人教版（2024）七年级数学上册 第六章 几何图形初步 教案

6.1　几何图形
6.1.1　立体图形与平面图形
第1课时　立体图形与平面图形
1.能从简单实物的外形中抽象出几何图形，并了解立体图形与平面图形的区别.
2.会判断一个图形是立体图形还是平面图形，能准确识别简单几何体.
重点：识别一些基本几何体.
难点：了解从物体的外形抽象出的立体图形、平面图形、线段和点的概念.
观察实物及欣赏图片：
我们生活在一个图形的世界中，图形世界是多姿多彩的，其中蕴含着大量的几何图形.本节我们就来研究图形问题.
探究点一　立体图形
类型一　认识从实物图中抽象出的立体图形
【例1】如图，下列生活物品中，从整体上看，形状是圆柱的是（）
A B
C D
【解析】圆柱的上下底面都是圆形，从侧面看是长方形，所以正确的是A.
【答案】A
类型二　立体图形的名称与分类
【例2】下面有8个立体图形.
其中，是柱体的是　　　　；是锥体的是　　　　；是球的是　　　　.（填序号）
【解析】分别根据柱体、锥体、球的定义可得出结论.
【解】①②⑤⑦⑧　④⑥　③
探究点二　由平面图形组成的图形
【例3】下列各图形主要由哪些简单的平面图形组成的？
【解】①由5个圆组成；②由2个正方形和1个长方形组成；③由3个平行四边形组成.
下列几何体中，属于棱锥的是（　　）
A.①⑤ B.①
C.①③ D.③⑤
2.观察图中的立体图形，分别写出它们的名称.
第1课时　立体图形与平面图形
1.几何图形的认识
2.认识立体图形与平面图形
几何图形
本节课主要学习了：（1）几何图形是从实际物体中抽象出来的，它包括立体图形和平面图形；（2）立体图形、平面图形的概念；（3）懂得区别立体图形和平面图形，会正确判断立体图形和平面图形的实物形象；（4）知道平面图形在立体图形中的位置.
　　本节课联系生活实际，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，使学生以最佳状态投入到学习当中.通过实践培养学生的动手操作能力，同时也加深了学生对立体图形和平面图形的认识，使学生在讨论交流的基础上总结出立体图形和平面图形的特征.从图片的观察到实物的演示，培养了学生的实践能力.
答案
课堂训练
1.B
2.球　六棱柱　圆锥　正方体
第2课时　从不同方向看物体
1.了解立体图形与平面图形之间的联系.
2.能画出简单立体图形从不同方向看得到的平面图形.
重点：从不同角度观察几何体.
难点：画出简单立体图形从不同方向看得到的平面图形.
《题西林壁》
苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同.
不识庐山真面目，只缘身在此山中.
诗中描绘出诗人面对庐山所看到的两幅不同的画面，“横看成岭侧成峰”一句中，蕴含了怎样的数学道理？
探究点一　判断从不同的方向看到的图形
【例1】如图，右面三幅图分别是从哪个方向看这个棱柱得到的？
【解】如图所示.
探究点二　画从不同的方向看到的图形
【例2】如图所示的是由五个小立方体构成的立体图形，请你分别画出从它的前面、左面、上面三个方向看所得到的平面图形.
【解析】从前面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有1，1，2个小正方形；从左面看所得到的图形，从左往右有两列，分别有2，1个小正方形；从上面看所得到的图形，从左往右有三列，分别有2，1，1个小正方形.
【解】如图所示.
【方法总结】画出从不同的方向看物体的形状的方法：首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，其中看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分的轮廓线通常画成虚线.
1.一立体图形从前面、上面看到的图形如图所示，则该立体图形从左面看到的图形应是（　　）第1题图
A B C D
2.如图，一本书上放着一个粉笔盒，指出下面三个平面图形分别是从哪个方向上所看到的.
第2课时　从不同方向看物体
从不同的方向观察立体图形
（1）判断从不同的方向看到的图形；
（2）根据从不同的方向看到的图形判断几何体的形状.
本节课主要学习了画出从不同方向看一些常见的立体图形所得到的平面图形，根据从不同方向看一个立体图形得到的平面图形，想象并描述它的形状.
　　在教学过程中，引导学生从实际生活入手，通过观察、发现、归纳画出从不同方向观察物体所得的平面图形，加强学生对知识的理解、应用，学生在观察操作、动脑思考、反复验证等过程中较好地掌握从三个方向观察立体图形的方法.
答案
课堂训练
1.B　2.左面　上面　前面
第3课时　立体图形的展开图
1.了解研究立体图形的展开图的方法，体会一个立体图形按照不同方式展开可得到不同的平面展开图.
2.通过展开与折叠，了解棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、长方体、正方体的表面展开图，并根据展开图判断立体图形.
3.体会立体图形与平面图形相互转化的关系.
重点：了解一些简单立体图形的展开图.
难点：根据展开图想象几何体.
自己动手把一个包装盒剪开铺平，看看它的展开图由哪些平面图形组成；再把展开的纸板复原为包装盒，体会包装盒与它的展开图之间的关系.
探究点一　正方体的展开图
【例1】下面四个图形是如图所示的正方体的表面展开图的是（）
【解析】B，C选项中“◆”“●”是对面，与原图不符；而D选项折叠后，前面为“★”，上面为“◆”时，“●”在左面，而不在右面.因此只有A选项符合题意.
【答案】A
【方法总结】巧记正方体的展开图口诀：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁，十一类图记分明；一四一呈6种，二三一有3种，二二二与三三各1种；对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”.
探究点二　由展开图判断几何体
【例2】下面的展开图能拼成如图所示的立体图形的是（）
【解析】立体图形是三棱柱，展开图应该是三个长方形和两个三角形，两个三角形位于三个长方形两侧.A选项折叠后两个长方形重合，故排除；C选项折叠后三角形都在一侧，故排除；D选项中有三个三角形，且折叠后长方形重合，故排除.
【答案】B
1.下列图形中，不是正方体表面展开图的是（　　）
　　2.将正确答案的序号填在横线上.
　　圆柱的展开图是　　　　，圆锥的展开图是　　　　，三棱柱的展开图是　　　　.
第3课时　立体图形的展开图
立体图形的展开图：
（1）几何体的展开图；
（2）由展开图判断几何体.
本节课主要内容是立体图形相应展开图的概念，知道一些简单立体图形的展开图，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、三棱柱等.一个立体图形有不止一种的展开图形状.
　　本节课通过丰富的实例和身边的物体进入课堂教学，淡化数学的枯燥感，激励学生参与，力求体现新课程的教学理念.学生在观察操作、动脑思考、反复验证等过程中，对立体图形的表面展开图也有了深刻的认识，掌握了立体图形与平面图形之间的转化关系，学生的思维能力和动手能力也得到了进一步的提高.
答案
课堂训练
1.C　2.④　⑥　③
6.1.2　点、线、面、体
1.知道点、线、面、体是构成几何图形的元素，进一步认识点、线、面、体的几何特征.
2.知道点、线、面、体之间的关系.
重点：认识点、线、面、体的几何特征，感受它们之间的关系.
难点：了解点、线、面、体之间的关系.
观察下图，手枪射出的子弹给人是点的形象，那么这个子弹的轨迹是什么图形？扇子合起来是直线的形象，那么打开后给人是什么形象？一个长方形是一个面，那么它沿着一条边旋转一圈后可以形成什么图形？这些说明了点、线、面、体之间存在着怎样的关系？你还能从生活中举例出类似的例子吗？
探究点一　图形构成的元素
【例1】观察下列图形，回答问题：
（1）图①和图②中各有几个顶点？
（2）图②是由几个面构成的？这些面有什么特征？
（3）图①中共形成了多少条线？这些线都是直的吗？图②呢？
【解】（1）图①中有8个顶点，图②中只有1个顶点.
（2）图②是由2个面构成的，1个是平面，1个是曲面.
（3）图①中共形成了12条线，这些线都是直的；图②中只有1条线，是曲线.
探究点二　由点、线、面运动而形成的图形
【例2】粉刷墙壁时，粉刷工人用滚筒在墙上刷过几次后，墙壁马上换上了“新装”.在这个过程中，你认为下列判断正确的是（）
A.点动成线 B.线动成面
C.面动成体 D.面与面相交得到线
【解析】点动成线，线动成面，将滚筒看作线，在运动过程中形成面.
【答案】B
探究点三　判断旋转后的图形形状
【例3】下列选项中，旋转一周能形成如图所示的几何体的是（）
【解析】根据面动成体，可得A选项旋转一周能形成圆台这个几何体.
【答案】A
1.如图所示，将该平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（　　）
A.球 B.圆柱
C.半球 D.圆锥
2.笔尖在纸上快速滑动写出了一个又一个字，这说明了　　　　　　；自行车车轮旋转时，看起来像一个整体的圆面，这说明了　　　　　　；直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一个圆锥，这说明了　　　　　　.
6.1.2　点、线、面、体
包围着体的是面，面与面相交成线，线与线相交成点.
点：构成图形的基本元素
线：点动成线
面：线动成面
体：面动成体
本节课主要内容有（1）点、线、面、体的概念；常见的立体图形有正方体、长方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等；常见的平面图形有长方形、正方形、圆形、三角形、梯形等；平面与曲面（如圆柱体的侧面等）、直线与曲线（如圆柱体底面与侧面的分界处等）的辨别.（2）点、线、面、体的关系：点动成线，线动成面，面动成体.
　　通过本节课的学习，引导学生观察生活中美妙的画面，激发学生的学习兴趣，对点、线、面、体的知识有了初步的认识.在学习中注重让学生主动参与学习活动，观察感受、亲身经历，体验图形的变化过程，通过自主探究、合作学习，感悟知识的生成、变化、发展，激发学生的联想与再创造能力.
答案
课堂训练
1.A
2.点动成线　线动成面　面动成体
6.2　直线、射线、线段
6.2.1　直线、射线、线段
1.掌握“两点确定一条直线”的基本事实，了解点和直线的位置关系.
2.进一步认识直线、射线、线段，会用正确的方法表示直线、射线、线段.
3.理解直线、射线、线段的区别与联系.
4.能根据语句画出相应的图形，会用语句描述简单的图形，在图形的基础上发展数学语言.
重点：1.了解直线、射线、线段的联系与区别；
2.能正确表示直线、射线、线段；
3.建立几何语句与图形之间的联系.
难点：能够把几何图形、语句表示、符号书写很好地联系起来.
探究生活中的平面图形：绷紧的琴弦、手电筒射出的光线、笔直的铁轨等生活中常见的图形.我们在小学已经学过了线段、射线和直线，它们分别可以和图中的哪个事物近似对应？
探究点一　直线的性质
【例1】小红家买了一套新房，她想在自己房间的墙上钉一根细木条，挂上自己喜欢的装饰物.若小红要使细木条固定，则至少需要的钉子数是（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】根据两点确定一条直线，可知小红至少需要2颗钉子才能使细木条固定.
【答案】B
探究点二　线段、射线和直线的表示方法
【例2】下列说法：（1）直线AB与直线BA是同一条直线；（2）射线AB与射线BA是同一条射线；（3）线段AB与线段BA是同一条线段；（4）射线AC在直线AB上；（5）线段AC在射线AB上.其中正确的有（　　）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
【解析】根据线段、射线和直线的表示方法进行判断，正确的有（1）（3），共2个.
【答案】A
探究点三　点与直线的关系
【例3】根据题意画出符合要求的图形，并指出其中哪个是“三条直线两两相交”（任意两条直线都相交，叫做两两相交）.
（1）直线a，b相交于点C，直线b，c相交于点A，直线a，c相交于点B；
（2）直线a，b，c都经过点O；
（3）直线a与直线b，c分别交于A，B两点，而直线b，c不相交.
【解】如图①②③所示，其中图①②所示的是“三条直线两两相交”.
1.如图，下列说法正确的是（　　）第1题图
A.点O在射线AB上
B.B是直线AB的一个端点
C.射线OB和射线AB是同一条射线
D.点A在线段OB上
2.根据下列要求画图：①延长直线AB至点C；②延长射线AB至点C；③反向延长射线AB至点C；④延长线段AB至点C；⑤反向延长线段AB至点C.其中，正确的要求有（　　）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
6.2.1　直线、射线、线段
1.直线的性质
（1）两点确定一条直线；
（2）两条直线相交只有一个交点.
2.线段、射线、直线的表示
（1）线段：两端点，有长度；
（2）射线：一端点，无长度；
（3）直线：无端点，无长度.
本节课主要学习了直线、射线、线段的联系和区别，知道了它们的表示方法；结合实例，了解了两点确定一条直线的性质，并学会初步应用.
　　教师在教学时要体现新课程的三维目标，引导学生通过观察、分析，认识直线、射线和线段，掌握它们之间的联系与区别，有效地利用学生已有的旧知来教导学生学习新知.
答案
课堂训练
1.D　2.C
6.2.2　线段的比较与运算
1.会用尺规作图画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.
2.理解线段等分点的意义.
3.能够运用线段的和、差、倍、分的关系求线段的长度.
4.体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化关系.
5.了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用.
重点：线段的有关计算.
难点：线段的长短比较、线段中点的应用及两点之间的距离.
比一比.
　　若想比较两名同学的身高，可以有几种比较方法？向大家说说你的想法.
探究点一　线段的尺规作用和计算
类型一　尺规作用
【例1】如图，已知线段a，b（a＞b），按要求用尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）.
（1）求作线段c，使c＝a－b；
（2）求作线段d，使d＝2a＋b.
【解】（1）如图所示，线段AD即为所求作的线段c.
（2）如图所示，线段AB即为所求作的线段d.
类型二　根据线段的中点求线段的长
【例2】如图，AB＝12cm，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点.求线段AD的长.
【解析】先根据AB＝12cm，C是线段AB的中点，求出AC和CB的长，再根据D是线段CB的中点，求出CD的长，最后将AC和CD相加即可.
【解】因为AB＝12cm，C是线段AB的中点，
所以AC＝CB＝AB＝×12＝6（cm）.
又因为D是线段CB的中点，
所以CD＝CB＝×6＝3（cm），
所以AD＝AC＋CD＝6＋3＝9（cm）.
类型三　已知线段的比求线段的长
【例3】如图，B，C是线段AD上的两点，且AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝24.求线段AB，BC，CD的长.
【解析】根据已知条件AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，不妨设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，然后运用线段的和、差、倍、分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
【解】设AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x.
因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以EB＝AB＝x，CF＝CD＝x，
所以EF＝EB＋BC＋CF＝x＋2x＋x＝6x.
又因为EF＝24，所以6x＝24，解得x＝4，
所以AB＝3x＝12，BC＝2x＝8，CD＝5x＝20.
【方法总结】求线段的长度时，当题目中涉及线段长度的比或倍、分关系时，通常可以设未知数，运用方程思维求解.
类型四　当图形不确定时求线段的长
【例4】A，B，C三点在同一直线上，线段AB＝5cm，BC＝4cm，那么A，C两点的距离是（　　）
A.1cm B.9cm
C.1cm或9cm D.以上答案都不对
【解析】分以下两种情况进行讨论：当点C在线段AB上时，AC＝AB－BC＝1cm；当点C在AB的延长线上时，AC＝AB＋BC＝9cm.
【答案】C
【方法总结】当图形不确定时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在该线段上；点在该线段的延长线上.
探究点二　有关线段的基本事实
【例5】如图，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的根据是（　　）
A.两点之间，直线最短
B.两点确定一条线段
C.两点确定一条直线
D.两点之间，线段最短
【解析】把弯曲的河道改直，能缩短航程的根据是两点之间，线段最短.
【答案】D
1.下列四个生活中的现象：
①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短距离.
其中可以用“两点之间，线段最短”来解释的现象是（　　）
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
2.如图所示，线段AB＝3.
（1）作图：延长线段AB到点C，使BC＝2AB；
（2）在（1）的基础上，若M，N分别为线段AB，BC的中点，求线段MN的长.
6.2.2　线段的比较与运算
1.线段长度的比较：度量法和叠合法.
2.线段长度的计算
（1）中点：把线段AB分成两条相等的线段的点；
（2）两点间的距离：两点间线段的长度.
3.线段的性质：两点之间，线段最短.
本节课主要学习了画已知线段的尺规作图法；用圆规比较两条线段大小的方法为叠合法；用数学符号来表示线段之间的和差关系；线段的中点、三等分点等概念，用数学符号表示线段的倍、分关系，以及如何运用这些概念和关系进行线段长度的计算.
　　本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考，从而引出课题，激发了学生的学习兴趣；然后通过动手操作、亲身体验等活动用叠合法比较线段的长短.教师要尝试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价.通过评价，激发学生的求知欲，坚定学生学习的自信心.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）如图①所示.
（2）如图②所示.
因为AB＝3，BC＝2AB，
所以BC＝6.
因为M，N分别为线段AB，BC的中点，
所以BM＝AB＝1.5，BN＝BC＝3，
所以MN＝BM＋BN＝4.5.
6.3　角
6.3.1　角
1.理解角的两种定义和相关概念，掌握角的表示方法.
2.认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算.
3.了解方位角的概念，并能用方位角的知识解决一些简单的实际问题.
重点：1.认识角的概念与角的表示方法；
2.方位角的判别及应用.
难点：正确理解角的概念.
观察下面实物，你发现这些实物有什么共同特点？
探究点一　角的定义及表示方法
类型一　角的定义
【例1】下列关于角的说法正确的有（　　）
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③在角一边的延长线上取一点D；
④角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】角是由有公共端点的两条射线组成的图形，①错误；角的大小只与角的开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，②错误；角的边是射线，不能延长，③错误；角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，④正确.故正确的只有1个.
【答案】A
类型二　角的表示方法
【例2】下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　）
A B
C D
【解析】在角的顶点处有多个角时，用一个字母表示这个角，这种方法是错误的，所以A，C，D选项错误.
【答案】B
探究点二　度、分、秒的互化
【例3】计算：
（1）57.32°＝　　　　°　　　　'　　　　″；
（2）17°6'36″＝　　　　°.
【解析】（1）57.32°＝57°＋0.32×60'＝57°＋19.2'＝57°19'＋0.2×60″＝57°19'12″；（2）17°6'36″＝17°＋6'＋'＝17°＋6.6'＝17°＋°＝17.11°.
【解】（1）57　19　12　（2）17.11
【方法总结】度、分、秒的互化分成以下两种情况：①按1°＝60'，1'＝60″，先把度化成分，再把分化成秒（小数化整数）；②按1″＝'，1'＝°先把秒化成分，再把分化成度（整数化小数）.
探究点三　方位角的有关计算
【例4】如图，A地和B地都是海上观测站，在A地发现它的北偏东60°方向有一艘船，同时，在B地发现这艘船在它的北偏东30°方向.请在图中确定这艘船的位置.
【解】如图所示.
如图所示，OA是北偏东30°方向的一条射线.若射线OB与射线OA的夹角是90°，则OB的方位角是（　　）
A.北偏西30° B.北偏西60°
C.北偏东30° D.北偏东60°
6.3.1　角
1.角的概念
（1）有公共端点；
（2）两条射线.
2.角的表示方法
3.度、分、秒的换算
1°＝60'，1'＝60″.
4.方位角
本节课主要学习了角的两种概念，掌握角的表示方法，认识角的单位，会进行度、分、秒之间的换算，了解方位角的概念，并能用方位角的知识解决实际问题.
　　本节课的教学从学生熟悉的实物出发，点出课题，引导学生明确角的初步概念.在本节课中角的表示方法是个难点，应针对不同的图形增加练习，让学生掌握这种表示方法.另外对于角度单位的换算，应明确单位之间的进率与时、分、秒单位之间的进率相同，在换算时典型题多练习、多指导，有针对性地设计例题、习题，从而完成教学目标.
答案
课堂训练
B
6.3.2　角的比较与运算
1.掌握角的大小的比较方法.
2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相关问题.
3.经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程，积累活动经验，培养动手操作的能力.
重点：角的比较和角平分线的定义.
难点：角的和差与画法.
有一天聪聪和明明各带了一把折扇（如图）.
下面是他们的一段对话：
聪聪：“我的折扇张开大一些，所以我的折扇的角也大一些”.
明明：“我的折扇长一些，所以我的折扇的角也大一些”.
同学们有办法帮他们进行判断吗？
探究点一　角的比较
【例1】如图，射线OC在∠AOB的内部，射线OD在∠AOB的外部，下列选项错误的是（　　）
A.∠AOB＜∠AOD B.∠BOC＜∠AOB
C.∠COD＜∠AOD D.∠AOB＜∠AOC
【解析】因为∠AOB的边OA与∠AOD的边OA重合，OB在∠AOD内，所以∠AOB＜∠AOD，A选项结论正确，但不符合题意；同理B，C选项结论正确，但不符合题意；因为∠AOB的边OA和∠AOC的边OA重合，OC在∠AOB内，所以∠AOB＞∠AOC，D选项结论错误，符合题意.
【答案】D
探究点二　角度的有关计算
类型一　利用角平分线进行角度的计算
【例2】如图所示，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC.如果∠AOB＝88°，∠BOC＝36°，求∠DOE的度数.
【解析】由角的和差与角平分线的定义计算即可得出答案.
【解】因为∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，
∠AOB＝88°，∠BOC＝36°，
所以∠AOC＝88°＋36°＝124°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠COE＝∠AOC＝62°.
因为∠COE＝∠BOE＋∠BOC，
所以∠BOE＝62°－36°＝26°.
又因为OD平分∠BOC，
所以∠BOD＝∠BOC＝18°.
因为∠DOE＝∠BOE＋∠BOD，
所以∠DOE＝26°＋18°＝44°.
类型二　利用三角板叠合进行角度的计算
【例3】将一副三角板的直角顶点重合放置于点A处（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（）
A.∠BAE＞∠DAC
B.∠BAE－∠DAC＝45°
C.∠BAE＋∠DAC＝180°
D.∠BAD≠∠EAC
【解析】因为是直角三角板，所以∠BAC＝∠DAE＝90°，
所以∠BAD＋∠DAC＋∠CAE＋∠DAC＝180°，
即∠BAE＋∠DAC＝180°.
【答案】C
探究点三　度、分、秒的运算
【例4】计算：
（1）120°－38°41'； （2）67°31'＋48°49'；
（3）20°30'×8； （4）106°6'÷5.
【解析】（1）先借1°化为分和秒，然后同一单位分别相减即可得解；（2）相同单位相加，超过60向上一位进1即可；（3）每一个单位分别乘8，分、秒超出60的部分向上一位进1即可；（4）从度开始计算，余数乘60继续除以5进行计算即可得解.
【解】（1）原式＝119°60'－38°41'＝81°19'.
（2）原式＝（67＋48）°＋（31＋49）'＝115°80'＝116°20'.
（3）原式＝20°×8＋30'×8＝160°240'＝164°.
（4）原式＝（106÷5）°＋（6÷5）'
＝21°＋1°÷5＋（6÷5）'
＝21°＋（66÷5）'
＝21°＋13'＋1'÷5
＝21°＋13'＋60″÷5
＝21°13'12″.
【方法总结】角度的运算规律：（1）加减法时将同一单位进行加减，加法够60进1，减法不够减要借1当60；（2）乘法时将数与度、分、秒分别相乘，然后从小到大逢60进1；（3）除法时用度先除，把余数化为分，再加上原来的分，用这个数除以除数，把余数化成秒，再加上原来的秒，再用这个数除以除数，如果除不尽，就按题意要求，进行四舍五入.
1.在同一平面内，若∠BOA＝62.7°，∠BOC＝21°30'，则∠AOC的度数是（　　）
A.84.2° B.41.2°
C.84.2°或41.2° D.74.2°或39.8°
2.计算：
（1）90°－37°23'34″＝　　　°　　　'　　　″；
（2）21°10'×5＝　　　°　　　'；
（3）35°8'＋28°55'30″＝　　　°　　　'　　　″；
（4）51°24'÷3＝　　　°　　　'.
6.3.2　角的比较与运算
1.角的比较方法
（1）度量法；（2）叠合法.
2.角的计算
（1）角平分线；（2）角的折叠.
3.角度的换算
本节课主要的学习内容有（1）角的两种比较方法：度量法和叠合法.叠合法注意要使两个角的顶点及一边重合，另一边落在第一条边的同旁；（2）角的平分线以及三等分线等性质，运用数形结合思想，结合图形来得出平分线的数学符号表达式；（3）用角的和、差、倍、分关系进行简单的推理.
　　本节课主要内容是角的比较与运算，它与线段的比较与运算在方法上有一定的相似性.因此在教学中主要采取与线段的比较、运算进行类比.教学过程以启发探究式教学为主导，使得学生主动思考角的比较、运算如何与已经掌握的线段比较、运算进行类比，对每个问题设计小问题，通过师生合作探究逐步地引导学生探究新知.学生在小组合作、讨论过程中，学习积极性得到调动，也激发了他们的主动学习的欲望.解题时学生在角的和、差运算方面还不能很好地结合图形进行分析，把图形语言和文字语言转换为符号语言，这样就需要布置适量的练习，有针对性地巩固知识.
答案
课堂训练
1.C
2.（1）52　36　26　（2）105　50　（3）64　3　30　（4）17　8
6.3.3　余角和补角
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质；
2.能利用余角、补角的性质进行计算和简单的推理.
重点：掌握角的互余、互补关系及其性质.
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打黑球，黑球会直接入袋.此时根据经验可知∠1与∠3的关系是什么？
探究点　余角和补角及其性质
类型一　利用余角和补角计算求值
【例1】已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°.求∠B的度数.
【解析】根据∠A与∠B互余，得出∠A＋∠B＝90°，再由∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，从而得到∠A＝3∠B＋30°，再把两个算式联立即可求出∠B的度数.
【解】设∠B的度数为x°，则∠A的度数为（3x＋30）°.
根据题意，得x＋（3x＋30）＝90，解得x＝15.
故∠B的度数为15°.
类型二　余角、补角和角平分线的综合计算
【例2】如图，已知OB在∠AOC内部，∠BOC＝90°，OM，ON分别是∠AOB，∠AOC的平分线，∠AOB与∠COM互补.求∠BON的度数.
【解】由∠AOB与∠COM互补，得∠AOB＋∠COM＝180°，
即∠AOB＋∠BOM＋∠BOC＝180°.
因为∠BOC＝90°，所以∠AOB＋∠BOM＝90°.
由OM是∠AOB的平分线，得∠BOM＝∠AOB，
即∠AOB＋∠AOB＝90°，所以∠AOB＝60°.
由角的和差，得∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°.
由ON平分∠AOC，得∠AON＝∠AOC＝×150°＝75°，所以∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°.
1.如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°，∠AOC＝32°，则∠BOD的度数为（　　）第1题图
A.60° B.58° C.42° D.32°
2.已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3的度数为　　　　.
6.3.3　余角和补角
互余、互补
（1）和为90°的两个角互余；
（2）和为180°的两个角互补.
本节课主要学习了余角和补角的意义，知道了互余、互补的性质.
　　在教学中设计师生合作环节，利用小问题逐步引导学生进行合理的思考，在师生互动下，学习图形、文字、符号三种语言之间的转换，了解问题的推理思路，从而能对问题解决过程进行简单的说理.学生在对问题说理时，常常有逻辑不顺，甚至无从下手的情况.这样就需要教师引导学生熟练掌握图形的概念、性质，只有对相关知识的概念、性质熟悉了，才有对问题进行说理的根据，最后再通过适量的练习对知识点进行针对性的加强与巩固.
答案
课堂训练
1.D　2.150°