2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——导数及其应用（含解析）

2025年北京市高三数学一模试题分类汇编——导数及其应用
一、单选题（本大题共3小题）
1．[2025北京延庆·一模]延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）.

A．为奇函数 B．的最大值为1
C．在上单调递增 D．方程有2个实数解
2．[2025北京顺义·一模]已知直线分别与函数和的图象交于，，给出下列三个结论：①；②；③.其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．[2025全国·一模]函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共1小题）
4．[2025全国·一模]已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．函数存在极大值
C．当时，
D．函数有2个零点
三、填空题（本大题共3小题）
5．[2025北京延庆·一模]已知函数，给出下列四个结论：
①，使得关于直线对称；
②，使得存在最小值；
③，在上单调递减；
④，使得有三个零点；
其中所有正确的结论的序号是 .
6．[2025北京丰台·一模]已知函数.给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②对任意实数a，都没有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，则对任意正整数i，都有；
④对任意实数a，m，存在实数，当时，恒有.
其中所有正确结论的序号为 .
7．[2025全国·一模]设 是函数 的导数， ， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是_________
四、解答题（本大题共14小题）
8．[2025北京海淀·一模]已知函数．
（1）若曲线在点处的切线为，求的值；
（2）若为上的单调函数，求的取值范围；
（3）若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点．
9．[2025北京东城·一模]设函数，曲线在处的切线方程为.
（1）求的值；
（2）求不等式的解集；
（3）已知，其中，直线的方程为.若，且，求证：.
10．[2025北京西城·一模]已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线的斜率为2，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）设函数在区间上的最大值和最小值分别为，，求使得不等式成立的的最小值．
11．[2025北京石景山·一模]已知函数．
(1)若.
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点；
(2)若实数使得对恒成立，求的取值范围．
12．[2025北京门头沟·一模]已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
(3)若在定义域上单调递减，求的取值范围.
13．[2025北京延庆·一模]已知函数.
(1)若，求在处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)若，且，证明：.
14．[2025北京房山·一模]已知函数在处取得极值.
(1)求的单调区间；
(2)设，求证：曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
15．[2025北京朝阳·一模]已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，求证：当时，；
（3）若函数有个不同的零点，求的取值范围．
16．[2025北京顺义·一模]已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：是上的单调递减函数；
(3)求证：当时，.
17．[2025北京丰台·一模]已知函数，直线l是曲线在点处的切线.
（1）当，（为自然对数的底数）时，求l的方程；
（2）若存在l经过点，求实数a的取值范围；
（3）当时，设点，，B为l与y轴的交点，表示的面积.求的最小值.
18．[2025北京平谷·一模]已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求的单调区间；
(3)当变化时，曲线在点处的切线斜率能否为1？若能，求的值，若不能，说明理由.
19．[2025全国·一模]已知函数．
（1）求证：函数有极小值；并求的极小值为0时的值；
（2）若，求的取值范围．
20．[2025全国·一模]已知函数.
(1)判断函数在上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由.
(2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围.
21．[2025全国·一模]设函数 （ ）.
(1)当 时，讨论函数 的单调性；
(2)当 时，曲线 与直线 交于 ， 两点，求证： ；
(3)证明： （ ， ）.
参考答案
1．【答案】D.
【详解】对A，定义域为R，因为，所以为偶函数，A错误；
对BC，又因为，根据，在R上均单调递增，
则在在R上单调递增，且，则当时，则，
当时，则，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，故C错误；
则，即的最小值为，B错误；
对D，因为所以,，
再结合指数函数性质知方程有2个实数根,故D正确.
故选D.
2．【答案】C
【详解】由题意直线与垂直，函数和的图象关于对称，
所以关于对称，
又由得交点坐标为，则，
对于①：因为，且，所以，故①错误；
对于②：由，因为，则；故②正确；
对于③：直线与联立，可得，即，
设函数，是增函数，
又由，，可得，
所以函数在区间上存在唯一零点，即，
因为，所以，
构造函数，则，
当时，可得，此时函数在单调递增；
当时，可得，此时函数在单调递减；
又，，所以，故③正确.
故选C．
3．【答案】A
【详解】∵，∴，
由题意可知在区间上恒成立，且，
∴在区间上恒成立.
设，则，
令，得；
令，得或，
∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
又当时，；
当时，，作出的大致图象如图所示，
∴在区间上的最大值为，
∴要使函数在区间上单调递增，则需，
故实数的取值范围是.
故选A.
4．【答案】ABD
【详解】由函数，其中定义域为，且，
对于A中，由，，切线方程为，所以A正确；
对于B中，令时，可得；令时，可得，
所以函数的单调增区间为，单调减区间为，
当时，的极大值为，没有极小值，所以B正确；
对于C中，由函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，，
因为，可得，所以，所以C错误；
对于D中，由函数与单调区间相同，
且，，，所以有2个零点，所以D正确．
故选ABD．
5．【答案】①③④.
【详解】取，得，
因为，
所以，使得关于直线对称；故①对；
由，
所以，
若，当时，令，则，
令，则，
所以在单调递减，所以，
所以在单调递减，
当时，令，则，
所以在单调递减，
所以，在上单调递减，故，不存在最小值，故②错，③对，
如图
若，则当函数与直线的图象相切时，
设切点横坐标为，此时，则，
得到方程组，化简得，易得，
则此时有两个零点，图象见下图，
当时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图象如下图所示，
则两函数会出现三个交点，此时有三个零点，如下图所示，
故④对.
6．【答案】②④
【详解】对于①，当时，，则，存在，使得，所以在上单调递减，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，，则在上单调递增；
当时，,,,则在上没有最小值；
当时，,,,则在上没有最小值；
故②正确；
对于③，结合①②，当时，存在，使得，，
当时，，
当时，存在零点，
所以这两个零点距离大于，故③错误；
对于④，，
因为是对勾函数，可以取到，，所以可以取到,故④正确.
7．【答案】
【详解】令 ，则 ，
因为 时， ，故当 时， ，
故 在 上单调递增，且 ．
因为 ，故 ，
即 ，所以 ，
故 关于直线 对称，故 在 上单调递减，且 ，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以使得 成立的 的取值范围是 .
8．【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【详解】（1），故，故；
由题可知，，故，解得.
（2）若为上的单调增函数，则在上恒成立，即，
也即恒成立，又，故；
若为上的单调减函数，则在上恒成立，即，
也即恒成立，又，故；
综上所述，若为上的单调函数，则的范围为.
（3），其定义域为，又，故其为奇函数；
又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可.
又，令，则，
当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立，
故在单调递减，又，，故存在，使得，
则当，，单调递增；当，，单调递减；
故当，，又，
故存在，使得；
综上所述：当时，在存在唯一零点，
也即当时，恰好有三个零点，
于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
9．【答案】（1）；
（2）；
（3）见详解.
【详解】（1）由题设，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，
所以，即为，则；
（2）由（1）得，则，
令，则，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以，故在R上单调递增，且，
所以的解集为；
（3）由（2）知在R上单调递增，要证，即证，
由且，即证，
由，，则且，
所以且上，证明，即恒成立，
所以，只需证在上单调递增，且增长速度逐渐变快，
由（2），、在上均单调递增，
所以且上，恒成立，故，得证.
10．【答案】（1）
（2）答案见解析
（3）2
【详解】（1）由，则，
则，解得．
（2）由，则，
当时，，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令，得，
若，由，得；由，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
若，由，得；由，得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）由（2）知，当时，函数在区间单调递增，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增；
当时，，
当且仅当，即时等号成立，则函数在上单调递增.
综上所述，函数在上单调递增，
所以．
由，得，
令，则，
由，得或．
当变化时，与的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以在和上单调递增，在上单调递减．
又因为，，且，
所以当时，；当时，．
即当且仅当时，恒成立，
所以使得成立的的最小值为2．
11．【答案】(1)（i）；（ii）证明见详解；
(2).
【详解】（1）（i）当时，，则，
又，则，
所以函数在点处的切线方程为；
（ii）因为，，令，，则，
当时，所以，所以即在上单调递减，
又，所以，所以在上单调递增，
又，当时，，所以，
所以在区间上有且只有一个零点；
（2）由对恒成立，
即对恒成立，
令，，则，
所以，令，
则，
当时，对任意，则，
所以在单调递减，所以，满足题意，
当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，，
①当，即时，恒成立，所以在单调递减，
所以，满足题意；
②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得，
当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意；
③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意；
综上，的取值范围为.
12．【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【详解】（1）当时可得，则，
此时，
因此切线方程为，即；
（2）由可得其定义域为；
且，即，
显然，
当时，，此时在上单调递增；
当时，令可得，
若，，此时在上单调递增；
若，，此时在上单调递减；
综上可得，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）若在定义域上单调递减，可得在上恒成立；
由（2）可得当时，即在上单调递增，
当，可得，显然不合题意；
当时，可得在上单调递增，在上单调递减；
即在处取得极大值，也是最大值；
即恒成立；
令，；
则，
显然当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
因此，即，
又恒成立，可得，即.
所以的取值范围为.
13．【答案】(1)；
(2)单调递增区间为，单调递减区间为，；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由，所以
所以，又，
所以曲线在处的切线方程为，
即
（2）由，定义域为，
令得或
因为，所以.所以，
列表：
0 0
递减 递增 递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（3）因为，又，，
所以是方程的两个根.
依题意，有，所以，即，
所以
，
令，则，
令，则因为，所以，
所以在上是增函数，所以，
所以在为减函数，所以，即.
14．【答案】(1)的单调递增为；单调递减区间为.
(2)证明见解析
【详解】（1）由，得.
因为函数在处有定义，所以.
因为在处取得极值，所以，
解得，或（舍）.
当时，，
.
令，解得，或（舍）.
与的变化情况如下：
0
0
极大值
所以函数的单调递增为；单调递减区间为.
（2）由，得.
由（1）可知，，
因为，
所以存在，使.
方法一：曲线在点处的切线方程为
，即.
下面证明：.
设，则.
当时，，所以，即.
所以在上单调递增.
因为，所以.
所以，即.
所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
方法二：由 ，
可得 .
所以曲线在处的切线的方程为，
即.
因为，
所以的方程为.
同理，曲线在处的切线的方程为.
下面证明：.
设.
所以函数在上单调递增，
因为，所以.
所以，即.
所以曲线存在两条斜率为且不重合的切线.
15．【答案】（1）
（2）见详解
（3）
【详解】（1）当时，，则，所以，．
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由题设知．
设函数．
当时，因为，
所以对任意的恒成立，即．
所以函数在区间上单调递增，所以．
所以当且时，．
（3）函数的定义域为，
．
①当时，，函数在区间上单调递减，
函数至多一个零点，不合题意；
②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增，
函数至多一个零点，不合题意．
③当时，对于函数，
因为，所以方程有两个实数根、，
满足，，
不妨设，则，、的情况如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是．
因为，所以为的一个零点．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
又，，且，
所以存在唯一实数，使得．
所以函数有个不同的零点．
综上，的取值范围为．
16．【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）依题意，．
又，
所以.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由（1）知，，，
所以.
令，则，
因为，所以，即，
所以在上单调递减，所以，
即，所以是上的单调递减函数.
（3）令，
则，
由（2）知，在上单调递减，
所以当时，，此时，即在上单调递减，
所以，即，
当时，，，.
所以即，
所以即，
综上可得：当时，.
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当，（为自然对数的底数）时，
，，
，，
所以直线l的方程为，即.
（2）因为，所以.
因为，所以.
所以直线l的方程为.
因为l经过点，所以，化简得.
设，由题意知，存在，使得.
又因为，
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以在时取得最小值.
因为，所以，解得.
此时.
因为，
所以只需.所以a的取值范围是.
（3）当时，，，
，，
直线l的方程为.
令，得，即，
所以.
由（2）知，当时，在时取得最小值，
因为，所以恒成立，
所以当时，取得最小值.
18．【答案】(1)
(2)的单调减区间为，无增区间.
(3)能，
【详解】（1）当时，则，
，
，
所以在点处的切线方程为.
（2）当时，函数的定义域是，
所以，
令，
所以，
当时，；当时，，
所以在时为增函数，在上为减函数，在处取得最大值，
又，故恒成立，
所以的单调减区间为，无增区间.
（3）由题意知，因为，
所以，即有，
令
则，
故是上的增函数，又，因此0是的唯一零点，
即方程有唯一实根0，所以.
所以曲线在点处的切线斜率能为1，此时.
19．【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【详解】（1）由题意，，所以，
因为，都是增函数，且由题意知，所以是增函数，
又因为，所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，
由，得.
（2）由题意知，所以是增函数，由得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
由对任意实数成立，得，所以，即的取值范围是.
20．【答案】(1)不存在，理由见解析
(2)
【详解】（1）∵，，
∴，
∴在上恒成立，当且仅当时，取得等号，
∴在上单调递增，故函数在上不存在极值点.
（2）∵，函数有三个极值点，
∴有三个互不相等的正实数根.
由，得，令，
则问题转化为与的图象有三个交点，而.
令，得或，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又∵当时，；当时，，且，，
∴，即实数的取值范围为.
21．【答案】(1) 时， 单调递减； 时， 单调递增.
(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【详解】（1）当 时， ，
，
时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增.
（2） ，则 ，
由题意，知 有两解 ， ，不妨设 ，
要证 ，即证 ，
①若 ，则 ；
②若 ，由 知，
在 上单调递减，在 上单调递增，也有 ，
综合①②知， ，
所以只需证 .
又 ，
∴两式相减，整理得 ，
代入（*）式，得 ，即 .
令 （ ），即证 .
令 （ ），则 ，
∴ 在 上为增函数，∴ ，
∴ 成立.
（3）由（2）知， ，
故 ， ，取 ，
所以 （ ），
则 （ ）.
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