人教版（2024）七年级数学上册 第四章 整式的加减 教案

4.1　整式　
第1课时　单项式
1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念，并会找出单项式的系数、次数.
2.会用单项式表示简单的数量关系.
3.初步培养学生的观察分析和归纳概括的能力，使学生初步认识特殊与一般的关系.
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，并会找出单项式的系数、次数.
难点：能正确识别单项式的系数、次数.
我国第一颗绕月卫星“嫦娥一号”发射成功之后，数学世界里很多成员也深受鼓舞，航天迷8a正准备召开会议，研讨不久后的探月计划，已入会场的有100t，6a2，a3，2.5x，－n，vt，3a，9，a，－3x2y等，但主持人把－3a＋b，拒之门外，你能说出理由来吗？
探究点一　单项式的相关概念
类型一　单项式的判断
【例1】下列代数式2x，－ab2c，，πr2，，a2＋2a，0，中，单项式有（　　）
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
【解析】2x，－ab2c，πr2，0都符合单项式的定义，共有4个.
【答案】A
【方法总结】判断单项式的方法：
（1）单独一个数或一个字母也是单项式；
（2）不含加减运算，单项式只含有乘积运算；
（3）单项式数字因数与字母可能有一个或多个；
（4）可以含有分母是数的运算，不能含有分母是字母的运算.
类型二　确定单项式的系数和次数
【例2】完成下表：
单项式 a －x2y － πx2y －23a2b3
系数
次数
　　【解析】单项式的系数就是单项式中的数字因数；单项式的次数就是单项式中所有字母指数的和，只要将这些字母的指数相加即可.
【解】1　－1　－　π　－8　1　3　4　3　5
【方法总结】确定单项式的系数及次数时，应注意：（1）圆周率π是常数；（2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；（3）省略“1”的字母指数别漏掉；（4）单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0.
探究点二　与单项式有关的探究性问题
【例3】观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，….按照上述规律，第2024个单项式是（　　）
A.2024x2024 B.4047x2023
C.4047x2024 D.4049x2024
【解析】
项目 规律
系数 第n个单项式的系数是2n－1
次数 第n个单项式的次数是n
结论：第2024个单项式是4047x2024
　　【答案】C
【方法总结】分析各单项式的系数、次数的特点，分别找出其规律，再依据得出的规律求解.
1.单项式－xy2z的系数和次数分别是（　　）
A.0，2 B.－1，2
C.0，4 D.－1，4
2.已知代数式－8xmy2是一个六次单项式，求m2－m的值.
第1课时　单项式
1.单项式概念：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
2.单项式的系数概念：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
3.单项式的次数概念：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
本节课主要学习了单项式的概念，并会识别单项式的次数与系数，还知道了在判别单项式系数的时候，要注意包括数字前面的符号.一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式.
　　本节课是探究整式的起始课，它是学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的理解和掌握将直接影响到后续学习.为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，重点学习概念易混淆处和判断易出错处，强化认识.两者相结合，帮助学生理解单项式的系数、次数的概念，为学习新知识做好铺垫.
答案
课堂训练
1.D
2.解：由题意，得m＋2＝6，则m＝4.当m＝4时，m2－m＝15.故m2－m的值是15.
第2课时　多项式
1.理解多项式、整式的概念.
2.理解多项式的次数、项数的概念，并能熟练说出多项式的项数和次数.
重点：多项式的概念及多项式的项数、次数的概念.
难点：多项式的次数.
鸡兔同笼，有鸡a只，兔子b只，那么笼子里共有几只脚？
学生合作探究：小组讨论鸡、兔各有几只脚，用式子表示这个数量，然后相加即得到结果.
教师总结：笼子里所有鸡共有2a只脚，所有兔子共有4b只脚，那么笼子里共有（2a＋4b）只脚.
这里的式子2a＋4b是我们之前学过的单项式吗？
这个式子出现和的形式，显然不是单项式，因为单项式是数字或字母积的形式.这种式子是我们今天要学的新知识点.
探究点一　多项式的相关概念
类型一　单项式、多项式与整式的识别
【例1】下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，，m2n，2x2－x－5，，a7.
【解析】根据整式、单项式、多项式的概念和区别来进行判断.
【解】，的分母中含有字母，既不是单项式，也不是多项式，更不是整式.
单项式有－x，10，m2n，a7；
多项式有x2＋y2，，6xy＋1，2x2－x－5；
整式有x2＋y2，－x，，10，6xy＋1，m2n，2x2－x－5，a7.
【方法总结】（1）分母中含有字母（π除外）的式子不是整式；（2）单项式和多项式都是整式；（3）单项式不含加、减运算，多项式必含加、减运算.
类型二　确定多项式的项数和次数
【例2】指出下列多项式的项与次数，并说明是几次几项式.
（1）a3－a2b＋ab2－b3；（2）3n4－2n2＋1.
【解析】根据多项式的项数是多项式中单项式的个数，多项式的次数是多项式中次数最高的单项式的次数，可得答案.
【解】（1）多项式a3－a2b＋ab2－b3的项有a3，－a2b，ab2，－b3，次数是3，是三次四项式.
（2）多项式3n4－2n2＋1的项有3n4，－2n2，1，次数是4，是四次三项式.
【方法总结】（1）多项式的项一定包括它的符号；（2）多项式的次数是多项式里次数最高的单项式的次数，而不是各项次数的和；（3）几次项是指多项式中次数是几的项.
类型三　根据多项式的概念求字母的取值
【例3】已知－5xm＋104xm＋1－4xmy2是关于x，y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.
【解析】题中多项式的次数为m＋2，已知该多项式是六次多项式，据此可列出等式m＋2＝6，即可求解.
【解】由题意，得m＋2＝6，
所以m＝4，
所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
【方法总结】解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的单项式的次数，然后根据题意，列出方程，求出m的值.
类型四　与多项式有关的探究性问题
【例4】若关于x的多项式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次项和一次项，求m，n的值.
【解析】多项式中不含哪一项，哪一项的系数就为0.
【解】由题意，得m＝0，n－1＝0，
所以m＝0，n＝1.
探究点二　多项式的应用
【例5】如图，某居民小区有一块宽为2am、长为bm的长方形空地.为了美化环境，准备在此空地的四个顶点处各修建一个半径为am的扇形花台，在花台内种花，其余种草.如果建造花台及种花费用是每平方米100元，种草费用是每平方米50元，那么美化这块空地共需多少元？
【解析】四个角围成一个半径为am的圆，阴影部分面积是长方形面积减去一个圆的面积.分别求出花台和种草面积，与对应费用的乘积的和即为总费用.
【解】花台面积为πa2m2，草地面积为（2ab－πa2）m2，所以共需资金为[100πa2＋50（2ab－πa2）]元.
【方法总结】用式子表示实际问题的数量关系时，首先要分清语言叙述中关键词的含义，理清它们之间的数量关系和运算顺序.
1.一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为4，一次项系数为1，常数项为7，这个二次三项式为　　　　.
2.若（a－2）x2－3x－（a＋3）是关于x的一次多项式，则a＝　　　　；若它是关于x的二次二项式，则a＝　　　　.
3.已知多项式－x2ym＋2＋xy2－x3＋6是六次四项式，单项式x3ny4－mz的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.
第2课时　多项式
1.多项式：几个单项式的和叫做多项式.
2.多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项.
常数项：不含字母的项叫做常数项.
多项式的次数：多项式里，次数最高的单项式的次数叫做多项式的次数.
3.整式：单项式与多项式统称整式.
本节课主要学习了多项式的概念；能准确地确定一个多项式的项数和次数；并能正确区分单项式和多项式.
　　本节课教师以列代数式的方法引入课程，发现所列式子不是单项式，激发学生探索的欲望，进而让学生总结出多项式的概念，培养了学生归纳和概括的能力，让每个学生都参与到课堂中来.在对多项式有关概念的介绍中，以逐层深入的原则分析概念，并通过举例让学生加以理解.整个教学过程中，注意多项式要与单项式进行类比，发现规律，形成结论.
答案
课堂训练
1.4x2＋x＋7　2.2　－3
3.解：由题意，得2＋m＋2＝6，
所以m＝2.
又因为3n＋4－m＋1＝6，即3n＋3＝6，
所以n＝1.
4.2　整式的加法与减法
第1课时　合并同类项
1.知道同类项的概念，会识别同类项.
2.掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项.
3.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
重点：理解同类项的概念，掌握合并同类项的法则.
难点：根据同类项的概念在多项式中找同类项，并能正确地合并.
生活中处处有数学的存在.我们通常把具有相同特征的事物归为一类，在多项式中也可以把具有相同特征的单项式归为一类.把下列单项式归归类，并说说你的分类依据.－7ab，2x，3，4ab2，6ab.
探究点一　同类项
类型一　同类项的识别
【例1】指出下列各题中的两项是不是同类项，并说明理由.
（1）－x2y与x2y；（2）23与－34；（3）2a3b2与3a2b3.
【解析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，对各式进行判断即可.
【解】（1）是同类项.理由：因为－x2y与x2y都含有x和y，且x的指数都是2，y的指数都是1.
（2）是同类项.理由：因为23与－34都不含字母，为常数项，而常数项都是同类项.
（3）不是同类项.理由：因为2a3b2与3a2b3中，a的指数分别是3和2，b的指数分别为2和3，所以不是同类项.
【方法总结】（1）判断几个单项式是否是同类项的条件：所含字母相同，相同字母的指数分别相同；（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；（3）常数项都是同类项.
类型二　已知两个单项式是同类项，求字母指数的值
【例2】如果3ab2m－1与9abm＋1是同类项，那么m等于（　　）
A.2 B.1 C.－1 D.0
【解析】根据题意，可得2m－1＝m＋1，解得m＝2.
【答案】A
【方法总结】注意掌握同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同.
探究点二　合并同类项
【例3】将下列各式合并同类项：
（1）6x＋2x2－3x＋x2＋1；
（2）－3ab＋7－2a2－9ab－3.
【解析】先分组，再合并，根据合并同类项的法则“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变”进行计算.
【解】（1）原式＝（2x2＋x2）＋（6x－3x）＋1
＝3x2＋3x＋1.
（2）原式＝－2a2＋（－3ab－9ab）＋（7－3）
＝－2a2－12ab＋4.
【方法总结】“合并同类项”的方法：一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；三并，将同一括号内的同类项相加即可.
探究点三　化简求值
【例4】先化简，再求值：
（1）－5＋x2－5x－x2＋3x＋4，其中x＝；
（2）－x3y2－xy＋x3y2－xy－x3y－5，其中x＝1，y＝－2.
【解】（1）原式＝－2x－1.
当x＝时，原式＝－2×－1＝－2.
（2）原式＝－4x3y2－5xy－x3y－5.
当x＝1，y＝－2时，原式＝－4×1×（－2）2－5×1×（－2）－1×（－2）－5＝－16＋10＋2－5＝－9.
【方法总结】在对多项式化简求值时，一般先化简，即先合并同类项，再代入值计算结果.在算式中代入负数时，要注意添加括号，去括号也要注意变号.
探究点四　合并同类项的应用
【例5】已知三角形的第一条边长是a＋2b，第二条边长比第一条边长大（b－2），第三条边长比第二条边长小5.
（1）求三角形的周长；
（2）当a＝2，b＝3时，求三角形的周长.
【解析】因为三角形的周长等于三条边长的和，而第一条边长为a＋2b，则第二条边长为（a＋2b）＋（b－2）＝a＋3b－2，第三条边长为（a＋3b－2）－5＝a＋3b－7，所以三角形的周长为（a＋2b）＋（a＋3b－2）＋（a＋3b－7）＝3a＋8b－9.
【解】（1）由题意可得，第二条边长为a＋3b－2，第三条边长为a＋3b－7.
所以三角形的周长为（a＋2b）＋（a＋3b－2）＋（a＋3b－7）＝3a＋8b－9.
（2）当a＝2，b＝3时，三角形的周长＝3×2＋8×3－9＝21.
1.如果5x2y与xmyn是同类项，那么m＝　　　　，n＝　　　　.
2.合并同类项：
（1）－xy－5xy＋6yx＝　　　　；
（2）0.8ab2－a2b＋0.2ab2＝　　　　.
3.先化简，再求值：3x2－8x＋2x3－13x2＋2x－2x3＋3，其中x＝－1.
第1课时　合并同类项
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同.
2.合并同类项法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变.
本节课主要学习了同类项的概念、合并同类项的法则以及合并同类项的应用.
　　本节课从学生已有的知识和经验出发，从实际问题入手，引出合并同类项的概念.在给出同类项的概念时，要强调：①同类项的两个相同；②同类项的两个无关；③所有的常数项都是同类项.本节课的难点是合并同类项的应用，通过把给定字母的值直接代入到代数式里计算求得结果与先合并同类项再求值进行对比，得出在求代数式值时，应先合并同类项再求值，这样会使计算过程更加简便.
答案
课堂训练
1.2　1
2.（1）0　（2）ab2－a2b
3.解：原式＝3x2－13x2＋2x3－2x3－8x＋2x＋3
＝－10x2－6x＋3.
当x＝－1时，原式＝－10×1＋6＋3＝－1.
第2课时　去括号法则
1.能运用运算律探究去括号法则.
2.会利用去括号法则将整式化简.
重点：去括号法则，准确应用法则将整式化简.
难点：括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项变号容易产生错误.
数学爱好者发现了一个非常有趣的现象，将一个两位数的个位和十位对调得到一个新的两位数以后，这两个数的差能被9整除，两个数的和能被11整除.设这个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则原数为10b＋a，新数为10a＋b，差是10b＋a－（10a＋b），和是10b＋a＋（10a＋b）.将10b，a，10a，b看作几个数，类似小学中的计算，你能化简这两个式子吗？
探究点一　去括号
【例1】下列去括号正确吗？如有错误，请改正.
（1）＋（－a－b）＝a－b；
（2）5x－（2x－1）－xy＝5x－2x＋1＋xy.
【解析】先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号.
【解】（1）错误，括号外面是“＋”号，括号内不变号，应该是＋（－a－b）＝－a－b.
（2）错误，－xy没在括号内，不应变号，应该是5x－（2x－1）－xy＝5x－2x＋1－xy.
【方法总结】去括号时，括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“－”，去括号后，括号里的各项都改变符号.
探究点二　去括号化简
【例2】化简：
（1）3（x2－5xy）－4（x2＋2xy－y2）－5（y2－3xy）；
（2）abc－[2ab－（3abc－ab）＋4abc].
【解析】先判断括号外面的符号，再根据去括号法则选用适当的方法去括号.
【解】（1）原式＝3x2－15xy－4x2－8xy＋4y2－5y2＋15xy
＝－x2－8xy－y2.
（2）原式＝abc－（2ab－3abc＋ab＋4abc）
＝abc－3ab－abc
＝－3ab.
【方法总结】（1）当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律用这个数字因数去乘括号内的每一项，切勿漏乘.（2）当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号.每去掉一层括号，有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错.
探究点三　含括号的整式的化简求值
【例3】先化简，再求值：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]＋2x2y－xy2，其中x＝－4，y＝.
【解析】原式去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值.
【解】原式＝5xy2－（－xy2＋2x2y）＋2x2y－xy2
＝5xy2＋xy2－2x2y＋2x2y－xy2＝5xy2.
当x＝－4，y＝时，原式＝5×（－4）×＝－5.
探究点四　含括号整式的化简应用
【例4】某商店有一种商品，每件成本a元，一开始按成本增加b元定为售价，售出40件后，由于库存积压，调整为按售价的80％出售，又销售了60件.
（1）销售100件这种商品的总收入为多少元？
（2）销售100件这种商品共盈利多少元？
【解析】（1）求出销售前40件的收入与销售后60件的收入即可确定出总收入；（2）由利润＝收入－成本，列出关系式，即可得到结果.
【解】（1）根据题意，得40（a＋b）＋60（a＋b）×80％＝（88a＋88b）元，则销售100件这种商品的总收入为（88a＋88b）元.
（2）根据题意，得88a＋88b－100a＝（88b－12a）元.故销售100件这种商品共盈利（88b－12a）元.
1.下列各式中，去括号正确的是（　　）
A.a＋（b－c）＋d＝a－b＋c－d
B.a－（b－c＋d）＝a－b－c＋d
C.a－（b－c＋d）＝a－b＋c－d
D.a－（b－c＋d）＝a－b＋c＋d
2.先化简，再求值：2（a＋8a2＋1－3a3）－3（－a＋7a2－2a3），其中a＝－2.
第2课时　去括号法则
去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
本节课主要学习了去括号法则，知道了去括号是对多项式的变形，并能够正确应用去括号法则.
　　去括号法则是整式加减运算的重点和难点，同时它又是解方程的必要步骤.探索去括号时符号之间的变化规律，这些规律的探索培养了学生归纳、概括的能力，使学生初步建立符号感.去括号法则的探索是类比学生熟悉的运算律归纳出来的，强调了去括号时符号的变与不变，突出了重点，也突破了难点.
答案
课堂训练
1.C
2.解：原式＝2a＋16a2＋2－6a3＋3a－21a2＋6a3
＝－5a2＋5a＋2.
当a＝－2时，原式＝－28.
第3课时　整式的加减运算法则
1.熟练进行整式的加减运算.
2.能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系.
重点：整式加减运算的规律.
难点：整式加减运算的规律与步骤.
青藏铁路线上，列车在冻土地段的行驶速度是100km/h，在非冻土地段的行驶速度可以达到120km/h.在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段要th，且通过冻土地段的时间比非冻土地段多用0.5h，那么（1）它通过非冻土地段的时间为　　　　h，非冻土地段的路程为　　　　km；（2）冻土地段的路程为　　　　km；（3）这段铁路全长为　　　　km；（4）冻土地段与非冻土地段的路程相差　　　　km.以上空格你能用适当的数或式子表示吗？
探究点一　整式的加减
类型一　整式的化简
【例1】化简：－3（a2b－2c）＋2（c－2a2b）.
【解析】先运用去括号法则去括号，然后合并同类项.注意去括号时，如果括号前是负号，那么括号中的每一项都要变号.合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的指数不变.
【解】原式＝－3a2b＋6c＋2c－4a2b
＝－7a2b＋8c.
类型二　整式的化简求值
【例2】先化简，再求值：a－2（a－b2）－（a＋b2）＋1，其中a＝2，b＝－.
【解析】原式去括号、合并同类项得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值.
【解】原式＝a－2a＋b2－a－b2＋1
＝－3a＋b2＋1.
当a＝2，b＝－时，原式＝－3×2＋×＋1＝－6＋＋1＝－4.
【方法总结】化简求值时，一般先将整式进行化简，再代入求值.代入求值时，要适当添上括号，否则容易发生计算错误，同时还要注意代数式中同一字母必须用同一数值代替，代数式中原有的数字和运算符号都不改变.
类型三　利用“无关”进行说理或求值
【例3】有这样一道题：“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－＋（a3b3＋a2b）－2b2＋3的值.”马小虎做题时，把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.
【解析】先通过去括号、合并同类项对多项式进行化简，然后代入a，b的值进行计算.
【解】原式＝（3－4＋1）a3b3＋a2b＋（1－2）b2＋b＋3＝－b2＋b＋3.
因为化简后的代数式中不含有字母a，所以代数式的值与a的取值无关.
【方法总结】解答此类题的思路就是把原式化简，得到一个不含指定字母的结果，便可以说明该式与指定字母的取值无关.
探究点二　整式加减的应用
【例4】两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km/h，水流速度是akm/h.
（1）2h后两船相距多远？
（2）2h后甲船比乙船多航行多少千米？
【解析】顺水航速＝船速＋水速＝50＋a，逆水航速＝船速－水速＝50－a.
【解】（1）2h后两船相距2（50＋a）＋2（50－a）＝100＋2a＋100－2a＝200（km）.
（2）2h后甲船比乙船多航行2（50＋a）－2（50－a）＝100＋2a－100＋2a＝4a（km）.
1.当a＝－5时，多项式a2＋2a－2a2－a＋a2－1的值为（　　）
A.29 B.－6 C.14 D.24
2.计算：
（1）（3mn－5m2）－（3m2－5mn）；
（2）2a＋2（a＋1）－3（a－1）；
（3）7x＋4（x2－2）－2（2x2－x＋3）.
第3课时　整式的加减运算法则
整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
本节课主要学习了整式的加减运算，还学了给出整式中字母的值求整式的值的问题.
　　通过实际问题，让学生体会学会整式加减运算的必要性.通过“去括号、合并同类项”习题的复习归纳，总结出整式加减运算的一般步骤，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，理解整式加减运算的实质就是去括号、合并同类项.教学过程中，由学生小组讨论概括出整式加减运算的一般步骤，然后出示例题，由学生解答.同时采取由学生出题，其他同学抢答等形式，来提高学生的学习兴趣，充分调动他们的主观能动性，从而提高课堂教学效率.
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）原式＝3mn－5m2－3m2＋5mn＝8mn－8m2.
（2）原式＝2a＋2a＋2－3a＋3＝a＋5.
（3）原式＝7x＋4x2－8－4x2＋2x－6
＝9x－14.