四川省德阳市2025年中考数学试题
1．（2025·德阳）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
2．（2025·德阳）下列各式计算正确的是 （ ）
A．2a+3b=5ab B．-(a+3)=-a+3 C．-2×3a=-6a D．
3．（2025·德阳）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角∠CAB=135°，则第二次拐角∠ABD= （ ）
A．45° B．55° C．105° D．135°
4．（2025·德阳）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 （ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
5．（2025·德阳）下列图形中可以作为正方体的展开图的是 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是 （ ）
A．AB∥CD B．AB=BC C． D．
7．（2025·德阳）德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里.若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是 （ ）
A．25公里 B．28公里 C．29公里 D．30公里
8．（2025·德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
9．（2025·德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数，物价各几何 ”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少 设买鸡的人数为x人，则x为 （ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
10．（2025·德阳）如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GH= （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
11．（2025·德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究，测得边长AB=1，那么图中四边形GCHF的面积是 （ ）
A． B． C． D．
12．（2025·德阳）已知抛物线(a，b，c是常数，a>0)过点(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，该抛物线与直线y=kx+c(k，c是常数，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在点B左侧).下列说法：①bc＜0；②3a+b>0；③点A'是点A关于直线.的对称点，则3＜AA'＜4；④当时，不等式的解集为0＜x＜4.其中正确的结论个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2025·德阳）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 .
14．（2025·德阳）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是 m.
15．（2025·德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 .(只需写出一个即可)
16．（2025·德阳）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差乙运动员训练成绩的方差你认为应该选择 参加比赛.(填甲或者乙)
17．（2025·德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果，那么这个等宽曲线的周长是 .
18．（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，点C在直线m：上，且连接AB，BC，将绕点C顺时针旋转到点B的对应落在直线m上，再将点绕点顺时针旋转到点的对应点.也落在直线m上.如此下去，…，则的纵坐标是 .
19．（2025·德阳）（1）计算：
（2）先化简，再求值：其中a=2.
20．（2025·德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块.灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查(每人只能选择一项)，用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表：
主题板块 频数(满意人数) 频率(所占比例)
A 180 0.36
B a 0.20
C 75
D b c
E
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么 若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数；
（3）若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
21．（2025·德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点A(3，4)，连接OB、OB与反比例函数图象交于点D.
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线OB的解析式和点D的坐标.
22．（2025·德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计).
（1）请问这两条路是否等长 它们有什么位置关系，说明理由；
（2）同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由.
23．（2025·德阳）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元.
（1）A型、B型挂面的单价分别是多少元
（2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋.在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案 其中最低花费多少元
24．（2025·德阳）在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G.
（1）若求的度数；
（2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M，
①证明：
②若求⊙O的直径.
25．（2025·德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，连接BC，过点C作与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段BC上两个动点(点E在点F的右侧)，且连接OF，DE.求(）的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵-2，-1是负数，0既不是正数也不是负数，1是正数，
∴正数是1，
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，负数小于0解答即可.
2．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A： 2a、3b 不是同类项，不能合并，原运算错误；
B：-(a+3)=-a-3，原运算错误；
C：-2×3a=-6a，运算正确，
D：，原运算错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、去括号、单项式乘以单项式、单项式除以单项式的运算法则逐项判断解答.
3．【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ 两次转弯后和原来方向相同，
∴∠ABD=∠CAB=135°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行，内错角相等解答即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得k=-2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，求出k值即可.
5．【答案】A
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A：该图是正方体的展开图，符合题意；
B：该图中有田字格，不是正方体的展开图，不符合题意；
C：该图不是正方体的展开图，不符合题意；
D：该图不是正方体的展开图，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方体的展开图的特点解答即可.
6．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A：AB∥CD是平行四边形的性质，故不能得到ABCD是矩形，不符合题意；
B：添加AB=BC，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C：添加∠B=∠D，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D：添加AC=BD，四边形ABCD是矩形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理解答即可.
7．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵ 新增后这6条线路长度的中位数变为29公里， 众数保持不变，
∴居于中间的两个数是28，30，
故新增加的这条公路长度小于28公里，即为25公里，
故答案为：A.
【分析】根据中位数和众数的定义解答即可.
8．【答案】B
【知识点】平移的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
9．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设买鸡的人数为x人，
9x-11=6x+16，
解得x=9，
故答案为：D.
【分析】设买鸡的人数为x人，根据买鸡的钱数不变列方程求出x值即可.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AC，BD，HF，EG，设HF与EG交于点O，
∵ E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴
∴EFGH是菱形，
又∵BD=AC，
∴HG=GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EC⊥HF，OH=，OG=，，
解得EG=8，则OG=4，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接AC，BD，HF，EG，设HF与EG交于点O，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积求出EG长，再根据勾股定理求出HG长即可.
11．【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠ABC=，AB=BC=AF=1，
∴∠BAC=∠ABF=∠AFB==30°，
∴∠GAF=∠CBF=90°，
∴同理可得∠AFD=∠FDC=∠BFE=∠FEC=90°，
∴ACDF和BCEF是矩形，
∴AC∥DF，BF∥CE，
∴CHFG是平行四边形，
∴，
∴ 四边形GCHF的面积是FG×BC= ，
故答案为：A.
【分析】先根据正六边形的性质得到ACDF和BCEF是矩形，即可得到CHFG是平行四边形，然后根据余弦的定义求出GF长计算面积即可.
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线过点 (1，0)，(m，0)，
∴对称轴为直线x=
又∵ 2＜m＜3，a>0，
∴b=-a(m+1)<0，
把(1，0)代入解析式的a+b+c=0，解得c=-a-b=-a+a（m+1）=am>0，
∴bc<0，故①正确；
∴二次函数解析式为
3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0，故②错误；
解方程组得或，
当时，则，
当，则，
由于，故③错误；
当时， x1=0，
∴ 不等式的解集为0＜x＜4.
即 式的解集为0＜x＜4，故④正确；
正确的为：①④，
故答案为：B.
【分析】根据题意的带对称轴为直线x=，得到b=-a(m+1)，把(1，0)代入解析式得到c=am，然后判断①②；解两解析式联立方程组求出x值，分情况讨论判断③；根据二次函数和一次函数的图象得到不等式的解集判断④解答即可.
13．【答案】x≠3的一切实数
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
x﹣3≠0
解得：x≠3
∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数；
故答案为：x≠3的一切实数.
【分析】根据分式的分母不等于0列不等式求解即可.
14．【答案】0.5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：动力臂为，
故答案为：0.5.
【分析】根据“杠杆原理”，代入数值计算解答即可.
15．【答案】(2，1)
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
又∵，
解得或，
故答案为：(2，1).
【分析】根据三角形的面积公式可得或，然后写出符合要求的点的坐标即可.
16．【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵
∴，
故 应该选择 乙参加比赛，
故答案为：乙.
【分析】根据方差越小成绩越稳定解答即可.
17．【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，
∴ 这个等宽曲线的周长是
故答案为：π.
【分析】根据等边三角形性质得到∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，即可根据弧长公式求出等宽曲线的周长.
18．【答案】2004
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—边角关系；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：当x=0时，y=，
∴直线与y轴交于点(0，)，
∴直线与x轴夹角的正切为，即夹角为30°，
AB=，
∴，
由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动3+4+5=12个单位长度，
∵，
即，
∴的纵坐标是，
故答案为：2004.
【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出长，然后求出直线m与x轴的夹角度数，然后利用30°的直角三角形的性质解答即可.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=a(a-3)
当a=2时，原式=-2.
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂，算术平方根和绝对值，然后合并同类二次根式解题即可；
（2）先把括号内的通分相加，然后把分子、分母因式分解约分化简，再把a的值代入计算解题.
20．【答案】（1）a=100；b=145；c=0.29.
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块.
200000×0.36=72000(人).
答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人.
（3）画树状图如图：
∴P(一男一女)
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）180÷0.36=500，∴a=500×0.20=100人；
b=500-180-100-75=145人，
c=145÷500=0.29；
【分析】（1）先根据A主题板块人数除以频率求出考察总人数，然后让考查总人数乘以B主题板块的频率求出a的值；再运用总人数减去A，B，C的人数求出b的值，用b的值除以500求出c即可；
（2）用200000乘以A板块的频率计算解题；
（3）列树状图的到所有等可能结果数，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题.
21．【答案】（1）解：把A(3，4)代入得k=3×4=12，
（2）∵A(3，4)，
∴OA=5.
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=5，
∴B(8，4).
设直线OB的解析式为：y=mx(m≠0)，把B(8，4)代入得
∴直线OB的解析式为：
∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式
解得或
∵x>0，
∴D(2，).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）根据菱形的性质求出点B的坐标，代入得到OB的解析式，联立直线和双曲线的解析式求出交点D的坐标.
22．【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°.
∵DE=CF，
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF.
∴BE=AF.
∴∠DAF=∠ABE.
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°.
∴AF⊥BE.
所以这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直.
（2）∵AD=4，AE=3，∴DF=3.
∴BE=5.
又∵在Rt△ABE中有BE·AO=AB·AE，
∴5AO=4×3.
①如果另一端点P在路段OB上，
则在Rt△OPF中，
此种情况不成立．
②如果另一端点在花园边界BC上时，设，则在Rt中，
有，．，
能修建成这样的一条直路．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到BE=AF，然后根据等量代换得到∠DAF+∠AEB=90°即可得到位置关系解题；
（2）先根据勾股定理求出AF长，然后利用面积法求出AO长，然后分为点P在路段OB上或在花园边界BC上两种情况，利用勾股定理解答即可.
23．【答案】（1）解：设型挂面每袋元，型挂面每袋元．
则
解得
答：型挂面每袋20元，型挂面每袋30元
（2）设购买型挂面袋，则购买型挂面的数量为袋，总费用为元．
．
解得．
又，
又为正整数
.
．
，
随的增大而增大．
时，有最小值，最小值为（元）。
答：共有6种购买方案，敢低费用为900元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设型挂面每袋元，型挂面每袋元．根据“ 购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元 ”列方程解答即可；
（2）设购买型挂面袋，根据“总费用不超过950元”列不等式求出a的取值范围，然后列出w关于a的一次函数，并根据函数的增减性求出最值即可解题.
24．【答案】（1）解：是直径，BG是的切线，
（2）①证明：∵
∴∠AOC=2∠BOD=2∠AOM，
∴∠COM=∠AOM，
又∵OA=OC，
∴DM⊥AC；
②连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠ADB=∠ABF.
又∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABD∽△AFB.
由①知， ∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得到即可得到然后根据角的和差解答即可；
（2）①得到∠COM=∠AOM，然后根据等腰三角形的三线合一得到结论即可；
②连接BD，根据两角对应相等得到△ABD∽△AFB.即可得到对应边成比例再根据①得到AD=CD，代入计算解答即可.
25．【答案】（1）∵A(-1， 0)， B(3， 0)在二次函数 的图象上，
设
（2）①把 x=0代入 得
∴ C(0， 3)
如图，延长DC与x轴相交于点G.
∵B(3， 0)， C(0， 3)，
∵∠DCB=90°，
∴ ∠CGB=45°.
∴G(-3， 0)
设直线CG的解析式为： y= kx+m(k≠0)， 把C(0， 3)， G( - 3， 0)代入得 解得
∴ 直线 CG的解析式为： y=x+3
∵点D 是直线CG与二次函数的交点，
∴联立解析式 解得 或
∴ D(1， 4)
②如图， 过点O作OH∥EF， 且 连接HE， DH.
∵OH∥EF， 且OH=EF，
∴四边形OFEH 是平行四边形，
∴OF=EH.
∵∠CBO=45°，
∴ 当 DE + EH = DH 时， DE + EH 最小.
∵D(1，4)， H(1，- 1)，
∴DH=5.
此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴，
∴点 F 的坐标为(0，3)与点 C 重合，满足 EF 在线段BC上.
∴ DE+OF 的最小值为5.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）①先求出点C 的坐标，延长DC与x轴相交于点G.根据OB=OC得到∠CBO=45°，求出交点G的坐标，即可求出CG的解析式，然后联立解方程求出交点D的坐标；
②过点O作OH∥EF， 且 连接HE， DH.得到OFEH 是平行四边形，即可求得OF=EH，得到点H的坐标，根据三角形三边的关系得到当 DE + EH = DH 时， DE + EH 最小.根据两点间距离公式求出DH长，即可得到最小值.
1 / 1四川省德阳市2025年中考数学试题
1．（2025·德阳）下列数是正数的是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
【答案】A
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：∵-2，-1是负数，0既不是正数也不是负数，1是正数，
∴正数是1，
故答案为：A.
【分析】根据正数大于0，负数小于0解答即可.
2．（2025·德阳）下列各式计算正确的是 （ ）
A．2a+3b=5ab B．-(a+3)=-a+3 C．-2×3a=-6a D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；去括号法则及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A： 2a、3b 不是同类项，不能合并，原运算错误；
B：-(a+3)=-a-3，原运算错误；
C：-2×3a=-6a，运算正确，
D：，原运算错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、去括号、单项式乘以单项式、单项式除以单项式的运算法则逐项判断解答.
3．（2025·德阳）如图：一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角∠CAB=135°，则第二次拐角∠ABD= （ ）
A．45° B．55° C．105° D．135°
【答案】D
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵ 两次转弯后和原来方向相同，
∴∠ABD=∠CAB=135°，
故答案为：D.
【分析】根据两直线平行，内错角相等解答即可.
4．（2025·德阳）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 （ ）
A．2 B．0 C．-2 D．-4
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得k=-2，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，求出k值即可.
5．（2025·德阳）下列图形中可以作为正方体的展开图的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：A：该图是正方体的展开图，符合题意；
B：该图中有田字格，不是正方体的展开图，不符合题意；
C：该图不是正方体的展开图，不符合题意；
D：该图不是正方体的展开图，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据正方体的展开图的特点解答即可.
6．（2025·德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是 （ ）
A．AB∥CD B．AB=BC C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A：AB∥CD是平行四边形的性质，故不能得到ABCD是矩形，不符合题意；
B：添加AB=BC，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C：添加∠B=∠D，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D：添加AC=BD，四边形ABCD是矩形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理解答即可.
7．（2025·德阳）德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里.若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是 （ ）
A．25公里 B．28公里 C．29公里 D．30公里
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵ 新增后这6条线路长度的中位数变为29公里， 众数保持不变，
∴居于中间的两个数是28，30，
故新增加的这条公路长度小于28公里，即为25公里，
故答案为：A.
【分析】根据中位数和众数的定义解答即可.
8．（2025·德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF处，使EF恰好过边AB的中点D，连接CD，若CD=1，则GE= （ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】平移的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D是AB的中点，
∴AB=2CD=2，
由平移可得EG=AB=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形的中线性质得到AB=2CD=2，然后根据平移解答即可.
9．（2025·德阳）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数，物价各几何 ”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少 设买鸡的人数为x人，则x为 （ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设买鸡的人数为x人，
9x-11=6x+16，
解得x=9，
故答案为：D.
【分析】设买鸡的人数为x人，根据买鸡的钱数不变列方程求出x值即可.
10．（2025·德阳）如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GH= （ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：连接AC，BD，HF，EG，设HF与EG交于点O，
∵ E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴
∴EFGH是菱形，
又∵BD=AC，
∴HG=GF，
∴四边形EFGH是菱形，
∴EC⊥HF，OH=，OG=，，
解得EG=8，则OG=4，
∴，
故答案为：B.
【分析】连接AC，BD，HF，EG，设HF与EG交于点O，根据三角形的中位线定理得到四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的面积求出EG长，再根据勾股定理求出HG长即可.
11．（2025·德阳）六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形.六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等.在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图(如图所示)的性质进行研究，测得边长AB=1，那么图中四边形GCHF的面积是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的判定与性质；正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BAF=∠ABC=，AB=BC=AF=1，
∴∠BAC=∠ABF=∠AFB==30°，
∴∠GAF=∠CBF=90°，
∴同理可得∠AFD=∠FDC=∠BFE=∠FEC=90°，
∴ACDF和BCEF是矩形，
∴AC∥DF，BF∥CE，
∴CHFG是平行四边形，
∴，
∴ 四边形GCHF的面积是FG×BC= ，
故答案为：A.
【分析】先根据正六边形的性质得到ACDF和BCEF是矩形，即可得到CHFG是平行四边形，然后根据余弦的定义求出GF长计算面积即可.
12．（2025·德阳）已知抛物线(a，b，c是常数，a>0)过点(1，0)，(m，0)，且2＜m＜3，该抛物线与直线y=kx+c(k，c是常数，k≠0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点(点A在点B左侧).下列说法：①bc＜0；②3a+b>0；③点A'是点A关于直线.的对称点，则3＜AA'＜4；④当时，不等式的解集为0＜x＜4.其中正确的结论个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵抛物线过点 (1，0)，(m，0)，
∴对称轴为直线x=
又∵ 2＜m＜3，a>0，
∴b=-a(m+1)<0，
把(1，0)代入解析式的a+b+c=0，解得c=-a-b=-a+a（m+1）=am>0，
∴bc<0，故①正确；
∴二次函数解析式为
3a+b=3a-a(m+1)=-a(m-2)<0，故②错误；
解方程组得或，
当时，则，
当，则，
由于，故③错误；
当时， x1=0，
∴ 不等式的解集为0＜x＜4.
即 式的解集为0＜x＜4，故④正确；
正确的为：①④，
故答案为：B.
【分析】根据题意的带对称轴为直线x=，得到b=-a(m+1)，把(1，0)代入解析式得到c=am，然后判断①②；解两解析式联立方程组求出x值，分情况讨论判断③；根据二次函数和一次函数的图象得到不等式的解集判断④解答即可.
13．（2025·德阳）函数y＝ 的自变量x的取值范围是 .
【答案】x≠3的一切实数
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得
x﹣3≠0
解得：x≠3
∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数；
故答案为：x≠3的一切实数.
【分析】根据分式的分母不等于0列不等式求解即可.
14．（2025·德阳）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是 m.
【答案】0.5
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：动力臂为，
故答案为：0.5.
【分析】根据“杠杆原理”，代入数值计算解答即可.
15．（2025·德阳）△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是 .(只需写出一个即可)
【答案】(2，1)
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵ A(1，0)，B(3，0)，
∴AB=2，
又∵，
解得或，
故答案为：(2，1).
【分析】根据三角形的面积公式可得或，然后写出符合要求的点的坐标即可.
16．（2025·德阳）甲乙两射击运动员参加射击选拔比赛，若他们射击训练成绩的平均数相同，且甲运动员训练成绩的方差乙运动员训练成绩的方差你认为应该选择 参加比赛.(填甲或者乙)
【答案】乙
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵
∴，
故 应该选择 乙参加比赛，
故答案为：乙.
【分析】根据方差越小成绩越稳定解答即可.
17．（2025·德阳）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分)，如果，那么这个等宽曲线的周长是 .
【答案】π
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，
∴ 这个等宽曲线的周长是
故答案为：π.
【分析】根据等边三角形性质得到∠ABC=∠BCA=∠BAC=60°，即可根据弧长公式求出等宽曲线的周长.
18．（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，点C在直线m：上，且连接AB，BC，将绕点C顺时针旋转到点B的对应落在直线m上，再将点绕点顺时针旋转到点的对应点.也落在直线m上.如此下去，…，则的纵坐标是 .
【答案】2004
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；解直角三角形—边角关系；探索规律-图形的递变加循环规律
【解析】【解答】解：当x=0时，y=，
∴直线与y轴交于点(0，)，
∴直线与x轴夹角的正切为，即夹角为30°，
AB=，
∴，
由图可知每经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动3+4+5=12个单位长度，
∵，
即，
∴的纵坐标是，
故答案为：2004.
【分析】先根据勾股定理求出AB和BC长，即可得到△ABC的周长，得到规律经过三次点A的对应点都落在直线m上，且沿着直线m向上移动12个单位长度，即可求出长，然后求出直线m与x轴的夹角度数，然后利用30°的直角三角形的性质解答即可.
19．（2025·德阳）（1）计算：
（2）先化简，再求值：其中a=2.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
=a(a-3)
当a=2时，原式=-2.
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算负整数指数次幂，算术平方根和绝对值，然后合并同类二次根式解题即可；
（2）先把括号内的通分相加，然后把分子、分母因式分解约分化简，再把a的值代入计算解题.
20．（2025·德阳）2025年1月24日至2月16日，以“三星璀璨灵蛇献瑞”为主题的第十六届德阳灯会在玄珠湖公园盛大举行，设置“三星梦境”“德阳光华”等五大主题板块.灯会结束后，主办方随机抽取多名游客进行满意度调查(每人只能选择一项)，用A、B、C、D、E分别代表一大主题板块，整理得到以下不完整统计表：
主题板块 频数(满意人数) 频率(所占比例)
A 180 0.36
B a 0.20
C 75
D b c
E
（1）直接写出a、b、c的值；
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是什么 若本届灯会实际接待游客达200000人，请估计最满意此板块的人数；
（3）若灯会工作人员中有4名青年志愿者，其中有2名男性、2名女性，现随机抽取2名青年志愿者进行视频采访，请利用画树状图或者列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率.
【答案】（1）a=100；b=145；c=0.29.
（2）根据以上抽样调查结果，游客最满意的主题板块是A板块.
200000×0.36=72000(人).
答：当本届灯会实际接待游客达200000人时，估计最满意此板块的人数是72000人.
（3）画树状图如图：
∴P(一男一女)
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）180÷0.36=500，∴a=500×0.20=100人；
b=500-180-100-75=145人，
c=145÷500=0.29；
【分析】（1）先根据A主题板块人数除以频率求出考察总人数，然后让考查总人数乘以B主题板块的频率求出a的值；再运用总人数减去A，B，C的人数求出b的值，用b的值除以500求出c即可；
（2）用200000乘以A板块的频率计算解题；
（3）列树状图的到所有等可能结果数，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题.
21．（2025·德阳）如图，已知菱形OABC，点C在x轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点A(3，4)，连接OB、OB与反比例函数图象交于点D.
（1）求反比例函数解析式；
（2）求直线OB的解析式和点D的坐标.
【答案】（1）解：把A(3，4)代入得k=3×4=12，
（2）∵A(3，4)，
∴OA=5.
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=5，
∴B(8，4).
设直线OB的解析式为：y=mx(m≠0)，把B(8，4)代入得
∴直线OB的解析式为：
∵点D是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式
解得或
∵x>0，
∴D(2，).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）根据菱形的性质求出点B的坐标，代入得到OB的解析式，联立直线和双曲线的解析式求出交点D的坐标.
22．（2025·德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计).
（1）请问这两条路是否等长 它们有什么位置关系，说明理由；
（2）同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由.
【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°.
∵DE=CF，
∴AE=DF.
∴△BAE≌△ADF.
∴BE=AF.
∴∠DAF=∠ABE.
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°.
∴AF⊥BE.
所以这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直.
（2）∵AD=4，AE=3，∴DF=3.
∴BE=5.
又∵在Rt△ABE中有BE·AO=AB·AE，
∴5AO=4×3.
①如果另一端点P在路段OB上，
则在Rt△OPF中，
此种情况不成立．
②如果另一端点在花园边界BC上时，设，则在Rt中，
有，．，
能修建成这样的一条直路．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用SAS证明△BAE≌△ADF，即可得到BE=AF，然后根据等量代换得到∠DAF+∠AEB=90°即可得到位置关系解题；
（2）先根据勾股定理求出AF长，然后利用面积法求出AO长，然后分为点P在路段OB上或在花园边界BC上两种情况，利用勾股定理解答即可.
23．（2025·德阳）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序.数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元.
（1）A型、B型挂面的单价分别是多少元
（2）为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋.在单价不变，总费用不超过950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案 其中最低花费多少元
【答案】（1）解：设型挂面每袋元，型挂面每袋元．
则
解得
答：型挂面每袋20元，型挂面每袋30元
（2）设购买型挂面袋，则购买型挂面的数量为袋，总费用为元．
．
解得．
又，
又为正整数
.
．
，
随的增大而增大．
时，有最小值，最小值为（元）。
答：共有6种购买方案，敢低费用为900元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设型挂面每袋元，型挂面每袋元．根据“ 购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元 ”列方程解答即可；
（2）设购买型挂面袋，根据“总费用不超过950元”列不等式求出a的取值范围，然后列出w关于a的一次函数，并根据函数的增减性求出最值即可解题.
24．（2025·德阳）在⊙O中直径AB与弦CD交于点E，连接AD，过点B作⊙O的切线与AD的延长线相交于点F，CD的延长线与BF的延长线相交于点G.
（1）若求的度数；
（2）连接CO，AC，再连接DO并延长交AC于点M，
①证明：
②若求⊙O的直径.
【答案】（1）解：是直径，BG是的切线，
（2）①证明：∵
∴∠AOC=2∠BOD=2∠AOM，
∴∠COM=∠AOM，
又∵OA=OC，
∴DM⊥AC；
②连接BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°.
∴∠ADB=∠ABF.
又∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABD∽△AFB.
由①知， ∠CAD=∠ACD，
∴AD=CD.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到，即可得到即可得到然后根据角的和差解答即可；
（2）①得到∠COM=∠AOM，然后根据等腰三角形的三线合一得到结论即可；
②连接BD，根据两角对应相等得到△ABD∽△AFB.即可得到对应边成比例再根据①得到AD=CD，代入计算解答即可.
25．（2025·德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，连接BC，过点C作与抛物线相交于另一点D.
①求点D的坐标；
②如图3，点E，F为线段BC上两个动点(点E在点F的右侧)，且连接OF，DE.求(）的最小值.
【答案】（1）∵A(-1， 0)， B(3， 0)在二次函数 的图象上，
设
（2）①把 x=0代入 得
∴ C(0， 3)
如图，延长DC与x轴相交于点G.
∵B(3， 0)， C(0， 3)，
∵∠DCB=90°，
∴ ∠CGB=45°.
∴G(-3， 0)
设直线CG的解析式为： y= kx+m(k≠0)， 把C(0， 3)， G( - 3， 0)代入得 解得
∴ 直线 CG的解析式为： y=x+3
∵点D 是直线CG与二次函数的交点，
∴联立解析式 解得 或
∴ D(1， 4)
②如图， 过点O作OH∥EF， 且 连接HE， DH.
∵OH∥EF， 且OH=EF，
∴四边形OFEH 是平行四边形，
∴OF=EH.
∵∠CBO=45°，
∴ 当 DE + EH = DH 时， DE + EH 最小.
∵D(1，4)， H(1，- 1)，
∴DH=5.
此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴，
∴点 F 的坐标为(0，3)与点 C 重合，满足 EF 在线段BC上.
∴ DE+OF 的最小值为5.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；利用交点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）①先求出点C 的坐标，延长DC与x轴相交于点G.根据OB=OC得到∠CBO=45°，求出交点G的坐标，即可求出CG的解析式，然后联立解方程求出交点D的坐标；
②过点O作OH∥EF， 且 连接HE， DH.得到OFEH 是平行四边形，即可求得OF=EH，得到点H的坐标，根据三角形三边的关系得到当 DE + EH = DH 时， DE + EH 最小.根据两点间距离公式求出DH长，即可得到最小值.
1 / 1
