湖南省长沙市岳麓实验中学2024-2025学年高一下学期6月月考数学试卷（PDF版含部分解析）

高一数学试卷
一、单选题
1．在锐角中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．已知集合，且，则下列说法一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．已知集合，则为（　　）
A． B． C． D．
4．“”是“关于x的一元二次不等式的解集为R”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知函数为不相等的两个实数，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知定义在上的函数满足，当时，.若，则实数的取值范围是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．已知集合，，，则集合P的子集共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
8．已知，若关于x的方程存在正零点，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数 （其中 为虚数单位）下列说法正确的是（　　）
A．复数 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B． 可能为实数
C．
D． 的虚部为
10．已知实数m，n满足，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，设E，F分别是正方体 的棱DC上两点，且 ， ，其中正确的命题为（　　）
A．三棱锥 的体积为定值
B．异面直线 与 所成的角为60°
C．直线 与平面 所成的角为30°
D．二面角 的平面角为45°
三、填空题
12．函数 的定义域为　 　.
13．已知和点满足，若存在实数、使得成立，则　 　．
14． 的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为　 　.
四、解答题
15．已知，，．
（1）求与的夹角；
（2）求．
16．计算下列各式：
（1）
（2）
17．函数的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，求函数在的值域.
18．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且．
（1）求角B的大小；
（2）若是锐角三角形，求面积的取值范围．
19．已知实数 满足 ；
（1）求证： ；
（2）将上述不等式加以推广，把 的分子 改为另一个大于 的自然数 ，使得 对任意的 恒成立，请加以证明；
（3）从另一角度推广，自然数 满足什么条件时，不等式 对任意 恒成立，请加以证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】解：，由正弦定理可得，
则，即，
即，即，若，则，不符合题意舍去；
则，
因为，，所以，
又因为，所以，所以，
则的取值范围是
故答案为：B.
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
【解析】解：充分性：若，，一元二次不等式的解集为，即充分性不成立；
必要性：若一元二次不等式的解集为，则，即必要性成立.
因此，“”是“一元二次不等式的解集为”的必要非充分条件.
故选：B.
5．【答案】C
【解析】解：由题意，不妨设，
当时，，即，解得：，
当时，，，即，
当时，，，即，
则，
当时，一定有，且，则，
所以“”是“”的充分必要条件；
故答案为：C.
6．【答案】D
7．【答案】C
【解析】因为，又，
所以，所以，则集合的子集共有个．
故选：C
8．【答案】B
【解析】解：由题意得，，
令，问题转化为有解，
设，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
又由，所以存在唯一零点，即在有解，
即，令，则，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：B.
9．【答案】B,C
【解析】对于AB选项，当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第四象限；
当 时， ；
当 时， ， ，此时复数 在复平面内的点在第一象限.
A选项错误，B选项正确；
对于C选项， ，C选项正确；
对于D选项， ，
所以，复数 的虚部为 ，D选项错误.
故答案为：BC.
10．【答案】A,C
【解析】由知， ，故，A符合题意；
由得，，所以，即，B不符合题意；
因为指数函数为单调减函数，故，
由幂函数 为单调增函数知 ，故，C符合题意；
根据， 对数函数 为单调减函数，
故，D不符合题意，
故答案为：AC
11．【答案】A,C,D
【解析】如图所示，
对A，三棱锥 的体积为 为定值，A符合题意；
对B， ， 或其补角是异面直线 与 所成的角，为 ，B不符合题意；
对C，取 的中点 ，连结 ，则 平面 ，
为直线 与平面 所成的角，所以 ，
所以直线 与平面 所成的角为30°，C符合题意；
对D， ， 均与交线 垂直，所以二面角 的平面角为 ，
，D符合题意．
故答案为：ACD
12．【答案】[1，+∞)
【解析】由题意可知， ，解得 ，所以 的定义域为[1，+∞).
故答案为：[1，+∞)
13．【答案】1
【解析】因为，
所以，
即，
所以，
则，所以。
故答案为：1。
14．【答案】
【解析】 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即 ， ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
则 面积 ，即面积的最大值
故答案为：
15．【答案】（1）解：因为，，，所以，且，所以，
则与的夹角为；
（2）解：.
【解析】（1）代入向量的夹角公式求解即可；
（2）根据向量数量积的运算律和夹角公式求解即可.
（1），且，
所以，所以与的夹角为；
（2）.
16．【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式
.
【解析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。
（2）利用换底公式结合对数的运算法则，进而化简求值。
17．【答案】（1）解：观察图象，得，函数的周期，解得，即，
由，得，即，而，则，
所以函数的解析式是.
（2）解：由（1）得，
则
，当时，，
有，于是，
所以所求值域为.
【解析】（1）根据函数图象求出振幅A，周期T，然后利用公式，解出，再在图像上找一点坐标带入函数解析式即可求解；
（2）根据函数平移的规则左加右减，得出，即可求出 的解析式，然后结合三角函数图象即可求出答案.
18．【答案】（1）解：由余弦定理可得，
整理得，
又由，
因为，所以.
（2）解：由（1）可知：，所以，，
故，
因为是锐角三角形，则，解得，
可得，
所以，故，
又由的面积，所以．
【解析】（1）利用余弦定理和三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）由（1）中角B的值和正弦定理，从而得出，，再结合两角差的正弦公式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及辅助角公式，则将ac转化为正弦型函数，再由锐角三角形中角A、C的取值范围，从而得出角A的取值范围，利用不等式的基本性质和正弦型函数的图象求值域的方法，则得出ac的取值范围，再根据三角形的面积公式得出三角形面积的取值范围．
19．【答案】（1）证明：因为 ，
要证 ，即证 ，
只要证 ，
而 ，当且仅当 ．即 或 时等号成立，
所以原不等式成立
（2）解：由（1） 恒成立，由（1） 最小值为4，所以 ， ，所以 2或3
（3）解：类似（1）不等式 恒成立，即 ，
而 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 ．
所以当自然数 满足 时，不等式 对任意 恒成立
【解析】（1）不等式变形为证明 ，由基本不等式易证；（2）不等式变形为 ，由（1）可得 最小值．即得 的范围．（3）类似（1）得 ，由基本不等式求得 的最小值，从而可得结论．