人教版（2024）七年级数学上册 第五章 一元一次方程 教案
文档属性
| 名称 | 人教版（2024）七年级数学上册 第五章 一元一次方程 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 162.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-26 20:23:29 | ||
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文档简介
5.1 方程
5.1.1 从算式到方程
1.通过算术方法与方程方法的使用与比较，体验用方程解决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力.
2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某个数值是不是一元一次方程的解.
3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.
重点：建立一元一次方程的概念，会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程.
难点：根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程，理解方程作为刻画现实世界的有效模型的意义.
数学无处不在.如图是中国古代著名典型趣题之一——鸡兔同笼问题.你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题？
探究点一 方程的概念
【例1】判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由.
（1）4×5＝3×7－1；（2）2x＋5y＝3；
（3）9－4x＞0；（4）＝；（5）2x＋3.
【解】（1）不是方程，因为不含未知数.
（2）是方程.
（3）不是方程，因为不是等式.
（4）是方程.
（5）不是方程，因为不是等式.
【方法总结】本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义中的两个要点：①等式；②含有未知数.
探究点二 方程的解
【例2】下列方程中，解为x＝3的是（ ）
A.6x＝2 B.3x＋9＝0
C.x＝0 D.5x－15＝0
【答案】D
【方法总结】检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程左、右两边的值相等.
探究点三 一元一次方程的概念
类型一 一元一次方程的辨别
【例3】下列各式中，是一元一次方程的为（ ）
A.3＋2＝5 B.x＋y＝5
C.2x－1＝1－2x D.5x－5
【答案】C
【方法总结】一元一次方程满足的条件：（1）是方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数都是1，且系数不为0；（4）等号两边都是整式.
类型二 利用一元一次方程的概念求字母次数的值
【例4】已知方程（m＋1）x｜m｜＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（ ）
A.m＝±1 B.m＝1
C.m＝－1 D.m≠－1
【解析】因为一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以｜m｜＝1，且m＋1≠0，解得m＝1.
【答案】B
【方法总结】解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值.
探究点四 列方程
【例5】一队师生共372人，乘车外出旅行，已有校车可乘64人，计划租用客车，每辆可乘44人，要租用多少辆客车？设要租用x辆客车，则可列方程为（ ）
A.44x－372＝64 B.44x＋64＝372
C.372＋44x＝64 D.44x＝64＋372
【解析】设要租用x辆客车.根据题意，得44x＋64＝372.
【答案】B
【方法总结】在实际问题中，常用一些关键字或词语来表示问题中的相等关系，如共、和、差、积、商、大小、多少、几倍、几分之几等.列方程时，一定要抓住这些关键字或词语.
1.下列方程：（1）x＋6＝y－2；（2）x＝0；（3）x＋＝4；（4）x2－3x＝x＋6；（5）x＋1＝－8.其中是一元一次方程的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.x＝2 方程4x－1＝3的解（填“是”或“不是”）.
3.小明的妈妈今年44岁，比小明年龄的3倍还大2岁.设小明今年x岁，则可列出方程： .
5.1.1 从算式到方程
1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.
2.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
3.根据实际问题列方程的步骤：
（1）设未知数（用字母）；
（2）找等量关系（表示出相关的量）；
（3）列出方程.
本节课主要学习了一元一次方程的概念及方程解的含义，并会根据实际问题中的等量关系列一元一次方程，还学会了判断一个数是不是某个一元一次方程的解.
本节课设计了一些具体的应用问题，让学生寻找等量关系.学生第一次接触到一元一次方程的概念，可以让学生通过判断、辨析等方法加以强化.通过本节课的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想，使学生体会到数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，从而提高学生学习数学的兴趣.
答案
课堂训练
1.B 2.不是 3.3x＋2＝44
5.1.2 等式的性质
1.理解、掌握等式的性质.
2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
重点：理解和应用等式的性质.
难点：应用等式的性质解简单的一元一次方程.
你们玩过跷跷板吗？它有什么特征？
跷跷板两边增加的量在满足什么关系时才能保持平衡？
探究点一 应用等式的性质对等式进行变形
【例1】用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式.
（1）如果2x＋7＝10，那么2x＝10－ ；
（2）如果－3x＝8，那么x＝ ；
（3）如果x－＝y－，那么x＝ ；
（4）如果＝2，那么a＝ .
【解析】（1）根据等式的性质1，在等式两边减去7，得2x＝10－7；（2）根据等式的性质2，在等式两边除以－3，得x＝－；（3）根据等式的性质1，在等式两边加上，得x＝y；（4）根据等式的性质2，在等式两边乘4，得a＝8.
【解】（1）7 （2）－ （3）y （4）8
探究点二 利用等式的性质解方程
【例2】利用等式的性质解下列方程：
（1）0.6－x＝2.4；（2）x＝4.
【解】（1）两边减0.6，得0.6－x－0.6＝2.4－0.6.
化简，得－x＝1.8.
两边乘－1，得x＝－1.8.
（2）两边乘6，得x＝24.
【方法总结】解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，再变形为x＝c的形式.
1.下列变形不正确的是（ ）
A.由2x－3＝5，得2x＝8
B.由－x＝2，得x＝－3
C.由2x＝5，得x＝
D.由5＝3x－2，得7＝3x
2.利用等式的性质解下列方程：
（1）9x＋6＝0；（2）m＝1.
5.1.2 等式的性质
1.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
2.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b（c≠0），那么＝.
3.利用等式的性质解简单的一元一次方程.
本节课主要学习了对等式的性质的理解和把握，并学会了利用等式的性质解简单的一元一次方程.
借助学生们都玩过的跷跷板，让学生从实际操作中获取信息，培养学生归纳总结并能抽象数学性质的能力.采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生自主探究，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.通过学生对新知识的探究以及新知识的应用，让学生体会到新知识在解决问题时的优越性.
答案
课堂训练
1.C
2.解：（1）两边减6，得9x＋6－6＝0－6.
化简，得9x＝－6.
两边除以9，得x＝－.
（2）两边乘8，得m＝8.
5.2 解一元一次方程
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
1.学会利用合并同类项解形如“ax＋bx＝c”的一元一次方程，进一步体会方程中的化归思想.
2.能够根据题意找出实际问题中的等量关系，列出方程求解.
重点：应用方程解决实际问题，会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程.
难点：分析实际问题中的等量关系，会列方程并能正确求解.
程大位，明代商人，珠算发明家，历经二十年，于明万历壬辰年（1592年）写就巨著《算法统宗》.《算法统宗》搜集了古代流传的595道数学难题并记载了解决方法，堪称中国16—17世纪数学领域集大成的著作.在该书中，有一道“百羊问题”：
甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，
所得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
（注：小半即四分之一）
根据题意，可列方程为x＋x＋x＋x＋1＝100.如何解这个方程呢？
探究点一 利用合并同类项解简单的一元一次方程
【例1】解下列方程：
（1）9x－5x＝8；（2）4x－6x－x＝15.
【解】（1）合并同类项，得4x＝8.
系数化为1，得x＝2.
（2）合并同类项，得－3x＝15.
系数化为1，得x＝－5.
探究点二 根据“总量＝各部分量的和”列方程解决问题
【例2】足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块的数目比为3∶5.一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？
【解析】本题中已知黑、白皮块的数目比为3∶5，可设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，然后利用等量关系“黑色皮块数＋白色皮块数＝32”列方程.
【解】设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个.
根据题意列方程，得3x＋5x＝32.
合并同类项，得8x＝32.
系数化为1，得x＝4，
则3x＝3×4＝12，
5x＝5×4＝20.
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个.
【方法总结】当题目中出现比时，一般可通过间接设元，设其中的每一份为x，然后用含x的代数式表示各数量，再根据等量关系，列方程求解.
1.下面变形正确的是（ ）
A.由3x－x＋4x＝8，得3＋4x＝8
B.由2x－4x－x＝8＋2，得－3x＝10
C.由－6x－3x＝5，得－3x＝5
D.由13x＋2x－8x＝－3－5，得7x＝－2
2.甲、乙、丙三位爱心人士向山区的小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是5∶8∶9并且他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士分别捐了多少册图书？
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
1.用合并同类项的方法解简单的一元一次方程.
解方程的步骤：
（1）合并同类项；
（2）系数化为1（等式的性质2）.
2.找等量关系，列一元一次方程.
3.列方程解应用题的步骤：
（1）设未知数；
（2）分析题意找出等量关系；
（3）根据等量关系列方程；
（4）解方程并作答.
本节课主要学习了利用合并同类项求解简单的一元一次方程，并知道了“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题时常用的基本等量关系.
本节课是在等式的基本性质的基础上归纳解一元一次方程的常规步骤，使解题更趋向合理、简洁.合并同类项起到化简的作用，把含有未知数x的项合并成一项，从而把方程转化为“ax＝b”的形式（其中a，b是常数），再将系数化为1，从而得到方程的解为x＝m（m为常数）.整个过程体现了化归的数学思想.
答案
课堂训练
1.B
2.解：设爱心人士甲捐了5x册图书，则乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数分别为8x，9x.
由题意，得5x＋8x＋9x＝748.
合并同类项，得22x＝748.
系数化为1，得x＝34，
所以5x＝170，8x＝272，9x＝306，
即甲、乙、丙三位爱心人士分别捐了170册、272册、306册图书.
第2课时 利用移项、合并同类项解一元一次方程
1.理解移项的意义，掌握移项的方法.
2.学会运用移项解形如“ax＋b＝cx＋d”的一元一次方程.
3.能够抓住实际问题中的等量关系，并列一元一次方程解决实际问题.
重点：理解移项法则，会解简单的一元一次方程.
难点：用一元一次方程解决实际问题时寻找等量关系.
约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》，这本书重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《还原与对消计算概要》.“对消”就是将方程中各项成对消除的意思，相当于现代解方程中的移项后合并同类项，那么“还原”是什么意思呢？
探究点一 移项法则
【例1】下列方程的变形中，属于移项的是（ ）
A.由－3x＝24，得x＝－8
B.由3x＋6－2x＝8，得3x－2x＋6＝8
C.由4x＋5＝0，得－4x－5＝0
D.由2x＋1＝0，得2x＝－1
【答案】D
【方法总结】移项是将方程中的某一项从等式的一边移到另一边，不要将其与加法的交换律或等式的性质混淆.
探究点二 利用移项解一元一次方程
【例2】解下列方程：
（1）5x－7＝2x－10；（2）－0.3x＋3＝9＋1.2x.
【解】（1）移项，得5x－2x＝－10＋7.
合并同类项，得3x＝－3.
系数化为1，得x＝－1.
（2）移项，得－0.3x－1.2x＝9－3.
合并同类项，得－1.5x＝6.
系数化为1，得x＝－4.
探究点三 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
【例3】某市一次数学期末考试阅卷中，阅B卷的教师人数是阅A卷教师人数的3倍.在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B卷的教师中调12人去阅A卷，调动后阅B卷的教师人数比原先阅A卷的人数的一半还多3人.求阅B卷和阅A卷的原有教师人数.
【解】设原有x名教师阅A卷，则原有3x名教师阅B卷.根据题意列方程，得3x－12＝x＋3，
解得x＝6，所以3x＝18.
答：阅A卷原有教师6人，阅B卷原有教师18人.
【方法总结】列方程解应用题时，应抓住题目中的“相等”“谁比谁多多少”等表示数量关系的词语，以便从中找出合适的等量关系列方程.
1.已知2m－3＝3n＋1，则2m－3n＝ .
2.解下列一元一次方程：
（1）7－2x＝3－4x；（2）1.8t＝30＋0.3t.
第2课时 利用移项、合并同类项解一元一次方程
1.移项的定义.
2.移项法则的依据.
3.利用移项解一元一次方程.
4.列一元一次方程解决实际问题.
本节课主要学习了移项的方法，并能利用合并同类项与移项求解一元一次方程，还学会了用一元一次方程解决实际问题.
本节课先利用等式的性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程.学生在移项过程中，会遇到以下几种比较常见的情况：①含未知数的项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号.第一种情况是因为在授课过程中强调不够，后面的两种情况出现最多.通过用移项法则解方程，引导学生正确地解方程，让学生明白为什么学习移项，从而调动学生学习的积极性.
答案
课堂训练
1.4
2.解：（1）移项，得－2x＋4x＝3－7.
合并同类项，得2x＝－4.
系数化为1，得x＝－2.
（2）移项，得1.8t－0.3t＝30.
合并同类项，得1.5t＝30.
系数化为1，得t＝20.
第3课时 利用去括号解一元一次方程
1.了解“去括号”是解方程的重要步骤.
2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
3.经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
重点：用去括号法则正确解方程.
难点：用一元一次方程解决实际问题.
神话故事“哪吒闹海”家喻户晓，其中描写哪吒斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真是各显神通，分身有术，斗得走石飞沙昏天暗地，只见八臂一头是夜叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八.试向看官问一句，几个夜叉几哪吒？设有x个哪吒，则有（36－3x）个夜叉，依题意有6x＋8（36－3x）＝108，你会解这个方程吗？
探究点一 利用去括号解一元一次方程
【例1】解下列方程：
（1）x－2（x－2）＝3x＋5（x－1）；
（2）7＋8＝3x－6.
【解】（1）去括号，得x－2x＋4＝3x＋5x－5.
移项，得x－2x－3x－5x＝－5－4.
合并同类项，得－9x＝－9.
系数化为1，得x＝1.
（2）去括号，得7＋6x－8＝3x－3＋4x.
移项，得6x－3x－4x＝－3－7＋8.
合并同类项，得－x＝－2.
系数化为1，得x＝2.
探究点二 利用去括号解方程的应用题
【例2】一架飞机在两城市之间飞行，风速为24km/h.若顺风飞行要2h，逆风飞行要3h.求两城市之间的距离.
【解析】利用两城市之间的路程一定，等量关系为顺风速度×顺风时间＝逆风速度×逆风时间，把相关值代入即可求解.
【解】设飞机在静风中的飞行速度为xkm/h.
根据题意列出方程，得（x＋24）×＝（x－24）×3，
解得x＝840.
3×（840－24）＝2448（km）.
答：两城市之间的距离为2448km.
1.在解方程3（x－1）－2（2x＋3）＝6时，去括号正确的是（ ）
A.3x－1－4x＋3＝6 B.3x－3－4x－6＝6
C.3x＋1－4x－3＝6 D.3x－1＋4x－6＝6
2.若代数式12－3（9－y）与代数式5（y－4）的值相等，则y＝ .
3.解方程：
（1）5x－2（3－2x）＝－3；
（2）2x＋3＝8（1－x）－5（x－2）.
第3课时 利用去括号解一元一次方程
1.解一元一次方程的步骤：
（1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1.
2.若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变.
本节课主要学习了去括号解方程步骤及方法，去括号时注意不要漏乘，注意符号的变化；本节课还利用所学知识解决了实际航行中的问题，明确航行问题中顺流速度、逆流速度、静水速度的相关解释，让学生明白了它们的意思，更好地理解它们之间的等量关系.
本节课让学生掌握了利用去括号解方程的方法.去括号时应注意的问题：（1）是否存在符号的变化问题，遇到“－”时，是否只改变了其中的第一项，而其他各项没有变号；（2）在利用乘法分配律时，是否将括号外的因数与括号里的每一项相乘.
答案
课堂训练
1.B 2.
3.解：（1）去括号，得5x－6＋4x＝－3.
移项，得5x＋4x＝－3＋6.
合并同类项，得9x＝3.
系数化为1，得x＝.
（2）去括号，得2x＋3＝8－8x－5x＋10.
移项，得2x＋8x＋5x＝8＋10－3.
合并同类项，得15x＝15.
系数化为1，得x＝1.
第4课时 利用去分母解一元一次方程
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
3.会将含有分母的方程化归成熟悉的方程，逐步体会化归的方法，掌握解方程的程序化方法.
重点：会用去分母的方法解一元一次方程.
难点：探究通过去分母的方法解一元一次方程，归纳解一元一次方程的步骤.
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答：“我的学生，现在有在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外，还有3名妇女.”算一算，毕达哥拉斯的学生有多少名？
探究点一 利用去分母解一元一次方程
【例1】解下列方程：
（1）－＝1；
（2）－＝.
【解】（1）去分母（方程两边乘6），得（x－1）－2（2x＋1）＝6.
去括号，得x－1－4x－2＝6.
移项，得x－4x＝6＋2＋1.
合并同类项，得－3x＝9.
系数化为1，得x＝－3.
（2）整理，得－＝.
去分母（方程两边乘30），得6（4x＋9）－10（3＋2x）＝15（x－5）.
去括号，得24x＋54－30－20x＝15x－75.
移项，得24x－20x－15x＝－75－54＋30.
合并同类项，得－11x＝－99.
系数化为1，得x＝9.
【方法总结】解方程应注意以下两点：①去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；②去括号、移项时要注意符号的变化.
探究点二 利用去分母解方程的应用题
【例2】某单位计划五一国际劳动节期间组织职工去旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租1辆，并且剩余40个座位.
（1）该单位参加旅游的职工有多少人？
（2）如果同时租用这两种客车若干辆，那么有没有可能使每辆客车刚好坐满？若有可能，请直接写出两种客车各租多少辆.
【解析】（1）先设该单位参加旅游的职工有x人，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；（2）可根据租用两种汽车时，先假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求解即可.
【解】（1）设该单位参加旅游的职工有x人.
由题意，得－＝1，解得x＝360.
答：该单位参加旅游的职工有360人.
（2）有可能.租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满.
1.方程－＝1去分母，得（ ）
A.2x－1－x＋1＝6
B.3（2x－1）－2（x＋1）＝6
C.2（2x－1）－3（x＋1）＝6
D.3x－3－2x－2＝1
2.解方程：
（1）＝；（2）＋＝2－.
第4课时 利用去分母解一元一次方程
1.解含有分母的一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
2.利用一元一次方程解决实际问题.
本节课主要学习了去分母解方程的方法，其依据是等式的性质2，注意等式两边同乘所有分母的最小公倍数，总结出解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
本节课通过一个简单的例子让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便.在利用去分母解方程时，发现学生还存在以下问题：①不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当减式中的分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号.
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）去分母（方程两边乘15），得－3（x－3）＝3x＋4.
去括号，得－3x＋9＝3x＋4.
移项，得－3x－3x＝4－9.
合并同类项，得－6x＝－5.
系数化为1，得x＝.
（2）去分母（方程两边乘12），得4（5y＋4）＋3（y－1）＝24－（5y－5）.
去括号，得20y＋16＋3y－3＝24－5y＋5.
移项，得20y＋3y＋5y＝24＋5－16＋3.
合并同类项，得28y＝16.
系数化为1，得y＝.
5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套问题、工程问题
1.理解配套问题、工程问题的背景.
2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.
3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
4.体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识.
重点：将实际问题抽象为数学问题，列方程解应用题.
难点：确定实际问题中的等量关系.
某市要修一条公路，公路大约长120km.现有甲、乙两个工程队想要承包该工程，甲工程队说：“包给我们，保证30天完成.”乙工程队说：“包给我们，保证20天就完成.”若甲、乙两个工程队合作，则需要多少天完成？
探究点一 产品配套问题
【例1】机械厂加工车间有68名工人，每人每天可以加工16个大齿轮或10个小齿轮.若2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，则分别需要安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【解】设需要安排x名工人加工大齿轮，则安排（68－x）名工人加工小齿轮.
根据题意，得3×16x＝2×10×（68－x），
解得x＝20，则68－x＝68－20＝48.
答：需要安排20名工人加工大齿轮，48名工人加工小齿轮.
【方法总结】解决配套问题的思路：利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据.
探究点二 工程问题
【例2】加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙单独做只要10天就能完成任务.
（1）现在要求二人在12天内完成任务，则乙需加工几天后，甲再继续加工才可正好如期完成任务？
（2）若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工恰好能如期完成任务？
【解】（1）设乙需加工x天后，甲再继续加工才可正好如期完成任务，则甲做了（12－x）天.
依题意，得（12－x）＋x＝1，解得x＝8.
答：乙需加工8天后，甲再继续加工才可正好如期完成任务.
（2）设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先加工了（8－x）天.
依题意，得（8－x）＋x＝1，
解得x＝4，则8－x＝4.
答：乙先加工4天后，甲加入合作加工恰好能如期完成任务.
1.某人一天能加工50个甲种零件或加工20个乙种零件，1个甲种零件与2个乙种零件配成1套.求30天最多可制作的成套产品的数量.若设x天加工甲种零件，则可列方程为 .
2.一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独施工24天完成.现在甲、乙两队共同施工3天，甲因另有任务，剩下的工程由乙队完成.问乙队还需几天才能完成.
第1课时 配套问题、工程问题
1.配套问题：找出等量关系.
2.工程问题：
（1）工程总量＝效率×时间；
（2）各部分的工程和＝工程总量＝1.
本节课主要学习了如何分析复杂问题中的数量关系和等量关系，会列一元一次方程解决有关工程问题、产品配套问题、人员调配问题的应用题，会设关于比例问题的未知数.
通过本节课的学习，让学生开展观察、探索、交流、反思等活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.教学过程中，引导学生学会找出实际问题中的等量关系，并能依据这些等量关系列出方程，使学生掌握运用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
答案
课堂训练
1.2×50x＝20（30－x）
2.解：设乙队还需x天才能完成.
由题意，得×3＋（3＋x）＝1，
解得x＝13.
答：乙队还需13天才能完成.
第2课时 打折销售问题
1.理解商品销售中的相关概念及数量关系.
2.根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题，并掌握解此类问题的一般思路.
3.通过调查、体验和分析，充分感受身边的数学，尝试用数学的眼光分析生活中的打折现象，理性消费.
重点：理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系.
难点：根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.
一批服装的进价是每件50元，先按成本价提高60％销售，后来又按标价的八折进行销售.请你帮老师计算一下，这批服装在打完折后还能赚到钱吗？
探究点一 打折销售问题
【例1】某商品的零售价为每件900元，商店按零售价打九折（原价的90％），并再让利40元销售，仍可获利10％.求该商品的进价.
【解】设该商品的进价为每件x元.
依题意，得900×0.9－40＝10％x＋x，
解得x＝700.
答：该商品的进价为每件700元.
【方法总结】（1）在解决实际问题时，要认真审题，如不打折时，售价＝标价；打折时，售价＝标价×折扣率.（2）在上面的公式中，只要知道其中的两个量，便能求出另一个量.
探究点二 盈亏问题
【例2】新华书店某天销售完甲、乙两种书籍，甲种书籍卖得1500元，乙种书籍卖得1260元.若按两种书籍的进价分别计算，甲种书籍盈利25％，乙种书籍亏损10％，则该书店这一天卖这两种书籍总计是盈利还是亏损？
【解析】两种书籍共卖了1500＋1260＝2760（元），是盈利还是亏损要看这家书店进这两种书时花了多少钱，如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.
【解】设购进甲种书籍x元，购进乙种书籍y元.
由题意，得x＋25％x＝1500，y－10％y＝1260，
解得x＝1200，y＝1400.
两种书籍的总进价是1200＋1400＝2600（元），
而两种书籍的总售价是1500＋1260＝2760（元），
总售价－总进价＝2760－2600＝160（元）.
答：该书店这一天卖这两种书籍共盈利160元.
1.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，那么将亏损25元；如果按原定价的九折出售，那么将盈利20元.这种商品的原价是（ ）
A.500元 B.400元 C.300元 D.200元
2.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5％.该商店最低可以打几折出售此商品？
第2课时 打折销售问题
销售问题中的两个基本关系式：
（1）商品利润＝商品售价－商品进价；
（2）商品利润率＝×100％.
本节课学习了有关销售的实际问题，基本数量关系有商品利润＝商品售价一商品进价，商品利润率＝×100％.以上等式两边还可以适当地进行变形.列方程解决实际问题的思路是（1）审题，弄清题意；（2）找出数量之间的基本关系：找出能够表示本题含义的相等关系；（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，用未知数表示出相关数量的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
本节课从和我们生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在实际生活中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣.根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.审清题意，找出等量关系是解决问题的关键.另外，在解决商品经济类
型的问题时，老师应帮助学生看到与其他问题的相似性，这样学生才能触类旁通、举一反三，灵活地运用有关的公式解决实际问题.
答案
课堂训练
1.C
2.解：设该商店最低可以打x折出售此商品.
根据题意，得1500×＝1000（1＋5％），
解得x＝7.
答：该商店最低可以打七折出售此商品.
第3课时 球赛积分问题
1.通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息传递形式的多样性.
2.会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.
3.掌握解决“球赛积分”问题的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
重点：引导学生弄清题意，回答出各类问题的答案.
难点：如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题.
某次男篮联赛常规赛最终积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
问题1：从这张表格中，你能得到什么信息？
问题2：这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？
问题3：请你说出积分规则（即胜1场积几分，负1场积几分）.你是怎样知道这个比赛的积分规则的？
探究点一 球类比赛中的积分问题
【例1】某赛季篮球联赛部分球队积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
A 22 18 4 40
B 22 14 8 36
C 22 7 15 29
D 22 0 22 22
（1）列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？为什么？
【解析】（1）如果某队胜x场，根据比赛场次为22，那么可得出负（22－x）场，再根据总积分＝胜场积分＋负场积分即可求解；（2）根据等量关系即某队的胜场总积分能等于它的负场总积分列出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可.
【解】观察积分榜，从最下面一行可知负1场积1分.设胜1场积x分，从表中其他任意一行可以列方程，求出x的值.例如，从第一行得出方程：
18x＋1×4＝40，解得x＝2，
所以负1场积1分，胜1场积2分.
（1）如果一个队胜m场，那么负（22－m）场，胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为2m＋（22－m）＝m＋22.
（2）不能.理由：设某队胜了x场，则负了（22－x）场.
如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，那么有方程2x＝22－x，解得x＝.
因为x（胜场）的值必须是整数，所以x＝不符合实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分能等于它的负场总积分.
探究点二 学习竞赛中的积分问题
【例2】某次知识竞赛共20道题，每答对1道题得8分，答错或不答扣3分.某选手在这次竞赛中共得116分，那么他答对了几道题？
【解】设他答对了x道题，则有（20－x）道题答错或不答.
由题意，得8x－（20－x）×3＝116，
解得x＝16.
答：他答对了16道题.
1.某足球队参加比赛，开局9场保持不败，积21分.若比赛规则为胜1场得3分，平1场得1分，则该队共胜（ ）
A.4场 B.5场
C.6场 D.7场
2.某中学七年级举行足球赛，规定胜1场记3分，平1场记1分，负1场记0分.七（2）班在比赛中共积16分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多1.问七（2）班在比赛中共负了多少场.
第3课时 球赛积分问题
球赛积分问题中的等量关系式：
（1）比赛场数＝胜场数＋负场数＋平场数；
（2）总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分.
本节课主要学习了球赛积分问题，其中的等量关系是总积分等于胜、负、平场数乘它们的单场积分的和.学会从不同形式中获取有关信息，从而列出一元一次方程求解.在对问题进行判断时，需要进行定量分析，运用一元一次方程得出解后，不但要判断该解是否为方程的解，还需判断该解是否符合实际意义.
本节课主要是借球赛积分问题学习数学知识.本节课进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题，重点是建立实际问题的方程模型.通过探究活动，进一步感受到一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决问题的能力.
答案
课堂训练
1.C
2.解：设七（2）班在比赛中胜了x场，则平了x场，负了（x＋1）场.
依题意，得3x＋x＝16，
解得x＝4，
所以x＋1＝5.
答：七（2）班在比赛中共负了5场.
第4课时 分段计费问题、方案决策问题
1.体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费”问题进行整体分析，从而得出整体选择方案.
2.进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
重点：体验建立方程模型解决问题的一般过程.
难点：体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.
某市为了鼓励市民节约用水，制定了以下水费收费标准：每月用水量分为标准内和标准外两部分，每月用水量在标准内按每吨1.96元收费；在标准外按每吨2.94元收费.6月份张三家用水12t，交水费27.44元，你能算出该市每月标准用水量是多少吨吗？
探究点一 分段计费问题
【例1】为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如下表：
档次 每户每月用电量/kW·h 执行电价/（元/kW·h）
第一档 小于等于200 0.55
第二档 大于200小于400 0.6
第三档 大于等于400 0.85
例如：一户居民七月份用电420kW·h，则需缴电费420×0.85＝357（元）.某户居民五、六月份共用电500kW·h，缴电费290.5元.已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400kW·h.问该户居民五、六月份分别用电多少.
【解析】由某户居民五、六月份共用电500kW·h，就可以得出该户居民每月用电量不可能都在第一档，再分情况讨论，分别建立方程求出其解即可.
【解】当五月份用电量为xkW·h≤200kW·h时，六月份用电量为（500－x）kW·h.
由题意，得0.55x＋0.6×（500－x）＝290.5，
解得x＝190，
所以六月份用电500－190＝310（kW·h）；
当五月份用电量为xkW·h＞200kW·h时，六月份用电量为（500－x）kW·h.
由题意，得0.6x＋0.6×（500－x）＝290.5，
方程无解，
所以该情况不符合题意.
答：该户居民五、六月份分别用电190kW·h，310kW·h.
【方法总结】此类问题通常与现行阶梯电费、水费相结合，逆向设置条件：在阶梯电价（水价）的规则上，已知电（水）费，求用电（水）量.解决此类问题的一般步骤：（1）理解题意，找出已知和未知；（2）验算收费是在哪一阶段内；（3）根据这一阶段的收费规则列出方程；（4）解方程并检验解的合理性；（5）作答.
探究点二 方案决策问题
【例2】某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班观看电影的人数都多于40，票价为每张30元，售票员告知40人以上的团体票有两种优惠方案可选择，具体方案如下：
方案一：全体人员可打八折；
方案二：打九折，有5人可免票.
（1）若七（2）班有42名学生要观看电影，则该班班长应选择哪个方案？
（2）七（1）班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱数都是一样的，你知道七（1）班有多少人吗？
【解析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可；（2）设七（1）班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可.
【解】（1）方案一的花费为42×30×0.8＝1008（元），
方案二的花费为（42－5）×0.9×30＝999（元）.
因为999＜1008，
所以七（2）班班长应选择方案二.
（2）设七（1）班有x人.
根据题意，得30x×0.8＝（x－5）×0.9×30，
解得x＝45.
故七（1）班有45人.
1.小明所在城市的“阶梯水价”收费标准如下：每户用水不超过5t，每吨收费x元；超过5t，超过部分每吨加收2元.小明家今年5月份用水9t，共交水费44元.根据题意列出方程是（ ）
A.5x＋4（x＋2）＝44 B.5x＋4（x－2）＝44
C.9（x＋2）＝44 D.9（x＋2）－4×2＝44
2.某水果批发商从外地购进一批新鲜水果，准备运回当地销售.甲物流公司的收费方式是起步价2000元，每千米另收5元油费；乙物流公司的收费方式是起步价1000元，每千米另收10元油费.当运输路程为 km时，两家公司的收费相同.
第4课时 分段计费问题、方案决策问题
1.分段计费问题
2.方案决策问题
本节课主要学习了列一元一次方程解决分段计费及方案决策问题，解决此类问题的关键是根据条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
本节课的探究问题主要是方案选择问题，本节课的问题情境和实际情况联系密切，要解决的问题比较复杂，学生必须有这方面的生活经验才能达到不错的效果，但是学生年龄小且缺少生活经验，所以必须在教师的引导下才能更好地去探究.针对教材中的探究问题，设计小问题逐步引导学生找出方案选择问题中不同方案中的各个数量，以及数量之间的基本关系.对不同方案中的计费按不同的时间段进行分类讨论，培养学生分类讨论思想，增强学习的积极主动性，使学生的知识得到巩固的同时，也使其生活经验，学习方法等得到积累，从而提高学生自主学习的能力.
答案
课堂训练
1.A 2.200
5.1.1 从算式到方程
1.通过算术方法与方程方法的使用与比较，体验用方程解决某些问题的优越性，提高解决实际问题的能力.
2.掌握方程、一元一次方程的定义以及解的概念，学会判断某个数值是不是一元一次方程的解.
3.初步学会如何寻找问题中的等量关系，并列出方程.
重点：建立一元一次方程的概念，会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程.
难点：根据具体问题中的等量关系列出一元一次方程，理解方程作为刻画现实世界的有效模型的意义.
数学无处不在.如图是中国古代著名典型趣题之一——鸡兔同笼问题.你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题？
探究点一 方程的概念
【例1】判断下列各式是不是方程；若不是，请说明理由.
（1）4×5＝3×7－1；（2）2x＋5y＝3；
（3）9－4x＞0；（4）＝；（5）2x＋3.
【解】（1）不是方程，因为不含未知数.
（2）是方程.
（3）不是方程，因为不是等式.
（4）是方程.
（5）不是方程，因为不是等式.
【方法总结】本题考查的是方程的概念，方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义中的两个要点：①等式；②含有未知数.
探究点二 方程的解
【例2】下列方程中，解为x＝3的是（ ）
A.6x＝2 B.3x＋9＝0
C.x＝0 D.5x－15＝0
【答案】D
【方法总结】检验一个数是否是方程的解，就是要看它能不能使方程左、右两边的值相等.
探究点三 一元一次方程的概念
类型一 一元一次方程的辨别
【例3】下列各式中，是一元一次方程的为（ ）
A.3＋2＝5 B.x＋y＝5
C.2x－1＝1－2x D.5x－5
【答案】C
【方法总结】一元一次方程满足的条件：（1）是方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的次数都是1，且系数不为0；（4）等号两边都是整式.
类型二 利用一元一次方程的概念求字母次数的值
【例4】已知方程（m＋1）x｜m｜＋1＝0是关于x的一元一次方程，则（ ）
A.m＝±1 B.m＝1
C.m＝－1 D.m≠－1
【解析】因为一元一次方程必须满足未知数的次数为1且系数不等于0，所以｜m｜＝1，且m＋1≠0，解得m＝1.
【答案】B
【方法总结】解决此类问题要明确：若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，未知数的次数都是1且系数不为0，则这个方程是一元一次方程.据此可求方程中相关字母的值.
探究点四 列方程
【例5】一队师生共372人，乘车外出旅行，已有校车可乘64人，计划租用客车，每辆可乘44人，要租用多少辆客车？设要租用x辆客车，则可列方程为（ ）
A.44x－372＝64 B.44x＋64＝372
C.372＋44x＝64 D.44x＝64＋372
【解析】设要租用x辆客车.根据题意，得44x＋64＝372.
【答案】B
【方法总结】在实际问题中，常用一些关键字或词语来表示问题中的相等关系，如共、和、差、积、商、大小、多少、几倍、几分之几等.列方程时，一定要抓住这些关键字或词语.
1.下列方程：（1）x＋6＝y－2；（2）x＝0；（3）x＋＝4；（4）x2－3x＝x＋6；（5）x＋1＝－8.其中是一元一次方程的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.x＝2 方程4x－1＝3的解（填“是”或“不是”）.
3.小明的妈妈今年44岁，比小明年龄的3倍还大2岁.设小明今年x岁，则可列出方程： .
5.1.1 从算式到方程
1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.
2.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
3.根据实际问题列方程的步骤：
（1）设未知数（用字母）；
（2）找等量关系（表示出相关的量）；
（3）列出方程.
本节课主要学习了一元一次方程的概念及方程解的含义，并会根据实际问题中的等量关系列一元一次方程，还学会了判断一个数是不是某个一元一次方程的解.
本节课设计了一些具体的应用问题，让学生寻找等量关系.学生第一次接触到一元一次方程的概念，可以让学生通过判断、辨析等方法加以强化.通过本节课的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想，使学生体会到数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，从而提高学生学习数学的兴趣.
答案
课堂训练
1.B 2.不是 3.3x＋2＝44
5.1.2 等式的性质
1.理解、掌握等式的性质.
2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程.
重点：理解和应用等式的性质.
难点：应用等式的性质解简单的一元一次方程.
你们玩过跷跷板吗？它有什么特征？
跷跷板两边增加的量在满足什么关系时才能保持平衡？
探究点一 应用等式的性质对等式进行变形
【例1】用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式.
（1）如果2x＋7＝10，那么2x＝10－ ；
（2）如果－3x＝8，那么x＝ ；
（3）如果x－＝y－，那么x＝ ；
（4）如果＝2，那么a＝ .
【解析】（1）根据等式的性质1，在等式两边减去7，得2x＝10－7；（2）根据等式的性质2，在等式两边除以－3，得x＝－；（3）根据等式的性质1，在等式两边加上，得x＝y；（4）根据等式的性质2，在等式两边乘4，得a＝8.
【解】（1）7 （2）－ （3）y （4）8
探究点二 利用等式的性质解方程
【例2】利用等式的性质解下列方程：
（1）0.6－x＝2.4；（2）x＝4.
【解】（1）两边减0.6，得0.6－x－0.6＝2.4－0.6.
化简，得－x＝1.8.
两边乘－1，得x＝－1.8.
（2）两边乘6，得x＝24.
【方法总结】解方程时，一般先将方程变形为ax＝b的形式，再变形为x＝c的形式.
1.下列变形不正确的是（ ）
A.由2x－3＝5，得2x＝8
B.由－x＝2，得x＝－3
C.由2x＝5，得x＝
D.由5＝3x－2，得7＝3x
2.利用等式的性质解下列方程：
（1）9x＋6＝0；（2）m＝1.
5.1.2 等式的性质
1.等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a＝b，那么a±c＝b±c.
2.等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a＝b，那么ac＝bc；
如果a＝b（c≠0），那么＝.
3.利用等式的性质解简单的一元一次方程.
本节课主要学习了对等式的性质的理解和把握，并学会了利用等式的性质解简单的一元一次方程.
借助学生们都玩过的跷跷板，让学生从实际操作中获取信息，培养学生归纳总结并能抽象数学性质的能力.采用类比等式性质创设问题情景的方法，引导学生自主探究，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯.通过学生对新知识的探究以及新知识的应用，让学生体会到新知识在解决问题时的优越性.
答案
课堂训练
1.C
2.解：（1）两边减6，得9x＋6－6＝0－6.
化简，得9x＝－6.
两边除以9，得x＝－.
（2）两边乘8，得m＝8.
5.2 解一元一次方程
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
1.学会利用合并同类项解形如“ax＋bx＝c”的一元一次方程，进一步体会方程中的化归思想.
2.能够根据题意找出实际问题中的等量关系，列出方程求解.
重点：应用方程解决实际问题，会解“ax＋bx＝c”类型的一元一次方程.
难点：分析实际问题中的等量关系，会列方程并能正确求解.
程大位，明代商人，珠算发明家，历经二十年，于明万历壬辰年（1592年）写就巨著《算法统宗》.《算法统宗》搜集了古代流传的595道数学难题并记载了解决方法，堪称中国16—17世纪数学领域集大成的著作.在该书中，有一道“百羊问题”：
甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，
戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，
所得这般一群凑，再添半群小半群，
得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？
（注：小半即四分之一）
根据题意，可列方程为x＋x＋x＋x＋1＝100.如何解这个方程呢？
探究点一 利用合并同类项解简单的一元一次方程
【例1】解下列方程：
（1）9x－5x＝8；（2）4x－6x－x＝15.
【解】（1）合并同类项，得4x＝8.
系数化为1，得x＝2.
（2）合并同类项，得－3x＝15.
系数化为1，得x＝－5.
探究点二 根据“总量＝各部分量的和”列方程解决问题
【例2】足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块的数目比为3∶5.一个足球的表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块各有多少个？
【解析】本题中已知黑、白皮块的数目比为3∶5，可设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个，然后利用等量关系“黑色皮块数＋白色皮块数＝32”列方程.
【解】设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个.
根据题意列方程，得3x＋5x＝32.
合并同类项，得8x＝32.
系数化为1，得x＝4，
则3x＝3×4＝12，
5x＝5×4＝20.
答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个.
【方法总结】当题目中出现比时，一般可通过间接设元，设其中的每一份为x，然后用含x的代数式表示各数量，再根据等量关系，列方程求解.
1.下面变形正确的是（ ）
A.由3x－x＋4x＝8，得3＋4x＝8
B.由2x－4x－x＝8＋2，得－3x＝10
C.由－6x－3x＝5，得－3x＝5
D.由13x＋2x－8x＝－3－5，得7x＝－2
2.甲、乙、丙三位爱心人士向山区的小学捐赠图书，已知甲、乙、丙三位爱心人士捐赠图书的册数之比是5∶8∶9并且他们共捐了748册图书，那么甲、乙、丙三位爱心人士分别捐了多少册图书？
第1课时 利用合并同类项解一元一次方程
1.用合并同类项的方法解简单的一元一次方程.
解方程的步骤：
（1）合并同类项；
（2）系数化为1（等式的性质2）.
2.找等量关系，列一元一次方程.
3.列方程解应用题的步骤：
（1）设未知数；
（2）分析题意找出等量关系；
（3）根据等量关系列方程；
（4）解方程并作答.
本节课主要学习了利用合并同类项求解简单的一元一次方程，并知道了“总量＝各部分量的和”是列方程解应用题时常用的基本等量关系.
本节课是在等式的基本性质的基础上归纳解一元一次方程的常规步骤，使解题更趋向合理、简洁.合并同类项起到化简的作用，把含有未知数x的项合并成一项，从而把方程转化为“ax＝b”的形式（其中a，b是常数），再将系数化为1，从而得到方程的解为x＝m（m为常数）.整个过程体现了化归的数学思想.
答案
课堂训练
1.B
2.解：设爱心人士甲捐了5x册图书，则乙、丙两位爱心人士捐赠图书的册数分别为8x，9x.
由题意，得5x＋8x＋9x＝748.
合并同类项，得22x＝748.
系数化为1，得x＝34，
所以5x＝170，8x＝272，9x＝306，
即甲、乙、丙三位爱心人士分别捐了170册、272册、306册图书.
第2课时 利用移项、合并同类项解一元一次方程
1.理解移项的意义，掌握移项的方法.
2.学会运用移项解形如“ax＋b＝cx＋d”的一元一次方程.
3.能够抓住实际问题中的等量关系，并列一元一次方程解决实际问题.
重点：理解移项法则，会解简单的一元一次方程.
难点：用一元一次方程解决实际问题时寻找等量关系.
约820年，阿拉伯数学家花拉子米著有《代数学》，这本书重点论述怎样解方程.这本书的拉丁文译本取名为《还原与对消计算概要》.“对消”就是将方程中各项成对消除的意思，相当于现代解方程中的移项后合并同类项，那么“还原”是什么意思呢？
探究点一 移项法则
【例1】下列方程的变形中，属于移项的是（ ）
A.由－3x＝24，得x＝－8
B.由3x＋6－2x＝8，得3x－2x＋6＝8
C.由4x＋5＝0，得－4x－5＝0
D.由2x＋1＝0，得2x＝－1
【答案】D
【方法总结】移项是将方程中的某一项从等式的一边移到另一边，不要将其与加法的交换律或等式的性质混淆.
探究点二 利用移项解一元一次方程
【例2】解下列方程：
（1）5x－7＝2x－10；（2）－0.3x＋3＝9＋1.2x.
【解】（1）移项，得5x－2x＝－10＋7.
合并同类项，得3x＝－3.
系数化为1，得x＝－1.
（2）移项，得－0.3x－1.2x＝9－3.
合并同类项，得－1.5x＝6.
系数化为1，得x＝－4.
探究点三 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解决问题
【例3】某市一次数学期末考试阅卷中，阅B卷的教师人数是阅A卷教师人数的3倍.在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B卷的教师中调12人去阅A卷，调动后阅B卷的教师人数比原先阅A卷的人数的一半还多3人.求阅B卷和阅A卷的原有教师人数.
【解】设原有x名教师阅A卷，则原有3x名教师阅B卷.根据题意列方程，得3x－12＝x＋3，
解得x＝6，所以3x＝18.
答：阅A卷原有教师6人，阅B卷原有教师18人.
【方法总结】列方程解应用题时，应抓住题目中的“相等”“谁比谁多多少”等表示数量关系的词语，以便从中找出合适的等量关系列方程.
1.已知2m－3＝3n＋1，则2m－3n＝ .
2.解下列一元一次方程：
（1）7－2x＝3－4x；（2）1.8t＝30＋0.3t.
第2课时 利用移项、合并同类项解一元一次方程
1.移项的定义.
2.移项法则的依据.
3.利用移项解一元一次方程.
4.列一元一次方程解决实际问题.
本节课主要学习了移项的方法，并能利用合并同类项与移项求解一元一次方程，还学会了用一元一次方程解决实际问题.
本节课先利用等式的性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项的方法来解方程.学生在移项过程中，会遇到以下几种比较常见的情况：①含未知数的项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号.第一种情况是因为在授课过程中强调不够，后面的两种情况出现最多.通过用移项法则解方程，引导学生正确地解方程，让学生明白为什么学习移项，从而调动学生学习的积极性.
答案
课堂训练
1.4
2.解：（1）移项，得－2x＋4x＝3－7.
合并同类项，得2x＝－4.
系数化为1，得x＝－2.
（2）移项，得1.8t－0.3t＝30.
合并同类项，得1.5t＝30.
系数化为1，得t＝20.
第3课时 利用去括号解一元一次方程
1.了解“去括号”是解方程的重要步骤.
2.准确而熟练地运用去括号法则解带有括号的一元一次方程.
3.经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.
重点：用去括号法则正确解方程.
难点：用一元一次方程解决实际问题.
神话故事“哪吒闹海”家喻户晓，其中描写哪吒斗夜叉的场面：哪吒和夜叉真是各显神通，分身有术，斗得走石飞沙昏天暗地，只见八臂一头是夜叉，三头六臂是哪吒，三十六头难分辨，手臂缠绕百零八.试向看官问一句，几个夜叉几哪吒？设有x个哪吒，则有（36－3x）个夜叉，依题意有6x＋8（36－3x）＝108，你会解这个方程吗？
探究点一 利用去括号解一元一次方程
【例1】解下列方程：
（1）x－2（x－2）＝3x＋5（x－1）；
（2）7＋8＝3x－6.
【解】（1）去括号，得x－2x＋4＝3x＋5x－5.
移项，得x－2x－3x－5x＝－5－4.
合并同类项，得－9x＝－9.
系数化为1，得x＝1.
（2）去括号，得7＋6x－8＝3x－3＋4x.
移项，得6x－3x－4x＝－3－7＋8.
合并同类项，得－x＝－2.
系数化为1，得x＝2.
探究点二 利用去括号解方程的应用题
【例2】一架飞机在两城市之间飞行，风速为24km/h.若顺风飞行要2h，逆风飞行要3h.求两城市之间的距离.
【解析】利用两城市之间的路程一定，等量关系为顺风速度×顺风时间＝逆风速度×逆风时间，把相关值代入即可求解.
【解】设飞机在静风中的飞行速度为xkm/h.
根据题意列出方程，得（x＋24）×＝（x－24）×3，
解得x＝840.
3×（840－24）＝2448（km）.
答：两城市之间的距离为2448km.
1.在解方程3（x－1）－2（2x＋3）＝6时，去括号正确的是（ ）
A.3x－1－4x＋3＝6 B.3x－3－4x－6＝6
C.3x＋1－4x－3＝6 D.3x－1＋4x－6＝6
2.若代数式12－3（9－y）与代数式5（y－4）的值相等，则y＝ .
3.解方程：
（1）5x－2（3－2x）＝－3；
（2）2x＋3＝8（1－x）－5（x－2）.
第3课时 利用去括号解一元一次方程
1.解一元一次方程的步骤：
（1）去括号；（2）移项；（3）合并同类项；（4）系数化为1.
2.若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变.
本节课主要学习了去括号解方程步骤及方法，去括号时注意不要漏乘，注意符号的变化；本节课还利用所学知识解决了实际航行中的问题，明确航行问题中顺流速度、逆流速度、静水速度的相关解释，让学生明白了它们的意思，更好地理解它们之间的等量关系.
本节课让学生掌握了利用去括号解方程的方法.去括号时应注意的问题：（1）是否存在符号的变化问题，遇到“－”时，是否只改变了其中的第一项，而其他各项没有变号；（2）在利用乘法分配律时，是否将括号外的因数与括号里的每一项相乘.
答案
课堂训练
1.B 2.
3.解：（1）去括号，得5x－6＋4x＝－3.
移项，得5x＋4x＝－3＋6.
合并同类项，得9x＝3.
系数化为1，得x＝.
（2）去括号，得2x＋3＝8－8x－5x＋10.
移项，得2x＋8x＋5x＝8＋10－3.
合并同类项，得15x＝15.
系数化为1，得x＝1.
第4课时 利用去分母解一元一次方程
1.掌握含有分数系数的一元一次方程的解法.
2.熟练利用解一元一次方程的步骤解各种类型的方程.
3.会将含有分母的方程化归成熟悉的方程，逐步体会化归的方法，掌握解方程的程序化方法.
重点：会用去分母的方法解一元一次方程.
难点：探究通过去分母的方法解一元一次方程，归纳解一元一次方程的步骤.
毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯先生，请你告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答：“我的学生，现在有在学习数学，在学习音乐，沉默无言，此外，还有3名妇女.”算一算，毕达哥拉斯的学生有多少名？
探究点一 利用去分母解一元一次方程
【例1】解下列方程：
（1）－＝1；
（2）－＝.
【解】（1）去分母（方程两边乘6），得（x－1）－2（2x＋1）＝6.
去括号，得x－1－4x－2＝6.
移项，得x－4x＝6＋2＋1.
合并同类项，得－3x＝9.
系数化为1，得x＝－3.
（2）整理，得－＝.
去分母（方程两边乘30），得6（4x＋9）－10（3＋2x）＝15（x－5）.
去括号，得24x＋54－30－20x＝15x－75.
移项，得24x－20x－15x＝－75－54＋30.
合并同类项，得－11x＝－99.
系数化为1，得x＝9.
【方法总结】解方程应注意以下两点：①去分母时，方程两边同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号；②去括号、移项时要注意符号的变化.
探究点二 利用去分母解方程的应用题
【例2】某单位计划五一国际劳动节期间组织职工去旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租1辆，并且剩余40个座位.
（1）该单位参加旅游的职工有多少人？
（2）如果同时租用这两种客车若干辆，那么有没有可能使每辆客车刚好坐满？若有可能，请直接写出两种客车各租多少辆.
【解析】（1）先设该单位参加旅游的职工有x人，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；（2）可根据租用两种汽车时，先假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求解即可.
【解】（1）设该单位参加旅游的职工有x人.
由题意，得－＝1，解得x＝360.
答：该单位参加旅游的职工有360人.
（2）有可能.租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满.
1.方程－＝1去分母，得（ ）
A.2x－1－x＋1＝6
B.3（2x－1）－2（x＋1）＝6
C.2（2x－1）－3（x＋1）＝6
D.3x－3－2x－2＝1
2.解方程：
（1）＝；（2）＋＝2－.
第4课时 利用去分母解一元一次方程
1.解含有分母的一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
2.利用一元一次方程解决实际问题.
本节课主要学习了去分母解方程的方法，其依据是等式的性质2，注意等式两边同乘所有分母的最小公倍数，总结出解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
本节课通过一个简单的例子让学生明白去分母是解一元一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而使方程的计算更加简便.在利用去分母解方程时，发现学生还存在以下问题：①不会找各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘方程两边的项时，漏乘不含分母的项；③当减式中的分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号.
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）去分母（方程两边乘15），得－3（x－3）＝3x＋4.
去括号，得－3x＋9＝3x＋4.
移项，得－3x－3x＝4－9.
合并同类项，得－6x＝－5.
系数化为1，得x＝.
（2）去分母（方程两边乘12），得4（5y＋4）＋3（y－1）＝24－（5y－5）.
去括号，得20y＋16＋3y－3＝24－5y＋5.
移项，得20y＋3y＋5y＝24＋5－16＋3.
合并同类项，得28y＝16.
系数化为1，得y＝.
5.3 实际问题与一元一次方程
第1课时 配套问题、工程问题
1.理解配套问题、工程问题的背景.
2.分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.
3.掌握用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
4.体会一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想的应用意识.
重点：将实际问题抽象为数学问题，列方程解应用题.
难点：确定实际问题中的等量关系.
某市要修一条公路，公路大约长120km.现有甲、乙两个工程队想要承包该工程，甲工程队说：“包给我们，保证30天完成.”乙工程队说：“包给我们，保证20天就完成.”若甲、乙两个工程队合作，则需要多少天完成？
探究点一 产品配套问题
【例1】机械厂加工车间有68名工人，每人每天可以加工16个大齿轮或10个小齿轮.若2个大齿轮与3个小齿轮刚好配成一套，则分别需要安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大、小齿轮刚好配套？
【解】设需要安排x名工人加工大齿轮，则安排（68－x）名工人加工小齿轮.
根据题意，得3×16x＝2×10×（68－x），
解得x＝20，则68－x＝68－20＝48.
答：需要安排20名工人加工大齿轮，48名工人加工小齿轮.
【方法总结】解决配套问题的思路：利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据.
探究点二 工程问题
【例2】加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙单独做只要10天就能完成任务.
（1）现在要求二人在12天内完成任务，则乙需加工几天后，甲再继续加工才可正好如期完成任务？
（2）若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工恰好能如期完成任务？
【解】（1）设乙需加工x天后，甲再继续加工才可正好如期完成任务，则甲做了（12－x）天.
依题意，得（12－x）＋x＝1，解得x＝8.
答：乙需加工8天后，甲再继续加工才可正好如期完成任务.
（2）设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先加工了（8－x）天.
依题意，得（8－x）＋x＝1，
解得x＝4，则8－x＝4.
答：乙先加工4天后，甲加入合作加工恰好能如期完成任务.
1.某人一天能加工50个甲种零件或加工20个乙种零件，1个甲种零件与2个乙种零件配成1套.求30天最多可制作的成套产品的数量.若设x天加工甲种零件，则可列方程为 .
2.一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独施工24天完成.现在甲、乙两队共同施工3天，甲因另有任务，剩下的工程由乙队完成.问乙队还需几天才能完成.
第1课时 配套问题、工程问题
1.配套问题：找出等量关系.
2.工程问题：
（1）工程总量＝效率×时间；
（2）各部分的工程和＝工程总量＝1.
本节课主要学习了如何分析复杂问题中的数量关系和等量关系，会列一元一次方程解决有关工程问题、产品配套问题、人员调配问题的应用题，会设关于比例问题的未知数.
通过本节课的学习，让学生开展观察、探索、交流、反思等活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.教学过程中，引导学生学会找出实际问题中的等量关系，并能依据这些等量关系列出方程，使学生掌握运用一元一次方程解决实际问题的基本过程.
答案
课堂训练
1.2×50x＝20（30－x）
2.解：设乙队还需x天才能完成.
由题意，得×3＋（3＋x）＝1，
解得x＝13.
答：乙队还需13天才能完成.
第2课时 打折销售问题
1.理解商品销售中的相关概念及数量关系.
2.根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题，并掌握解此类问题的一般思路.
3.通过调查、体验和分析，充分感受身边的数学，尝试用数学的眼光分析生活中的打折现象，理性消费.
重点：理解商品销售中的进价、售价、标价、折扣、利润、利润率等数量之间的关系.
难点：根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.
一批服装的进价是每件50元，先按成本价提高60％销售，后来又按标价的八折进行销售.请你帮老师计算一下，这批服装在打完折后还能赚到钱吗？
探究点一 打折销售问题
【例1】某商品的零售价为每件900元，商店按零售价打九折（原价的90％），并再让利40元销售，仍可获利10％.求该商品的进价.
【解】设该商品的进价为每件x元.
依题意，得900×0.9－40＝10％x＋x，
解得x＝700.
答：该商品的进价为每件700元.
【方法总结】（1）在解决实际问题时，要认真审题，如不打折时，售价＝标价；打折时，售价＝标价×折扣率.（2）在上面的公式中，只要知道其中的两个量，便能求出另一个量.
探究点二 盈亏问题
【例2】新华书店某天销售完甲、乙两种书籍，甲种书籍卖得1500元，乙种书籍卖得1260元.若按两种书籍的进价分别计算，甲种书籍盈利25％，乙种书籍亏损10％，则该书店这一天卖这两种书籍总计是盈利还是亏损？
【解析】两种书籍共卖了1500＋1260＝2760（元），是盈利还是亏损要看这家书店进这两种书时花了多少钱，如果进价大于售价就亏损，反之就盈利.
【解】设购进甲种书籍x元，购进乙种书籍y元.
由题意，得x＋25％x＝1500，y－10％y＝1260，
解得x＝1200，y＝1400.
两种书籍的总进价是1200＋1400＝2600（元），
而两种书籍的总售价是1500＋1260＝2760（元），
总售价－总进价＝2760－2600＝160（元）.
答：该书店这一天卖这两种书籍共盈利160元.
1.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，那么将亏损25元；如果按原定价的九折出售，那么将盈利20元.这种商品的原价是（ ）
A.500元 B.400元 C.300元 D.200元
2.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5％.该商店最低可以打几折出售此商品？
第2课时 打折销售问题
销售问题中的两个基本关系式：
（1）商品利润＝商品售价－商品进价；
（2）商品利润率＝×100％.
本节课学习了有关销售的实际问题，基本数量关系有商品利润＝商品售价一商品进价，商品利润率＝×100％.以上等式两边还可以适当地进行变形.列方程解决实际问题的思路是（1）审题，弄清题意；（2）找出数量之间的基本关系：找出能够表示本题含义的相等关系；（3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，用未知数表示出相关数量的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程；（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值；（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案.
本节课从和我们生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在实际生活中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣.根据“实际售价＝进价＋利润”等数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.审清题意，找出等量关系是解决问题的关键.另外，在解决商品经济类
型的问题时，老师应帮助学生看到与其他问题的相似性，这样学生才能触类旁通、举一反三，灵活地运用有关的公式解决实际问题.
答案
课堂训练
1.C
2.解：设该商店最低可以打x折出售此商品.
根据题意，得1500×＝1000（1＋5％），
解得x＝7.
答：该商店最低可以打七折出售此商品.
第3课时 球赛积分问题
1.通过对实际问题的探究，认识到生活中数据信息传递形式的多样性.
2.会阅读、理解表格，并从表格中提取关键信息.
3.掌握解决“球赛积分”问题的一般思路，并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断.
重点：引导学生弄清题意，回答出各类问题的答案.
难点：如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题.
某次男篮联赛常规赛最终积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
前进 14 10 4 24
东方 14 10 4 24
光明 14 9 5 23
蓝天 14 9 5 23
雄鹰 14 7 7 21
远大 14 7 7 21
卫星 14 4 10 18
钢铁 14 0 14 14
问题1：从这张表格中，你能得到什么信息？
问题2：这张表格中的数据之间有什么样的数量关系？
问题3：请你说出积分规则（即胜1场积几分，负1场积几分）.你是怎样知道这个比赛的积分规则的？
探究点一 球类比赛中的积分问题
【例1】某赛季篮球联赛部分球队积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜场 负场 积分
A 22 18 4 40
B 22 14 8 36
C 22 7 15 29
D 22 0 22 22
（1）列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；
（2）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？为什么？
【解析】（1）如果某队胜x场，根据比赛场次为22，那么可得出负（22－x）场，再根据总积分＝胜场积分＋负场积分即可求解；（2）根据等量关系即某队的胜场总积分能等于它的负场总积分列出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可.
【解】观察积分榜，从最下面一行可知负1场积1分.设胜1场积x分，从表中其他任意一行可以列方程，求出x的值.例如，从第一行得出方程：
18x＋1×4＝40，解得x＝2，
所以负1场积1分，胜1场积2分.
（1）如果一个队胜m场，那么负（22－m）场，胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为2m＋（22－m）＝m＋22.
（2）不能.理由：设某队胜了x场，则负了（22－x）场.
如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，那么有方程2x＝22－x，解得x＝.
因为x（胜场）的值必须是整数，所以x＝不符合实际.由此可以判定没有哪个队伍的胜场总积分能等于它的负场总积分.
探究点二 学习竞赛中的积分问题
【例2】某次知识竞赛共20道题，每答对1道题得8分，答错或不答扣3分.某选手在这次竞赛中共得116分，那么他答对了几道题？
【解】设他答对了x道题，则有（20－x）道题答错或不答.
由题意，得8x－（20－x）×3＝116，
解得x＝16.
答：他答对了16道题.
1.某足球队参加比赛，开局9场保持不败，积21分.若比赛规则为胜1场得3分，平1场得1分，则该队共胜（ ）
A.4场 B.5场
C.6场 D.7场
2.某中学七年级举行足球赛，规定胜1场记3分，平1场记1分，负1场记0分.七（2）班在比赛中共积16分，其中胜的场数与平的场数相同，负的场数比胜的场数多1.问七（2）班在比赛中共负了多少场.
第3课时 球赛积分问题
球赛积分问题中的等量关系式：
（1）比赛场数＝胜场数＋负场数＋平场数；
（2）总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分.
本节课主要学习了球赛积分问题，其中的等量关系是总积分等于胜、负、平场数乘它们的单场积分的和.学会从不同形式中获取有关信息，从而列出一元一次方程求解.在对问题进行判断时，需要进行定量分析，运用一元一次方程得出解后，不但要判断该解是否为方程的解，还需判断该解是否符合实际意义.
本节课主要是借球赛积分问题学习数学知识.本节课进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题，重点是建立实际问题的方程模型.通过探究活动，进一步感受到一元一次方程与实际生活的密切联系，加强数学建模思想，提高运用一元一次方程分析和解决问题的能力.
答案
课堂训练
1.C
2.解：设七（2）班在比赛中胜了x场，则平了x场，负了（x＋1）场.
依题意，得3x＋x＝16，
解得x＝4，
所以x＋1＝5.
答：七（2）班在比赛中共负了5场.
第4课时 分段计费问题、方案决策问题
1.体会分类思想和方程思想在解决问题中的作用，能够根据已知条件选择分类关键点对“电话计费”问题进行整体分析，从而得出整体选择方案.
2.进一步深化对数学建模方法的体验，增强应用方程模型解决问题的意识和能力.
重点：体验建立方程模型解决问题的一般过程.
难点：体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力.
某市为了鼓励市民节约用水，制定了以下水费收费标准：每月用水量分为标准内和标准外两部分，每月用水量在标准内按每吨1.96元收费；在标准外按每吨2.94元收费.6月份张三家用水12t，交水费27.44元，你能算出该市每月标准用水量是多少吨吗？
探究点一 分段计费问题
【例1】为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如下表：
档次 每户每月用电量/kW·h 执行电价/（元/kW·h）
第一档 小于等于200 0.55
第二档 大于200小于400 0.6
第三档 大于等于400 0.85
例如：一户居民七月份用电420kW·h，则需缴电费420×0.85＝357（元）.某户居民五、六月份共用电500kW·h，缴电费290.5元.已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400kW·h.问该户居民五、六月份分别用电多少.
【解析】由某户居民五、六月份共用电500kW·h，就可以得出该户居民每月用电量不可能都在第一档，再分情况讨论，分别建立方程求出其解即可.
【解】当五月份用电量为xkW·h≤200kW·h时，六月份用电量为（500－x）kW·h.
由题意，得0.55x＋0.6×（500－x）＝290.5，
解得x＝190，
所以六月份用电500－190＝310（kW·h）；
当五月份用电量为xkW·h＞200kW·h时，六月份用电量为（500－x）kW·h.
由题意，得0.6x＋0.6×（500－x）＝290.5，
方程无解，
所以该情况不符合题意.
答：该户居民五、六月份分别用电190kW·h，310kW·h.
【方法总结】此类问题通常与现行阶梯电费、水费相结合，逆向设置条件：在阶梯电价（水价）的规则上，已知电（水）费，求用电（水）量.解决此类问题的一般步骤：（1）理解题意，找出已知和未知；（2）验算收费是在哪一阶段内；（3）根据这一阶段的收费规则列出方程；（4）解方程并检验解的合理性；（5）作答.
探究点二 方案决策问题
【例2】某校七年级准备观看电影《长津湖》，由各班班长负责买票，每班观看电影的人数都多于40，票价为每张30元，售票员告知40人以上的团体票有两种优惠方案可选择，具体方案如下：
方案一：全体人员可打八折；
方案二：打九折，有5人可免票.
（1）若七（2）班有42名学生要观看电影，则该班班长应选择哪个方案？
（2）七（1）班班长思考一会儿说，我们班无论选择哪种方案要付的钱数都是一样的，你知道七（1）班有多少人吗？
【解析】（1）分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可；（2）设七（1）班有x人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可.
【解】（1）方案一的花费为42×30×0.8＝1008（元），
方案二的花费为（42－5）×0.9×30＝999（元）.
因为999＜1008，
所以七（2）班班长应选择方案二.
（2）设七（1）班有x人.
根据题意，得30x×0.8＝（x－5）×0.9×30，
解得x＝45.
故七（1）班有45人.
1.小明所在城市的“阶梯水价”收费标准如下：每户用水不超过5t，每吨收费x元；超过5t，超过部分每吨加收2元.小明家今年5月份用水9t，共交水费44元.根据题意列出方程是（ ）
A.5x＋4（x＋2）＝44 B.5x＋4（x－2）＝44
C.9（x＋2）＝44 D.9（x＋2）－4×2＝44
2.某水果批发商从外地购进一批新鲜水果，准备运回当地销售.甲物流公司的收费方式是起步价2000元，每千米另收5元油费；乙物流公司的收费方式是起步价1000元，每千米另收10元油费.当运输路程为 km时，两家公司的收费相同.
第4课时 分段计费问题、方案决策问题
1.分段计费问题
2.方案决策问题
本节课主要学习了列一元一次方程解决分段计费及方案决策问题，解决此类问题的关键是根据条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
本节课的探究问题主要是方案选择问题，本节课的问题情境和实际情况联系密切，要解决的问题比较复杂，学生必须有这方面的生活经验才能达到不错的效果，但是学生年龄小且缺少生活经验，所以必须在教师的引导下才能更好地去探究.针对教材中的探究问题，设计小问题逐步引导学生找出方案选择问题中不同方案中的各个数量，以及数量之间的基本关系.对不同方案中的计费按不同的时间段进行分类讨论，培养学生分类讨论思想，增强学习的积极主动性，使学生的知识得到巩固的同时，也使其生活经验，学习方法等得到积累，从而提高学生自主学习的能力.
答案
课堂训练
1.A 2.200
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