河北省部分高中2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷（含解析）

河北省部分高中2024-2025学年高一下学期6月月考数学试题
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，且，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．若异面直线m，n分别在平面，内，且，则直线l（ ）
A．与直线m，n都相交 B．可能与m，n都平行
C．与m，n中的一条相交，另一条平行 D．至少与m，n中的一条相交
4．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛.若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆台的上、下底面直径长分别为、，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）
A．1.86 B．1.88 C．1.9 D．1.92
7．如图，小胡同学为了测量地面上一栋大楼AB的高度（大楼AB垂直于地面），在与楼底同一水平面内选取两个测量基点和，在点测得大楼顶部的仰角是，在点测得大楼顶部的仰角是，测得水平面上的米，则该大楼的高度为（ ）
A．37米 B．38米 C．39米 D．40米
8．已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则（ ）
A．该组数据的极差为1.8
B．该组数据的众数为10.1
C．该组数据的分位数为9.9
D．若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10．已知复数满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．是关于的方程的一个根
11．如图，在棱长为2的正方体中，点为AB的中点，点是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．正方体的外接球的表面积为 B．二面角的正切值为
C．的周长的最小值为 D．若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题
12．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 ．
13．已知角的终边上有一点，则 ．
14．已知中，点，分别是知的重心和外心，且，，则边的长为 .
四、解答题
15．已知向量，.
(1)若，求；
(2)若，求向量与的夹角.
16．一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为6组：、、…、、，绘制成频率分布直方图（如图所示）.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；
(2)在样本中，从成绩在内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率.
17．已知函数的部分图象如图所示，且.

(1)求的解析式；
(2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求在上的最大值与最小值.
18．如图，在三棱柱中，，，侧面为正方形，为棱的中点，点为棱上一点，且平面．

(1)证明：平面平面；
(2)求的值；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，点P为的费马点．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若的面积为，且，求的值；
(3)求的最小值．
参考答案
1．D
【详解】由可得，
可得.
故选：D.
2．A
【详解】由题设，可得.
故选：A
3．D
【详解】因为，所以，，则l与m平行或相交，l与n平行或相交，
又m，n为异面直线，所以l不能与m，n同时平行，
即l与m，n可能都相交，也可能与其中一条相交，故A，B，C错误，D正确．
故选：D．
4．B
【详解】因连胜两场者赢得比赛，故要使比赛6场后甲赢得比赛，则在这六场比赛中，甲的情况依次为：赢输赢输赢赢，
故比赛6场后甲赢得比赛的概率为：.
故选：B.
5．C
【详解】设圆台的母线长为，则该圆台的侧面积为，故，
取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形，
分别过点、在平面内作、，垂足分别为点、，如下图所示：
因为，，，则四边形为矩形，故，
且，
因为，，，故，
所以，故，
故圆台的高为，因此该圆台的体积为.
故选：C.
6．D
【详解】由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
．
故选：D．
7．B
【详解】设大楼米.
在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以.
在中，因为在点测得大楼顶部的仰角是，，，所以.
已知在中，，米，根据余弦定理.
将，，代入上式可得：，
即，移项可得，即，解得
得到，（高度不能为负舍去）.
该大楼的高度为38米.
故选：B.
8．A
【详解】令，则，故，
故，
又由函数的图象关于原点对称，得，解得，
则
，
当时，，若函数在区间上单调，
则，则．
故选：A．
9．ACD
【详解】对于A项，极差等于，故A正确；
对于B项，该组数据的众数为10.1和，故B错误；
对于C项，，故分位数为，故C正确；
对于D项，平均数等于，
去掉后，这两组数据的平均数相等，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【详解】，所以
对于A，，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，即是关于的方程的一个根，D正确.
故选：ABD.
11．ACD
【详解】对于选项A：因为正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长，
而体对角线长度为，所以外接球半径为.
根据球的表面积公式可得：，A正确.
对于选项B：过点作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示.
易得为二面角的平面角，又，
所以，所以，
所以二面角的正切值为，故B错误.
对于选项C：记点关于平面的对称点为，
所以，
当且仅当三点共线时等号成立，所以的周长的最小值为，C正确.
对于选项D：取的中点，的中点，连接，
易得，又不在平面上，平面，
所以平面，又易得，不在平面上，
平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，所以点在线段上，
所以点的轨迹长度，所以D正确.
故选：ACD.
12．8
【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4，
故原来的平行四边形的面积为，
故答案为：8．
13．/
【详解】由三角函数的定义，知，所以，
．
故答案为：
14．
【详解】
如图，延长交于点，过点作于点，作于点.
因点，分别是知的重心和外心，则，,
则，则
，
即得，
又由和，可得，
整理得，解得，
因，
则，
即边的长为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）设.
∵，，∴ ①.
又，∴②.
联立①②解得，.
∴，∴.
（2）∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，
∴.
∵，∴，即向量与的夹角为.
16．(1)；
(2)
【详解】（1）由频率分布直方图可得，，解得，；
这50名学生的物理成绩的平均数为：；
（2）由频率分布直方图可知，成绩在内的学生有人，
其中内有2人，设为，内有3人，设为，
“从成绩在内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：
，而事件 “2人成绩都在内”=，
由古典概型概率公式可得，.
即这2人成绩都在内的概率为.
17．(1)；
(2)最大值1；最小值.
【详解】（1）由图知，的高为1，
由，得，解得，即，
过作轴，垂足为，则，由，得，解得，

因此函数的最小正周期，解得，函数，
而，则，又，因此，
所以的解析式为.
（2）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，
当时，，则当，即时，取得，
当，即时，，
所以函数取的最大值1；最小值.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，，得，所以，
又侧面为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
又平面，故平面平面．
（2）如图，连接与交于点，连接，

因为面，平面平面，平面，
所以，则，
在正方形中，，D为棱的中点，
所以，所以．
（3）设，
由（1）可知，平面，又，所以平面，
由（2）知，，延长交的延长线于，
因为侧面为正方形，且，则，
连接，所以为直线与平面所成的角，
所以，，则，
由得，
在中，根据余弦定理，
，则，
在中，，所以．
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以，即,
由正弦定理可得，故,即是直角三角形，
（2）的面积为则，
因为P为的费马点，所以，
设，所以，，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得,
所以，所以即，
所以，即，
（3）因为P为的费马点，所以，
设所以，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得,
在中，由余弦定理可得,
又，所以，
所以，
又所以即，
解得或（舍去），
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.