19.2.3一次函数与方程、不等式
一、学习目标：
.
1．解一元一次不等式可以看作是:当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
会根据一次函数图像求一元一次不等式的解集。
重点：1、理解一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系．
2、掌握用图象求解不等式的方法．
难点；
图象法求解不等式中自变量取值范围的确定．
二、自主学习
阅读探究课本96页至97页第二个思考的内容
作出
y=3x+2的图象，试将下列解不等式问题转化为函数的问题：
①解不等式3x+2<0可看作：当时，函数y=
的函数值小于0.
②解不等式3x+2<-1可看作：当x
时，函数
的函数值小于-1.
③解不等式3x+2>2可看作：当x
时，函数
的函数值大于2.
三、合作探究：
1、在右上图中作出函数y=2x-4的图象，回答下列问题：
（1）当x
时，直线y=2x-4上的点全在x轴上方，即这时y=2x-4
0．
（2）当x
时，直线y=2x-4上的点全在x轴下方，即这时y=2x-4
0．
（3）当x
时，直线y=2x-4上的点全在x轴上，即这时y=2x-4
0．
注：由于任何一元一次不等式都可以转化的ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大于（或小于）0时，求自变量相应的取值范围．
总结：从数的角度看:
求ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的解
，与
求x为何值时，
的值大于（或小于）0？是同一问题。
从形的角度看：
求ax+b>0或ax+b<0（a、b为常数，a≠0）的解
，
与直线
上的点在x轴的上方或下方是同一问题。
2：
用画函数图象的方法解不等式5x+4<2x+10
解法1：原不等式可化为
<0
解法2：原不等式两边分别看作两个一次函数y1=5x+4
y2=2x+10
四、课堂检测：
1、当自变量x取何值时，函数y=4x+8的值满足下列条件：
①y=0
②y>0
③y<2
2、在同一坐标系内画出函数y1=x－5与y2=－x+1的图象，可以看出，它们交点的横坐标为
利用图象填空：
当x
时，y1>0，
当x
时，－x+1<0
当x
时，y1>y2
，
当x
时，y1<
y2
3、从“数”的角度看：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解，就是一次函数
的函数值
（或
）时，相应的自变量x的取值范围。
4、从“形”角度看：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解，就是一次函数
的图像在x轴
（或
）时，相应的自变量x的取值范围。
5、直线y=x-1上的点在x轴上方时对应的自变量的范围是（
）
A．x>1
B．x≥1
C．x<1
D．x≤1
六、课外作业：
1、已知直线y=2x+k与x轴的交点为（-2，0），则关于x的不等式2x+k<0的解集是（
）
A．x>-2
B．x≥-2
C．x<-2
D．x≤-2
2、已知关于x的不等式ax+1>0（a≠0）的解集是x<1，则直线y=ax+1与x轴的交点是（
）
A．（0，1）
B．（-1，0）
C．（0，-1）
D．（1，0）
3、直线y=-3x-3与x轴的交点坐标是________，则不等式-3x+9>12的解集是________．
4、已知关于x的不等式kx-2>0（k≠0）的解集是x>-3，则直线y=-kx+2与x轴交点为_
_．
5、已知不等式-x+5>3x-3的解集是x<2，则直线y=-x+5与y=3x-3的交点坐标是_________．
6、
当自变量
x
的取值满足什么条件时，函数
y
=
3x+8
的值满足下列条件？
y
=
0
(2)
y
=
-7
(3)
y
>0
(4)
y
<
2
7、用画图象的方法解不等式2x+1>3x+4
8、某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x
千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，观察下列图象可知(如图)，当x________时，选用个体车较合算．19.2.3一次函数与一元一次方程
学习目标：
1、理解一次函数与一元一次方程的关系，会根据图象解决一元一次方程求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程的方法，经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。
学习重点：利用一次函数知识求一元一次方程的解。
学习难点：一次函数与一元一次方程的关系发现、归纳和应用。
学习过程：
一、创设问题情境：
1、一次函数，当
时，；当
时，；当
时，。
2、一次函数，x轴交点坐标为________；与y轴交点坐标_________；图像经过_______象限，y随x的增大而______，图像与坐标轴所围成的三角形的面积是
。
二、自主学习与合作交流：
思考：
下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？
，，
解这3个方程相当于在一次函数的函数值分别为3，0，-1时，求
画出的图像，从图像上可以看出上纵坐标分别取3，0，-1的点，
归纳：1、解一元一次方程相当于在某个一次函数
2、一元一次方程的解就是直线与轴的交点的
三、巩固练习：
例1、若直线y=kx+6与两坐标轴所围成的三角形面积是24，求常数k的值是多少？
例2、某天，小明来到体育馆看球赛，进场时发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票同时他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆，途中线段AB,OA分别表示父子俩送票、取票过程中离体育馆的路程S（米）与所用时间（分钟）之间的函数关系，结合图像解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度保持不变）：
（1）求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式。
（2）小明能否在比赛开始前返回体育馆？
四、达标测试：
1、直线与轴的交点是（
）
A、（0，3）
B、（0，1）
C、（3，0）
D、（1，0）
2、直线与轴的交点是（1，0
），则的值是（
）
A、3
B、2
C、-2
D、-3
3、若直线的图像经过点（1，3），则方程的解是（
）
A、1
B、2
C、3
D、4
4、有一个一次函数的图象，可心和黄瑶分别说出了它的两个特征．
可心：图象与x轴交于点（6，0）。
黄瑶：图象与x轴、y轴围成的三角形的面积是9。
你知道这个一次函数的关系式吗？
5、弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数，如图所示，请判断不挂物体时弹簧的长度是多少？
课后记：
3600
O
B
t(分)
S(米)
A
1519.2.3一次函数与一元一次不等式
学习目标：
1、理解一次函数与一元一次不等式的关系，会根据图象解决一元一次不等式
求解问题。
2、学习用函数的观点看待方程的方法，经历方程与函数关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题。
学习重点：利用一次函数知识求一元一次不等式的解集。
学习难点：一次函数的图像与一元一次不等式的关系。
学习过程：
一、创设问题情境：
1、一次函数，当
时，>2；当
时，；当
时，。
2、一次函数，x轴交点坐标为________；与y轴交点坐标_________；当
时，>0；当
时，
二、自主学习与合作交流：
思考：
下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？
，，
1、解这3个不等式相当于在一次函数的函数值分别为大于2，小于0，小于-1时，求
画出的图像，可以看出在直线上取纵坐标分别满足取大于2，小于0，小于-1的点，看
。
归纳：解一元一次不等式相当于在某个一次函数的值
>0时对应的函数图像在
，时
三、巩固练习：
例1、已知函数和相交于点A（2，-1），
（1）、求的值，在同一坐标系中画出两个函数的图像。
（2）、利用图像求出：当取何值时有：①；②
（3）、利用图像求出：当取何值时有：①且；②且
例2、兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m，哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，作出函数图象，观察图象回答下列问题：
（1）何时哥哥追上弟弟？
（2）何时弟弟跑在哥哥前面？
（3）何时哥哥跑在弟弟前面？
（4）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
四、达标测试：
1、直线交坐标轴于A(-2,0),B（0,3）两点，则不等式的解集是（
）
A、
B、
C、
D、
2、直线的图像如图所示，当时的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、
3、如图直线与的交点（1，2），则使
的的取值范围是（
）
A、
B、
C、
D、
4、Ａ、Ｂ两个商场平时以同样价格出售相同的商品，在春节期间让利酬宾．Ａ商场所有商品8折出售，Ｂ商场消费金额超过200元后，可在这家商场7折购物．试问如何选择商场来购物更经济。
5、已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，试求的值。
课后记：
2
3
y
x
O
2
1
y
x
O19.2.3
一次函数与方程、不等式导学案（1）
学习目标：
理解一次函数与一元一次方程、不等式的关系。
会根据图象解答一元一次方程、不等式的有关问题。
进一步理解数形结合思想．
重点：理解一次函数与一元一次方程、不等式的关系。
难点：会根据图象解答一元一次方程、不等式的有关问题。
学习过程：
自学与指导：
探究（一）一次函数与一元一次方程的关系：
(1)解方程2x+20=0
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
（3）从上述两个问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？
结论：从数的角度看：一元一次方程ax+b=0的解是一次函数y=ax+b的
为0时
的值。
(4)画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.
结论：从形的角度看：一元一次方程ax+b=0的解是一次函数y=ax+b图象与
轴交点的
。
探究（二）一次函数与一元一次不等式的关系：
1.
解不等式：5x+6＞3x+10
2.
当自变量x为何值时，函数y=2x-4值大于0
这两个问题有什么关系
结论：从数的角度看：一元一次不等式ax+b＞0（或＜0）的解集是一次函数y=ax+b的
值大于0（或小于0）时
的值。
3、观察函数y=2x-4
的图像,回答问题：
当x
时,
y=2x-4
＞0，当x
时,
y=2x-4
<
0.
结论：解一元一次不等式ax+b＞0或ax+b＜0可以看作：求一次函数y=ax+b图象在x轴的上方（或下方）时自变量x的取值范围。
二、展示与点拨：
每小组展示一个问题，本小组展示不足的，其他小组补充。
每一小组展示过程中，其他小组认真检查与自查，做好答疑的准备。
三、课堂检测：
1、已知一元一次方程ax-b=0(a,b为常数，a≠0）的解为x=2，则一次函数y=ax-b的函数值为0时，自变量x的值是
。
2、已知一次函数y=ax+b,x与y的部分对应值如下表，那么方程ax+b=0的解是
。
x
-2
-1
0
1
2
y
6
4
2
0
-2
3、已知方程2x+6=0的解是x=3,则函数y=2x+6与x轴的交点坐标是
。
4、一次函数y=2x+2的图象如下图所示，则由图象可知，方程2x+2=0的解为
。
5、已知一元一次不等式ax-b
＞
0(a,b为常数，a≠0）的解集为x＞2，则一次函数y=ax-b的函数值大于0时，自变量x的取值范围是
。
6、一次函数y=-3x-9,当函数值y大于-3是，自变量x的取值范围是
。
7、如图，一次函数y=kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是
。
四、课堂小结：你能总结一次函数与一元一次方程、不等式的关系吗？
五、教学反思：
。
2
x
y
0
-4
-3
2
o
x
y导学案教案
学科
数学
年
级
八年级
课
时
1
课时
主备
课人
审核人
八年级数学备课组
使用
教师
使用时间
年
月
日
课
题
19.2.3一次函数与方程、不等式（3）
学习
目标
１．学会利用函数图象解二元一次方程组２．通过学习了解变量问题利用函数方法的优越性．
经历观察、思考等数学活动，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述观点．
体会解决问题的策略多样性，发展实践能力和创新精神．
重
点
１．归纳图象法解二元一次方程组的具体方法．２．灵活运用函数知识解决实际问题．
难
点
灵活运用函数知识解决相关实际问题．
教学
方法
引导─启发
思考─探究．
教学设计
个性化修改
创设情境、提出问题
[师]我们知道，方程3x+5y=8可以转化为y=-x+，并且直线y=-x+上每个点的坐标（x，y）都是方程3x+5y=8的解．
由于任何一个二元一次方程都可以转化为y=kx+b的形式．所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线．
那么解二元一次方程组
可否看作求两个一次函数y=-x+与y=2x-1图象的交点坐标呢？如果可以，我们是否可以用画图象的方法来解二元一次方程组呢？
我们这节课就来解决这些问题．
二、分析问题、探究新知
[活动一]
活动内容设计：
一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式Ａ以每分钟0．1元的价格按上网时间计费；方式Ｂ除收月基费20元外再以每分钟0．05元的价格按上网时间计算．如何选择收费方式能使上网者更合算？
活动设计意图：
通过这个活动，熟悉巩固用一次函数知识求二元一次方程组问题的方法，进一步提高把实际问题转化为数学问题的能力．
教师活动：
引导学生从实际问题中抽象出具体的数学问题，并应用所学方法求解．
学生活动：
在教师引导下建立两种计费方式的函数模型，然后比较求解．
活动过程及结论：
过程一：
设上网时间为x分钟，若按方式Ａ收费，y=0．1x元；若按Ｂ方式收费，y=0．05x+20元．在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．
解方程组：
得
所以两图象交于点（400，40），从图象上可以看出：
当0当x=400时，0．1x=0．05x+20，
当x>400时，0．1x>0．05x+20．
因此，当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式Ａ省钱；当上网时间等于400分钟时，选择方式Ａ、Ｂ没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式Ｂ省钱．
方法二：
设上网时间为x分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．05x+20）-0．1x
化简：y=-0．05x+20．在直角坐标系中画出函数的图象．
计算出直线y=-0．05x+20与x轴交点为（400，0）．
由图象可知：
当00，即选方式Ａ省钱．
当x=400时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别．
当x>400时，y<0，即选方式Ｂ省钱．
由此可得如方法一同样的结论．
[师]通过以上活动，使我们清楚看到函数在解决变量关系问题时的优越性，但在确定分界点位置时，又要借助方程来准确求值．
联系以前所学方程（组），不等式与函数都是基本的数学模型，它们之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决实际问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把这些数学模型结合起来使用．
[活动二]
活动内容设计：
两种移动电话计费方式如下：全球通神州行月租费50元/月0本地通话费0.40元/分0.60元/分
用函数方法解答如何选择计费方式更省钱．
活动设计意图：
经过这一活动，巩固所学知识，熟悉具体问题如何灵活地、有机地把数学模型结合起来使用．
教师活动：
引导学生灵活、有机地运用各种数学模型顺利解决实际问题．
学生活动：
在教师引导下，掌握解决具体问题的方法，灵活、有机地运用各种数学模型，提高分析、解决问题能力．
活动过程及结论：
方法一：
设每月通话时间累计x分钟，则全球通月消费y=0．40x+50元；神州行月消费：y=0．60x元．在同一坐标系中画出两个一次函数的图象．
解方程组：
得
所以两图象交于点（250，150）．
由图象可以看出：
当00．40x+50>0．60x，
当x=250时
0．40x+50=0．60x，
当x>250时
0．40x+50<0．60x．
因此，当一个月通话时间少于250分时，选择神州行省钱；当一个月通话时间等于250分钟时，选择全球通与神州行没有区别；当一个月通话时间多于250分钟时，选择全球通省钱．
方法二：
设一个通话时间累计为x分，全球通与神州行两种计费差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：
y=（0．40x+50）-0．60x
化简为：y=-0．20x+50
在直角坐标系中画出这个函数图象．计算出直线y=-0．20x+50与x轴的交点为（250，0）．
由图象可以看出：
当00，即选神州行省钱．
当x=250时，y=0，即选神州行与全球通没有区别．
当x>250时，y<0，即选全球通省钱．
由此可以得到与方法一相同的结论
三、课堂检测
一、选择题1．图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组(
)的解．
A．
B.
C．
D.
2．把方程x+1=4y+化为y=kx+b的形式，正确的是(
)
A．y=x+1
B．y=x+
C．y=x+1
D．y=x+3．若直线y=+n与y=mx-1相交于点(1，-2)，则(
)．
A．m=，n=-
B．m=，n=-1；
C．m=-1，n=-
D．m=-3，n=-4．直线y=x-6与直线y=-x-的交点坐标是(
)．
A．(-8，-10)
B．(0，-6)；
C．(10，-1)
D．以上答案均不对5．在y=kx+b中，当x=1时y=2；当x=2时y=4，则k，b的值是(
)．
A．
B.
C．
D.
6．直线kx-3y=8，2x+5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值为(
)
A．4
B．-4
C．2
D．-2二、填空题1．点(2，3)在一次函数y=2x-1的________；x=2，y=3是方程2x-y=1的_______．2．已知
是方程组的解，那么一次函数y=3-x和y=+1的交点是________．3．一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点在二元一次方程-2x+by=18上，则b=_________．4．已知关系x，y的二元一次方程3ax+2by=0和5ax-3by=19化成的两个一次函数的图像的交点坐标为(1，-1)，则a=_______，b=________．5．已知一次函数y=-x+m和y=x+n的图像都经过A(-2，0)，则A点可看成方程组________的解．6．已知方程组的解为则一次函数y=3x-3与y=-x+3的交点P的坐标是______．三、解答题1．若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的交点，求a的值．2．(1)在同一直角坐标系中作出一次函数y=x+2，y=x-3的图像．
(2)两者的图像有何关系 (3)你能找出一组数适合方程x-y=2，x-y=3吗 _________________，这说明方程组
________．3．如图所示，求两直线的解析式及图像的交点坐标．
四、小结
本节课从二元一次方程与一次函数关联谈起，得出利用函数图象解决二元一次方程（组）的具体方法及步骤，并通过两个实例让我们看到了不同数学模型间的联系，且通过函数观点把它们统一起来，根据具体情况灵活、有机地把这些数学模型结合起来使用，为我们解决有关实际问题提供了更大的便利．
五.作业布置
六、课后反思19.2.3一次函数与二元一次方程组
学习目标：
1、理解一次函数与二元一次方程组的关系，会根据图象求二元一次方程组的解。
2、应用一次函数和二元一次方程组的关系解决实际问题。
学习重点：利用一次函数图像求二元一次方程组的解，并解决简单的实际问题。
学习难点：一次函数与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程结合解决实际问题。
学习过程：
一、创设问题情境：
1、解方程组
2、画一次函数和的图像，写出交点坐标。
二、自主学习与合作交流：
思考：
1号探测气球从海拔5米处出发，以1米／分的速度上升。于此同时，2号探测气球从海拔15米出发，以0.5米／分的速度上升，两个气球都上升了1小时。
（1）、用式子分别表示两个气球所在的位置的海拔（单位：米）关于上升时间（单位：小时）的函数关系式；
（2）、在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
归纳：从函数的观点看解二元一次方程组：
1.
从“数”的角度看：解方程组相当于求
为何值时,两个
相等，
以及这个函数值是
。
2.
从“形”的角度看：解方程组相当于确定两条直线的
三、巩固练习：
例、一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以0.1元\分的价格按上网时间计费，方式B除收20元月基费外，再以0.05元\分的价格上网时间计费，如何选择收费方式能使上网者更合算。
【解法一】设上网时间为x分钟，若按方式Ａ收费，
=
元；若按Ｂ方式收费，
= 元．
在同一直角坐标系中分别画出这两个函数图象．
两个函数图象交于点
，从图象上可以看出：
当_________时，,
所以选择方式A省钱；当
时，，所以选择
省钱；当_________时，，所以选择
省钱.
【解法二】设上网时间为x分钟，方式Ｂ与方式Ａ两种计费的差额为y元，则y随x变化的函数关系式为：y=_________
，化简：y=_________．
在直角坐标系中画出函数的图象．
直线y=___________与x轴交点为________．
由图象可知：当_______时，y>0，即选方式Ａ省钱；
当
时，y=0，即选方式Ａ、Ｂ没有区别；当_______时，y<0，即选方式
省钱．
例2、如图所示，求两直线的解析式及其交点坐标。
四、达标测试：
1、已知直线与直线的交点横坐标
为2，求k的值和交点纵坐标．
2、方程组
的解是________,由此可知,一次函数与的图象必有一个交点,且交点坐标是________。
3、
A
、
B
两地相距
100
千米
,
甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行
.假设他们都保持匀速行驶
,
则他们各自离A地的距离
s(
千米
)
都是骑车时间
t(
时
)
的一次函数
.1
小时后乙距离
A
地
80
千米
；2
小时后甲距离
A
地
30
千米
.问经过多长时间两人将相遇
4、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
⑴乙队开挖到30m时，用了
h，开挖6h时甲队比乙队多挖了
m；
⑵请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
5.在同一坐标系中画出一次函数y1=-2x+1与y2=2x-3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)直线y1=-2x+1、y2=2x-3与y轴分别交于点A、B，请写出A、B两点的坐标．
(2)写出直线y1=-2x+1与y2=2x-3的交点P的坐标．
(3)求△PAB的面积．
课后记：
(0,1)
O
x
y
(4,0)
(0,-3)
(-2,0)
X+
y=1
x-
y=1
