
故答案为：ab(a-5b).
【分析】利用提公因式法分解因式即可.
14．（2025·江北二模） 如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交AC于点E。已知CE=4，∠A=40°，则的长为 。（结果保留π）
【答案】
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，
∵AB是☉O的切线，切点为D，
∴∠ADO=90°，.
∵∠A=40°
∴∠AOD=90°-∠A=50°
∴∠COD=180°-∠AOD=130°
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD，求出∠ADO=90°，即可求出∠COD=130°，根据弧长公式的计算，即可解答.
15．（2025·江北二模）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和中间一个小正方形EFGH组成，AC与DH，BF分别交于M，N两点，若AC=3MN=3。则BN长为 。
【答案】
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形EFGH组成，
∴AH=CF，∠AHM=∠CFN，∠BAE=∠DCG，
∵∠BAC=∠ACD=45°，∠BAC-∠BAE=∠ACD-∠DCG，即∠HAM=∠FCN，
∴△HAM≌△FCN(AAS).
∴AM=CN
∵AC=3MN=MN+2AM=3.
∴AM=MN=CN=1，，
∵∠ANE=∠CNF，∠AEN=∠CFN，
∴△ANE∽△CNF，
∴
设CF=a，则BF=AE=2a，
根据勾股定理可得CF2+BF2=BC2，即，
解得(负值舍去)
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意可得△HAM≌△FCN(AAS)，可得AM=MN=CN=1，再证明△ANE~△CNF，利用勾股定理列方程即可解答.
16．（2025·江北二模）如图，在平行四边形ABCD中，E 为对角线AC上一点，AE=CE，将△BCE沿 BE折叠，点 C的对应点F刚好落在AD边上，则△ABF与平行四边形ABCD的面积之比为 。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设，则，由折叠的性质可得，利用平行四边形的性质可得，进而证得，再通过相似三角形的性质求得，即可表示出，利用平行线的性质可得，然后求得△ABF与平行四边形ABCD的面积之比.
17．（2025·江北二模）计算：。
【答案】解：原式=2+-=2
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；求算术平方根
【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义化简、负整数指数幂法则，计算即可得到结果.
18．（2025·江北二模）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将x=3代入计算即可.
19．（2025·江北二模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是BC边上的中线，tan∠BAD=1，DE⊥AC，垂足为E。
（1）求 sinC的值。
（2）求AE的长。
【答案】（1）解：，
∵AD为BC边上的中线，
，
（2）解：∵，，
∴
∵，，
∴
∴
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；三角形的中线
【解析】【分析】(1)先根据∠BAD的正切值及AB的长，求出BC的长，进一步得出AC的长，再根据正弦的定义即可解决问题；
(2)根据∠C的正弦求出DE的长，据此进一步求出AE的长即可解决问题.
20．（2025·江北二模）近年来，研学旅行作为一种寓教于乐的教学方式多次被写入国家级政策文件。某校学生会负责该校学生的一次研学活动，为设计出同学们最感兴趣的研学路线，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图。
调查问卷 1．你最感兴趣的研学类型是 ▲ （单选）。 A.研学+历史 B．研学+科学 C.研学+艺术 D.研学+农业 E.研学+外文 F．研学+工业
（1）请补全条形统计图，并写出扇形统计图中C，D的百分比。
（2）“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为 °.
（3）若该校共有4500名学生，请你估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数。
【答案】（1）解：样本容量为：100÷25%=400，
∴C所占百分比为：，
∴D所占百分比为：1-25%-18%-20%-15%-12%=10%，
D的人数为：400×10%=40，
补全条形统计图如下：
（2）136.8
（3）解：4500×25%=1125（人)，
答：估计该校对“研学+历史”最感兴趣的学生人数约1125名.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：“B”与“C”所在的扇形圆心角的度数和为：360°×(18%+20%)=136.8°，
故答案为：136.8.
【分析】(1)根据A的人数及其所占百分比可得样本容量，用C的人数除以样本容量可得C所占百分比，再用“1”分别减去其它分别所占百分比可得D所占百分比；用样本容量乘D所占百分比可得D的人数，即可补全条形统计图；
(2)用360°乘“B”与“C”所占百分比之和即可；
(3)利用样本估计总体列式解答即可.
21．（2025·江北二模）如图，在矩形ABCD中，AD>AB，BD为对角线。
（1）尺规作图：作菱形BEDF，使点E，F分别在边BC，AD上（保留作图痕迹，不写作法）。
（2）在（1）的条件下，若AB=4，AD=8，求BE的长。
【答案】（1）解：如图，菱形BEDF即为所求.
（2）解：设 BF=DF=x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
则有x2=42+ (8 -x) 2，
解得x=5，
∴BE=5.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】(1)连接AC，BD交于点O，过点O作EF⊥BD交BC于点E，交AD于点F，连接BF，DE即可；
(2)设BF=DF=x，则有x2=42+(8-x)2，解方程求出x可得结论.
22．（2025·江北二模）某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行活动。大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶。已知轿车出发2小时后追上大巴，此时两车与学校相距150千米，如图，OA、BA分别表示大巴、轿车离开学校的路程s（千米）与大巴行驶的时间t（小时）的函数图象。
（1）大巴的速度为 千米/时。
（2）求AB所在直线的函数解析式。
（3）求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距5千米。
【答案】（1）50
（2）解：由题意得，A(3，150)，
设AB所在直线的函数表达式为，把A(3，150)、B(1，0)代入得，
解得，
所在直线的函数表达式为；
（3）解：由（1）得大巴的速度为50千米/时，
轿车的速度为150÷（3-1）=75（千米/时)
设轿车出发t小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
由题意得，50(t+1)- 75t=5.
解得t=1.8，
答：轿车出发1.8小时后，轿车与大巴首次相距5千米，
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)由题意可得，大巴的速度为50÷1=50(千米/时)，
故答案为：50.
【分析】(1)运用路程除以时间，得出速度，即可作答；
(2)由题意可得A(3，150)，再利用待定系数法解答即可求解；
(3)分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答，即可求解.
23．（2025·江北二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x2+2bx+b2+b的顶点为A，且与y轴交于点B。
（1）求点A的坐标（用含b的代数式表示）。
（2）若点B的纵坐标为m，求m的最小值。
（3）当b<0，∠ABO为锐角时，求b的取值范围。
【答案】（1）解：，
∴顶点A为（-b.b)
（2）解：当时，
，
当时，的最小值为
（3）解：当时，顶点A在第四象限，
又为锐角，
点B在x轴上方，
，，
，
，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】(1)把抛物线化为顶点式即可得到答案；
(2)由题意可得：，再利用二次函数的性质可得答案；
(3)由b<0时，顶点A在第四象限，结合∠ABO为锐角，可得点B在x轴上方，可得b2+b>0，再进一步求解即可.
24．（2025·江北二模）如图1，AD为锐角△ABC的中线，延长AD与△ABC的外接圆⊙O交于点E，点F在AD上，连结 BF，CF，BE，CE，∠CBF=∠BAE。
（1）求证：四边形BECF为平行四边形。
（2）如图2，连结OF，若OF⊥CF，求证：△BFE为等腰三角形。
（3）如图3，在（2）的条件下，连结 OC，若OC平分∠ACF，求tan∠BAC的值。
【答案】（1）证明：∵点E在的外接圆上，
∴，
∵AD为的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形BECF为平行四边形。
（2）解：如图，连结 OB，OE，
∵四边形BECF为平行四边形，
∴CF // BE。
∴OF⊥CF，
∴OF⊥BE，
∵OB=OE，
∴∠BOF=∠EOF，
∵OF=OF，
∴△BOF≌△EOF(SAS)，
∴FB=FB。
∴△BPE为等腰三角形。
（3）解：如图，作，
，
平分
，
，
。
，
。
∵在平行四边形BECF中，
作
设，
∵，
∴，
∴。
∵，
∴。
∴。
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)证明△BDF≌△CDE(ASA)，求得BF=CE，BF//CE，即可证明四边形BECF为平行四边形；
(2)利用等腰三角形的性质求得∠BOF=∠EOF，推出△BOF≌△EOF(SAS)，得到FB=FE，即可证明△BFE为等腰三角形；
(3)作OG⊥AC，证明△OCG≌△OCF(AAS)，得到CG=CF=BE，即AC=2BE，证明△ADC∽△BDE，推出，设DM=EM=x，求得，推出，利用等角的补角相等，求得∠BAC=∠CFE，据此求解即可.
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