人教版（2024）七年级数学上册 第一章 有理数 教案

1.1　正数和负数
1.了解正数与负数是从实际需要中产生的.
2.理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法.
3.掌握用正、负数表示具有相反意义的量的方法.
重点：正、负数的概念.
难点：负数的概念、正确区分两种不同意义的量.
某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃.要表示这两个温度，若都记作5℃，我们就不能把它们区分清楚，那么应该要怎么表示呢？
探究点一　识别正数和负数
【例1】下列各数中哪些是正数？哪些是负数？
－10，1，，－0.55，＋2.5，0，－1.45，＋2013，－301.
【解析】根据大于0的数是正数，正数前加上符号“－”的数是负数进行解答即可.
【解】正数：1，，＋2.5，＋2013；
负数：－10，－0.55，－1.45，－301.
探究点二　用正、负数表示具有相反意义的量
【例2】（1）如果节约20kW·h的电记作＋20kW·h，那么浪费10kW·h的电记作什么？
（2）如果－20.50元表示亏损20.50元，那么＋100.57元表示什么？
（3）如果＋20％表示增加20％，那么－6％表示什么？
【解析】解题时先找出表示正、负的相对基准，再明确哪一个表示正，那么另一个表示负.由题意，知节约、增加记作正数，亏损记作负数，那么浪费、减少就记作负数，盈利记作正数.
【解】（1）浪费10kW·h的电记作－10kW·h.
（2）＋100.57元表示盈利100.57元.
（3）－6％表示减少6％.
探究点三　0的意义及用正、负数表示相对基准量
【例3】某校篮球队的队员的平均身高为187cm.如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员的身高分别记为＋4，－5，0，＋7，－2，则他们的实际身高应为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
【解析】题中以187cm作为基准量，则5名队员的实际身高为187＋4＝191（cm），187－5＝182（cm），187＋0＝187（cm），187＋7＝194（cm），187－2＝185（cm）.
【解】191cm，182cm，187cm，194cm，185cm
1.下列说法中正确的是（　　）
A.加正号的数是正数，加负号的数是负数
B.0是最小的正数
C.字母a既可以是正数，也可以是负数，还可以是0
D.任意一个数，不是正数就是负数
2.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是（　　）
A.运进货物3t与运出货物2t
B.升温3℃与降温3℃
C.增加货物100t与减少货物2000t
D.胜3局与亏本400元
1.1　正数和负数
1.正、负数的认识
2.正、负数的含义
3.理解“0”的意义
4.正、负数在实际中的应用
本节课我们学习了正、负数的识别；学会了用正、负数表示具有相反意义的量；知道了正、负的规定和零界的选取.
　　通过本节课的学习，学生知道引入负数是数的范围的一次重要扩充，学生头脑中关于数的结构要做重大调整（其实是一次知识的顺应过程），而负数相对于以前的数，对学生来说更抽象，使学生接受实际生活生产中确实存在的两种相反意义的量，它们可以用正、负数表示.
答案
课堂训练
1.C　2.D
1.2　有理数及其大小比较
1.2.1　有理数的概念
1.理解有理数的概念及有理数的分类标准.
2.会对有理数按一定标准进行分类.
3.经历对有理数进行分类的探索过程，初步感受分类讨论的思想.
重点：会把所给的有理数进行正确的分类.
难点：掌握两种有理数的分类方法.
同学们，你们现在已经认识了哪些数呢？像，，…是一些正分数，那么－，－，…又属于什么数？像2，3，5，…是一些正整数，那么－2，－3，－5，…又属于什么数？0属于哪种数的范围呢？这一节课我们就来探究这些数的分类，这些数都很愿意和你交朋友，千万不要拒绝它们哦！
探究点一　有理数的概念
【例1】下列各数中，哪些是有理数？
－2，0，1，，－0.55，＋2.5，－1.45，＋1200.
【解析】依据有理数的概念，可以写成分数形式的数称为有理数.整数可以写成分数的形式，对于小数，尝试化为分数，若能化为分数就是有理数.
【解】－2，0，1，＋1200是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
－0.55＝－，＋2.5＝＋，－1.45＝－都能化为分数，是有理数.
【方法总结】分数和有理数之间的关系：（1）凡是分数都是有理数；（2）有限小数和无限循环小数都可化为分数，所以是有理数；不是所有的小数都能化为分数.
探究点二　有理数的分类
【例2】把下列各数分别填入相应的大括号里：
7，－9.25，－，－301，，－3.5，0，2，5，－7，1.25，－，－3，－.
正整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
负整数集合：{ …}；
负分数集合：{ …}；
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}.
【解】正整数集合：{7，2，…}；
正分数集合：{，5，1.25，…}；
负整数集合：{－301，－7，－3，…}；
负分数集合：{－9.25，－，－3.5，－，－，…}；
正数集合：{7，，2，5，1.25，…}；
负数集合：{－9.25，－，－301，－3.5，－7，－，－3，－，…}.
1.下列说法中，正确的是（　　）
A.正整数、负整数统称为整数
B.正分数、负分数统称为分数
C.零既可以是正整数，也可以是负整数
D.一个有理数不是正数就是负数
2.下列各数：
－2，5，－，0.63，0，7，－0.05，－6，9，，.
其中正数有　　　　个，负数有　　　　个，正分数有　　　　个，负分数有　　　　个，自然数有　　　　个，整数有　　　　个.
1.2.1　有理数的概念
1.有理数的认识
2.有理数的分类
本节课我们学习了有理数的概念，按照有理数的定义和正、负这两种分类方法对有理数进行分类.
　　本节课在引入了负数后对所学过的数按照一定的标准进行分类，提出了有理数的概念.让学生根据数的特点自己进行归类，从而认识到分类方法不同，得到的结果也会不同.另外对无理数有所渗透和体现，以及进行适当的延伸，让学生理解任何无限循环小数都可以化成分数的形式，让学生明确无限循环小数都是分数.
答案
课堂训练
1.B　2.6　4　3　2　4　6
1.2.2　数轴
1.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系.
2.会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.
3.通过与温度计的类比认识数轴，能正确地画出数轴，并能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法.
重点：理解数形结合思想，掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数.
难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系.
古代部落酋长上任时先在绳子上打个红绳结表示物品往来从0开始，如捕获一只羊就在红绳结右边顺次打一个结，每向其他部落借一只羊，就在红绳结左边顺次打一个结，你能解读图中A，B，C处的含义吗？
探究点一　数轴的识别
【例1】下列图中数轴画法不正确的有（　　）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
【解析】（1）此数轴缺少正方向，不正确；（2）此数轴单位长度不相等，不正确；（3）此数轴缺少单位长度，不正确；（4）此数轴负半轴上的数标注错误；（5）此数轴满足数轴三要素，正确.
【答案】C
【方法总结】画数轴的注意事项：（1）原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；（2）直线一般画水平的；（3）正方向用箭头表示，一般取从左到右；（4）取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
探究点二　在数轴上表示有理数
类型一　在数轴上表示有理数
【例2】在所给数轴上标出表示下列各数的点.
1，－5，－2.5，4，0.
【解析】在数轴上，数字0表示原点.在表示其他数时可以先根据这个数的正、负号确定它在原点的左边还是右边，正数在原点的右边，负数在原点的左边，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后再标上相应的点即可.
【解】
类型二　指出数轴上的点表示的有理数
【例3】在下面的数轴上，A，B，C，D各点分别表示什么数？
【解析】根据各点在原点的哪个方向上及到原点的距离即可得出答案.
【解】点A表示2，点B表示0.25，点C表示－0.75，点D表示－1.5.
探究点三　通过数轴上点的移动解决距离类问题
【例4】从数轴上表示－1的点出发，向左移动2个单位长度到达点B，则点B表示的数是　　　　，再向右移动5个单位长度到达点C，则点C表示的数是　　　　.
【解析】如图.
【解】－3　2
【方法总结】在数轴上移动点是经常遇到的问题，解题时要弄清楚移动的方向及距离.当移动的方向不明确时，要注意分类讨论.
1.如图，数轴上点M表示的数是（　　）第1题图
A.－1.5 B.0.5
C.－0.5 D.以上都不对
2.画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点：－50，250，0，－400.
1.2.2　数轴
1.数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线.
2.数轴的画法
3.数轴上的点与有理数的对应关系
本节课我们学习了数轴的概念，掌握了数轴的画法，并且理解了数轴上的点与有理数的对应关系.
　　通过本节课的学习，学生知道了数轴是非常重要的数学工具，它的出现对数学的发展起到了重要作用，它揭示了数和形之间的内在联系.很多数学问题都可以以它为基础，借助数轴直观地表示，为探究问题提供了新方法.
答案
课堂训练
1.C
2.解：如图所示.
1.2.3　相反数
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得在数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
2.初步理解相反数的意义，掌握求有理数的相反数的方法，并会求一个有理数的相反数.
3.体会数形结合的思想方法.
重点：会求有理数的相反数.
难点：借助数轴理解相反数的意义，懂得在数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.
成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到楚国去，楚国在南边，他硬要往北边走，他的马越好，赶车的本领越大，盘缠带得越多，走得越远，就越到不了楚国.如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，我们假设楚国与魏国的距离为30km.以魏国为数轴原点，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30km，你能把这3个点在数轴上表示出来吗？
探究点一　理解互为相反数的概念
【例1】写出下列各数的相反数：
－8.5，2，0.47，50％，－2020.
【解析】在任意一个数的前面添上“－”号，就可以得到该数的相反数.
【解】－8.5的相反数是8.5，2的相反数是－2，0.47的相反数是－0.47，50％的相反数是－50％，－2020的相反数是2020.
探究点二　互为相反数的两个数在数轴上的位置
【例2】数轴上点A表示＋4，B，C两点所表示的数互为相反数，且点C到点A的距离为2.点B和点C各表示什么数？
【解析】画出数轴，结合数轴的特点来分析.
【解】如图，点C表示2或6，则点B表示－2或－6.
探究点三　多重符号的化简
【例3】化简下列各数前面的符号：
（1）－（＋2）；（2）－（－6）；
（3）＋（－4）；（4）－[＋（－7）].
【解析】在一个数的前面添上“－”，表示这个数的相反数；在一个数的前面添上“＋”，仍表示这个数本身.当a前面有偶数个“－”时，结果为a；当a前面有奇数个“－”时，结果为－a.
【解】（1）－（＋2）＝－2.（2）－（－6）＝6.
（3）＋（－4）＝－4.（4）－[＋（－7）]＝7.
1.－9的相反数是（　　）
A.－ B.
C.－9 D.9
2.化简下列各数：
（1）－（－4）＝　　　　；（2）－＝　　　　；
（3）－[－（－5）]＝　　　　.
1.2.3　相反数
1.相反数的意义
代数意义：只有符号不同的两个数.
几何意义：在原点的两旁，且到原点的距离相等.
规定：0的相反数是0.
2.相反数的性质
3.相反数的应用
本节课我们学习了相反数的概念，学会了求一个数的相反数的方法，并且知道了相反数的数学意义，学会利用相反数的性质进行多重符号的化简.
　　本节课的教学引入以开放式的问题入手，培养学生的分类和发散思维能力；把数在数轴上表示出来并观察它们的特征.在学习过程中渗透数形结合的数学方法，使学生理解相反数的意义，会求一个数的相反数，并归纳相反数在数轴上所表示的点的特征.
答案
课堂训练
1.D
2.（1）4
（2）－
（3）－5
1.2.4　绝对值
1.从几何、代数两个角度正确理解绝对值的意义.
2.会求一个已知数的绝对值.
3.经历探索知识形成的过程，渗透数形结合、分类讨论等思想，感受数学知识的严谨性、完整性.
重点：绝对值的概念，求一个数的绝对值.
难点：绝对值的意义.
星期六，小明去同学家过生日，晚上回来之前在同学家里打了一个电话，请父母到离家3km的东西方向的公路旁接他（小明家就在公路旁），父母准备出发的时候，他们却犹豫了.你知道为什么小明的父母犹豫了吗？把公路看成一条直线，家作为原点，规定向东为正方向，1km记作一个单位长度，建立一条数轴，你能标出小明所在的位置吗？
探究点一　求一个数的绝对值
【例1】求下列各数的绝对值：－21，＋，0，－7.8.
【解】｜－21｜＝21，＝，｜0｜＝0，｜－7.8｜＝7.8.
【方法总结】求绝对值的方法：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0.
探究点二　已知一个数的绝对值求原数
【例2】（1）绝对值等于4的数有　　　　个，它们是　　　　；
（2）绝对值等于－3的数有　　　　个；
（3）绝对值等于本身的数有　　　　个.
【解析】（1）｜＋4｜＝4，｜－4｜＝4，故绝对值等于4的数有2个，为±4；（2）任何数的绝对值都为非负数，所以绝对值等于－3的数不存在；（3）一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.
【解】（1）2　±4　（2）0　（3）无数
【方法总结】（1）绝对值是正数的数有两个，它们互为相反数；（2）一个数的绝对值等于0，这个数只有一个，就是0.
探究点三　绝对值的非负性的应用
【例3】已知｜x－4｜＋｜y－3｜＝0，求x＋y的值.
【解析】一个数的绝对值总是大于或等于0，即为非负数.若两个非负数的和为0，则这两个数同时为0.
【解】根据题意，得x－4＝0，y－3＝0，
所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7.
1.若｜x｜＝5，则x的值是（　　）
A.5 B.－5
C.±5 D.
2.写出下列各数的绝对值：
（1）－6；（2）2.35；（3）－；（4）－0.08.
1.2.4　绝对值
1.绝对值的意义
2.绝对值的性质：
（1）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；（2）0的绝对值是0；（3）互为相反数的两个数的绝对值相等.
3.绝对值的非负性
本节课我们学习了绝对值的几何意义和代数意义.从几何意义可知，一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离.
　　本节课从几何与代数的角度阐述绝对值的概念，让学生掌握求一个已知数的绝对值的方法，其中对绝对值的几何意义和代数意义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难点.在实际解题中学生应该明白绝对值是正数的数有两个，它们互为相反数；0的绝对值是0；任何有理数的绝对值都是非负数.
答案
课堂训练
1.C
2.解：（1）6.　（2）2.35.　（3）.　（4）0.08.
1.2.5　有理数的大小比较
1.通过探究得出有理数大小的比较方法.
2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.
3.经历由实际问题归纳总结出应用绝对值概念比较有理数大小的方法，特别是比较两个负数的大小，在比较的过程中渗透数形结合思想.
重点：运用法则并借助数轴比较两个有理数的大小.
难点：利用绝对值比较两个负数的大小.
如图所示，菲菲和蓝猫从同一点O出发，菲菲向西走了4km到达点A，蓝猫向西走了2km到达点B.如果规定向东为正方向，每一格代表1km，则点A所对应的数为－4，点B所对应的数为－2.因为蓝猫比菲菲走的路程少，所以－2＜－4.你认为这种说法对吗？
探究点一　借助数轴比较有理数的大小
【例1】在数轴上表示数－3，－5，4，0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序排列并用“＜”连接.
【解析】先画出数轴并将要比较的数在数轴上表示出来，利用在数轴上左边的数小于右边的数即可解决问题.
【解】－3，－5，4，0在数轴上表示如图.
将它们按从小到大的顺序排列：－5＜－3＜0＜4.
探究点二　比较两个需化简符号的数的大小
【例2】比较下列各数的大小：
（1）－（－3）和－（＋2）；（2）和－（－0.83）.
【解析】比较两个需化简符号的数，要先把这两个数化简，即化为不含括号或者绝对值符号的数，然后再根据法则比较大小.
【解】（1）先化简：－（－3）＝3，－（＋2）＝－2.
因为正数大于负数，所以3＞－2，即－（－3）＞－（＋2）.
（2）先化简：＝，－（－0.83）＝0.83.
因为＞0.83，所以＞－（－0.83）.
探究点三　利用绝对值比较大小
【例3】比较下列各组数的大小：
（1）－和－2.7；（2）－和－.
【解析】比较两个负数大小的方法及其步骤：（1）先分别求出两个负数的绝对值；（2）比较两个负数绝对值的大小；（3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”进行判断.
【解】（1）因为＝，｜－2.7｜＝2.7，而＜2.7，所以－＞－2.7.
（2）因为＝＝，＝＝，而＜，所以－＞－.
1.在有理数－1，－2，0，2中，最小的是（　　）
A.－1 B.－2 C.0 D.2
2.下列各组数的大小比较，错误的是（　　）
A.2＞－3 B.－3＞－5
C.＞ D.－＞－
3.下列各数中，比－2024小的数是（　　）
A.－2023 B.－2025 C.－ D.－
第4题图
4.有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a，b的大小关系是（　　）
A.a＜b B.a＞b C.a＝b D.｜a｜＝｜b｜
1.2.5　有理数的大小比较
1.数轴法
2.直接比较法：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.
3.两个负数的大小比较
本节课我们理解了数轴上的点和有理数的对应关系，学会利用数轴比较有理数的大小，并学会利用绝对值比较两个负数的大小.
　　本节课类比温度由高到低的排序，让学生理解和掌握利用数轴比较两个有理数大小的方法，同时培养学生的数形结合思想.在解决一些需先化简再比较大小和利用绝对值比较大小的题时，要注意培养学生良好的解题习惯.
答案
课堂训练
1.B　2.D　3.B　4.B